Tugas Matematika Wajib Dimensi Tiga Oleh

Tugas Matematika Wajib

Dimensi Tiga

Oleh:

Nama : Jihan Agustin
Kelas : XII Mipa 1

SMA Negeri 2 Padang
TP. 2017/2018

Dimensi Tiga
1. Kubus
I. Unsur-Unsur Kubus

 Sisi kubus

:

 bidang ABCD

 bidang EFGH
 bidang ABFE
 bidang CDHG
 bidang BCGF
 bidang ADHE
 Rusuk kubus :
 AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH
Rusuk-rusuk yang sejajar pada kubus :
 AB//DC//EF //HG
 AD// BC// FG//EH
 AE// BF//CG// DH

* Dua garis pada bangun ruang di katakan sejajar, jika kedua garis itu berpotongan
dan terletak pada satu bidang *

 Titik sudut

: A, B, C, D, E, F, G, H

II. Diagonal pada Kubus

 Rumus Diagonal Bidang
Dalam sebuah kubus ada 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Masingmasing sisi punya dua buah diagonal. Diagonal bidang adalah garis diagonal yang
menghubungkan antara titik sudut yang saling bersebrangan tapi masih dalam satu
sisi. Perhatikan gambar di bawah ini.

Panjang diagonal bidang dalam (Db) bangun ruang kubus dapat dicari dengan rumus
phytagoras dengan sisi yang sama.
Db2 = S2 + S2
Db2 = 2S2
Db = √2S2
Db = S √2
Db = Diagonal Bidang

 Rumus Diagonal Ruang Kubus

Diagonal ruang adalah garis yang melintasi ruang dalam kubus. Ia
menghubungkan titik sudut yang saling bersebrangan tapi beda sisi. Dalam satu
kubus ada 2 buah diagonal ruang. Perhatikan gambar di bawah ini

Garis yang menghubungkan titik sudut A dan G adalah diagonal ruang. Rumus
diagonal ruang kubus sama dengan phytagoras antara sisi dengan diagonal bidang.
Dr2 = S2 + Db2
Dr2 = S2 + (S√2)2
Dr2 = S2 + 2S2
Dr2 = 3S2
Dr = √(3S2)
Dr = S √3
Dr = Diagonal Ruang
Jika ada sebuah kubus dengan volume 64 cm3, berapa panjang diagonal ruangnya?
Dengan volume 64 cm3 maka panjang sisinya adalah 3√64 = 4 cm. Jadi panjang diagonal
ruang kubus = 4√3 cm.

 Rumus Luas Bidang Diagonal Kubus
Di dalam sebuah kubus ada bidang atau luasan yang disebut bidang
diagonal. Bidang ini terbentuk dari diagonal sisi dan juga sisi. Bentuknya persegi
panjang dengan panjang = diagonal sisi dan lebar = sisi. Perhatikan gambar di
bawah ini

Luas Bidang diagonal kubus dirumuskan

Lb = Ds x S
Lb = S√2 x S
Lb = S2√2
Lb = luas bidang diagonal kubus

 Luas Permukaan Kubus
Luas permukaan kubus adalah jumlah luas sisi-sisi kubus. Kalian ingat
bahwa kubus mempunyai 6 sisi dengan panjang rusuk (s). Sedangkan sisi kubus
merupakan bangun datar yaitu persegi. Jadi, untuk mencari luas permukaan kubus
adalah 6 kali luas persegi. Atau dengan rumus : 6 x s
keterangan:
L = luas permukaan kubus

s = panjang rusuk kubus
Volume Kubus

Kubus di samping mempunyai 8 kubus kecil. Kubus-kubus kecil tersebut
merupakan isi/volume kubus besar.
Dengan kata lain, volume kubus di samping adalah
2 satuan x 2 satuan x 2 satuan = 8 satuan

V = rusuk xrusuk xrusuk
=sxsxs
keterangan :
V = volume kubus
s = panjang rusuk

2. Balok
Balok adalah bangun ruang 3 dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau
persegi panjang dengan paling tidak ada sepasang diantaranya berukuran berbeda. Balok
memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok memiliki sifat, unsur, dan juga rumus
seperti luas permukaan, volume, bidang diagonal, diagonal bidang, dan diagonal ruang.
Sifat-Sifat Balok
 Sisi-sisi balok berbentuk persegi panjang.
 Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang.

 Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.
 Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.
 Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegipanjang.
Unsur-Unsur balok

Sisi atau Bidang
Sisi balok adalah bidang yang membatasi balok. Balok memiliki 6 sisi. Perhatikan
gambar diatas yang merupakan yang merupakan sisi adalah sisi bawah (ABCD); sisi atas
(EFGH); sisi depan (ABFE); sisi belakang (DCGH);sisi samping kiri (BCGF); dan sisi
samping kanan(ADHE).
Balok memiliki 3 pasang sisi yang sama bentuk dan ukurannya. Pasangan tersebut
adalah:
Sisi ABFE = sisi DCGH
Sisi ABCD = sisi EFGH
Sisi BCGF = sisi ADHE.
Rusuk
Rusuk adalah garis potongan antar dua sisi bidang balok dan terlihat seperti kerangka
yang menyusun balok. Sama seperti kubus, balok memiliki 12 rusuk . Perhatikan gambar
kubus diatas yang merupakan rusuk adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF,
CG, dan HD.

 Diagonal Bidang Balok
Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang
berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahami definisi tersebut coba
perhatikan bidang TUVW pada gambar di bawah ini.

