22. Modul Persamaan Parabola Pak Sukani
PERSAMAAN PARABOLA
1. Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0)
a. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu x Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dengan sumbu simetri sumbu x dan parameter p adalah :
2
y = 4px Dengan fokus F (p, 0) dan direktriks x =
- –p Contoh 1 :
2 Diketahui persamaan parabola : y = 16x. Tentukan ;
a. Koordinat puncak
b. Persamaan direktriks
b. Koordinat fokus
d. sket grafiknya Jawab :
2
y = 4px 4p = 16 p = 4
a. Koordinat puncak P (0, 0)
b. Koordinat fokus F (4, 0)
c. Persamaan direktriks x =
- –p =
- –4
d. Sket grafik y
0 F x x =
- –4 Contoh 2 : Tentukan persamaan parabola dan buat sketnya jika puncaknya P (0, 0) dan koordinat fokus F ( –2, 0).
Jawab : Fokus F (
- –2, 0) p = –2 Direktiks x =
- –p = 2
2 Persamaan parabola : y = 4px = 4 (
- –2) x =
- –8x Sket grafiknya : y F 0 x x = 2
b. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu y Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dan sumbu simetri sumbu y adalah :
2
x = 4py Dengan fokus F (0, p) dan direktriks y =
- –p
- –p p = –3 Fokus F (0,
- –3)
2 Persamaan parabola : x = 4py 0 x
= 4 (
- –3) y =
- –12y F Contoh 4 :
2 Diketahui persamaan parabola x = 12y. Tentukan :
b. Koordinat fokus
d. Sket grafik Jawab :
2
2
x = 4py = 12y y x
a. 4p = 12 p = 3
b. Koordinat fokus F (0, 3) F
c. Direktriks y =
- –p =
- –3
d. Sket grafik : 0 x y =
- –3
2. Persamaan parabola dengan puncak P (a, b)
Jika puncak parabola P (a, b), maka rumus-rumusnya adalah :
a. Sumbu simetrinya sumbu x :
2 Persaman parabola : (y = 4p(x
- – b) – a) Koordinat fokus : F {(p + a), b} Direktriks : x = a
- – p
b. Sumbu simetrinya sumbu y :
2 Persamaan parabola : (x = 4p(y
- – a) – b) Koordinat fokus : F {a, (p + b)} Direktriks : y = b
- – p Contoh 1 :
2 Tentukan puncak, fokus, direktriks parabola (y = 12 (x + 2) dan buat sket grafiknya.
- – 3) Jawab :
2
(y = 12 (x + 2) a =
- – 3) –2 ; b = 3 ; dan p = 3 Puncak (
- –2, 3) Fokus = {(3>–2)), 3} = (1, 3) y Direktriks x = a
- – p = –2 – 3 = –5 Sket grafik :>–2, 3) F (1, 3) 0 x x =
- –5
2 Tentukan puncak dan fokus dari parabola y = x
- – 4x + 5 Jawab :
2 Y = x
- – 4x + 5
2 Y = (x
- – 2) – 4 + 5
2
(x = y
- – 2) – 1
1
2
(x = 1 (y
- – 2) – 1) a = 2, b = 1, p =
4 Puncak : P (2, 1)
1 Fokus : F = (0 + a, p + b) = (0 + 2, + 1)
4
1
4
3. Bentuk Umum Persamaan Parabola
Sumbu simetris di sumbu x
2
(y = 4p (x
- – b) – a)
2
2
y = 4px
- – 2by + b – 4pa
2
2
y + 4pa
- – 2by – 4px + b
2
2
y + Ay + Bx + C = 0 A = + 4pa
- –2b ; B = –4p ; C = b Sumbu simetris di sumbu y
2
(x = 4p (y
- – a) – b)
2
2
x = 4py
- – 2ax + a – 4pb
2
2
x + 4pb = 0
- – 2ax – 4py + a
2
2
x + Ax + By + C = 0 A = + 4pb
- –2a ; B = –4p ; C = a Contoh 1 :
2 Ubah ke bentuk umum dari persamaan parabola : (y = 16 (x
- – 4) – 3) Jawab : sumbu simetris di sumbu x a = 3 ; b = 4 ; 4p = 16
2
2 A =
- 4pa = 4 + 16 (3) = 16 + 48 = 64
- –2b = –2 . (4) = –8 ; B = –4p = –16 ; C = b
2 Bentuk umum : y
- – 8y – 16x + 48 = 0 Contoh 2 :
2 Tentukan puncak dan fokus dari persamaan parabola : x + 10x
- – 8y + 41 = 0 Jawab : sumbu simetris di sumbu y
10 A = 10 a = =
- –5 ; B = -8 4p = 8 p = 2
2 2 2 C a 41
5
41
25
2 C = 41 C = a + 4pb b = = = = 2
p
4
8
8 Puncak (a, b)
Puncak (
- –5, 2) Fokus (a, b + p) Fokus (
- –5, 2 + 2) Fokus (–5, 4) Soal latihan : 1. Tentukan puncak, fokus, dan direktriks parabola di bawah ini.
