Perbandingan metode Monte Carlo standar, anthitetic variate, dan control variate pada penentuan harga opsi barrier - USD Repository

PERBANDINGAN METODE MONTE CARLO STANDAR, ANTITHETIC VARIATE, DAN CONTROL VARIATE PADA PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER SKRIPSI

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika

  Disusun Oleh : DIYAH SAYEKTI NIM : 063114017 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2010

  

COMPARISON OF STANDARD, ANTITHETIC VARIATE,

AND CONTROL VARIATE MONTE CARLO METHOD

FOR PRICING BARRIER OPTION PRICE THESIS

  Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

  by: DIYAH SAYEKTI NIM : 063114017 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2010

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Sampai masa tuamu Aku tetap Dia dan sampai masa putih rambutmu Aku menggendong kamu. Aku telah melakukannya dan mau menanggung kamu terus; Aku mau memikul kamu dan menyelamatkan kamu.

  Janganlah takut , sebab Aku menyertai engkau, Janganlah bimbang, sebab Aku ini Allahmu; Aku akan meneguhkan, bahkan menolong engkau; Aku akan memgang engkau dengan tangan kanan-Ku yang membawa kemenangan.

  Yesaya 46:4,41:10 Kupersembahkan karyaku ini sepenuhnya kepada:

  Bapa, Raja, dan Sahabat sejatiku Tuhan Yesus Kristus yang teramat baik, yang selalu menyertai setiap langkahku serta mencurahkan berkat-NYA yang Agung Mulia di dalam hidupku..

  LEMBAR  PERNYAAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA 

  ILMIAH  UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS  Yang  bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Uniersitas Sanata Dharma:  Nama :        Diyah Sayekti  Nomor :  Mahasiswa   063114017  Demi

 pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Uniersitas Sanata 

Dharma  karya ilmiah saya yang berjudul: 

  

 

PERBANDINGAN  METODE MONTE CARLO STANDAR, ANTHITETIC VARIATE DAN CONTROL VARIATE  PADA  PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER 

  Beserta  perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan  Uniersitas  Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya  dalam  bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di Internet atau  media  lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti  kepada  saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.    Demikian

   pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.  Dibuat  di Yogyakarta.  Pada

   tanggal: 3 Maret 2010  Yang  menyatakan    

  (Diyah  Sayekti)   

  

ABSTRAK

  Opsi adalah suatu kontrak antara pembeli dan penjual yang memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pembeli atau pemegang kontrak itu untuk membeli (opsi beli) atau menjual (opsi jual) suatu aset dengan harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Jenis opsi bermacam-macam anatara lain, opsi Eropa, opsi Amerika, opsi Barrier, opsi Asia, dll. Dalam Skripsi ini akan dibahas opsi barrier, dimana harga dari opsi tersebut akan dihitung menggunakan tiga metode, antar lain metode Monte Carlo standar, Monte Carlo anthitetic variate, dan Monte Carlo control variate.

  Prinsip dari metode Monte Carlo dalam mencari harga opsi barrier adalah penggunaan bilangan random berdistribusi normal (0,1) dan hukum bilangan besar. Sedangkan anthitetic variate dan control varite merupakan teknik reduksi variansi dari metode Monte Carlo. Hasil dari ketiga metode tersebut akan dibandingkan satu sama lain. Kesimpulan yang didapatkan adalah harga opsi yang diperoleh dengan metode Monte Carlo anthitetic variate dan control variate lebih akurat dibandingkan dengan metode Monte Carlo standar.

  

ABSTRACT

  An option is a contract between a buyer and a seller that gives the buyer the right, but not the obligation, to buy (call option) or to sell (put option) a particular asset at a specified price during a specified of time. The option type may vary, such as European option, American option, Barrier option, Lookback option, Asian option, etc. This thesis explores the barrier option whose value will be calculated using three methods; the standar Monte Carlo Method, the anthitetic variate Monte Carlo, and the control variate Monte Carlo.

