Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Ordinal Terboboti Geografis (RLOTG) Dengan Metode Fisher Scoring JURNAL
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK
ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) DENGAN
METODE FISHER SCORING
Aulia Nugrahani Putri, Purnami Widyaningsih, dan Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Model RLOTG merupakan gabungan model regresi logistik ordinal dan
model RTG. Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan
parameter. Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut. Estimasi parameter model RLOTG dilakukan
dengan metode maksimum likelihood. Estimasi parameter dengan metode tersebut
ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara numerik dengan
metode Fisher scoring. Tujuan penelitian ini adalah menentukan estimasi parameter
model RLOTG dengan metode Fisher scoring dan menerapkannya pada data tingkat
kerawanan DBD di Kota Semarang. Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan
ˆ = V (m+1) dengan V(m+1) = V(m) +Inf −1 S (m) dan
metode Fisher scoring adalah V
(m)
diberikan nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik
ordinal. Pada penerapan diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu Vˆ = [−4.704688, −2.829467, 0.000042, −0.000048, 0.000533, −0.638496, −0.01
7453]T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu Vˆ = [−4.835065, −2.821396, −0.000004,
− 0.000047, 0.000376, −0.746907, −0.018490]T . Sarana kesehatan memiliki pengaruh
yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di kedua kelurahan
tersebut. Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD
pada kedua kelurahan tersebut.
Kata kunci : estimasi parameter, RLOTG, Fisher scoring.
1. Pendahuluan
Dalam model-model nondeterministik, untuk mengetahui hubungan antara
dua atau lebih variabel digunakan model regresi. Variabel tersebut adalah variabel prediktor dan variabel respon. Variabel respon dapat bertipe kuantitatif atau
kualitatif. Kualitatif atau yang disebut kategorik merupakan hasil pengukuran
dari suatu variabel yang berupa dua atau lebih kemungkinan nilai (kategori). Jika hanya terdapat dua kategori variabel respon, maka variabel respon tersebut
bersifat biner atau dikotomus dan yang memiliki lebih dari dua kategori, maka
variabel respon tersebut bersifat polikotomus (McCullagh dan Nelder [5]).
Model regresi dengan variabel respon bertipe kategorik dan variabel prediktor bertipe kategorik dan/atau kuantitatif disebut model regresi logistik. Model
regresi logistik merepresentasikan peluang kejadian suatu peristiwa yang diakibatkan oleh variabel prediktor. Terdapat dua tipe model regresi logistik polikoto user
tomus yaitu regresi logistik ordinalcommit
dan regresi
logistik nominal. Regresi logistik
ordinal memiliki urutan pada variabel respon, sedangkan regresi logistik nominal
tidak memiliki urutan pada variabel responnya, Hosmer dan Lemeshow [3].
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Model regresi yang merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis adalah model
regresi terboboti geografis (RTG). Model regresi logistik telah dikembangkan untuk merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis dimana data diamati. Menurut
Atkinson et al. [2], model yang dimaksud adalah regresi logistik terboboti geografis (RLTG). Model RLTG ini dapat dikembangkan untuk variabel respon yang
memiliki skala ordinal oleh Purhadi et al. [6], yaitu model regresi logistik ordinal terboboti geografis (RLOTG). Model RLOTG merupakan gabungan model
regresi logistik ordinal dan model RTG.
Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan parameter. Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan
sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut. Menurut Hosmer dan Lemeshow
[3], metode yang dapat digunakan untuk menentukan estimasi parameter model RLOTG adalah maksimum likelihood. Estimasi parameter dengan metode
tersebut ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara
numerik.
Metode Fisher scoring merupakan metode numerik yang menggunakan vektor score dan matriks informasi Fisher. Pada tahun 2004, Schworer dan Hovey
[7] membandingkan keunggulan pada dua metode numerik yaitu metode NewtonRaphson dan Fisher scoring dalam perhitungan estimasi maksimum likelihood.
Pada penelitian tersebut ditunjukkan bahwa metode Fisher scoring lebih baik
daripada metode Newton-Raphson karena metode Fisher scoring tetap konvergen ketika metode Newton-Raphson tidak konvergen. Hal itu dikarenakan metode
Fisher scoring menggunakan nilai harapan pada setiap iterasi. Pada tahun 2013,
Marius dan Anaene [4] menerapkan estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model regresi logistik biner. Keunggulan menggunakan metode Fisher
scoring adalah lebih dijamin konvergensinya daripada metode Newton-Raphson.
Dengan memperhatikan hal tersebut, pada penelitian ini dikaji estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model RLOTG dan diberikan contoh
penerapan pada data tingkat kerawanan Demam Berdarah Dengue (DBD) di Kota Semarang karena Kota Semarang memiliki tingkat kerawanan DBD tertinggi
di Jawa Tengah dan DBD merupakan
penyakit
commit
to useryang berbasis spasial.
2
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
2. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan kajian teori dengan mempelajari metode Fisher
scoring yang dipergunakan untuk mengestimasi parameter model RLOTG. Metode tersebut kemudian diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota
Semarang. Data yang dipergunakan diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS)
dan Dinas Kesehatan Kota Semarang.
