Wangsajaya's Weblog | Semangat berbagi untuk peningkatan kompetensi para siswa, guru dan masyarakat umum. Salam sukses dan tetap semangat

2. Vektor 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, seperti panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daya, dan usaha. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, momentum, luas, impuls dan berat. Vektor adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor sangat bermanfaat untuk menjelaskan besaran fisika yang memiliki besar dan arah. Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. Kita akan mempelajari vektor menggunakan pendekatan grafis dan pendekatan analitis.

Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah, seperti Gambar 2.1. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor dan mata panah menunjukkan arah vektor. Titik A disebut titik asal vektor atau titik tangkap vektor, dan titik B disebut titik arah vektor atau ujung vektor. Ada perbedaan cara penulisan besaran skalar dan besaran vektor. Besaran vektor dituliskan dengan huruf cetak tebal (bold ) yaitu, F atau menuliskan anak panah di atas huruf, yaitu F . Nilai vektor diberikan oleh F atau | |F . Vektor Gambar 2.1 juga dapat dituliskan dalam bentuk AB.

Kalau sebuah anak panah mendekati pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda titik. Karena itu, simbol vektor mendekati pengamat atau vektor keluar bidang adalah . Kalau sebuah anak panah mejauhi pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda silang. Karena itu, simbol vektor menjauhi pengamat atau vektor masuk bidang adalah

.

2.2 Representasi analitis sebuah vektor

Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan dalam komponen-komponenya disebut representasi analitis vektor. Skalar hanya memiliki satu komponen, sedangkan vektor memiliki tiga komponen. Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu dimensi), bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi). Sebuah vektor direpresentasikan secara analitis menggunakan notasi vektor satuan.

2.2.1 Komponen-komponen sebuah vektor dalam dua dimensi

Sebuah vektor Aterletak pada bidang xy seperti pada Gambar. 2.2. Vektor A membentuk sudut θ terhadap sumbu x positif. Vektor A _{dapat diuraikan menjadi komponen} Ax pada sumbu x dan komponen Ay pada sumbu y.

Ga mbar 2.1 : Simbol sebuah vektor

A

B F

Komponen-komponen vektor Adiperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri.

cos x x cos

A

A A

A

    (2.1)

sin y y sin

A

A A

A

     (2.2)

Besar vektor diperoleh menggunakan teorema Phytagoras. 2 2

x y

A A A (2.3)

Arah vektor A terhadap sumbu x positif :

tan y

x

A A

 (2.4)

Contoh 2.1 :

Tentukan komponen vektor kecepatan

v

₁dan

v

_{2 dalam arah sumbu x dan sumbu y ! Besar kecepatan} 1

v

dan

v

₂ berturut-turut adalah 20 m/s dan 10 m/s.

Pembahasan :

Komponen vektor kecepatan

v

₁:

0 1

1,x 1 ₂

v



v

cos30

 

20

3 m s 10 3 m s



0 1

1,y 1 2

v



v

sin 30

 

20

m s 10 m s



Komponen vektor kecepatan

v

2:

0 3

2,x 2 ₅

v

 

v

sin37

  

10

m s

 

6 m s

300

1 v 2

v

370

y

x θ

y

x A

x A y

A

y

A

x A

y

A θ

x

0 4

2,y 2 ₅

v



v

cos37

 

10

m s 8m s



2.2.2 Komponen-konponen sebuah vektor dalam tiga dimensi

Sebuah vektor A _{terletak dalam ruang kartesian seperti pada Gambar 2.3. Vektor} Amembentuk sudut α terhadap sumbu x positif, sudut terhadap y positif, dan sudut terhadap sumbu z positif . Vektor A _{dapat diuraikan menjadi komponen} Ax pada sumbu x, komponen Ay pada sumbu y , dan

komponen Az pada sumbu z .

Komponen-komponen vektor A:

cos x cos

x A

A A

A

    (2.5)

cos y y cos

A

A A

A

     (2.6)

cos z cos

z A

A A

A

     (2.7)

Besar vektor A _: 2 2 2 x y z

A A  A A (2.8)

Arah vektor A terhadap sumbu x positif : 2 2

tan y z

x

A A

A



  (2.9)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif : 2 2

tan x z

y

A A

A

   (2.10)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif : z

A z

A

y

A

x

y

x A

  

Ga mbar 2.3: Ko mponen-komponen vektor A dala m t iga dimensi

2 2

tan x y

z A A A    (2.11) Sudut α, dan disebut sudut cosinus arah. Hubungan antara α, dan :

2 2 2

cos cos  cos  1 (2.12)

2.2.3 Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan. Simbol vektor satuan adalah sebuah topi (^). Vektor satuan A adalah Aˆ (dibaca A topi). Vektor satuan A _{adalah perbandingan vektor} A dengan besarnya.

A ˆ A=

A (2.13)

Vektor satuan tidak memiliki satuan. Vektor satuan Aˆ menunjukkan arah vektor A. Koordinat kartesian memiliki tiga vektor satuan i jˆ ˆ, dankˆ saling tegak lurus.