2
2
2
2
a. y = 20x
b. x =
c. (y + 3) = 8 (x = 16 (y
- –12y – 2) d. (x – 1) – 4) Jawab : …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..
2. Tentukan persamaan parabola jika :
a. Puncak P (0, 0) dan fokus F (
- –3, 0)
b. Puncak P (
- –3, 4) dan fokus F (–3, –2)
3. Tentukan persamaan parabola dengan :
a. fokus (2, 0) dan direktriks x =
- –2
b. puncak (2, 3) dan direktriks y =
- –2
B. Garis Singgung Parabola
Persamaan parabola Garis singgung
2
y = 4px y
1 y = 2px 1 + 2px
2
x = 4py x
1 x = 2py 1 + 2py
2
(y = 4p (x (y
1
1
- – b) – a) – b) (y – b) = 2p (x – a) + 2p (x – a)
2
(x = 4p (y (x
1
1
- – a) – b) – a) (x – a) = 2p (y – b) + 2p (y – b)
2
y + Ay + Bx + C = 0 y y + ½Ay + ½Ay + ½Bx + ½Bx + C = 0
1
1
1
2
x + Ax + By + C = 0 x
1 x + ½Ax 1 + ½Ax + ½By 1 + ½By + C = 0
Contoh : 1
2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola y = 4x di titik (4, 4)
Jawab : 4p = 4 p = 1 ; x
1 = 4 dan y 1 = 4
4y = 2 . 4 + 2x 4y = 2x + 8 4y
- – 2x – 8 = 0 2y – x – 4 = 0 Contoh 2 :
2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola x = 8y di titik (
- –4, 2) Jawab : 4p = 8 p = 2 ; x
1 = 1 = 2
- –4 dan y
- –4x = 2 . 2 + 2y 4x + 2y + 4 = 0 2x + y + 2 = 0 Contoh 3 :
2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola (y = 12 (x + 2) di titik (1, 7).
- – 1) Jawab : 4p = 12 p = 3 ; a =
1 = 1, y
1 = 7
- –2, b = 1 ; x (7
- – 1) (y – 1) = 6 (1 + 2) + 6 (x + 2)
- – 1) = 18 + 6 (x + 2) 6y
- – 6 = 18 + 6x + 12 6y
- – 6x – 30 - 6 6y
- – 6x – 36 = 0 y – x – 1 = 0 Contoh 4 :
2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola : y
- – 8y – 20x + 76 = 0 di titik (8, – 2). Jawab : A =
- –8 ; B = –20 ; C = 76 y
1 y + ½Ay 1 + ½Ay + ½Bx 1 + ½Bx + C = 0
- –2y + ½(–8)( –2) + ½(–8)y + ½(–20).8 + ½(–20)x + 76 = 0
- –2y + 8 – 4y – 80 – 10x + 76 = 0
- –6y – 10x + 4 = 0 (dibagi –2) 3y
- – 2 = 0
EVALUASI 8
A. Pilihlah jawaban yang benar.2
1. Titik fokus dari persamaan parabola x = –12y adalah ....
a. (
b. (
c. (0,
d. (0, 6)
d. (0, 12)
- –12, 0) –6, 0) –3) 2. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0) dan direktriksnya y = 5 adalah ....