Langkah-langkah untuk mencapai tujuan penelitian adalah menentukan
fungsi likelihood dari fungsi densitas peluang bersama dan membentuk fungsi
ln-likelihood nya. Setelah diperoleh fungsi ln-likelihood, ditentukan penyelesaian
yang memaksimumkannya. Pada tahapan tersebut ditemui kendala yaitu sistem
persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya sehingga ditentukan
secara numerik dengan metode Fisher scoring. Kemudian hasil estimasi parameternya diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang dengan
langkah, mengategorikan penderita DBD. Menurut Kementerian Kesehatan (Kemenkes), kategori penderita DBD berdasarkan incidence rate (IR) yaitu ringan,
sedang, dan berat, kemudian menentukan titik koordinat setiap kelurahan di Kota Semarang, menentukan jarak antar kelurahan, menentukan pembobot setiap
kelurahan, dan menentukan estimasi parameter. Pada tahapan tersebut diperoleh
nilai estimasi parameter dan diperoleh model RLOTG.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model RLOTG. Model RLOTG adalah model yang merepresentasikan
hubungan antara variabel respon berskala ordinal dengan variabel prediktor yang
masing-masing parameter bergantung pada lokasi (ui , vi ). Menurut Purhadi et.
al [6], model RLOTG dengan variabel respon K kategori dinyatakan sebagai
Logit(P (Yi ≤ s|xi )) = αs (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )
(3.1)
dengan s=1,2,. . . ,K -1 dan i=1,2,. . . ,n. Parameter αs (ui , vi ) merupakan intersep,
β(ui , vi ) = [β1 (ui , vi ), β2 (ui , vi ), . . . , βp (ui , vi )]T merupakan vektor koefisien regresi untuk lokasi ke-i, xTi = [xi1 , xi2 , . . . , xip ] adalah vektor variabel prediktor untuk
lokasi ke-i dengan p adalah banyaknya variabel prediktor, dan (ui , vi ) adalah titik
koordinat (latitude, longitude) untuk lokasi ke-i.
3.2. Estimasi Parameter. Pada penelitian ini, diperhatikan sampel pengamatan (variabel respon) Y1 , Y2 , . . . , Yn yang memiliki K kategori dan memiliki pelu∑
ang kategori terhadap x adalah Pk (x) dengan k = 1, 2, . . . , K, K
k=1 Pk (x) = 1.
to user
Karena variabel respon memiliki Kcommit
kategori
(berdistribusi multinomial), fungsi
likelihood -nya dinyatakan sebagai fungsi densitas peluang bersama dari distribusi
multinomial. Fungsi densitas peluang multinomial dinyatakan sebagai
3
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
f (Yk = yk ) = Pk (x)yk
k = 1, 2, . . . , K
sehingga diperoleh fungsi likelihood n sampel pengamatan yaitu
L(ui , vi ) =
n
∏
f (yi1 )f (yi2 ) . . . f (yiK )
=
n
∏
(P1 (xi )yi1 P2 (xi )yi2 . . . PK (xi )yiK )
i=1
i=1
n ((
∏
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yi1
=
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
i=1
( exp(α (u , v ) + xT β(u , v ))
2 i i
i i
i
−
T
1 + exp(α2 (ui , vi ) + xi β(ui , vi ))
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yi2
···
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
(
exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yiK )
.
1−
1 + exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
Fungsi likelihood merupakan fungsi eksponensial sehingga untuk memudahkan perhitungan, fungsi likelihood diubah ke dalam fungsi ln −likelihood. Pada analisis spasial, untuk mengetahui kedekatan antara lokasi satu dengan yang
lain diperlukan suatu pembobot sehingga pembobot diberikan pada bentuk lnlikelihood. Jika pembobot untuk setiap lokasi (ui , vi ) adalah wij (ui , vi ), maka
fungsi ln-likelihood terboboti dinyatakan sebagai
n (
( exp(α (u , v ) + xT β(u , v )) )
∑
1 i i
i i
i
yi1 ln
ln L(ui , vi ) =
+
T
1
+
exp(α
(u
,
v
)
+
x
β(u
,
v
))
1
i
i
i
i
i
i=1
(
exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
yi2 ln
−
1 + exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )
+ . . . + yiK ln
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
(
exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) ))
1−
wij (ui , vi ).
1 + exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
Pembobot wij (ui , vi ) adalah pembobot kernel fixed Gaussian yang dinya( 1 ( d )2 )
takan sebagai
ij
wij (ui , vi ) = exp −
2
h
√
dengan dij = (ui − uj )2 + (vi − vj )2 adalah jarak antara lokasi (ui , vi ) dan lokasi (uj , vj ), dan h adalah bandwidth (ukuran kebertetanggaan).
commit
to user
Untuk memperoleh nilai parameter
yang
memaksimumkan fungsi ln-likelihood
dapat ditentukan dengan menghitung turunan pertama fungsi ln-likelihood terhadap masing-masing parameter, yaitu
4
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
n (
(
))
∑
∂ ln L(ui , vi )
1
e1 (1 + e2 )
yi1
=
− yi2
wij (ui , vi )
∂α1 (ui , vi )
1 + e1
(1 + e1 )(e2 − e1 )
i=1
n (
(
))
∑
e2 (1 + e1 )
∂ ln L(ui , vi )
yi2
=
wij (ui , vi )
∂α2 (ui , vi )
(1 + e2 )(e2 − e1 )
i=1
..
.
∂ ln L(ui , vi )
=
∂αK−1 (ui , vi )
∂ ln L(ui , vi )
=
∂β(ui , vi )
(3.2)
n (
∑
i=1
n (
∑
i=1
( e
))
K−1
yiK
wij (ui , vi )
1 + eK−1
( xT )
( xT (u , v )(−1 + e e ) )
i i
1 2
i
yi1
− yi2 i
1 + e1
(1 + e1 )(1 + e2 )
))
( xT (e
K−1 )
wij (ui , vi )
−yiK i
1 + eK−1
dengan e1 = exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )), e2 = exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )), dan
eK−1 = exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )).
Selain itu ditentukan turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang bernilai negatif sehingga penyelesaian yang diperoleh sudah maksimum.