ˆ

iatau x : vektor satuan searah sumbu x ˆ ˆjatau yˆ: vektor satuan searah sumbu y ˆ

katau zˆ: vektor satuan searah sumbu z

Sebuah vektor dapat direpresentasikan menggunakan vektor-vektor satuan sistem koordinat . Vektor A dalam dua dimensi :

ˆ ˆ atau cos x_ˆ sin y_ˆ

x y

A A i A j A A



A



(2.14)

dengan besar vektor A : 2 2

x y

A A A

(2.15)

Vektor A _{dalam tiga dimensi :}

ˆ ˆ

ˆ ˆ _cos ˆ _cos ˆ _cos

x y z

A A i A jA kA i A iA k (2.16) θ y x A y A x A ˆ i ˆ_j

Ga mbar 2.4: Vektor satuan dalam koord inat kartesian

A z z A y A x y

ˆ

x A i i j k ˆ y A j

ˆ

z A k

dan besar vektor A _: 2 2 2 x y z

A A  A A

(2.17)

Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal



0,0,0



. Vektor posisi A A i xˆA jyˆA kzˆ dapat dituliskan dalam bentuk titik A



A A Ax, y, z



. Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0. Semua komponen vektor nol sama dengan nol. Jadi, panjang vektor nol sama dengan nol.

Contoh 2.2 :

Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 600 terhadap sumbu x positif. Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan ˆ ˆj.

Pembahasan :

Komponen vektor kecepatan objek searah sumbu x dan searah sumbu y : 0

0,x 0cos 10cos60 5m s

v v  

0

0,y 0sin 10sin 60 5 3 m s

v v   

Vektor kecepatan awal objek dalam vektor satuan iˆdan ˆj: 0 0,xˆ 0,y ˆ 5ˆ 5 3ˆ m s

v v i v j  i j Contoh 2.3 :

Sebuah partikel memiliki vektor posisi r   (iˆ 2ˆj 2 ) mkˆ . Tentukanlah vektor satuan dari vektor r . Pembahasan :

Besar vektor r :

2 2 2 2 2 2

1 2 2 3m

x y z

r  r   r r   

Vektor satuan dari vektor r : 1_ˆ 2_ˆ 2_ˆ ˆ

3 3 3

r

r i j k

r

   

2.3 Penjumlahan vektor

Operasi dasar vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, kesamaan dan perkalian vektor. Kita terlebih dahulu membahas penjumlahan dua buah vektor. Operasi vektor sangat banyak digunakan dalam persamaan fisika. Kita akan menyelesaikan opersi vektor dengan cara geometri dan metode analitik (aljabar).

2.3.1 Penjumlahan vektor cara grafis

x y

v0

Penjumlahan vektor cara grafis berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor A dan B , ditunjukkan oleh Gambar 2.7.

Jumlah vektor A dan B disebut resultan vektor, simbolnya R :

R= A + B (2.18)

Jumlah besar vektor A dan B tidak sama dengan besar vektor R .

|R||A|+|B| (2.19)

Cara grafis dibagi menjadi dua aturan, yaitu metode segitiga dan aturan jajargenjang. a. Metode segitiga (metode poligon)

Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk menghitung resultan vektor A dan B , pertama hubungkan titik tangkap vektor B ke titik arah vektor A . Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan sebuah vektor menghubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B , seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.

Misalkan  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor :

2 2 0

|A+B| 2 cos (180 - )

R  A B  AB 

2 2

|A+B| 2 cos

R  A B  AB  _(2.20)

Ca ta tan :

Ga mbar 2.7 : Resultan vektor metode segitiga

180

θ

A

B

R

A

B

θ

Ga mbar 2.6 : Metode segitiga

A

B

A

B R

Ga mbar 2.5 : Ve ktor A dan B A

Jika A sejajar B (θ _{= 0), maka R = A + B}

Jika A tegak lurus B (θ = 900), maka R A2B2 Jika A berlawanan dengan B (θ = 1800), maka R A B Rentang nilai resultan vektor A dan B adalah A B   R A B

Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan dua vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor lainnya, demikian seterusnya sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau lebih vektor dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga sering disebut metode poligon. Misalkan terdapat tiga buah vektor seperti pada Gambar 2.8a, maka vektor resultannya ditunjukkan oleh Gambar 2.8b.

Penjumlahan vektor memiliki beberapa sifat penting. Sifat-sifat penjumlahan vektor : Perta ma, penjumlahan vektor memiliki sifat komutatif.

A  B B A _(2.21)

Kedua, penjumlahan vektor memiliki sifat asosiatif.



A B    



C A



B C



(2.22)

Ketiga, pengurangan vektor adalah bentuk khusus dari perjumlahan vektor.

 

-

-C A B A B (2.23)

Besar pengurangan vektor A dan B :

2 2

|A-B| A B 2ABcos



(2.24)

Contoh 2.4 :

Dua buah gaya F₁dan F2 memiliki besar berturut-turut adalah 80 N dan 60 N bekerja pada sebuah balok. Tentukan nilai resultan gaya yang dialami oleh balok jika sudut antara kedua vektor adalah θ sama dengan 00, 600 ,900 dan 1800.

