Aplikasi Software Edukasi Mathematica 6.
Penyelesaian Masalah Titik Tetap dari Fungsi dalam Sistem Dinamik Melalui
Penggunaan Software Pembelajaran Mathematica 6.0
Ega Gradini *
Abstrak
Dalam masalah rekayasa di bidang fisika, biologi, matematika dan terapan- terapannya,
sistem dinamik sering ditemui dalam bentuk matematis, dimana dalam menyelesaikan
persamaan digunakan proses pengulangan fungsi. Proses pengulangan inilah yang
dinamakan iterasi. Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mencari solusi untuk
masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica 6.0?
dan apakah dengan Mathematica 6.0 dapat mempermudah dan mempercepat dalam mencari
solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik?, khususnya sistem
dinamik dengan fungsi satu variabel. Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui
bagaimana mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan
menggunakan Mathematica 6.0. Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap
buku-buku atau literatur. Tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materinya
secara mendalam. Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari solusi titik
tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica dapat dicari
dengan perintah NRoots ataupun Solve. Sedangkan untuk mencari titik tetap pada orbit
dari fungsi dalam sistem dinamik dapat dicari dengan menggunakan perintah Nest ataupun
NestList. Dari pembahasan juga dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan
Mathematica lebih cepat dan lebih mudah dalam mencari solusi untuk masalah titik tetap
dari fungsi dalam sistem dinamik. Berdasarkan hasil kegiatan di atas pembahasan mengenai
penggunaan software Mathematica untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik
masih sangat terbatas sehingga perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam dalam
pengkajian berikutnya, dan apakah software Mathematica ini dapat berlaku untuk masalah
sistem dinamik yang lain, seperti masalah titik tetap pada fungsi trigonometri dan lain-lain.
Bagi mahasiswa matematika yang tertarik untuk melakukan penelitian yang berkaitan
dengan sistem dinamik, hendaknya dapat melakukan penelitian pada pokok bahasan sistem
dinamik yang lain, sehingga dapat mengembangkan aplikasi Mathematica untuk masalah
sistem dinamik.
Kata kunci: Iterasi, Bifurkasi, Mathematica 6.0, Titik Tetap, Sistem Dinamik, Software Edukasi
*Ega Gradini, Dosen Jurusan Tadris Matematika - Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri
(STAIN) Gajah Putih, Jalan Yos Sudarso No Takengon, Aceh.
Untuk mendapat solusi masalah
A. Pendahuluan
dasarnya
sistem dinamik tersebut, dapat digunakan
merupakan alat, sarana atau pelayan ilmu
dengan perhitungan manual, Mathematica,
lain. Hal ini tidak dapat dipungkiri dengan
dan
munculnya berbagai aplikasi matematika,
perhitungan dalam masalah sistem dinamik
baik dalam kehidupan sehari-hari maupun
baik secara manual, dengan Maple dan
dalam disiplin ilmu yang membutuhkan
Pascal
banyak perhitungan. Berbagai masalah
dikembangkan dan mungkin paling dikenal
dirasakan lebih mudah dimengerti dengan
baik
pendekatan matematika, sebagai dasar dari
Mathematica
berbagai disiplin ilmu.Dalam masalah
jurusan matematika belum pernah dikaji
rekayasa
secara mendalam, oleh karena itu penulis
Matematika
di
pada
bidang
fisika,
biologi,
lain-lain.