Nilai parameter model RLOTG dapat ditentukan dari penyelesaian sistem
(3.2). Sistem (3.2) merupakan sistem persamaan nonlinear. Penyelesaian eksak
sistem (3.2) sulit ditentukan sehingga ditentukan secara numerik dengan metode
Fisher scoring.
Metode Fisher scoring membutuhkan vektor score dan matriks informasi
Fisher. Vektor score merupakan vektor yang elemennya turunan pertama fungsi
ln-likelihood terhadap masing-masing parameter yaitu
∑ (
))
(
n
e1 (1+e2 )
1
w
(u
,
v
)
−
y
y
ij
i i
i2 (1+e1 )(e2 −e1 )
∑i=1 ( i1 (1+e1
))
n
e2 (1+e1 )
i=1 yi2 (1+e2 )(e2 −e1 ) wij (ui , vi )
..
.
( (
))
.
S=
∑
n
eK−1
)
y
w
(u
,
v
i=1 iK 1+eK−1
ij
i i
( T
)
∑ ( ( T )
xi (ui ,vi )(−1+e1 e2 )
xi
n
i=1 yi1 1+e1 − yi2
(1+e1 )(1+e2 )
( T
))
xi (eK−1 )
−yiK 1+eK−1
wij (ui , vi )
commit tomatriks
user yang elemen-elemennya terMatriks informasi Fisher merupakan
diri atas nilai harapan dari turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang dinyatakan sebagai
5
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
2
i ,vi )
E( ∂∂αlnL(u
2 (u ,v ) )
i i
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
2
i ,vi )
E( ∂α1∂(ulnL(u
) ···
i ,vi )α2 (ui ,vi )
2
i ,vi )
E( ∂α1∂(ulnL(u
)
i ,vi )∂β(ui ,vi )
1
2
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
i ,vi )
E( ∂∂αlnL(u
)
·
·
·
E(
E( ∂α2 (ui ,vi )α1 (ui ,vi ) )
2 (u ,v ) )
∂α
(ui ,vi )∂β(ui ,vi )
2
2 i i
Inf =
..
..
..
..
.
.
.
.
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
E( ∂β(ui ,vi )∂α1 (ui ,vi ) ) E( ∂β(ui ,vi )∂α2 (ui ,vi ) ) · · ·
E( ∂β2 (ui ,vi ) )
.
Berikut adalah algoritme Fisher scoring.
(1) Menentukan nilai awal (m=0) vektor parameter V0 yang diperoleh dari
nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal.
(2) Menghitung nilai parameter V m+1 = V (m) + Inf −1
(m) S (m) dengan m =
0, 1, 2, . . . .
(3) Menghitung norm V (m+1) − V (m) = ∥V (m+1) − V (m) ∥ dengan
∥V (m+1) − V (m) ∥
=
√
(α1(m+1) (ui , vi ) − α1(m) (ui , vi ))2 + · · · + (βp(m+1) (ui , vi ) − βp(m) (ui , vi ))2 .
∥V (m+1) − V (m) ∥ digunakan untuk menghentikan iterasi dengan kriteria
∥V (m+1) − V (m) ∥ < toleransi eror. Jika kriteria dipenuhi, maka proses
ˆ = V (m+1) .
iterasi berhenti dan nilai estimasi parameternya adalah V
Sebaliknya, jika ∥V (m+1) − V (m) ∥ > toleransi eror, maka proses iterasi
diulang ke langkah (2) sampai dengan (3).
Setelah nilai estimasi parameter diperoleh, model RLOTG-nya dinyatakan sebagai
ˆ i , vi ).
Logit(P (Yi ≤ s|xi )) = α
ˆ s (ui , vi ) + xTi β(u
3.3. Penerapan. Pada penerapan ini data yang digunakan adalah data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang pada tahun 2014. Tingkat kerawanan
DBD tersebut terdiri atas tiga kategori (K =3) berdasarkan IR, yaitu ringan,
sedang, dan berat yang digunakan sebagai variabel respon dan variabel prediktornya adalah kepadatan penduduk (X1 ), banyak penduduk kelompok umur 0-14
tahun (X2 ), banyaknya rumah semi permanen (X3 ), adanya sarana kesehatan
(X4 ), dan angka bebas jentik nyamuk (X5 ), sehingga p=5. Jadi terdapat tujuh
parameter model, yaitu V = [α1 (ui , vi ), α2 (ui , vi ), β1 (ui , vi ), β2 (ui , vi ), β3 (ui , vi ),
β4 (ui , vi ), β5 (ui , vi )].
Kota Semarang terdiri atas 16 kecamatan dengan 177 kelurahan sehingga
terdapat n=177. Berdasarkan persamaan (3.1) terdapat model RLOTG yang
terdiri atas 177 model untuk parameter intersep 1 dan 177 model untuk parameter intersep 2. Masing-masing parameter intersep diberikan contoh 2 kelurahan. Langkah-langkah yang dilakukan adalah mengategorikan penderita DBD
to user (latitude, longitude) setiap keberdasarkan kategori, menentukan commit
titik koordinat
lurahan, menghitung jarak antar kelurahan, menghitung pembobot setiap kelurahan, dan menentukan estimasi parameter. Nilai awal yang digunakan adalah
6
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
α1 = −4.843250, α2 = −2.804115, β1 = 2.623848 × 10−6 , β2 = −4.601760 × 10−5 ,
β3 = 3.561353 × 10−4 , β4 = −7.387467 × 10−1 , β5 = −1.737042 × 10−2 sehingga
diperoleh S0 = [−0.1517446, 1.1334551, . . . , −74.6099972]T dan
−6.034837
−8.043147 × 10−1 · · · 9.195739 × 10−3
−8.043147 × 10−1 8.136414 × 10−1 · · · −9.318322 × 10−3
.
