Komputasi Metode Newton Raphson dengan Software R untuk Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Ordinal Terboboti Secara Geografis (RLOTG).
ABSTRAK
Shaifudin Zuhdi. 2015. KOMPUTASI METODE NEWTON RAPHSON
DENGAN SOFTWARE R UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL
REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI SECARA GEOGRAFIS
(RLOTG). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas
Maret.
Model regresi merupakan representasi hubungan antara variabel bebas
terhadap variabel respon. Variabel respon yang memiliki kategori digunakan dalam
model regresi logistik untuk menghitung peluangnya. Model regresi logistik untuk
variabel respon yang memiliki tingkatan adalah model regresi logistik ordinal.
Model RLOTG merupakan model regresi logistik ordinal yang dipengaruhi letak
geografis lokasi pengamatan. Estimasi parameter pada model diperlukan untuk
menentukan nilai populasi berdasarkan sampelnya. Terkadang estimasi parameter
tidak dapat diperoleh secara analitik karena sistem persamaan yang terlibat
didalamnya sulit ditentukan penyelesaiannya, oleh karena itu digunakan
pendekatan numerik.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan komputasi metode Newton Raphson
untuk estimasi parameter model RLOTG. Komputasi dilakukan dengan software R.
Pada penelitian ini dibuat algoritme iterasi untuk estimasi parameter model RLOTG
dan penerapannya untuk tingkat angka insiden demam berdarah dengue (DBD) di
Kota Semarang. Hasil estimasi parameter model RLOTG diperoleh dengan
algoritme Newton Raphson � + = � − −
dengan m adalah banyaknya
iterasi yang diperlukan. Hasil lainnya bahwa software R dapat digunakan
mengestimasi parameter model RLOTG dengan membentuk sintaks program
dengan perintah while. Sintaks program mempermudah proses estimasi parameter
pada setiap lokasi pengamatan. Eksperimentasi dilakukan dengan menggunakan
dua nilai awal yang berbeda, dan diperoleh bahwa iterasi dengan nilai awal nol lebih
lambat dibandingkan nilai awal dengan hasil estimasi parameter model regresi
logistik ordinal.
Kata Kunci: komputasi, Newton Raphson, software R, estimasi parameter,
RLOTG.
iii
ABSTRACT
Shaifudin Zuhdi. 2015. COMPUTING NEWTON RAPHSON METHOD
USING R SOFTWARE FOR PARAMETERS ESTIMATION OF
GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ORDINAL LOGISTIC REGRESSION
(GWOLR) MODEL. Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
A regression model is the representation of relationship between independent
variable and dependent variable. The dependent variable has categories used in the
logistic regression model to calculate odds on. The logistic regression model for
dependent variable has levels in the logistics regression model is ordinal. GWOLR
model is an ordinal logistic regression model influenced the geographical location
of the observation site. Parameters estimation in the model needed to determine the
value of a population based on sample. Sometimes the parameter estimation can not
be obtained analytically because the system of equations that are involved in it are
hard to be found the result, because of that numerical approach are used.
The purpose of this research is to compute Newton Raphson method in
estimating GWOLR model parameters. Computation is done by software R. This
research was created an iteration algorithm to estimate GWOLR model parameters
and the use of computing is for level of vulnerability to dengue hemorrhagic fever
(DHF) in Semarang city. The estimation results of GWOLR model parameters was
obtained by algorithm Newton Raphson � + = � − −
with
is the
number of iterations required. Other results that the software R can be used to
estimate the parameters of GWOLR model by forming a syntax program with
command “while”. Syntax program facilitate the estimation process parameters in
every location of observation. Experimentation was done by using two different
initial values, and it can be concluded that iteration with a initial value of zero is
slower than the initial value of the estimation results from ordinal logistic regression
parameter model.
Keywords : computation, Newton Raphson, R software, parameters estimation,
GWOLR.