2
2
2
2
2
a. y = 20x
b. y = 10x
c. y = = 20y
e. x =
- –20x d. x –20y 3. Persamaan parabola yang mempunyai titik fokus (4, 0) adalah ....
2
2
2
2
2
a. y = 16x
b. y = 8x
c. y = 4x
d. x = 8y
e. x = 4y
4. Persamaan parabola dengan puncak (3, –1) dan direktriksnya x = 2 adalah ....
2
2
a. (y = 4 (x + 3)
d. (x = 4 (y + 3)
- – 1) – 1)
2
2
b. (y = 4 (x + 1)
e. (x = 4 (y + 1)
- – 3) – 3)
2
c. (y + 1) = 4 (x 5. Persamaan parabola dengan puncak (3, 2) dan titik fokus (3, 5) adalah ....
2
2
a. (y = 20 (x
d. (x = 12 (y
- – 2) – 3) – 3) – 2)
2
2
b. (y =
e. (x = 20 (y
- – 2) –20 (x – 3) – 3) – 2)
2
c. (y = 12 (x
- – 2) – 3)
2
6. Persamaan direktriks dari persamaan parabola : (y + 1) = –16 (x – 5) adalah ....
a. x =
b. x = 9
c. y = 3
d. y = 1
e. y =
- –1
- –5
2
7. Titik fokus dari parabola x – 6x – 4y = –1 adalah ....
a. (3, 1)
b. (3,
c. (
d. (
e. (1,
- –1) –3, 1) –1, 3) –3)
2 8. Persamaan garis yang menyinggung parabola : y = 16x di titik (1, 2) adalah ....
a. y
c. y + 16x = 16
e. 4x
- – 4x = –4
- – y = –4
b. y
d. x
- – 4x = –16 – 4y = –16
2
9. Persamaan garis yang menyinggung parabola : y – 3y – 4 = 2x di titik (–2, 3) adalah ....
a. 3y
c. 2x
e. 3x
- – 2x = 13 – 3y = 13 – 2y = 13
b. 3y + 2x = 13
d. 2x + 3y = 13
2 10. Persamaan garis yang menyinggung parabola x = 2y di titik (4, 8) adalah ....
a. y
- – 4x = 8 b. 4y + x = 8 c. 4y – x = 8 d. 4x – y = 8 e. 4x + y = 8 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan puncak, fokus, direktriks dari persamaan parabola :
2
a. (y = 16 (x
- – 3) – 4)
2
b. (x + 2) =
- –12 (y + 5) Jawab : ..............................................................................................................................................
2. Tentukan persamaan parabola dengan :
a. puncak di titik (3,
- –2) dan direktriks x = –8
b. puncak di titik (5, 3) dan direktriks y =
- –3 Jawab : ..............................................................................................................................................
3. Tentukan persamaan parabola dengan :
a. puncak di titik (4, 2) dan fokus (2, 2)
b. puncak di titik (
- –3, 5) dan fokus (–3, 2) Jawab : ..............................................................................................................................................
4. Ubah ke bentuk umum dari persamaan parabola :
2
a. (y = 8 (x + 1)
- – 4)
2
b. (x = 20 (y + 2)
- – 3) Jawab : ……………………………………………………………………………………………..
5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola :
2
a. (y + 1) = 24 (x
- – 3) dititik (2, 4)
2
b. (x =
- – 4) –16 (y – 1) dititik (6, 3) Jawab : ……………………………………………………………………………………………..