Ga mbar 2.9 : Pengurangan vektor

A

B A

-B A B

θ θ

(a)

A

B C

Gbr.2.8 : (a) Vektor A, Bdan C . (b) Resultan tiga buah vektor

(b)

A

B

C R

Pembahasan :

Diketahui bahwa F1 = 80 N dan F2 = 60 N. Rumus resultan vektor :

2 2

1 2 1 2 1 2

| |= 2 cos

R

F  F F F F  F F



Jika θ = 00

, maka 1 2 1 2

|

|=

140 N

R

F

 

F F F

 

F Jika θ = 600, maka

2 2 0

1 2 1 2 1 2

| |= 2 cos 60 121,7 N

R

F  F F F F  F F  Jika θ = 900

, maka 2 2 1 2 1 2

| |= 100 N

R

F  F F F F  Jika θ = 1800, maka

1 2 1 2

|

|=

20 N

R

F

 

F F F

 

F b. Metode jajargenjang

Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk mendapatkan resultan vektor A dan B dengan metode jajargenjang, pertama hubungkan titik tangkap vektor A dan titik tangkap vektor B . Resultan vektor ditunjukkan pada Gambar 2.10.

Misalkan



adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor :

2 2 0

|A+B| 2 cos(180 -θ)

R  A B  AB

2 2

2

cos

R



A

 

B AB



_(2.25)



Ga mbar 2.11: Resultan vektor metode ja jargenjang

A

B

θ

O

B

R

θ _

A

Q

P

180

Ga mba r 2.10: Metode ja jargenjang

A

B

A

B R 1 F

2 F θ

Sudut  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor R . Sudut



adalah sudut yang dibentuk oleh vektor B dan vektor R . Nilai sudut  dan



ditemukan menggunakan hukum sinus.





sin 180 sin sin

R A B

    

 (2.26)

Contoh 2.5 :

Sebuah beban beratnya w = 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar. Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T1 dan T2 menggunakan aturan sinus.

Pembahasan :

Kita dapat menggambarkan hubungan vektor T ,₁ T dan ₂ w memenuhi hubungan

Besar tegangan tali T1 dan T2 diperoleh dengan menggunakan hukum sinus. 0

1

1

0 0 0

sin 60

200 3

sin 30 sin 60 sin 30

w T

T w N

   

0 2

1

0 0 0

sin 90

400

sin 30 sin 90 sin 30

w T

T w N

   

2.3.2 Penjumlahan vektor cara analitis

Penjumlahan dua vektor cara analitis adalah penjumlahan komponen-komponen kedua vektor pada sumbu yang sama. Penjumlahan dua vektor diberikan oleh



_{x x}

 

ˆ _{x x}

 

ˆ _{x x}



ˆ A B  A B i A B j A B k

(2.27)

Pengurangan vektor A dan B diartikan sebagai penjumlahan vektor A dan -B .



 

ˆ

 

ˆ



ˆ

( ) x x x x x x

A B    A B A B i A B j A B k

(2.28)

Dua buah vektor F dan 1 F diberikan dalam grafis. Cara menjumlahkan vektor dengan metode 2 analitis, yaitu :

 Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarnya.  Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama.

1 2

x x x x

R



F



F

 

F

(2.29)

1 2

y y y y

R

 

F

F

 

F

(2.30)

w

1 T

2

T

300 600

900

2 T 1

T

300

 Besar vektor resultan R _: 2 2

x y

R



R



R (2.31)

Sudut yang dibentuk oleh resultan vektor R terhadap sumbu x positif :

tan

y x R R





(2.32) Cara analitis lebih mudah menyelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk kasus lebih dari dua vektor

Contoh 2.6 :

Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaya pada gambar di bawah ini!

Pembahasan :

Misalkan F1 = 10 N, F2 = 10 3 N, dan F3 = 10 N. Uraikan masing-masing vektor gaya pada sumbu x dan sumbu y, kita peroleh

0 0

1 2 3 1cos30 2cos60 5 3 5 3 0

x x x x

F F F F F F   



0 0

1 2 3 1sin 30 2sin 60 5 5 15 5 15

y y y y

F F F F F F     



Besar resultan vektor gaya :

   

2 2 _{2 2} 15 0 15

x y

R



F 



F    N

Contoh 2.7 :

Diketahui dua buah vektor 1 3ˆ ˆ 2 mˆ

r   i j k 2 3ˆ 4ˆ m r  i k Tentukan :

a. besar vektor r₁ dan r₂ b. r₁r₂

c. r₁r₂ d. 2r₁3r₂ Pembahasan :

a. Besar vektor r₁ adalah 2 2 2

1 3 1 2 14 m

r    

x y

300 600

5 N

10 N 10 3 N

Besar vektor r adalah ₂ 2 2

1 3 4 5 m

r   

b. r₁ r₂



3iˆ ˆ j 2kˆ

  

 3iˆ 4kˆ  

 

3 3 iˆ ˆ  j

 

2 4 kˆ  6iˆ ˆj 6kˆ c. r₁ r₂



3iˆ ˆ j 2kˆ

 

 3iˆ 4kˆ



 

 

3 3 iˆ ˆ  j

 