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk
ibu, bapak, dan kakak yang selalu mendoakan dan memotivasiku untuk terus
berjuang menyelesaikan skripsi.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyampaikan terima
kasih kepada
1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang
telah memberikan bimbingan materi, arahan alur penulisan skripsi, serta
motivasi tiada henti, dan
2. Dr. Sutanto, S.Si., DEA sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Februari 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................. ii
ABSTRAK ............................................................................................................. iii
ABSTRACT............................................................................................................. iv
PERSEMBAHAN ................................................................................................... v
KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi
DAFTAR ISI ......................................................................................................... vii
DAFTAR TABEL .................................................................................................. ix
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................. x
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ....................................................................................... 2
1.3 Tujuan ............................................................................................................ 2
1.4 Manfaat .......................................................................................................... 2
BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 3
2.1 Tinjauan Pustaka............................................................................................ 3
2.1.1 Model Regresi ...................................................................................... 3
2.1.2 Model Regresi Logistik Ordinal ........................................................... 4
2.1.3 Data Spasial .......................................................................................... 5
2.1.4 Model RLOTG ..................................................................................... 6
2.1.5 Metode Newton Raphson ..................................................................... 7
2.1.6 Penentuan Nilai Optimal ...................................................................... 8
2.1.7 Software R ............................................................................................ 9
2.1.8 Demam Berdarah Dengue (DBD) ........................................................ 9
2.1.9 Kategori Angka Insiden Penyakit DBD ............................................. 10
2.2 Kerangka Pemikiran .................................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN .................................................................... 12
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 14
4.1 Algoritme Newton Raphson ........................................................................ 14
4.2 Komputasi Metode Newton Raphson dengan Software R .......................... 17
vii
4.3 Estimasi Parameter Model RLO pada Kasus Tingkat Penderita DBD........ 19
4.4 Model RLOTG pada Kasus Tingkat Penderita DBD .................................. 21
4.5 Estimasi Parameter Model RLOTG ............................................................ 21
4.6 Iterasi Newton Raphson untuk Estimasi Parameter Model RLOTG pada
Kasus Tingkat Penderita DBD..................................................................... 22
4.7 Hasil Estimasi Parameter Model RLOTG ................................................... 23
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 25
5.1 Kesimpulan .................................................................................................. 25
5.2 Saran ............................................................................................................ 25
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 26
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 4. 1 Banyaknya iterasi untuk estimasi parameter ........................................ 23
Tabel 4. 2 Hasil estimasi parameter model RLOTG untuk setiap kelurahan ....... 23
Tabel 4. 3 Nilai peluang kategori variabel respon untuk setiap kelurahan ........... 24
ix
DAFTAR GAMBAR
4. 1 Diagram alir untuk estimasi parameter model RLO ...................................... 15
4. 2 Diagram alir untuk estimasi parameter model RLOTG ................................. 17
x
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Hasil pengukuran dari suatu variabel dapat berupa dua atau lebih
kemungkinan nilai yang dikenal sebagai variabel kategorik. Variabel kategorik
yang tidak memiliki urutan disebut sebagai variabel nominal sedangkan yang
memiliki urutan disebut variabel ordinal. Suatu model yang mempergunakan skala
nominal sebagai variabel respon adalah model regresi logistik nominal, sedangkan
untuk variabel respon ordinal digunakan regresi logistik ordinal (McCullagh dan
Nelder [14]).
Model regresi logistik merepresentasikan hubungan antara variabel bebas
dengan variabel respon dan peluang kejadian yang diakibatkan oleh variabel bebas.
Terdapat dua tipe model regresi logistik yakni regresi logistik nominal dan regresi
logistik ordinal (RLO). Keduanya merupakan model regresi dengan variabel
responnya bersifat polychotomous, yaitu nilai variabel responnya lebih dari dua
kategori. Seperti analisis regresi pada umumnya, metode ini menggunakan
beberapa variabel bebas, yang memiliki tipe data numerik maupun kategorik.
Model geographically weighted logistic regression (GWLR) merupakan
representasi hubungan antara variabel respon dengan variabel bebas yang
mempertimbangkan lokasi secara geografis (Atkinson et al. [3]). Model GWLR
dengan variabel respon berskala ordinal dengan lebih dua kategori, yaitu model
regresi logistik ordinal terboboti secara geografis (RLOTG) (Purhadi et al. [15]).