  The principle of Monte Carlo method for pricing barrier option price is using the normal distribution (0,1) and the law of large numbers. The anthithetic variate and control variate are variance reduction techniques for Monte Carlo Method. The results of the three methods will then be compared to each other. The conclusion is the barrier option price determined by the anthitetic variate and control variate method is more accurate than the result obtained by standard Monte Carlo method.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan anugerahnya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi yang selalu sabar dan memberi semangat kepada penulis selama penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu dan memberi saran.

  4. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah banyak membantu dan memberi saran selama penulis kuliah.

  5. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku penguji yang telah banyak memberikan masukan kepada penulis.

  6. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  7. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

  8. Mas Susilo Dwiratno yang telah membantu menyiapkan fasilitas laboratorium Tugas Akhir selama penulis mengerjakan skripsi ini..

  9. Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  10. Kedua orang tua serta kakakku Asih Fitriati dan Asih Widiati Alm. terkasih yang telah memberikan dukungan, semangat, doa, dan cinta kasih kepada penulis.

  11. I Wayan Darmawan terkasih dan keluarga yang telah memberikan dukungan, semangat, doa, dan cinta kasih kepada penulis.

  12. Sahabatku Titik Murwani dan Rochi Ifahyani Siagian yang selalu memberi dukungan dan semangat.

  13. Teman-teman seangkatan 2006 : Viktor, Galih, Gigih, Ria, Rosa, Lia, Marcel, Atri, Wene, Egi, dan Meta yang telah memberi keceriaan dalam menjalani perkuliahan.

  14. Teman-teman angkatan 2005 yang telah memberi semangat dan masukan selama penulis menjalani kuliah.

  15. Tim doa Oikumene: Priskila, Leo, Radit, Gloria, dan Wili yang telah membantu doa sebelum penulis mengikuti ujian pendadaran.

  16. Teman – teman Persekutuan Mahasiswa Kristen Oikumene yang telah memberikan dukungan dan semangat.

  17. Tim doa GKI Gejayan dan tim doa Keluarga Allah yang telah memberikan dukungan doa.

  Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi penulis.

  Yogyakarta, Februari 2010 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL……………………………………………………………… i HALAMAN JUDUL (INGGRIS)………………………………………………… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………………........... ii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………….. iii HALAMAN KEASLIAN KARYA……………………………………………….. iv HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………….................................... v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI……………………… vi ABSTRAK…………………………………………………………….................... vii ABSTRACT……………………………………………………………………….. viii KATA PENGANTAR……………………………………………………………. ix DAFTAR ISI………………………………………………………………………. xi DAFTAR TABEL…………………………………………………………………. xvii

  

DAFTAR GAMBAR………………………………………………………………….. i x

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang………………………………………………………….

  1 B. Perumusan Masalah……………………………………………………..

  3 C. Pembatasan Masalah………………………………………..................... 3

  D. Tujuan Penulisan…………………………………………....................... 4

  E. Metode Penulisan…………………………………………....................... 4

  F. Manfaat Penulisan……………………………………………….............. 4

  G. Sistematika Penulisan…………………………………………………… 5

  BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random dan Fungsi Probabilitas……………………………… 6 B. Nilai Harapan…………………………………………………………… 11 C. Variansi dan Kovariansi………………………………………………… 17 D. Fungsi Pembangkit Momen…………………………………………….. 23 E. Fungsi Gamma………………………………………………………….. 24 F. Distribusi Seragam……………………………………………………… 28 G. Distribusi Normal………………………………………………………. 29 H. Fungsi Variabel Random………………………………………………. 36 I. Distribusi Lognormal……………………………………………………. 40 J. Teorema Limit Pusat…………………………………………………… 42 K. Hukum Bilangan Besar………………………………………………….. 44 L. Metode Momen………………………………………………………….. 48 M. Nilai Waktu Uang………………………………………………………. 50

  1. Nilai Masa Yang Akan Datang……………………………………… 50

  2. Nilai sekarang……………………………………………………….. 51

  BAB III METODE MONTE CARLO, MODEL HARGA SAHAM, DAN OPSI A. Simulasi…………………………………………………………………. 52 B. Metode Monte Carlo…………………………………………………….. 59 C. Reduksi Variansi Pada Metode Monte Carlo…………………………… 67