Inf0 =
..
..
..
...
.
.
.
9.195739 × 10−3
−9.318322 × 10−3 · · ·
−6.150618 × 10−4
Hasil estimasi parameter dengan toleransi eror 0.0001 diperoleh iterasi ke-15.
Hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan dan Tinjomoyo ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil estimasi parameter model RLOTG
Kel αˆ1 (ui , vi )
αˆ2 (ui , vi )
βˆ1 (ui , vi )
βˆ2 (ui , vi )
βˆ3 (ui , vi ) βˆ4 (ui , vi )
βˆ5 (ui , vi )
Ku -4.704688 -2.829467 0.000042 -0.000048 0.000533 -0.638496 -0.017453
Ti -4.835065 -2.821396 -0.000004 -0.000047 0.000376 -0.746907 -0.018490
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh model RLOTG berikut.
(1) Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Kuningan yaitu
Logit(P (Y1 ≤ 1 | xi )) = −4.704688 + 0.000042xi1 − 0.000048xi2 + 0.000533xi3
−0.638496xi4 − 0.017453xi5
Logit(P (Y1 ≤ 2 | xi )) = −2.829467 + 0.000042xi1 − 0.000048xi2 + 0.000533xi3
−0.638496xi4 − 0.017453xi5 .
(2) Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu
Logit(P (Y2 ≤ 1 | xi )) = −4.835065 − 0.000004xi1 − 0.000047xi2 + 0.000376xi3
−0.746907xi4 − 0.018490xi5
Logit(P (Y2 ≤ 2 | xi )) = −2.821396 − 0.000004xi1 − 0.000047xi2 + 0.000376xi3
−0.746907xi4 − 0.018490xi5 .
Berdasarkan model yang diperoleh, jika setiap bertambahnya satu orang
penduduk (X1 ) dan satu unit rumah semi permanen (X3 ) di kelurahan Kuningan,
maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan sebesar 0.0042%
dan 0.0533% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD sedang
atau berat. Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk umur 0-14 tahun
(X2 ), satu unit sarana kesehatan (X4 ), dan 1 % angka bebas jentik nyamuk (X5 ),
to user
maka peluang banyaknya penderitacommit
DBD mengalami
penurunan sebesar 0.0048%,
63.8496%, dan 1.7453% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR
DBD ringan atau sedang.
7
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Untuk kelurahan Tinjomoyo, jika setiap bertambahnya satu unit rumah semi
permanen (X3 ), maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan
sebesar 0.0376% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD
sedang atau berat. Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk (X1 ), satu
orang penduduk umur 0-14 tahun (X2 ), satu unit sarana kesehatan (X4 ), dan
1 % angka bebas jentik nyamuk (X5 ), maka peluang banyaknya penderita DBD
mengalami penurunan sebesar 0.0004%, 0.0047%, 74.6907%, dan 1.849% sehingga
kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD ringan atau sedang.
4. Kesimpulan
(1) Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan metode Fisher scoring
ˆ = V(m+1) dengan V(m+1) = V(m) + Inf −1 S (m) dan diberikan
adalah V
(m)
nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal sehingga model RLOTG-nya dinyatakan sebagai Logit(P (Yi ≤
ˆ i , vi ) dengan s = 1, 2, . . . , K − 1.
s|xi )) = α
ˆ s (ui , vi ) + xTi β(u
(2) Pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang, diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu Vˆ = [−4.704688, −2.829
467, 0.000042, −0.000048, 0.000533, −0.638496, −0.017453]T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu Vˆ = [−4.835065, −2.821396, −0.000004, −0.0000
47, 0.000376, −0.746907, −0.018490]T . Sarana kesehatan memiliki pengaruh yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di
kedua kelurahan tersebut. Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD pada kedua kelurahan tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Agresti, A., Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc., New York, 2002.
[2] Atkinson, P. M., S. E. German, D. A. Sear, and M. J. Clark, Exploring the Relations
Between Riverbank Erison and Geomorphological Control Using Geographically Weighted
Logistic Regression, Ohio: Ohio State University 35 (2003), 58-82.
[3] Hosmer, D. W. and S. Lemeshow, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc.,
USA, 2000.
[4] Marius, O. U. and O. I. C. Anaene, Estimating the Fisher’s Scoring Matrix Formula from
Logistic Model, American Journal of Theoretical and Applied Statistics 2 (2013), 221-227.
[5] McCullagh, P. and J. A. Nelder, Generalized Linear Models, second ed., Chapman and Hall,
1983.
[6] Purhadi, M. Rifada, and P. Wulandari, Geographically Weighted Ordinal Logistic Regression
commit to user
Model, International Journal of Mathematics and Computation 16 (2012), 116-216.
[7] Schworer, A. and P. Hovey, Newton Raphson versus Fisher Scoring Algorithms in Calculating Maximum Likelihood Estimates, Dayton, 2004.
8
2016
digilib.uns.ac.id
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK
ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) DENGAN
METODE FISHER SCORING
Aulia Nugrahani Putri, Purnami Widyaningsih, dan Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Model RLOTG merupakan gabungan model regresi logistik ordinal dan
model RTG. Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan
parameter. Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut. Estimasi parameter model RLOTG dilakukan
dengan metode maksimum likelihood. Estimasi parameter dengan metode tersebut
ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara numerik dengan
metode Fisher scoring. Tujuan penelitian ini adalah menentukan estimasi parameter
model RLOTG dengan metode Fisher scoring dan menerapkannya pada data tingkat
kerawanan DBD di Kota Semarang. Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan
ˆ = V (m+1) dengan V(m+1) = V(m) +Inf −1 S (m) dan
metode Fisher scoring adalah V
(m)
diberikan nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik
ordinal. Pada penerapan diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu Vˆ = [−4.704688, −2.829467, 0.000042, −0.000048, 0.000533, −0.638496, −0.01
7453]T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu Vˆ = [−4.835065, −2.821396, −0.000004,
− 0.000047, 0.000376, −0.746907, −0.018490]T . Sarana kesehatan memiliki pengaruh
yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di kedua kelurahan
tersebut. Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD
pada kedua kelurahan tersebut.