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut
diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua
diagonal bidang, yaitu TV dan UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua
diagonal bidang. Karena balok memiliki 6 bidang sisi, maka balok memiliki 12 diagonal
bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau
diagonal sisi pada balok?
Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema
phytagoras. Sekarang perhatikan gambar balok di bawah ini.

Misalkan balok PQRS.TUVW di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka
panjang TV dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga
TUV siku-siku di U. Sehingga:
TV = √(TU2 + UV2)
TV = √(p2 + l2)

 Diagonal Ruang Balok
Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut
yang berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan
gambar berikut di bawah ini.

Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atau S dan U. Garis PV, garis QW,
garis RT, dan garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan
berpotongan di satu titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama
panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang
balok?
Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga
menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan balok ABCD.EFGH di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t.
Maka panjang AG dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi
sebelum itu harus cari panjang AC, di mana AC merupakan diagonal sisi. Sekarang
perhatikan segitiga ABC siku-siku di B. Sehingga:
AC = √(AB2 + BC2)
AC = √(p2 + l2)

Sekarang cari panjang AG dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga
ACG siku-siku di G. Sehingga:
AG = √(AC2 + CG2)
AG = √(√(p2 + l2)2 + t2)

AG = √(p2 + l2 + t2)
Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonal ruang balok dapat
dirumuskan:
d = √(p2 + l2 + t2)
 Bidang Diagonal
Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua
diagonal bidang suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok
PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.

Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam
bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen.
Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal
dapat menggunakan rumus luas persegi panjang

3. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang memiliki alas dan atap yang sama bentuk dan
ukurannya serta memiliki sisi bagian samping yang berbentuk persegi panjang.
Menurut kamus besar bahasa Indonesia, prisma berarti zat padat yang mempunyai
bentuk geometris dengan dua bidang sejajar yang identik.
unsur-unsur prisma adalah sebagai berikut;

1. Sisi atau Bidang
Terdapat 8 sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segienam, yaitu;
1. Sisi ABCDEF (sisi alas),
2. Sisi GHIJKL (sisi atas),
3. Sisi BCIH (sisi depan),
4. Sisi FEKL (sisi belakang),
5. Sisi ABHG (sisi depan kanan),
6. Sisi AFLG (sisi belakang kanan),
7. Sisi CDJI (sisi depan kiri),
8. Sisi DEKJ (sisi belakang kiri).
2. Rusuk
Dari Gambar tersebut di atas , terlihat bahwa prisma segienam ABCDEF.GHIJKL
memiliki 18 rusuk, 6 di antaranya adalah rusuk tegak. Rusuk-rusuk tersebut adalah AB,
BC, CD, DE, EF, FA, GH, HI, IJ, JK, KL, LG, dan rusuk-rusuk tegaknya adalah AG, BH,
CI, DJ, EK, FL.
3. Titik Sudut
Prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 12 titik sudut. Dari Gambar tersebut di
atas, terlihat bahwa titik-titik sudut tersebut adalah A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, dan L.

Selain unsur-unsur yang telah disebutkan, prisma pun memiliki istilah diagonal bidang
dan bidang diagonal.

Rumus Umum Banyak Bidang Diagonal Prisma Segi-n dan lainnya
Misalkan ada sebuah prisma segi-n beraturan, maka kita bisa menghitung banyaknya
unsur-unsur pada prisma segi-n beraturan tersebut dengan rumus umum :
Banyaknya sisi =n+2
Banyaknya rusuk =3n
Banyaknya titik sudut =2n
Banyaknya diagonal bidang =n(n−1)
Banyaknya diagonal ruang =n(n−3)
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−1) untuk n genap
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−3) untuk n ganjil
Catatan :
*). Bidang diagonal Prisma segi-n beraturan berbentuk persegi panjang,
*). Prisma segi-n beraturan memiliki bidang diagonal untuk n>3,
*). n adalah bilangan asli.

4. Limas
Limas adalah bangun ruang yang mempunyai alas berbentuk segi n (segitiga, segi
empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya mempunyai bentuk segitiga yang

berpotongan pada satu titik. Nah titik potong dari sisi-sisi tegak limas di sebut dengan
titik puncak limas.

Ciri ciri limas segi empat
1. Alasnya berbentuk segiempat.
2. Mempunyai lima buah bidang sisi.
3. Memiliki lima buah titik sudut.
4. Mempunyai delapan buah rusuk.
Rumus Limas Segi Empat
 Luas (L) = Luas alas + 4 X Luas sisi
dimana kita tahu :
luas alas limas = sisi×sisi
luas sisi tegak segitiga = (½×alas×tinggi)×4
Volume limas segiempat =1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi
atau
Volume (V) = 1/3 x Luas Alas x Tinggi

Rumus Umum Banyak Bidang Diagonal Limas dan lainnya :
Misalkan ada sebuah Limas, maka kita bisa menghitung banyaknya unsur-unsur pada
limas tersebut dengan rumus umum :
Banyaknya sisi =n+1
Banyaknya rusuk =2n
Banyaknya titik sudut =n+1
Banyaknya diagonal bidang =1/2n(n−3)
Banyaknya diagonal ruang =0
Banyaknya bidang diagonal =1/2n(n−3)
Catatan :
*). Bidang diagonal Limas berbentuk segitiga,
*). Limas memiliki bidang diagonal untuk n>3n>3,
*). nn adalah bilangan asli.