  1. Antithetic Variate.................................................................................. 68

  2. Control Variate………………………………………………………. 78

  D. Model Harga Saham…………………………………………………….. 80

  E. Estimasi Volatilitas Pergerakan Harga Saham………………………….. 95

  F. Opsi……………………………………………………………………… 96

  1. Pengertian Opsi……………………………………………………… 96

  2. Transaksi Opsi………………………………………………………. 99

  3. Opsi Eropa…………………………………………………………... 102

  BAB IV PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER A. Opsi Barrier……………………………………………………………... 105 B. Metode Monte Carlo Pada Penentuan Harga Opsi Barrier………………108

  1. Penentuan Harga Opsi Barrier Menggunakan Metode Monte Carlo Standar……………………………………… 108

  2. Penentuan Harga Opsi Barrier Menggunakan Metode Monte Carlo Anthitetic Variate…………………………….. 110

  3. Penentuan Harga Opsi Barrier Menggunakan Metode Monte Carlo Control Variate………………………………. 113

  C. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and In…………………………..115

  1. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and In Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 117

  2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and In Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 120

  3. Faktor – Faktor Yang Mempengaruhi Harga Opsi Beli Barrier Up and In…………………………………………………….124

  D. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and Out………………………... 128

  1. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and Out Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 130

  2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and Out Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 131

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi beli Barrier Up and Out…………………………………134

  E. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and In……………………… 136

  1. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and In Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 137

  2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and In Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 138

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi beli Barrier Down and In……………………………….141

  F. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and Out…………………….. 143

  1. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and Out Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 144

  2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and Out Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 145

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi beli Barrier Down and Out…………………………….. 148

  G. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and In…………………………..150

  1. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and In Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 151

  2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and In Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 152

  3. Faktor – Faktor Yang Mempengaruhi Harga Opsi Jual Barrier Up and In…………………………………………………….154

  H. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and Out………………………... 159

  1. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and Out Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 160

  2. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and Out Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 161

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi Jual Barrier Up and Out………………………………... 163

  I. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and In……………………… 165

  1. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and In Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 166

  2. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and In Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 167

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi Jual Barrier Down and In……………………………… 169

  J. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and Out…………………….. 172

  1. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and Out Menggunakan Formula Black Scholes……………………………… 173

  2. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and Out Menggunakan Metode Monte Carlo Standar,

  Anthitetic Variate dan Control Variate……………………………... 174

  3. Pengaruh Nilai Barrier dan Volatilitas Pada Harga Opsi beli Barrier Down and Out…………………………….. 176

  BAB V PENUTUP A. Kesimpulan………………………………………………………. 169 B. Saran………………………………………………………………170 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………… 171 LAMPIRAN………………………………………………………………………...173

  

DAFTAR TABEL

  Tabel 2.1……………………………………………………………………………

  8 Tabel 3.1…………………………………………………………………………… 57 Tabel 3.2…………………………………………………………………………… 58 Tabel 3.3…………………………………………………………………………… 77 Tabel 3.4…………………………………………………………………………… 85 Tabel 4.1…………………………………………………………………………… 121 Tabel 4.2…………………………………………………………………………… 121 Tabel 4.3…………………………………………………………………………… 131 Tabel 4.4…………………………………………………………………………… 132 Tabel 4.5…………………………………………………………………………… 139 Tabel 4.6…………………………………………………………………………… 139 Tabel 4.7…………………………………………………………………………… 145 Tabel 4.8…………………………………………………………………………… 146 Tabel 4.9…………………………………………………………………………… 152 Tabel 4.10………………………………………………………………………… 153 Tabel 4.11………………………………………………………………………… 162 Tabel 4.12………………………………………………………………………… 162 Tabel 4.13………………………………………………………………………… 168 Tabel 4.14………………………………………………………………………… 168 Tabel 4.15………………………………………………………………………… 174 Tabel 4.16………………………………………………………………………… 175