Kata kunci : estimasi parameter, RLOTG, Fisher scoring.
1. Pendahuluan
Dalam model-model nondeterministik, untuk mengetahui hubungan antara
dua atau lebih variabel digunakan model regresi. Variabel tersebut adalah variabel prediktor dan variabel respon. Variabel respon dapat bertipe kuantitatif atau
kualitatif. Kualitatif atau yang disebut kategorik merupakan hasil pengukuran
dari suatu variabel yang berupa dua atau lebih kemungkinan nilai (kategori). Jika hanya terdapat dua kategori variabel respon, maka variabel respon tersebut
bersifat biner atau dikotomus dan yang memiliki lebih dari dua kategori, maka
variabel respon tersebut bersifat polikotomus (McCullagh dan Nelder [5]).
Model regresi dengan variabel respon bertipe kategorik dan variabel prediktor bertipe kategorik dan/atau kuantitatif disebut model regresi logistik. Model
regresi logistik merepresentasikan peluang kejadian suatu peristiwa yang diakibatkan oleh variabel prediktor. Terdapat dua tipe model regresi logistik polikoto user
tomus yaitu regresi logistik ordinalcommit
dan regresi
logistik nominal. Regresi logistik
ordinal memiliki urutan pada variabel respon, sedangkan regresi logistik nominal
tidak memiliki urutan pada variabel responnya, Hosmer dan Lemeshow [3].
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Model regresi yang merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis adalah model
regresi terboboti geografis (RTG). Model regresi logistik telah dikembangkan untuk merepresentasikan hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor yang mempertimbangkan lokasi geografis dimana data diamati. Menurut
Atkinson et al. [2], model yang dimaksud adalah regresi logistik terboboti geografis (RLTG). Model RLTG ini dapat dikembangkan untuk variabel respon yang
memiliki skala ordinal oleh Purhadi et al. [6], yaitu model regresi logistik ordinal terboboti geografis (RLOTG). Model RLOTG merupakan gabungan model
regresi logistik ordinal dan model RTG.
Pada model RLOTG terdapat variabel respon, variabel prediktor, dan parameter. Variabel respon dan variabel prediktor dapat diketahui berdasarkan
sampel, sedangkan parameternya tidak dapat diketahui sehingga diperlukan estimasi parameter berdasarkan sampel tersebut. Menurut Hosmer dan Lemeshow
[3], metode yang dapat digunakan untuk menentukan estimasi parameter model RLOTG adalah maksimum likelihood. Estimasi parameter dengan metode
tersebut ditemui kendala yaitu suatu sistem persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu penyelesaiannya ditentukan secara
numerik.
Metode Fisher scoring merupakan metode numerik yang menggunakan vektor score dan matriks informasi Fisher. Pada tahun 2004, Schworer dan Hovey
[7] membandingkan keunggulan pada dua metode numerik yaitu metode NewtonRaphson dan Fisher scoring dalam perhitungan estimasi maksimum likelihood.
Pada penelitian tersebut ditunjukkan bahwa metode Fisher scoring lebih baik
daripada metode Newton-Raphson karena metode Fisher scoring tetap konvergen ketika metode Newton-Raphson tidak konvergen. Hal itu dikarenakan metode
Fisher scoring menggunakan nilai harapan pada setiap iterasi. Pada tahun 2013,
Marius dan Anaene [4] menerapkan estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model regresi logistik biner. Keunggulan menggunakan metode Fisher
scoring adalah lebih dijamin konvergensinya daripada metode Newton-Raphson.
Dengan memperhatikan hal tersebut, pada penelitian ini dikaji estimasi parameter dengan metode Fisher scoring pada model RLOTG dan diberikan contoh
penerapan pada data tingkat kerawanan Demam Berdarah Dengue (DBD) di Kota Semarang karena Kota Semarang memiliki tingkat kerawanan DBD tertinggi
di Jawa Tengah dan DBD merupakan
penyakit
commit
to useryang berbasis spasial.
2
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
2. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan kajian teori dengan mempelajari metode Fisher
scoring yang dipergunakan untuk mengestimasi parameter model RLOTG. Metode tersebut kemudian diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota
Semarang. Data yang dipergunakan diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS)
dan Dinas Kesehatan Kota Semarang.
Langkah-langkah untuk mencapai tujuan penelitian adalah menentukan
fungsi likelihood dari fungsi densitas peluang bersama dan membentuk fungsi
ln-likelihood nya. Setelah diperoleh fungsi ln-likelihood, ditentukan penyelesaian
yang memaksimumkannya. Pada tahapan tersebut ditemui kendala yaitu sistem
persamaan nonlinear yang sulit ditentukan penyelesaiannya sehingga ditentukan
secara numerik dengan metode Fisher scoring. Kemudian hasil estimasi parameternya diterapkan pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang dengan
langkah, mengategorikan penderita DBD. Menurut Kementerian Kesehatan (Kemenkes), kategori penderita DBD berdasarkan incidence rate (IR) yaitu ringan,
sedang, dan berat, kemudian menentukan titik koordinat setiap kelurahan di Kota Semarang, menentukan jarak antar kelurahan, menentukan pembobot setiap
kelurahan, dan menentukan estimasi parameter. Pada tahapan tersebut diperoleh
nilai estimasi parameter dan diperoleh model RLOTG.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model RLOTG. Model RLOTG adalah model yang merepresentasikan
hubungan antara variabel respon berskala ordinal dengan variabel prediktor yang
masing-masing parameter bergantung pada lokasi (ui , vi ). Menurut Purhadi et.