Menurut Rifada dan Purhadi [18], faktor letak secara geografis merupakan faktor
pembobot pada model RLOTG.
Pada umumnya estimasi parameter model RLOTG menggunakaan metode
maximum likelihood. Metode tersebut menghasilkan suatu sistem persamaan
nonlinier yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu digunakan
pendekatan numerik. Pendekatan numerik yang digunakan adalah metode Newton
Raphson. Perhitungan dengan metode Newton Raphson memiliki laju konvergensi
yang lebih cepat daripada metode yang lain.
1
Menurut Darnius [8], software R merupakan software terintegrasi yang
memiliki fasilitas untuk merekayasa data, perhitungan, dan penampilan grafik.
Software R dapat digunakan pada analisis regresi linier dengan paket yang telah
tersedia. Estimasi parameter dilakukan pada software R dengan membuat program
berdasarkan algoritme. Software R didukung oleh komunitas yang secara aktif
dapat saling berinteraksi melalui internet dan didukung oleh manual atau R-help
(Suhartono [19]).
Sepanjang pengetahuan penulis, komputasi untuk estimasi parameter model
RLOTG belum pernah dilakukan dengan software R serta package-nya belum
tersedia. Pada penelitian ini dilakukan komputasi metode Newton Raphson dengan
software R untuk estimasi parameter model RLOTG.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, rumusan masalahnya adalah bagaimana
membuat program untuk metode Newton Raphson dengan software R dan
menerapkannya untuk estimasi parameter model RLOTG.
1.3 Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah membuat program untuk metode Newton
Raphson dengan software R dan menerapkannya untuk estimasi parameter model
RLOTG.
1.4 Manfaat
Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk memudahkan dalam estimasi
parameter model RLOTG yang digunakan menghitung peluang masing-masing
kategori respon pada pengamatan dengan banyak lokasi, menambah pengetahuan
pada komputasi statistic menambah pengetahuan tentang software R, menghitung
peluang kategori respon masing-masing lokasi pengamatan.
2
Shaifudin Zuhdi. 2015. KOMPUTASI METODE NEWTON RAPHSON
DENGAN SOFTWARE R UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL
REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI SECARA GEOGRAFIS
(RLOTG). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas
Maret.
Model regresi merupakan representasi hubungan antara variabel bebas
terhadap variabel respon. Variabel respon yang memiliki kategori digunakan dalam
model regresi logistik untuk menghitung peluangnya. Model regresi logistik untuk
variabel respon yang memiliki tingkatan adalah model regresi logistik ordinal.
Model RLOTG merupakan model regresi logistik ordinal yang dipengaruhi letak
geografis lokasi pengamatan. Estimasi parameter pada model diperlukan untuk
menentukan nilai populasi berdasarkan sampelnya. Terkadang estimasi parameter
tidak dapat diperoleh secara analitik karena sistem persamaan yang terlibat
didalamnya sulit ditentukan penyelesaiannya, oleh karena itu digunakan
pendekatan numerik.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan komputasi metode Newton Raphson
untuk estimasi parameter model RLOTG. Komputasi dilakukan dengan software R.
Pada penelitian ini dibuat algoritme iterasi untuk estimasi parameter model RLOTG
dan penerapannya untuk tingkat angka insiden demam berdarah dengue (DBD) di
Kota Semarang. Hasil estimasi parameter model RLOTG diperoleh dengan
algoritme Newton Raphson � + = � − −
dengan m adalah banyaknya
iterasi yang diperlukan. Hasil lainnya bahwa software R dapat digunakan
mengestimasi parameter model RLOTG dengan membentuk sintaks program
dengan perintah while. Sintaks program mempermudah proses estimasi parameter
pada setiap lokasi pengamatan. Eksperimentasi dilakukan dengan menggunakan
dua nilai awal yang berbeda, dan diperoleh bahwa iterasi dengan nilai awal nol lebih
lambat dibandingkan nilai awal dengan hasil estimasi parameter model regresi
logistik ordinal.