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 ..……………………………………………………………………….. 30Gambar 3.1 ..……………………………………………………………………….. 96Gambar 3.2 ..……………………………………………………………………….. 98Gambar 4.1 ..………………………………………………………………………..106Gambar 4.2 ..………………………………………………………………………..107Gambar 4.3 ..………………………………………………………………………..116Gambar 4.4 ..………………………………………………………………………..123Gambar 4.5 ..………………………………………………………………………..124Gambar 4.6 ..………………………………………………………………………..125Gambar 4.7 ..………………………………………………………………………..126Gambar 4.8 ..………………………………………………………………………..127Gambar 4.9 ..………………………………………………………………………..128Gambar 4.10 ..……………………………………………………………………. 129Gambar 4.11 ..……………………………………………………………………. 133Gambar 4.12 ..……………………………………………………………………. 135Gambar 4.13 ..……………………………………………………………………. 136Gambar 4.14 ..……………………………………………………………………. 137Gambar 4.15 ..……………………………………………………………………. 140Gambar 4.16 ..……………………………………………………………………. 142Gambar 4.17 ..……………………………………………………………………. 142Gambar 4.18 ..……………………………………………………………………. 143Gambar 4.19 ..……………………………………………………………………. 147Gambar 4.20 ..……………………………………………………………………. 148Gambar 4.21 ..……………………………………………………………………. 149Gambar 4.22 ..……………………………………………………………………. 150Gambar 4.23 ..……………………………………………………………………. 154Gambar 4.24 ..……………………………………………………………………. 155Gambar 4.25 ..……………………………………………………………………. 156Gambar 4.26 ..……………………………………………………………………. 157

  Gambar 4.27..……………………………………………………………………. 158

Gambar 4.28 ..……………………………………………………………………. 159Gambar 4.29 ..……………………………………………………………………. 160Gambar 4.30 ..……………………………………………………………………. 163Gambar 4.31 ..……………………………………………………………………. 164Gambar 4.32 ..……………………………………………………………………. 165Gambar 4.33 ..……………………………………………………………………. 166Gambar 4.34 ..……………………………………………………………………. 169Gambar 4.35 ..……………………………………………………………………. 170Gambar 4.36 ..……………………………………………………………………. 171Gambar 4.37 ..……………………………………………………………………. 172Gambar 4.38 ..……………………………………………………………………. 175Gambar 4.39 ..……………………………………………………………………. 177Gambar 4.40 ..……………………………………………………………………. 178

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dunia perdagangan sudah ada sejak zaman purba, sebelum ditemukannya

  uang bentuk perdagangan pertama kali dilakukan dengan sistem barter (pertukaran langsung). Seiring dengan kemajuan teknologi dan setelah ditemukannya uang, investasi mulai berkembang pesat. Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana pada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang. Perkembangan dunia investasi tidak saja ditunjukkan oleh semakin meningkatnya jumlah uang yang diinvestasikan ataupun semakin banyaknya jumlah investor yang berinvestasi, tetapi juga ditunjukkan oleh semakin banyaknya alternative-alternatif instrumen investasi yang bisa dijadikan pilihan investor dalam berinvestasi.

  Salah satu bentuk investasi yang banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak yang memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang kontrak itu untuk membeli (opsi beli) atau menjual (opsi jual) suatu saham dengan harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Opsi pertama kali dikembangkan di Chicago, USA, pada tahun 1973 kemudian menyebar ke Eropa dan sekarang ini telah menyebar keseluruh dunia. Pada waktu itu, opsi yang diperdagangkan adalah opsi beli untuk saham. Dan sejak itu, pasar opsi terus mengalami pertumbuhan dan perkembangan yang pesat. Saat ini, opsi yang diperdagangkan tidak terbatas hanya pada opsi saham, tetapi juga opsi indeks saham, opsi kurs valas, opsi komoditas, dan lain-lain.

