Model matematis dan simulasi pergerakan harga saham - USD Repository

  

MODEL MATEMATIS DAN SIMULASI

PERGERAKAN HARGA SAHAM

SKRIPSI

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika

  

Disusun Oleh :

RIDWAN RAHADIYANTO

NIM : 033114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

  

MATHEMATICAL MODEL AND SIMULATION

OF ASSET PRICE MOVEMENT

THESIS

  Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

  

by :

Ridwan Rahadiyanto

Student Number : 033114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

  

DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

  LAMPIRAN Data Harga Saham Harga saham IBM harian : Tanggal Harga

28-Sep-01 86.01 30-Jul-01 99.13 4-Jun-01 106.42 6-Apr-01 91.62 9-Feb-01 104.76

  

27-Sep-01 84.39 27-Jul-01 98.05 1-Jun-01 105.72 5-Apr-01 91.86 8-Feb-01 106.72

26-Sep-01 85.61 26-Jul-01 99.27 31-May-01 104.7 4-Apr-01 86.05 7-Feb-01 109.35

25-Sep-01 88.57 25-Jul-01 98.23 30-May-01 105.49 3-Apr-01 84.55 6-Feb-01 106.69

24-Sep-01 88.89 24-Jul-01 97.87 29-May-01 107.95 2-Apr-01 88.54 5-Feb-01 104.84

21-Sep-01 84.86 23-Jul-01 99.13 25-May-01 110.32 30-Mar-01 89.96 2-Feb-01 103.02

20-Sep-01 87.58 20-Jul-01 98.99 24-May-01 112 29-Mar-01 88.89 1-Feb-01 106.55

19-Sep-01 90.02 19-Jul-01 97.39 23-May-01 109.94 28-Mar-01 88.31 31-Jan-01 104.64

18-Sep-01 90.4 18-Jul-01

  97.66 22-May-01 110.51 27-Mar-01 93.07 30-Jan-01 108.95

17-Sep-01 87.53 17-Jul-01 101.64 21-May-01 111.48 26-Mar-01 89.23 29-Jan-01 107.42

10-Sep-01 90.46 16-Jul-01 100.97 18-May-01 109.98 23-Mar-01 87.46 26-Jan-01 106.69

7-Sep-01 90.57 13-Jul-01 101.64 17-May-01 107.76 22-Mar-01 83.34 25-Jan-01 103.47

  6-Sep-01 91.9 12-Jul-01 100.44 16-May-01 108.44 21-Mar-01 83.32 24-Jan-01 103.18 5-Sep-01 94.1 11-Jul-01 97.25 15-May-01 106.36 20-Mar-01 82.59 23-Jan-01 101.89

4-Sep-01 95.17 10-Jul-01 95.48 14-May-01 105.41 19-Mar-01 86.61 22-Jan-01 101.43

  