Kata Kunci: komputasi, Newton Raphson, software R, estimasi parameter,
RLOTG.
iii
ABSTRACT
Shaifudin Zuhdi. 2015. COMPUTING NEWTON RAPHSON METHOD
USING R SOFTWARE FOR PARAMETERS ESTIMATION OF
GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ORDINAL LOGISTIC REGRESSION
(GWOLR) MODEL. Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
A regression model is the representation of relationship between independent
variable and dependent variable. The dependent variable has categories used in the
logistic regression model to calculate odds on. The logistic regression model for
dependent variable has levels in the logistics regression model is ordinal. GWOLR
model is an ordinal logistic regression model influenced the geographical location
of the observation site. Parameters estimation in the model needed to determine the
value of a population based on sample. Sometimes the parameter estimation can not
be obtained analytically because the system of equations that are involved in it are
hard to be found the result, because of that numerical approach are used.
The purpose of this research is to compute Newton Raphson method in
estimating GWOLR model parameters. Computation is done by software R. This
research was created an iteration algorithm to estimate GWOLR model parameters
and the use of computing is for level of vulnerability to dengue hemorrhagic fever
(DHF) in Semarang city. The estimation results of GWOLR model parameters was
obtained by algorithm Newton Raphson � + = � − −
with
is the
number of iterations required. Other results that the software R can be used to
estimate the parameters of GWOLR model by forming a syntax program with
command “while”. Syntax program facilitate the estimation process parameters in
every location of observation. Experimentation was done by using two different
initial values, and it can be concluded that iteration with a initial value of zero is
slower than the initial value of the estimation results from ordinal logistic regression
parameter model.
Keywords : computation, Newton Raphson, R software, parameters estimation,
GWOLR.
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk
ibu, bapak, dan kakak yang selalu mendoakan dan memotivasiku untuk terus
berjuang menyelesaikan skripsi.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyampaikan terima
kasih kepada
1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang
telah memberikan bimbingan materi, arahan alur penulisan skripsi, serta
motivasi tiada henti, dan
2. Dr. Sutanto, S.Si., DEA sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Februari 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................. ii
ABSTRAK ............................................................................................................. iii
ABSTRACT............................................................................................................. iv
PERSEMBAHAN ................................................................................................... v
KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi
DAFTAR ISI ......................................................................................................... vii
DAFTAR TABEL .................................................................................................. ix
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................. x
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ....................................................................................... 2
1.3 Tujuan ............................................................................................................ 2
1.4 Manfaat .......................................................................................................... 2
BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 3
2.1 Tinjauan Pustaka............................................................................................ 3
2.1.1 Model Regresi ...................................................................................... 3
2.1.2 Model Regresi Logistik Ordinal ........................................................... 4
2.1.3 Data Spasial .......................................................................................... 5
2.1.4 Model RLOTG ..................................................................................... 6
2.1.5 Metode Newton Raphson ..................................................................... 7
2.1.6 Penentuan Nilai Optimal ...................................................................... 8
2.1.7 Software R ............................................................................................ 9
2.1.8 Demam Berdarah Dengue (DBD) ........................................................ 9
2.1.9 Kategori Angka Insiden Penyakit DBD ............................................. 10
2.2 Kerangka Pemikiran .................................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN .................................................................... 12
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 14
4.1 Algoritme Newton Raphson ........................................................................ 14
4.2 Komputasi Metode Newton Raphson dengan Software R .......................... 17
vii
4.3 Estimasi Parameter Model RLO pada Kasus Tingkat Penderita DBD........ 19
4.4 Model RLOTG pada Kasus Tingkat Penderita DBD .................................. 21
4.5 Estimasi Parameter Model RLOTG ............................................................ 21
4.6 Iterasi Newton Raphson untuk Estimasi Parameter Model RLOTG pada
Kasus Tingkat Penderita DBD..................................................................... 22
4.7 Hasil Estimasi Parameter Model RLOTG ................................................... 23
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 25
5.1 Kesimpulan .................................................................................................. 25
5.2 Saran ............................................................................................................ 25
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 26
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 4. 1 Banyaknya iterasi untuk estimasi parameter ........................................ 23
Tabel 4. 2 Hasil estimasi parameter model RLOTG untuk setiap kelurahan ....... 23
Tabel 4. 3 Nilai peluang kategori variabel respon untuk setiap kelurahan ........... 24
ix
DAFTAR GAMBAR
4. 1 Diagram alir untuk estimasi parameter model RLO ...................................... 15
4. 2 Diagram alir untuk estimasi parameter model RLOTG ................................. 17
x
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Hasil pengukuran dari suatu variabel dapat berupa dua atau lebih
kemungkinan nilai yang dikenal sebagai variabel kategorik. Variabel kategorik
yang tidak memiliki urutan disebut sebagai variabel nominal sedangkan yang
memiliki urutan disebut variabel ordinal. Suatu model yang mempergunakan skala
nominal sebagai variabel respon adalah model regresi logistik nominal, sedangkan
untuk variabel respon ordinal digunakan regresi logistik ordinal (McCullagh dan
Nelder [14]).