2 4 kˆ ˆj 2kˆ

d. 2r₁3r₂2 3



iˆ ˆ j 2kˆ

   

3 3iˆ4kˆ  6iˆ 2ˆj 4kˆ

 

 9iˆ12kˆ



15iˆ 2jˆ 16kˆ 2.4 Kesamaan vektor

Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangnya sama, tetapi tidak membutuhkan posisi yang sama, lihat Gambar 2.12a. Secara analitis , dua vektor sama ketika nilai komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan vektor A dan B dituliskan dalam bentuk

A B

(2.33)

atau

ˆ

ˆ ˆ x_ˆ y_ˆ z_ˆ

x y z x y z

A iA jA k B B B (2.34)

atau

x x y y z z

A B A B A B (2.35)

Satuan vektor A dan B juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi yang lain asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor tersebut. Vektor A dikatakan berlawanan dengan vektor A , seperti pada Gambar 2.12b. Dua vektor dikatakan berlawanan jika kedua vektor memiliki nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan .

2.5 Perkalian vektor

2.5.1 Perkalian vektor dengan skalar

Jika k adalah skalar (konstanta) dan Aadalah sebuah vektor, maka



ˆ ˆ ˆ

 

ˆ ˆ ˆ



x y z x y z

k A k A i A jA k  kA ikA jkA k

(2.36)

Ga mbar 2.12 : (a) Kesa maan vektor A dan B (b) Ve ktorAberla wanan dengan A A

A= 5cm

B B= 5cm

(a)

A A

 (b)

Perkalian vektor A dan skalar k akan menghasilkan vektor yang baru, yaitu k . Konstanta k akan A mempengaruhi besar dan arah vektor A . Jika k konstanta positif, maka vektor yang baru searah dengan vektor A . Jika k konstanta negatif, maka arah vektor yang baru berlawanan dengan arah vektor A . Misalkan kita ambil nilai konstanta k = -1, 2, 1/2, -2, dan -1/2, hasil perkalian ditunjukkan oleh Gambar 2.6. Jika k = -1, maka arah vektor A berlawanan dengan vektor A . Contoh perkalian vektor dan skalar adalah bentuk hukum kedua Newton, F ma.

2.5.2 Perkalian vektor dengan vektor

Perkalian vektor dengan vektor merupakan operasi vektor yang sangat banyak digunakan dalam mekanika. Ada dua macam perkalian dua vektor, yaitu perkalian titik (perkalian skalar atau dot product) dan perkalian vektor (perkalian silang atau cross product).

a. Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dikalikan dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor.

cos

A B

 

AB



(2.37)

dimana  sudut yang dibentuk oleh vektor A danB. Cara membaca A B adalah Adot B. Hasil perkalian titik adalah skalar, yang dapat bernilai positif



0  900



atau negatif



900   1800



. Jika θ = 0 (vektor A _{searah dengan vektor} B), maka A B AB.

Jika θ = 90 (vektor A _{tegak lurus dengan vektor} B), maka A B 0.

Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B),, maka A B  AB.

Secara grafis, perkalian titik adalah proyeksi vektor A _{ke vektor} B _{atau proyeksi vektor} B ke vektor A.



cos

 

cos



cos

A B A B   A  BAB  (2.38)

A _-A

2A _-2A

1

2A 1₂A

Hasil perkalian titik dua vektor yang saling tegak lurus sama dengan nol. Jika vektor A tegak lurus B , maka vektor A dikatakan ortogonal terhadap vektor B. Vektor satuan i jˆ ˆ, dankˆ saling ortogonal. Perkalian dot antara vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan :

  

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

₌

_{1 1 cos0 1}

i i

  

j j k k



=



(2.39)

  

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 cos90 0

i j  j k=i k =  (2.40)

Jika vektor Adan B _{diberikan oleh,}

ˆ

ˆ ˆ

x y z

A A i A jA k

ˆ

ˆ ˆ

x y z

B B i B jB k

maka perkalian titik vektor Adan B _adalah



ˆ ˆ ˆ

 

ˆ ˆ ˆ



ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k A B k i A B k j A B k k

      

           

     

Jadi,

x x y y z z

A B A B A B A B (2.41)

Kita juga dapat menuliskan bahwa 2 2 2 2

x y z

A A A

    

A A A (2.42)

atau A A A

(2.43)

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor :



 

1



1

2 2

2 2 2 2 2 2

cos x x y y z z

x y z x y z

A B A B A B

A B

AB _{A A A B B B}

    

    (2.44)

Ca ta tan :

1. A B  B A Hukum komutatif

2. A B 

 

C    A B A C Hukum distributif 3. k A B

   

  kA B  A kB

 

 

 

A B k dimana k adalah skalar 4. i i

ˆ ˆ ˆ ˆ

  

j j k k

=

ˆ ˆ



=

1,

i j

ˆ ˆ ˆ

  

j k

ˆ

=

i k

ˆ

 

ˆ

0

5. A B A Bx xA By yA Bz z θ

A B

(a)

A B cosθ B

θ θ

A B

A cosθ

(b)

Ga mbar 2.14 : (a ) Dua vektor A dan B membentuk sudut θ (b ) Proyeksi vektor A dan B

6. A B

 

0

dimana A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus 7. A A A2

Aplikasi perkalian skalar dalam fisika : 1. Usaha

Aplikasi perkalian dot adalah konsep usaha. Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan F _bekerja pada benda yang mengalami perpindahan d diberikan oleh

cos

W

  

F d Fd



(2.45)

dimana θ adalah sudut yang dibentuk vektor gaya dan perpindahan benda. Usaha adalah perkalian besar gaya dan perpindahan dikali kosinus sudut yang dibentuk oleh gaya dan perpindahan.