31-Aug-01 93.72 9-Jul-01 98.07 11-May-01 104.71 16-Mar-01 84.27 19-Jan-01 103.94

30-Aug-01 94.11 6-Jul-01 99.73 10-May-01 107.88 15-Mar-01 89.38 18-Jan-01 101.19

29-Aug-01 97.64 5-Jul-01 104.98 9-May-01 109.55 14-Mar-01 88.82 17-Jan-01 90.34

28-Aug-01 98.41 3-Jul-01 105.8 8-May-01 110.22 13-Mar-01 92.03 16-Jan-01 86.65

27-Aug-01 100.2 2-Jul-01 107.09 7-May-01 108.41 12-Mar-01 89.32 12-Jan-01 87.64

24-Aug-01 100.33 29-Jun-01 106.29 4-May-01 108.37 9-Mar-01 92.87 11-Jan-01 87.53

23-Aug-01 96.58 28-Jun-01 107.79 3-May-01 106.35 8-Mar-01 99.59 10-Jan-01

  87.3

22-Aug-01 97.48 27-Jun-01 106.31 2-May-01 107.94 7-Mar-01 100.6 9-Jan-01 86.48

21-Aug-01 95.54 26-Jun-01 105.86 1-May-01 110.85 6-Mar-01 99.15 8-Jan-01 87.41

20-Aug-01 97.62 25-Jun-01 105.49 30-Apr-01 107.7 5-Mar-01 98.13 5-Jan-01 87.82

17-Aug-01 98.07 22-Jun-01 105.7 27-Apr-01 108.69 2-Mar-01 95.69 4-Jan-01 87.07

16-Aug-01 99.16 21-Jun-01 105.45 26-Apr-01 106.39 1-Mar-01 99.19 3-Jan-01

  88.4

15-Aug-01 98.47 20-Jun-01 105.91 25-Apr-01 107.42 28-Feb-01 93.44 2-Jan-01 79.24

14-Aug-01 99.58 19-Jun-01 107.54 24-Apr-01 105.38 27-Feb-01 95.96 13-Aug-01 99.27 18-Jun-01 107.01 23-Apr-01 104.76 26-Feb-01 98.49 10-Aug-01 98.41 15-Jun-01 106.38 20-Apr-01 107.41 23-Feb-01 97.28 9-Aug-01 97.6 14-Jun-01 108.4 19-Apr-01 107.07 22-Feb-01 101.86

  8-Aug-01 97.7 13-Jun-01 109.14 18-Apr-01 99.61 21-Feb-01 100.56 7-Aug-01 99.5 12-Jun-01 109.8 17-Apr-01 93.25 20-Feb-01 104.29 6-Aug-01 99.74 11-Jun-01 109.9 16-Apr-01 90.49 16-Feb-01 107.56 3-Aug-01 101.31 8-Jun-01 108.72 12-Apr-01 89.98 15-Feb-01 109.23 2-Aug-01 101.89 7-Jun-01 109.8 11-Apr-01 91.13 14-Feb-01 107.66 1-Aug-01 100.26 6-Jun-01 110.04 10-Apr-01 92.65 13-Feb-01 106.4

31-Jul-01 98.53 5-Jun-01 109.54 9-Apr-01 89.79 12-Feb-01 107.47

  hidup adalah awal hidup adalah sebuah kertas yang kosong hidup adalah sebuah nafas hidup adalah pembelajaran hidup adalah perjuangan hidup adalah perbuatan hidup adalah sebuah perjalanan hidup adalah pilihan-pilihan hidup adalah tanggungjawab hidup adalah penantian hidup adalah menyayangi hidup adalah memahami hidup adalah mencintai hidup adalah memberi hidup adalah menikmati hidup adalah akhir melalui hidup kita belajar banyak hal dan satu hal yang pasti

  

“ susahku saiki durung cukup kanggo

mbayar senengku mbesuk, gusti ra bakalan

menehi cobaan sing ora iso dihadapi

hambane ”

  dipemberhentian perjalananku ini kupersembahkan kerja kerasku selama ini untuk ,

  allah bapa, jesus kristus dan bunda maria

  penuntun jalanku , alasan hidupku

  

bapak, ibu n ade’

almamaterku

  

ABSTRAK

  Pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, tetapi pergerakan tersebut dapat diperkirakan. Untuk memperkirakan pergerakan harga saham, maka akan dibuat suatu model matematika yang memanfaatkan pembangkitan bilangan random sebagai sampel data harga sahamnya. Melalui model matematika tersebut dapat diperoleh suatu simulasi pergerakan harga saham.

  Suatu data harga saham yang akan diprediksi pergerakannya harus diuji terlebih dahulu normalitas returnnya. Hal ini dikarenakan model matematika dan simulasi pergerakan harga saham tersebut akan berlaku untuk data harga saham yang mempunyai return yang berdistribusi normal. Dengan menggunakan rata- rata dan simpangan baku data harga saham yang sesungguhnya dan komputasi asset path, maka akan didapatkan suatu perkiraan pergerakan harga saham.

  

ABSTRACT

  It is basically impossible to define the movement of asset price, but it is possible to make some predictions. A mathematical model is designed in order to estimate the movement of asset price. This model uses random numbers as the sample of the asset price and can be used as a simulation model of the movement of asset price.