  Opsi yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah opsi untuk saham. Oleh karena seiring berjalannya waktu, perjalanan saham cenderung tidak menentu, yakni pergerakan saham yang cenderung liar keatas dan liar kebawah, maka perlu adanya suatu solusi, yaitu dengan memberikan batasan harga tertentu yang nantinya diharapkan dapat meminimalisasi liarnya pergerakan harga saham. Adapun jenis opsi yang dapat memberikan batasan harga tersebut adalah opsi barrier yang berarti opsi penghalang. Opsi barrier merupakan salah satu jenis opsi yang dapat diaktifkan atau dinonaktifkan jika harga pasar saham mencapai suatu level harga tertentu (barrier).

  Salah satu kelebihan opsi barrier adalah premi opsi barrier lebih murah dibandingkan dengan opsi Eropa.

  Solusi analitis untuk menghitung estimasi harga opsi barrier dapat dicari dengan formula Black Scholes untuk opsi barrier. Tetapi untuk menurunkan formula tersebut tidak mudah. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengaproksimasi solusi analitis tersebut adalah metode simulasi Monte Carlo.

  Prinsip dari metode ini adalah penggunaan bilangan random berdistribusi normal (0,1) dan hukum bilangan besar (the law of large number).

  B. Perumusan Masalah

  Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dirumuskan sebagai berikut:

  1. Apa yang dimaksud dengan opsi barrier?

  2. Apa yang dimaksud dengan metode Monte Carlo standar, anthitetic variate dan control variate?

  3. Bagaimana cara mencari estimasi harga opsi barrier menggunakan metode Monte Carlo Standar, anthitetic variate dan control variate ?

  4. Metode mana yang hasilnya paling mendekati estimasi harga opsi barrier analitik?

  C. Pembatasan Masalah

  Penulisan ini dibatasi oleh beberapa hal yaitu: a. Skripsi ini tidak membahas solusi analitis penentuan harga opsi barrier.

  b. Deret Taylor – Maclaurin pada pembuktian teorema limit pusat tidak dibahas secara mendalam.

  c. Formula Black Scholes untuk opsi Eropa dan opsi barrier tidak dibahas secara mendalam.

  d. Teorema 4.3.1 tentang solusi analitis harga opsi barrier diskrit tidak dibuktikan.

  e. Fungsi zeta rieman pada Teorema 4.3.1 tidak dibahas.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan ini adalah menentukan harga opsi barrier dengan metode Monte Carlo standar, Monte Carlo anthitetic variate, dan Monte Carlo control variate. Kemudian menentukan metode mana yang lebih baik diantara ketiga metode tersebut untuk menentukan estimasi harga opsi barrier.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami metode Monte Carlo standar, Monte Carlo anthitetic variate dan

  control variate serta penggunaannya dalam pentuan harga opsi barrier.

  F. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan dalam penyususunan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam karya ilmiah ini tidak disajikan hal baru dalam matematika.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,

  pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II: LANDASAN TEORI Dalam bab II akan dibahas tentang variabel random, fungsi

  probabilitas, nilai harapan, variansi dan kovariansi, fungsi pembangkit momen, distribusi seragam, fungsi gamma, distribusi normal, fungsi variabel random, distribusi lognormal, teorema limit pusat, hukum bilangan besar, metode momen, dan nilai waktu uang.

  BAB III: METODE MONTE CARLO, MODEL HARGA SAHAM DAN OPSI Dalam bab III akan dibahas tentang simulasi, metode Monte Carlo, reduksi variansi pada metode Monte Carlo, model harga

  saham, estimasi volatilitas pergerakan harga saham, estimasi volatilitas pergerakan harga saham, opsi, serta opsi tipe Eropa.

  BAB IV: PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER Dalam bab IV akan dibahas opsi barrier dan akan diberikan

  contoh penentuan harga opsi barrier menggunakan ketiga metode Monte Carlo.

  BAB V: PENUTUP Dalam bab V akan diberikan tentang kesimpulan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random dan Fungsi Probabilitas Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel

  random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk nilai- nilai numeris daripada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang lain.

  Definisi 2. 1.1:

  Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S , yang memetakan setiap elemen e ∈ S kebilangan real.

  Notasi :

  X ( e ) = , x e ∈ S x ∈ R