2. Energi kinetik

Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kelajuan benda. 2

1 1

2 2

k

E  mv v  mv (2.46)

Contoh 2.8 :

Jika A  2iˆ 2ˆj kˆ dan B  6iˆ 3ˆj 2kˆ , hitunglah A B dan sudut antara vektor A dan B. Pembahasan :

Menghitung nilai A B :



2ˆ 2ˆ ˆ

 

6ˆ 3ˆ 2ˆ



(2)(6) (2)( 3) ( 1)(2) 12 6 2 4

A B  i   j k i  j k         

2 2 2

2 1 2 3

A   

2 2 2

6 3 2 7

B   

Menghitung sudut antara vektor A dan B: cos

A B AB 

4 4

cos

(3)(7) 21 A B

AB

   

1 4 0

cos 79

21 _   _{ }

  Contoh 2.9 :

Gb r. 2.15 : Kerja adalah perka lian t itik antara gaya dan perpindahan

θ

Tentukanlah nilai a agar vektor A  a i j k tegak lurus dengan vektor B  i 2j 3k. Pembahasan :

A dan B tegak lurus hanya jika A B 0. Jadi, ( )(1) (1)(2) ( 1)( 3) 2 3 0 A B  a        a a = - 5

Contoh 2.10 :

Hitunglah usaha yang dilakukan gaya F 



2i j 2k



N pada benda yang memiliki vektor perpindahan r



5i j 4k



m.

Pembahasan :

Usaha = F r



2i j 2k

 

  5i j 4k



   10 1 8 19 joule. b. Perkalian Silang

Besar hasil perkalian silang dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian dikalikan dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor. Perkalian silang dua vektor menghasilkan vektor.

C

 

A B dan CABsin (2.47)

dimana θ adalah sudut antara vektor A dan B. A B dibaca AcrossB. Jika θ = 0 (vektor A _{searah dengan vektor} B), maka A B 0.

Jika θ = 90 (vektor A _{tegak lurus dengan vektor} B), maka A B AB. Jika θ = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B),maka A B 0.

Jika besar sudut  yang dibentuk oleh dua vektor adalah 0 dan1800 0(dua vektor sejajar dan berlawanan arah), maka hasil perkalian vektor sama dengan nol. Nilai perkalian silang C

 

A B maksimum ketika vektor A _dan B tegak lurus.

Perkalian silang antara A dan B menghasilkan vektor

C.

_Vektor

C

tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A _dan B, artinya vektor

C

juga tegak lurus dengan vektor A _dan B. Arah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan. Keempat jari tangan kanan diputar dari vektor A _{ke vektor} B . Jempol akan menunjukkan arah vektor

C

.

Lihat Gambar 2.16, perkalian silang memiliki sifat antikomutatif.

A B   B A _(2.48)

Aturan perkalian silang dalam vektor satuan koordinat kartesian:

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

0

i i

  

j j

=

k k



=

_(2.49)

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ _, ˆ ˆ_, ˆ ˆ

i j k jk=i k i  j _(2.50)

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ, ˆ

j i  k k j=i i  k j _(2.51)

Jika ada dua buah vektor Adan B _,

ˆ

ˆ ˆ

x y z

A A i A jA k

ˆ

ˆ ˆ

x y z

B B i B jB k

maka perkalian silang Adan B _adalah



ˆ ˆ ˆ

 

ˆ ˆ ˆ



ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k A B k i A B k j A B k k

      

           

     

Kita menyederhanakan persamaan di atas menjadi :



_{y z z y}



ˆ



_{z x x z}



ˆ



_{x y y x}



ˆ

A B  A B A B i A B A B j A B A B k

(2.52)

Hasil perkalian silang juga dapat ditentukan menggunakan metode determinan. ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

y z x z x y

x y z

y z x z x y

x y z

i j k

A A A A A A

A B A A A i j k

B B B B B B

B B B

     (2.53)

Untuk menentukan sumbu x positif, sumbu y positif , dan sumbu z positif dalam koordinat kartesian digunakan aturan perkalian silang iˆ ˆ j kˆ. Vektor satuaniˆ searah sumbu x positif, vektor satuanˆjsearah sumbu y positif dan vektor satuan kˆ searah sumbu z positif.