  The distribution of the estimated asset price return should be tested whether it is normally distributed or not. The reason is, the fact that the mathematical model and asset price simulation will only be work for asset price that the return has normally distributed. The estimation of asset price movement can be estimate by counting the mean and standard deviation of the real asset price and the computation of asset path.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus di Surga, karena berkat dan cinta yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang selalu sabar dan memberi semangat kepada penulis selama kuliah dan penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu dan memberi saran.

  4. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku penguji yang telah banyak memberikan masukan kepada penulis.

  5. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  6. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

  7. Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  8. Kedua orang tua dan ade’ku yang selalu memberikan dukungan untuk hidupku.

  9. Dek ayoe yang telah menemani saat-saat akhir penulisan, Gimbo yang telah memberikan pelajaran hidup yang sangat berharga.

  10. Teman-teman seangkatan 2003 : Eko, Koko, Wedus, Valent, Merry, Itha, Mekar, Septi, Anin, Dewi, Sumi, Cicil yang selalu semangat dalam

  11. Bani, Aan, Taim, Galih, Markus, Tato, Ijub, yang memberikan banyak masukan dan dorongan.

  12. Kakak-kakak dan Adek-adek angkatan dari 2000 sampai 2008, terima kasih atas keceriaan selama kuliah bareng.

  13. Anak-anak kos Pake : Kelik, Asok, Sandex, Mas Jo, Usup, Ijuk, Uduk, Otonx, Mas Wawan yang telah banyak memberikan banyak bantuan selama pengerjaan skripsi ini.

  14. Komunitas Kodox Ijo : Didied, Gon-gon, Don Pelikpo, Topan, Tpe, Baiban, yang telah memberikan banyak masukan mengenai pengerjaan skripsi.

  15. Personil kos Rafli : Moestapa, Tora, mehonx, Fajar, Briti, dan Kang Moejhi yang selalu memberikan semangat dan juga Anggey n Ana atas nasehat-nasehatnya.

  16. Angota-anggota ITI : Gondrong , RT, Betut, Sumin, Gawer, Leo, Ooz, Jaja, dogox, Lili, lia dan anggota-anggota yang lainnya yang telah memberikan banyak pengetahuan tentang sintak-sintak program dan software.

  17. Anak-anak KKN : Soesoeh, Poli, Desi, Evi, Lusi, Lian, Helen, Reni makasih untuk kekompakan dan semangatnya.

  18. Gank Psycho : Cazanopa, Kotong, Tombir, Antoks, Yanu, Sobir, KampretZ, Gondel, Arex, Gendut (Teman kita yang telah berpulang, moga-moga diterima disisinya), Thika, Imel, Linda, Ling-ling, Utut, terima kasih atas persabatannya.

  Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi penulis.

  Yogyakarta, Februari 2009 Penulis

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL………………………………………………………….. i HALAMAN JUDUL (INGGRIS)…………………………………………….. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………………..... ii HALAMAN PENGESAHAN………………………...………………………. iii HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………...………………… iv HALAMAN PERSEMBAHAN……………………………………………..... v ABSTRAK…………………………………………………………….............. vi ABSTRACT…………………………………………………………………… vii KATA PENGANTAR………………………………………………………… viii DAFTAR ISI………………………………………………………………….. xi DAFTAR TABEL……………………………………………………………. xiv DAFTAR GAMBAR…………………………………………………………. xv

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang…………………………………………………… 1 B. Perumusan Masalah……………………………………………… 4 C. Pembatasan Masalah………………………………………........... 4 D. Tujuan Penulisan…………………………………………............. 4 E. Metode Penulisan…………………………………………............ 5

  G. Sistematika Penulisan……………………………………............. 5

  BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random ……………………………………………….... 7 B. Fungsi Probabilitas

  1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret………………………. 10

  2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu……………………… 10

  3. Fungsi Densitas…………………………………………….. 10

  C. Nilai Harapan dan Variansi……………………………………… 11

  D. Distribusi Normal………………………………………………… 14

  E. Fungsi Variabel Random………………………………………… 22

  F. Distribusi Lognormal…………………………………………….. 27

  G. Teorema Limit Pusat…………………………………………….. 31

  H. Interval Kepercayaan …………………………………………… 32

  I. Simulasi Komputer………………………………………………. 38 J. Penduga Densitas Kernel………………………………………… 44 K. Kuantil-Kuantil Plot……………………………………………… 47 L. Teorema Limit Pusat Dalam Simulasi Komputer……………….. 54

  BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA SAHAM A. Pergerakan Harga Saham………………………………………… 59 B. Model Matematis Harga Saham

  1. Model Saham Diskret……………………………………… 68

  2. Model Harga Saham Kontinu……………………………… 69

  4. Interval Konvidensi Harga Saham………………………… 83

  C. Komputasi Asset Path

  1. Pola Pergerakan Harga Saham dengan Skala Waktu yang Berbeda……………………….. 95

  2. Jumlah Kuadrat Return……………………………………. 100

  BAB IV APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA Analisa harga saham Indonesia……………………………………… 108 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ………………………………………………………118 B. Saran………………………………………………………………118 DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………….119 LAMPIRAN………………………………………………………………120

  

DAFTAR TABEL

Tabel 2.2.1 …………………..……………………………............................ 9Tabel 2.3.1 ………………….…………………………………….................. 12Tabel 2.9.1 ………………….……………………………………………….. 41Tabel 2.9.2 …………………………………………………………………... 43Tabel 3.1.1 …………………………………………………………………... 65Tabel 3.1.2 ……………………………………………………………………66

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.12.1 …………………………………………………………….. 56Gambar 3.1.7 …………………………………………………………….. 68Gambar 3.1.6 …………………………………………………………….. 67Gambar 3.1.5 …………………………………………………………….. 64Gambar 3.1.4 …………………………………………………………….. 64Gambar 3.1.3 …………………………………………………………….. 63Gambar 3.1.2 …………………………………………………………….. 61Gambar 3.1.1 …………………………………………………………….. 60Gambar 2.12.2 …………………………………………………………….. 57Gambar 2.11.3 …………………………………………………………….. 54Gambar 2.4.1 ……………………………………………………………... 16Gambar 2.11.2 …………………………………………………………….. 52Gambar 2.11.1 …………………………………………………………….. 51Gambar 2.10.4 …………………………………………………………….. 47Gambar 2.10.3 …………………………………………………………….. 46Gambar 2.10.2 …………………………………………………………….. 45Gambar 2.10.1 …………….………………………………………………. 45Gambar 2.7.2 …………………………………………………………….. 37Gambar 2.7.1 …………………………………………………………….. 34Gambar 3.2.1 …………………………………………………………….. 82Gambar 3.3.1 …………………………………………………………….. 88Gambar 3.3.12 ……………………………………………………………. 106Gambar 4.6 ……………………………………………………………. 112Gambar 4.5 ……………………………………………………………. 110Gambar 4.4 ……………………………………………………………. 110Gambar 4.3 ……………………………………………………………. 109Gambar 4.2 ……………………………………………………………. 109Gambar 4.1 ……………………………………………………………. 108Gambar 3.3.14 ……………………………………………………………. 107Gambar 3.3.13 ……………………………………………………………. 106Gambar 3.3.11 ……………………………………………………………. 105Gambar 3.3.2 …………………………………………………………….. 89Gambar 3.3.10 ……………………………………………………………. 105

  96 Gambar 3.3.9 ……………………………………………………………. 101

  94 Gambar 3.3.8 …………………………………………………………….

  94 Gambar 3.3.7 …………………………………………………………….

Gambar 3.3.5.2 …………………………………………………………….. 93 Gambar 3.3.6 …………………………………………………………….Gambar 3.3.5.1 …………………………………………………………...... 92Gambar 3.3.4 …………………………………………………………….. 92Gambar 3.3.3 …………………………………………………………….. 90Gambar 4.7 ……………………………………………………………. 113Gambar 4.9 ……………………………………………………………. 114Gambar 4.10 ……………………………………………………………. 114Gambar 4.11 ……………………………………………………………. 114Gambar 4.12 ……………………………………………………………. 116Gambar 4.13 ……………………………………………………………. 116

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kadang dijumpai pemberitaan tentang saham, pergerakan harga saham, investasi dalam bentuk saham, dan jual beli saham. Tetapi belum tentu setiap orang tahu tentang definisi dan seluk beluk pergerakan

  harga saham. Definisi saham itu sendiri adalah suatu obyek finansial yang nilainya diketahui pada saat ini, tetapi dapat berubah pada masa yang akan datang.