al [6], model RLOTG dengan variabel respon K kategori dinyatakan sebagai
Logit(P (Yi ≤ s|xi )) = αs (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )
(3.1)
dengan s=1,2,. . . ,K -1 dan i=1,2,. . . ,n. Parameter αs (ui , vi ) merupakan intersep,
β(ui , vi ) = [β1 (ui , vi ), β2 (ui , vi ), . . . , βp (ui , vi )]T merupakan vektor koefisien regresi untuk lokasi ke-i, xTi = [xi1 , xi2 , . . . , xip ] adalah vektor variabel prediktor untuk
lokasi ke-i dengan p adalah banyaknya variabel prediktor, dan (ui , vi ) adalah titik
koordinat (latitude, longitude) untuk lokasi ke-i.
3.2. Estimasi Parameter. Pada penelitian ini, diperhatikan sampel pengamatan (variabel respon) Y1 , Y2 , . . . , Yn yang memiliki K kategori dan memiliki pelu∑
ang kategori terhadap x adalah Pk (x) dengan k = 1, 2, . . . , K, K
k=1 Pk (x) = 1.
to user
Karena variabel respon memiliki Kcommit
kategori
(berdistribusi multinomial), fungsi
likelihood -nya dinyatakan sebagai fungsi densitas peluang bersama dari distribusi
multinomial. Fungsi densitas peluang multinomial dinyatakan sebagai
3
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
f (Yk = yk ) = Pk (x)yk
k = 1, 2, . . . , K
sehingga diperoleh fungsi likelihood n sampel pengamatan yaitu
L(ui , vi ) =
n
∏
f (yi1 )f (yi2 ) . . . f (yiK )
=
n
∏
(P1 (xi )yi1 P2 (xi )yi2 . . . PK (xi )yiK )
i=1
i=1
n ((
∏
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yi1
=
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
i=1
( exp(α (u , v ) + xT β(u , v ))
2 i i
i i
i
−
T
1 + exp(α2 (ui , vi ) + xi β(ui , vi ))
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yi2
···
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
(
exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )yiK )
.
1−
1 + exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
Fungsi likelihood merupakan fungsi eksponensial sehingga untuk memudahkan perhitungan, fungsi likelihood diubah ke dalam fungsi ln −likelihood. Pada analisis spasial, untuk mengetahui kedekatan antara lokasi satu dengan yang
lain diperlukan suatu pembobot sehingga pembobot diberikan pada bentuk lnlikelihood. Jika pembobot untuk setiap lokasi (ui , vi ) adalah wij (ui , vi ), maka
fungsi ln-likelihood terboboti dinyatakan sebagai
n (
( exp(α (u , v ) + xT β(u , v )) )
∑
1 i i
i i
i
yi1 ln
ln L(ui , vi ) =
+
T
1
+
exp(α
(u
,
v
)
+
x
β(u
,
v
))
1
i
i
i
i
i
i=1
(
exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
yi2 ln
−
1 + exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) )
+ . . . + yiK ln
1 + exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
(
exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )) ))
1−
wij (ui , vi ).
1 + exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi ))
Pembobot wij (ui , vi ) adalah pembobot kernel fixed Gaussian yang dinya( 1 ( d )2 )
takan sebagai
ij
wij (ui , vi ) = exp −
2
h
√
dengan dij = (ui − uj )2 + (vi − vj )2 adalah jarak antara lokasi (ui , vi ) dan lokasi (uj , vj ), dan h adalah bandwidth (ukuran kebertetanggaan).
commit
to user
Untuk memperoleh nilai parameter
yang
memaksimumkan fungsi ln-likelihood
dapat ditentukan dengan menghitung turunan pertama fungsi ln-likelihood terhadap masing-masing parameter, yaitu
4
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
n (
(
))
∑
∂ ln L(ui , vi )
1
e1 (1 + e2 )
yi1
=
− yi2
wij (ui , vi )
∂α1 (ui , vi )
1 + e1
(1 + e1 )(e2 − e1 )
i=1
n (
(
))
∑
e2 (1 + e1 )
∂ ln L(ui , vi )
yi2
=
wij (ui , vi )
∂α2 (ui , vi )
(1 + e2 )(e2 − e1 )
i=1
..
.
∂ ln L(ui , vi )
=
∂αK−1 (ui , vi )
∂ ln L(ui , vi )
=
∂β(ui , vi )
(3.2)
n (
∑
i=1
n (
∑
i=1
( e
))
K−1
yiK
wij (ui , vi )
1 + eK−1
( xT )
( xT (u , v )(−1 + e e ) )
i i
1 2
i
yi1
− yi2 i
1 + e1
(1 + e1 )(1 + e2 )
))
( xT (e
K−1 )
wij (ui , vi )
−yiK i
1 + eK−1
dengan e1 = exp(α1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )), e2 = exp(α2 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )), dan
eK−1 = exp(αK−1 (ui , vi ) + xTi β(ui , vi )).
Selain itu ditentukan turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang bernilai negatif sehingga penyelesaian yang diperoleh sudah maksimum.