Ca ta tan :

1. A B   B A Tidak memenuhi hukum komutatif

Ga mbar 2.16 : Aturan tangan kanan pada perkalian silang

θ

A

B

C= A B

A B

C=B A

2. A 



B C



   A B A C Hukum distributif 3. k A B

   

  kA   B A

 

kB  

 

A B k dimana k adalah skalar 4. i i

ˆ ˆ ˆ ˆ

  

j j k k

=

ˆ ˆ



=

0,

i

ˆ ˆ

 

j k j k

ˆ

,

ˆ



ˆ

=

i i k

ˆ ˆ

,

 

ˆ

ˆ

j

5. A B 



A B_{y z} A B_{z y}



iˆ



A B_{z x}A B_{x z}



ˆj



A B_{x y}A B_{y x}



kˆ 6. Nilai A B sama dengan luas jajar genjang dengan sisi A dan B 7. A B

 

0

dan A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B sejajar. 8. A A

 

0

9. A A B  





0 danB  



A B



0 Aplikasi perkalian vektor dalam fisika : 1. Luas

Besar perkalian silang A B

 

AB

sin



menunjukkan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor A dan B, lihat Gambar 2.17. Jadi, luas adalah besaran vektor.

2. Momen gaya

Perkalian komponen gaya (F) tegak lurus dengan lengan gaya dikali dengan panjang lengan gaya (r) dinamakan momen gaya. Jika gaya dan lengan gaya sejajar maka momen gaya sama dengan nol. Jika gaya dan lengan gaya tegak lurus, maka momen gaya sama dengan Fd. Jika gaya dan lengan gaya membentuk sudut θ, maka maka sama dengan

sin rF

   (2.54)

Jadi momen merupakan perkalian silang antara lengan gaya dan gaya. r F



 

(2.55)

3. Kecepatan tangensial

θ

θ

r

F



Gb r.2.18 : Ve ktor torsi, .

x

A

y

B cos

B 



Bsin

Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut  terhadap kerangka acuan titik O yang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan tangensial v benda m di titik P adalah

v  r

(2.56)

Besar kecepatan tangensial :

sin

v

  



r



r



(2.57)

4. Momentum sudut

Sebuah benda bergerak melingkar seperti pada Gambar 2.19. Momentum sudut benda m didefenisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi dan momentum linear.

 

L   r p r mv (2.58)

Contoh 2.11 :

Jika A  2iˆ 3ˆj kˆ dan B  iˆ 4ˆj 2kˆ , hitung A B dan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor A dan B.

Pembahasan : Metode 1 :



 









 



ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 3 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 4 2 3 4 2 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 8 4 3 12 6 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 8 4 3 0 6 4 0 10 3 11

A B i j k i j k

i i j k j i j k k i j k

i i i j i k j i j j j k k i k j k k

k j k i j i i j k

      

           

                 

           

Metode 2 : ˆ

ˆ ˆ

3 1_ˆ 2 1 _ˆ 2 3 _{ˆ ˆ ˆ ˆ}

2 3 1 10 3 11

4 2 1 2 1 4

1 4 2

i j k

A B       i   j  k i  j k

 



Luas yang dibentuk oleh vektor A dan B sama dengan besar vektor A B . Luas = A B  102 32 112  230 satuan

Ga mba r 2.19 : Benda m bergera k me lingkar

r

O

P v



θ

sin

Contoh 2.12 :

Sebuah gaya F 



3iˆ 2ˆj 4kˆ



N bekerja pada pada benda titik dengan vektor posisi



2ˆ ˆ 3 mˆ



r  i j k . Tentukan momen gaya yang bekerja pada benda terhadap titik asal. Pembahasan :

Momen gaya  yang bekerja pada benda : ˆ

ˆ ˆ

2 4_ˆ 3 4 _ˆ 3 2 _{ˆ ˆ ˆ ˆ}

3 2 4 2

1 3 2 3 2 1

2 1 3

i j k

r F i j k i j k

             

 



2.6 Perkalian tiga buah vektor

Perkalian tiga buah vektor dinamakan perkalian triple. Perkalian triple dibagi menjadi dua macam, yaitu perkalian triple skalar (triple sca la r product) dan perkalian triple vektor (triple vector product).

2.6.1 Perkalian triple skalar

Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi

 

A B C  (2.59)

Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah



















 



A B C

B C A C A B

x y z z y y z x x z z x y y x

A B C B C A B C B C A B C B C

       

      (2.60)

Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk





A B C

x y z x y z x y z

A A A

B B B

C C C

   (2.61)

Hasil perkalian triple skalar A B C 

 

menunjukkan volume ruang yang dibentuk oleh vektor A, Bdan C, seperti terlihat dalam Gambar 2.20.

Contoh 2.13 :

Hitung volume yang dibentuk oleh vektor r1



2iˆ3 m ,ˆj



r2   



iˆ ˆj kˆ



m, danr2 

 

3iˆkˆ ! Pembahasan :



2 3



ˆ ˆ ˆ

1 1_ˆ 1 1 _ˆ 1 1 _{ˆ ˆ ˆ ˆ}

1 1 1 1 2 3

0 1 3 1 3 0

3 0 1

i j k

r r     i   j k   i j k

 



Volume =r₁  



r₂ r₃





2iˆ3ˆj



   



1iˆ 2ˆj 3kˆ



    2 6 0 4m3 2.6.2 Perkalian triple vektor

Perkalian triple vektor memiliki bentuk

 

A B C (2.62)

Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan

     

A  B C B A C -C A B  (2.63)

Pers.(2.63), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC - CAB . Perkalian triple vektor menghasilkan vektor.

Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan yang diam O. Momentum sudut partikel m terhadap titik O , seperti ditunjukkan Gambar 2.19 :

L   r p r mvmrv (2.64)

Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut  _adalah v  r. _Jadi,





L   r p r mvmr  r (2.65)

Kita dapat membuat analogi bahwa Ar B, danCr , dengan menggunakan aturan BAC-CAB, kita peroleh



 







Lm  r r r r (2.66)

Jika kecepatan sudut



tegak lurus dengan vektor posisi r , maka  r 0. Kita peroleh,

A

x

y z

B

C

2

L



mr



(2.67)

Besar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut : 2

Lmr



mvr _(2.68)

Contoh 2.14 :

Diberikan tiga vektor A2 ,i Bˆ 3ˆj dan C ˆj kˆ, hitunglah A 

 

B C . Pembahasan :

     

ˆ

 

 

ˆ ˆ

 

ˆ

A  B C B A C - C A B  3j 2  j k 0 6 j 2.7 Turunan vektor

Sebuah partikel bergerak dari posisi awal r t

 

ke posisi akhir r t



 

t



dalam selang waktu t (lihat Gambar 2.21).

Perpindahan partikel selang waktu t :



  

r r t t r t

 

  

_(2.70)

Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t :

   

r t t r t

r

t t

  

 _{  (2.71)}

Turunan vektor r t

 

terhadap waktu:

   

0 0

lim lim

t t

r t t r t

dr r

dt   t   t

   

 

  (2.69)

Vektor r t

 

dalam koordinat kartesian diberikan oleh

   

ˆ

 

ˆ

 

ˆ

r t



x t i



y t j



z t k _(2.72)

Turunan pertama vektor r t

 

terhadap waktu :

ˆ ˆ ˆ

dr dx dy dz

i j k

dt  dt  dt dt (2.73)

Turunan kedua vektor r t

 

terhadap waktu adalah x

y z

r







r t

 

t

r



2 2 2 2 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ d r d x d y d z

i j k

dt  dt  dt  dt (2.74)

dr v

dt

 menunjukkan kecepatan partikel dan

2 2 dv d r a

dt dt

  menunjukkan percepatan partikel.

Ca ta tan :

Jika A, Bdan

C

adalah turunan vektor bergantung waktu t dan  fungsi skalar bergantung waktu t, maka

1. d

 

A+B dA dB

dt  dt  dt

2. d

 

A B A dB dA B dt    dt  dt  3. d



A B



A dB dA B

dt    dt  dt 

4. d

 

A dA d A

dt dt dt



  

5. Jika A A i xˆA jy ˆA kz ˆ, maka dA dA i xˆdA jyˆdA kz ˆ 6. d

 

A B   A dB dA B

7. d



A B   



A dB dA B Contoh 2.15 :

Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi r rcost iˆrsint jˆ , dimana r dan ω adalah konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan a arahnya ke titik pusat lingkaran dan memiliki nilai sebanding dengan jarak partikel dari pusat lingkaran, (c)

vektor konstan r  v .

Pembahasan :

a. r rcost iˆrsint jˆ

ˆ ˆ

sin cos

dr

v r t i r t j

dt    

   



 







 





ˆ ˆ ˆ ˆ

cos sin sin cos

cos sin sin cos 0

r v r t i r t j r t i r t j

r t r t r t r t

     

     

     

   

Karena r v 0 , maka r dan v tegak lurus. v

ωt

x y

r a

b.





2

2 2 2 2

2 cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ

d r dv

a r t i r t j r t i r t j r

dt

dt        

         

Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju pusat lingkaran (titik asal koordinat). Nilainya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran.

c. r  v



rcos



t iˆrsin



t jˆ

 

 



rsin



t iˆ



rcos



t jˆ



2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ

cos sin , sebuah vektor konstan

r t k r t k r k

    

  

Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω. Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal.

2.8 Soal dan pembahas

1. Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk sudut θ. Jika besar resultan kedua vektor sama dengan F. Hitung nilai θ !

2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin bertiup pada sudut 370 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah gerak pesawat dari arah Utara!

3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 300 terhadap sumbu vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y!

4. Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P : 1 3ˆ ˆ 3 Nˆ

F    i j k 2 2ˆ 2ˆ 7 Nˆ F   i j k

3 ˆ 8 Nˆ F  i k

Tentukan vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P!

5. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai! 6. Hitung nilai a agar vektor A  a i j k tegak lurus dengan vektor B a i k!

7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot! 8. Hukum Sinus. Buktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang! 9. Buktikan bahwa

20 kg

300

F = 100 N

x y

 

2 2

2 2

A B A B  A B

Contoh 2.13 :

Hitung volume yang dibentuk oleh vektor r1



2iˆ3 m ,ˆj



r2   



iˆ ˆj kˆ



m, danr2 

 

3iˆkˆ !