  Harga saham pada dasarnya digunakan sebagai ukuran kepercayaan seorang investor. Hal ini akan dipengaruhi faktor-faktor yang ada seperti berita yang sedang berkembang, keadaan geografis, desas-desus, spekulasi dan lain sebagainya. Pergerakan harga saham yang sedang berkembang menggambarkan semua informasi untuk diketahui investor dan semua perubahan pada harga akan memberikan informasi baru (hipotesis efisiensi pasar). Menurut hipotesis efisiensi pasar, jika ingin memprediksi harga saham untuk masa yang akan datang maka harus diketahui secara lengkap tentang sejarah dari data harga saham sebelumnya dan faktor-faktor lain seperti keadaan perusahaan, keadaan geografis, spekulasi dan lain sebagainya. Tetapi pada pembahasan kali ini hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham sebelumnya untuk memprediksi pergerakan harga saham. Karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka akan dibuat model matematika tentang pergerakan harga saham tersebut. Definisi dari model matematika itu sendiri adalah representasi simbolik yang melibatkan formulasi matematika.

  Jika diberikan harga saham S pada saat t = 0, tujuannya adalah untuk membuat model matematika yang mendeskripsikan harga saham S(t) pada waktu t (0

  ≤ t ≤ T). Seperti yang telah disebutkan diatas, karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka S(t) merupakan sebuah variabel random untuk setiap t. Meskipun harga saham biasanya dibulatkan menjadi satu atau dua tempat desimal, diasumsikan bahwa harga saham memiliki nilai

  ≥ 0. Model harga saham ada dua macam model yaitu model saham diskret dan model saham kontinu.

  Pada perubahan yang tidak dapat diprediksi secara pasti akan ditambahkan sebuah kenaikan fluktuasi random pada persamaan. Supaya tepat dimisalkan t =

  i i

  δ adalah interval waktu kecil, sehingga harga saham dapat ditentukan δt, dimana t pada titik-titik diskret { t }. _i

  Model waktu diskretnya adalah,

  S (t ) = S(t ) + µ ) + S (t ) , dimana

i +1 i δtS(t i σ t δ Y i i

• µ adalah parameter konstan (biasanya µ > 0, sehingga µ )

  δtS(t i menggambarkan sebuah pergerakan naik pada harga saham).

• random, dan disebut volatilitas.

  σ ≥ 0 adalah parameter konstan yang menentukan kekuatan fluktuasi

• Y ,Y ,Y ,…adalah bilangan random yang berdistribusi identik dan

  1

  2 Untuk mendapatkan sebuah model perubahan relatif dalam interval waktu δt, dimisalkan

  δt → 0 dengan tujuan untuk mendapatkan sebuah model yang valid untuk t yang kontinu dalam interval 0 ≤ t ≤ T . Pergerakan harga saham yang diberikan pada bursa-bursa saham pada dasarnya pergerakan secara diskret tetapi semakin kecil interval perubahan waktunya, harga saham tidak lagi bersifat diskret. Oleh karena itu pergerakan harga saham akan didekatkan pada model saham kontinu.

  Misalkan interval waktu [0, t] dengan t = L dan dari

  0,

  δt. Diketahui S(0) = S model diskret diperoleh S( δt), S(2δt), .., S(Lδt=t).

  Maka model waktu kontinunya pada saat t adalah _{( µ − σ + ) t σ t Z 2 1 2} S (t) = S e , dimana Z berdistribusi N(0,1).

  Kemudian model matematis tersebut disimulasikan. Pertama-tama akan digunakan komputer untuk membangkitkan bilangan random dan dari bilangan random ini digunakan untuk membangkitkan nilai variabel random. Kemudian akan ditunjukkan bagaimana menggunakan variabel random untuk membangkitkan model diskret dan kontinu terhadap waktu.