Nilai parameter model RLOTG dapat ditentukan dari penyelesaian sistem
(3.2). Sistem (3.2) merupakan sistem persamaan nonlinear. Penyelesaian eksak
sistem (3.2) sulit ditentukan sehingga ditentukan secara numerik dengan metode
Fisher scoring.
Metode Fisher scoring membutuhkan vektor score dan matriks informasi
Fisher. Vektor score merupakan vektor yang elemennya turunan pertama fungsi
ln-likelihood terhadap masing-masing parameter yaitu
∑ (
))
(
n
e1 (1+e2 )
1
w
(u
,
v
)
−
y
y
ij
i i
i2 (1+e1 )(e2 −e1 )
∑i=1 ( i1 (1+e1
))
n
e2 (1+e1 )
i=1 yi2 (1+e2 )(e2 −e1 ) wij (ui , vi )
..
.
( (
))
.
S=
∑
n
eK−1
)
y
w
(u
,
v
i=1 iK 1+eK−1
ij
i i
( T
)
∑ ( ( T )
xi (ui ,vi )(−1+e1 e2 )
xi
n
i=1 yi1 1+e1 − yi2
(1+e1 )(1+e2 )
( T
))
xi (eK−1 )
−yiK 1+eK−1
wij (ui , vi )
commit tomatriks
user yang elemen-elemennya terMatriks informasi Fisher merupakan
diri atas nilai harapan dari turunan kedua fungsi ln-likelihood terhadap masingmasing parameter yang dinyatakan sebagai
5
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
2
i ,vi )
E( ∂∂αlnL(u
2 (u ,v ) )
i i
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
2
i ,vi )
E( ∂α1∂(ulnL(u
) ···
i ,vi )α2 (ui ,vi )
2
i ,vi )
E( ∂α1∂(ulnL(u
)
i ,vi )∂β(ui ,vi )
1
2
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
i ,vi )
E( ∂∂αlnL(u
)
·
·
·
E(
E( ∂α2 (ui ,vi )α1 (ui ,vi ) )
2 (u ,v ) )
∂α
(ui ,vi )∂β(ui ,vi )
2
2 i i
Inf =
..
..
..
..
.
.
.
.
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
∂ 2 lnL(ui ,vi )
E( ∂β(ui ,vi )∂α1 (ui ,vi ) ) E( ∂β(ui ,vi )∂α2 (ui ,vi ) ) · · ·
E( ∂β2 (ui ,vi ) )
.
Berikut adalah algoritme Fisher scoring.
(1) Menentukan nilai awal (m=0) vektor parameter V0 yang diperoleh dari
nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal.
(2) Menghitung nilai parameter V m+1 = V (m) + Inf −1
(m) S (m) dengan m =
0, 1, 2, . . . .
(3) Menghitung norm V (m+1) − V (m) = ∥V (m+1) − V (m) ∥ dengan
∥V (m+1) − V (m) ∥
=
√
(α1(m+1) (ui , vi ) − α1(m) (ui , vi ))2 + · · · + (βp(m+1) (ui , vi ) − βp(m) (ui , vi ))2 .
∥V (m+1) − V (m) ∥ digunakan untuk menghentikan iterasi dengan kriteria
∥V (m+1) − V (m) ∥ < toleransi eror. Jika kriteria dipenuhi, maka proses
ˆ = V (m+1) .
iterasi berhenti dan nilai estimasi parameternya adalah V
Sebaliknya, jika ∥V (m+1) − V (m) ∥ > toleransi eror, maka proses iterasi
diulang ke langkah (2) sampai dengan (3).
Setelah nilai estimasi parameter diperoleh, model RLOTG-nya dinyatakan sebagai
ˆ i , vi ).
Logit(P (Yi ≤ s|xi )) = α
ˆ s (ui , vi ) + xTi β(u
3.3. Penerapan. Pada penerapan ini data yang digunakan adalah data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang pada tahun 2014. Tingkat kerawanan
DBD tersebut terdiri atas tiga kategori (K =3) berdasarkan IR, yaitu ringan,
sedang, dan berat yang digunakan sebagai variabel respon dan variabel prediktornya adalah kepadatan penduduk (X1 ), banyak penduduk kelompok umur 0-14
tahun (X2 ), banyaknya rumah semi permanen (X3 ), adanya sarana kesehatan
(X4 ), dan angka bebas jentik nyamuk (X5 ), sehingga p=5. Jadi terdapat tujuh
parameter model, yaitu V = [α1 (ui , vi ), α2 (ui , vi ), β1 (ui , vi ), β2 (ui , vi ), β3 (ui , vi ),
β4 (ui , vi ), β5 (ui , vi )].
Kota Semarang terdiri atas 16 kecamatan dengan 177 kelurahan sehingga
terdapat n=177. Berdasarkan persamaan (3.1) terdapat model RLOTG yang
terdiri atas 177 model untuk parameter intersep 1 dan 177 model untuk parameter intersep 2. Masing-masing parameter intersep diberikan contoh 2 kelurahan. Langkah-langkah yang dilakukan adalah mengategorikan penderita DBD
to user (latitude, longitude) setiap keberdasarkan kategori, menentukan commit
titik koordinat
lurahan, menghitung jarak antar kelurahan, menghitung pembobot setiap kelurahan, dan menentukan estimasi parameter. Nilai awal yang digunakan adalah
6
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
α1 = −4.843250, α2 = −2.804115, β1 = 2.623848 × 10−6 , β2 = −4.601760 × 10−5 ,
β3 = 3.561353 × 10−4 , β4 = −7.387467 × 10−1 , β5 = −1.737042 × 10−2 sehingga
diperoleh S0 = [−0.1517446, 1.1334551, . . . , −74.6099972]T dan
−6.034837
−8.043147 × 10−1 · · · 9.195739 × 10−3
−8.043147 × 10−1 8.136414 × 10−1 · · · −9.318322 × 10−3
.