Pembahasan :



2 3



ˆ ˆ ˆ

1 1_ˆ 1 1 _ˆ 1 1 _{ˆ ˆ ˆ ˆ}

1 1 1 1 2 3

0 1 3 1 3 0

3 0 1

i j k

r r     i   j k   i j k

 



Volume =r₁  



r₂ r₃





2iˆ3ˆj



   



1iˆ 2ˆj 3kˆ



    2 6 0 4m3

2.6.2 Perkalian triple vektor

Perkalian triple vektor memiliki bentuk

 

A B C (2.62)

Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan

     

A  B C B A C -C A B  (2.63)

Pers.(2.63), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC - CAB . Perkalian triple vektor menghasilkan vektor.

Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan yang diam O. Momentum sudut partikel m terhadap titik O , seperti ditunjukkan Gambar 2.19 :

L   r p r mvmrv (2.64)

Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut  _adalah v  r. _Jadi,





L   r p r mvmr  r (2.65)

Kita dapat membuat analogi bahwa Ar B, danCr , dengan menggunakan aturan BAC-CAB, kita peroleh



 







Lm  r r r r (2.66)

Jika kecepatan sudut



tegak lurus dengan vektor posisi r , maka  r 0. Kita peroleh,

A

x

y z

B

C

2

L



mr



(2.67)

Besar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut : 2

Lmr



mvr _(2.68)

Contoh 2.14 :

Diberikan tiga vektor A2 ,i Bˆ 3ˆj dan C ˆj kˆ, hitunglah A 

 

B C .

Pembahasan :

     

ˆ

 

 

ˆ ˆ

 

ˆ A  B C B A C - C A B  3j 2  j k 0 6 j

2.7 Turunan vektor

Sebuah partikel bergerak dari posisi awal r t

 

ke posisi akhir r t



 

t



dalam selang waktu t (lihat Gambar 2.21).

Perpindahan partikel selang waktu t :



  

r r t t r t

 

  

_(2.70)

Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t :

   

r t t r t r

t t

  

 _{  (2.71)}

Turunan vektor r t

 

terhadap waktu:

   

0 0

lim lim

t t

r t t r t dr r

dt   t   t

   

 

  (2.69)

Vektor r t

 

dalam koordinat kartesian diberikan oleh

   

ˆ

 

ˆ

 

ˆ

r t



x t i



y t j



z t k _(2.72)

Turunan pertama vektor r t

 

terhadap waktu :

ˆ ˆ ˆ dr dx dy dz

i j k

dt  dt  dt dt (2.73)

Turunan kedua vektor r t

 

terhadap waktu adalah x y z r 





r t

 

t

r 

2 2 2 2

2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ

d r d x d y d z

i j k

dt  dt  dt  dt (2.74)

dr v

dt

 menunjukkan kecepatan partikel dan

2 2

dv d r a

dt dt

  menunjukkan percepatan partikel.

Ca ta tan :

Jika A, Bdan

C

adalah turunan vektor bergantung waktu t dan  fungsi skalar bergantung waktu t, maka

1. d

 

A+B dA dB

dt  dt  dt

2. d

 

A B A dB dA B dt    dt  dt  3. d



A B



A dB dA B

dt    dt  dt 

4. d

 

A dA d A

dt dt dt



  

5. Jika A A i xˆA jy ˆA kz ˆ, maka dA dA i xˆdA jyˆdA kz ˆ 6. d

 

A B   A dB dA B

7. d



A B   



A dB dA B

Contoh 2.15 :

Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi r rcost iˆrsint jˆ , dimana r dan ω adalah konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan a arahnya ke titik pusat lingkaran dan memiliki nilai sebanding dengan jarak partikel dari pusat lingkaran, (c)

vektor konstan r  v .

Pembahasan :

a. r rcost iˆrsint jˆ

ˆ ˆ

sin cos

dr

v r t i r t j dt    

   



 







 





ˆ ˆ ˆ ˆ

cos sin sin cos

cos sin sin cos 0

r v r t i r t j r t i r t j

r t r t r t r t

     

     

     

   

Karena r v 0 , maka r dan v tegak lurus. v ωt x y r a

b.





2

2 2 2 2

2 cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ

d r dv

a r t i r t j r t i r t j r

dt

dt        

         

Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju pusat lingkaran (titik asal koordinat). Nilainya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran.

c. r  v



rcos



t iˆrsin



t jˆ

 

 



rsin



t iˆ



rcos



t jˆ



2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ

cos sin , sebuah vektor konstan

r t k r t k r k

    

  

Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω. Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal.

2.8 Soal dan pembahas

1. Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk sudut θ. Jika besar resultan kedua

vektor sama dengan F. Hitung nilai θ !

2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin bertiup pada sudut 370 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah gerak pesawat dari arah Utara!

3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 300 terhadap sumbu vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y!

4. Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P :

1 3ˆ ˆ 3 Nˆ

F    i j k

2 2ˆ 2ˆ 7 Nˆ

F   i j k

3 ˆ 8 Nˆ

F  i k

Tentukan vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P!

5. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai! 6. Hitung nilai a agar vektor A  a i j k tegak lurus dengan vektor B a i k!

7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot! 8. Hukum Sinus. Buktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang! 9. Buktikan bahwa

20 kg

300

F = 100 N

x y

 

2 2

2 2

A B A B  A B