Model regresi logistik merepresentasikan hubungan antara variabel bebas
dengan variabel respon dan peluang kejadian yang diakibatkan oleh variabel bebas.
Terdapat dua tipe model regresi logistik yakni regresi logistik nominal dan regresi
logistik ordinal (RLO). Keduanya merupakan model regresi dengan variabel
responnya bersifat polychotomous, yaitu nilai variabel responnya lebih dari dua
kategori. Seperti analisis regresi pada umumnya, metode ini menggunakan
beberapa variabel bebas, yang memiliki tipe data numerik maupun kategorik.
Model geographically weighted logistic regression (GWLR) merupakan
representasi hubungan antara variabel respon dengan variabel bebas yang
mempertimbangkan lokasi secara geografis (Atkinson et al. [3]). Model GWLR
dengan variabel respon berskala ordinal dengan lebih dua kategori, yaitu model
regresi logistik ordinal terboboti secara geografis (RLOTG) (Purhadi et al. [15]).
Menurut Rifada dan Purhadi [18], faktor letak secara geografis merupakan faktor
pembobot pada model RLOTG.
Pada umumnya estimasi parameter model RLOTG menggunakaan metode
maximum likelihood. Metode tersebut menghasilkan suatu sistem persamaan
nonlinier yang sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu digunakan
pendekatan numerik. Pendekatan numerik yang digunakan adalah metode Newton
Raphson. Perhitungan dengan metode Newton Raphson memiliki laju konvergensi
yang lebih cepat daripada metode yang lain.
1
Menurut Darnius [8], software R merupakan software terintegrasi yang
memiliki fasilitas untuk merekayasa data, perhitungan, dan penampilan grafik.
Software R dapat digunakan pada analisis regresi linier dengan paket yang telah
tersedia. Estimasi parameter dilakukan pada software R dengan membuat program
berdasarkan algoritme. Software R didukung oleh komunitas yang secara aktif
dapat saling berinteraksi melalui internet dan didukung oleh manual atau R-help
(Suhartono [19]).
Sepanjang pengetahuan penulis, komputasi untuk estimasi parameter model
RLOTG belum pernah dilakukan dengan software R serta package-nya belum
tersedia. Pada penelitian ini dilakukan komputasi metode Newton Raphson dengan
software R untuk estimasi parameter model RLOTG.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, rumusan masalahnya adalah bagaimana
membuat program untuk metode Newton Raphson dengan software R dan
menerapkannya untuk estimasi parameter model RLOTG.
1.3 Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah membuat program untuk metode Newton
Raphson dengan software R dan menerapkannya untuk estimasi parameter model
RLOTG.
1.4 Manfaat
Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk memudahkan dalam estimasi
parameter model RLOTG yang digunakan menghitung peluang masing-masing
kategori respon pada pengamatan dengan banyak lokasi, menambah pengetahuan
pada komputasi statistic menambah pengetahuan tentang software R, menghitung
peluang kategori respon masing-masing lokasi pengamatan.
2