Inf0 =
..
..
..
...
.
.
.
9.195739 × 10−3
−9.318322 × 10−3 · · ·
−6.150618 × 10−4
Hasil estimasi parameter dengan toleransi eror 0.0001 diperoleh iterasi ke-15.
Hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan dan Tinjomoyo ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil estimasi parameter model RLOTG
Kel αˆ1 (ui , vi )
αˆ2 (ui , vi )
βˆ1 (ui , vi )
βˆ2 (ui , vi )
βˆ3 (ui , vi ) βˆ4 (ui , vi )
βˆ5 (ui , vi )
Ku -4.704688 -2.829467 0.000042 -0.000048 0.000533 -0.638496 -0.017453
Ti -4.835065 -2.821396 -0.000004 -0.000047 0.000376 -0.746907 -0.018490
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh model RLOTG berikut.
(1) Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Kuningan yaitu
Logit(P (Y1 ≤ 1 | xi )) = −4.704688 + 0.000042xi1 − 0.000048xi2 + 0.000533xi3
−0.638496xi4 − 0.017453xi5
Logit(P (Y1 ≤ 2 | xi )) = −2.829467 + 0.000042xi1 − 0.000048xi2 + 0.000533xi3
−0.638496xi4 − 0.017453xi5 .
(2) Model RLOTG pada data DBD untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu
Logit(P (Y2 ≤ 1 | xi )) = −4.835065 − 0.000004xi1 − 0.000047xi2 + 0.000376xi3
−0.746907xi4 − 0.018490xi5
Logit(P (Y2 ≤ 2 | xi )) = −2.821396 − 0.000004xi1 − 0.000047xi2 + 0.000376xi3
−0.746907xi4 − 0.018490xi5 .
Berdasarkan model yang diperoleh, jika setiap bertambahnya satu orang
penduduk (X1 ) dan satu unit rumah semi permanen (X3 ) di kelurahan Kuningan,
maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan sebesar 0.0042%
dan 0.0533% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD sedang
atau berat. Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk umur 0-14 tahun
(X2 ), satu unit sarana kesehatan (X4 ), dan 1 % angka bebas jentik nyamuk (X5 ),
to user
maka peluang banyaknya penderitacommit
DBD mengalami
penurunan sebesar 0.0048%,
63.8496%, dan 1.7453% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR
DBD ringan atau sedang.
7
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Estimasi Parameter Model Regresi . . .
A. N. Putri, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Untuk kelurahan Tinjomoyo, jika setiap bertambahnya satu unit rumah semi
permanen (X3 ), maka peluang banyaknya penderita DBD mengalami kenaikan
sebesar 0.0376% sehingga kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD
sedang atau berat. Jika setiap bertambahnya satu orang penduduk (X1 ), satu
orang penduduk umur 0-14 tahun (X2 ), satu unit sarana kesehatan (X4 ), dan
1 % angka bebas jentik nyamuk (X5 ), maka peluang banyaknya penderita DBD
mengalami penurunan sebesar 0.0004%, 0.0047%, 74.6907%, dan 1.849% sehingga
kelurahan tersebut masuk dalam kategori IR DBD ringan atau sedang.
4. Kesimpulan
(1) Hasil estimasi parameter model RLOTG dengan metode Fisher scoring
ˆ = V(m+1) dengan V(m+1) = V(m) + Inf −1 S (m) dan diberikan
adalah V
(m)
nilai awal yang diperoleh dari nilai estimasi parameter model regresi logistik ordinal sehingga model RLOTG-nya dinyatakan sebagai Logit(P (Yi ≤
ˆ i , vi ) dengan s = 1, 2, . . . , K − 1.
s|xi )) = α
ˆ s (ui , vi ) + xTi β(u
(2) Pada data tingkat kerawanan DBD di Kota Semarang, diperoleh hasil estimasi parameter untuk kelurahan Kuningan yaitu Vˆ = [−4.704688, −2.829
467, 0.000042, −0.000048, 0.000533, −0.638496, −0.017453]T dan untuk kelurahan Tinjomoyo yaitu Vˆ = [−4.835065, −2.821396, −0.000004, −0.0000
47, 0.000376, −0.746907, −0.018490]T . Sarana kesehatan memiliki pengaruh yang paling besar terhadap peluang banyaknya penderita DBD di
kedua kelurahan tersebut. Berdasarkan banyaknya penderita DBD, dapat ditentukan kategori IR DBD pada kedua kelurahan tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Agresti, A., Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc., New York, 2002.
[2] Atkinson, P. M., S. E. German, D. A. Sear, and M. J. Clark, Exploring the Relations
Between Riverbank Erison and Geomorphological Control Using Geographically Weighted
Logistic Regression, Ohio: Ohio State University 35 (2003), 58-82.
[3] Hosmer, D. W. and S. Lemeshow, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc.,
USA, 2000.
[4] Marius, O. U. and O. I. C. Anaene, Estimating the Fisher’s Scoring Matrix Formula from
Logistic Model, American Journal of Theoretical and Applied Statistics 2 (2013), 221-227.
[5] McCullagh, P. and J. A. Nelder, Generalized Linear Models, second ed., Chapman and Hall,
1983.
[6] Purhadi, M. Rifada, and P. Wulandari, Geographically Weighted Ordinal Logistic Regression
commit to user
Model, International Journal of Mathematics and Computation 16 (2012), 116-216.
[7] Schworer, A. and P. Hovey, Newton Raphson versus Fisher Scoring Algorithms in Calculating Maximum Likelihood Estimates, Dayton, 2004.
8
2016