  B. Perumusan Masalah

  Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah : 1. Bagaimana menyusun model saham kontinu dari model saham diskret? 2. Bagaimana cara menyimulasikan model matematika dari pergerakan harga saham?

  3. Bagaimana mengaplikasikan model tersebut pada pergerakan harga saham di Indonesia?

  C. Pembatasan Masalah 1. Teorema Limit Pusat tidak dibuktikan.

  2. Model yang akan dibahas dalam skripsi ini hanya model return harga saham, model harga saham diskret dan model harga saham kontinu.

  3. Hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham untuk menganalisa pergerakan harga saham.

  4. Program yang digunakan adalah Exel, SPSS, dan Matlab.

  5. Grafik frekuensi relatif, penduga densitas kernel dan grafik kumulatif pada

  bab II dan bab III berupa histogram, tetapi karena keterbatasan Matlab maka tampak seperti grafik bar. D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan dari skripsi ini adalah untuk membuat model matematis dari pergerakan harga saham dan menyimulasikannya. Melalui simulasi tersebut pergerakan suatu saham dapat dianalisa, sehingga dapat diperoleh prediksi pergerakannya untuk waktu yang akan datang.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat dipahami hubungan model saham diskret dan model saham kontinu. Selain itu pembaca dapat juga memperoleh prediksi tentang pergerakan harga saham untuk waktu yang akan datang.

  G. Sistematika Penulisan

  BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan

  masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II: LANDASAN TEORI Dalam bab II akan dibahas tentang variabel random, fungsi

  probabilitas, nilai harapan dan variansi, distribusi normal, fungsi variabel random, distribusi lognormal, teorema limit pusat, interval konvidensi, simulasi komputer, penduga densitas kernel, kuantil-Kuantil plot, dan teorema limit pusat dalam simulasi komputer.

  BAB

III: MODEL MATEMATIKA DAN SIMULASI PERGERAKAN HARGA SAHAM

  Dalam bab III ini akan dibahas tentang pergerakan harga saham, model matematika harga saham dan juga komputasi aset path.

  BAB IV: APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA Dalam bab IV ini akan diberikan contoh analisa data harga

  saham yang ada di Indonesia dengan menggunakan model harga saham dan komputasi asset path.

  BAB V: PENUTUP Dalam bab V ini akan diberikan tentang kesimpulan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan

  variabel random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris daripada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang lain.

  Definisi 2. 1.1:

  Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen e ∈S kebilangan real.

  Notasi :

  X ( e ) x e S

  = , ∈ x R ∈

  Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z, sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan huruf-huruf kecil yang bersesuaian seperti x, y, z.

  Contoh 2. 1.1:

  Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka, ruang sampel S = {(i,j)}| i,j ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

  Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah dadu maka X(i,j) = i + j, sehingga X(1,2) = 1 + 2 = 3

  Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari himpunan S kehimpunan bilangan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai untuk menghitung peluang timbulnya suatu kejadian. Dengan mengambil contoh 2.1.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah bilangan maksimal 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan sebagai Y = 2,3 atau Y { 2 , 3 } atau dapat pula dinyatakan dalam interval Y { y | y 3 } .

  ∈ = ≤

  Dengan probabilitas :

  3

  1 P ( Y ≤ 3 ) = P (( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 2 , 1 )) = = .

  36

  12 Variabel Random Diskret Dan Variabel Random Kontinu

  Definisi 2. 1.2:

  Variabel random diskret adalah variabel random yang nilainya berhingga atau takberhingga terbilang, selain ini disebut variabel random kontinu.

  Contoh 2.1.2:

  variabel random diskret : o X = Banyaknya kecelakaan mobil dalam waktu satu tahun di Yogyakarta. o S = Frekuensi denyut jantung permenit. variabel random kontinu : Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan

B. Fungsi Probabilitas Definisi 2.2.1:

  Fungsi f(x ) = P(X = x ), i = 1, 2, 3,… yang menyatakan probabilitas untuk

  i i semua kemungkinan nilai variabel random diskret X disebut fungsi probabilitas.

  Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan dalam rumus fungsi atau tabel yang memuat pasangan nilai variabel random x berikut dengan peluangnya yang disebut distribusi probabilitas.

  Contoh 2.2.1:

  Sebuah koin dilemparkan sebanyak 2 kali dan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya muka yang diperoleh. Variabel random X yang memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :

Tabel 2.2.1 Tabel distribusi probabilitas

  X 0 1 2

  1

  1

  1 P(X=x)

  4

  2

  4 Definisi 2.2.2 : Probabilitas dari a

  ≤ X ≤ b ditentukan oleh integral f(x) dengan batas bawah x = a

  dan batas atas x = b, dengan X adalah variabel random kontinu dan f adalah fungsi

  b

  P(a f ( x ) dx . (2.1)

  ≤ X ≤b) = ∫ _a

  1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Definisi 2.2.3:

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai F(x) = P(X ≤ x) untuk semua nilai real x.

  Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.

  2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu Definisi 2.2.4:

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x) didefinisikan sebagai : _x

  F(x) = f ( t ) dt (2. 2) ∫

  − ∞ Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).

  3. Fungsi Densitas

  Pada fungsi distribusi yang mengandung titik-titik terputus yang berhingga banyaknya, loncatan yang terdapat pada suatu titik terputus merupakan probabilitas timbulnya variabel random X pada titik tersebut. Kemudian dapat pula disimpulkan bahwa pada ruang sampel kontinu, peluang timbulnya variabel peluang suatu variabel random kontinu selalu dinyatakan dalam peluang bernilai dalam interval.

  Definisi 2.2.5:

  Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya bila memenuhi syarat : ( i ) f(x)

  ≥ 0 untuk semua nilai x real

  ∞

  ( ii ) f ( dx x ) =1

  ∫ − ∞

C. Nilai Harapan

  Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Yang dimaksud dengan nilai harapan dinyatakan dalam definisi berikut,

  Definisi 2.3.1: _n ⎧ _{i =} ∑ x p ( x ), jika x diskret dengan fungsi probabilit as p ( x ) _{1 i i} ⎪⎪

  E(X) =

  (2.3)

  ⎨ ∞

  ⎪ xf ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x )

  ∫ ⎪ − ∞

  ⎩

  Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X) merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur didalam domain fungsi

  Contoh 2.3.1:

  Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi probabilitas sebagai berikut :

Tabel 2.3.1 Tabel distribusi probabilitas

  Hadiah X 1 2 3 4 5 6

  P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

  E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ? Permainan disebut adil jika c = 3, 5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain.

  Nilai harapan E(X) = 3, 5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.

  Sifat-sifat Nilai Harapan Definisi 2.3.2:

  Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X maka,

  n g ( x ) p ( x ), jika _{i i} X diskret dengan fungsi probabilit as p ( x )

  ⎧∑ ⎪ _{i 1} = ∞

  ⎨

  E[g(X)] = (2.4)

  g ( x ) f ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x ) ∫

  − ∞ ⎪⎩

  Teorema 2.3.1:

  Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x) dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)] (2. 5)

  Bukti :

  Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan

  ∞

  E[ag(x)+bh(x)] = [ ag ( x ) bh ( x )] f ( x ) dx

• − ∞ ∞ ∞

  ∫

  = a g ( x ) f ( x ) dx b h ( x ) f ( x ) dx

• − ∞ − ∞

  ∫ ∫

  = aE[g(x)] + bE[h(x)] ▄

  Definisi 2.3.3:

  Variansi variabel random X adalah :

2 Var(X) = E[(x-µ) ] (2. 6)

  Sifat-sifat lain nilai harapan :

  Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku

  1. E(a) = a

3. E(X + a) = E(X) + a 4.

  E(bX + a) = b E(X) + a

  Sifat-sifat lain variansi :

  Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku 1.

  Var(X) tidak negatif 2. Var(X + a) = Var(X)

  2

  3. Var(X) Var(bX) = b

  2

  4. Var(X) Var(bX + a) = b

  Definisi 2.3.4:

  Fungsi Gamma ditulis (k ) , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai Γ

  ∞ _{k − 1 − t}

  ( k ) t e dt (2.7) Γ =

  ∫