Semua
adalah
metode
yang
hingga
paling
sekarang.
pada
masa
awal
Program
perkuliahan
matematika dan terapan-terapannya, sistem
tertarik
dinamik sering ditemui dalam bentuk
Mathematica untuk masalah titik tetap dari
matematis, dimana dalam menyelesaikan
fungsi
persamaan digunakan proses pengulangan
dijadikan
fungsi. Dalam sistem dinamik proses
Mathematica belum pernah dikaji secara
pengulangan
dari
mendalam dalam perkuliahan, dengan
sebuah fungsi, dan proses pengulangan
Mathematica juga lebih mudah untuk
inilah yang dinamakan iterasi. Dalam
mencari solusi masalah sistem dinamik
mengerjakan
dari
karena Mathematica memang dirancang
mahasiswa menggunakan cara manual,
khusus untuk mencari dan menyelesaikan
padahal dalam sistem dinamik terdapat
masalah sistem dinamik walaupun dengan
soal yang bila diselesaikan secara manual
program lain masalah sistem dinamik juga
sangat sulit diselesaikan atau bahkan tidak
dapat diselesaikan, tetapi butuh waktu
dapat
lama untuk mengerjakannya.
merupakan
soal
aplikasi
kebanyakan
diselesaikan,
tetapi
apabila
mengangkat
untuk
dalam
Dalam
menggunakan Mathematica maka masalah
materi
sistem
judul
aplikasi
dinamik
skripsi.
menentukan
solusi
untuk
Selain
atau
sistem dinamik tersebut dapat dengan
penyelesaian suatu masalah titik tetap dari
mudah diselesaikan. Semua ini seiring
fungsi dalam sistem dinamik, keberadaan
dengan kemajuan teknologi, komputer
alat
merupakan produk teknologi yang mampu
mempermudah menyelesaikan secara cepat
memecahkan
hanya
dan tepat. Dewasa ini perkembangan
kemampuannya dalam menyimpan dan
teknologi komputer dan perangkat lunak
memberikan informasi tetapi juga dalam
lainnya dirasakan sangat pesat, khususnya
segi perhitungan matematika.
di bidang pendidikan. Salah satu perangkat
masalah,
bukan
bantu
sangat
dibutuhkan
untuk
lunak (software) berbasis matematika yang
(untuk besaran skalar pada garis R,
dikembangkan untuk kepentingan ilmu
meliputi semua kemungkinan nilai x), dan
pengetahuan adalah Mathematica.
‘dinamik’ yang digambarkan bagaimana
Mathematica
digunakan
oleh
belum
para
banyak
ilmuwan
atau
keadaan berubah pada saat itu (untuk kata
dinamik
ditentukan
mahasiswa di Indonesia untuk membantu
persamaan
menyelesaikan
meningkatnya
permasalahan-
x
=
dengan
solusi
f(x)).
teknologi
Dengan
komputer
padahal
diperoleh keuntungan yang sangat besar
Mathematica adalah perangkat lunak yang
dalam teori sistem dinamik pada akhir-
lengkap dan komunikatif. Persoalan yang
akhir ini, dan teori ini mendapat perhatian
dapat diselesaikan dengan Mathematica
pada
merupakan persoalan matematika murni,
persahabatan ‘chaos’ bonner (Robinson,
seperti sistem dinamik. Dengan alasan di
2004:56).
permasalahan
matematika,
tahun
1980-an
Secara
atas penulis tertarik untuk meneliti tentang
numerik
dibawah
telah
media
diselidiki
sistem
kerumitan dari persamaan sistem dinamik.
dinamik satu variabel, khususnya masalah
Sama halnya dengan menguji perilaku
titik tetap dari suatu fungsi. Ada beberapa
grafik
permsalahan
penulis
merupakan masalah yang solusinya di luar
tertarik, diantaranya adalah “Bagaimana
teknik yang disajikan dalam teori sistem
mencari solusi untuk masalah titik tetap
dinamik. Teori ini memperoleh dukungan
dari fungsi dalam sistem dinamik dengan
yang besar pada tahun 80-an, ketika
menggunakan
aplikasi
Mathematica
yang
untuk
membuat
iterasi
logistik.
Semua
ini
Mathematica?”
dan
dipopulerkan dibawah bendera media-
Mathematica
dapat
friendly “Chaos”. Salah satunya yang
mempermudah dan mempercepat dalam
popular adalah Making A New Science
mencari solusi untuk masalah titik tetap
yang ditulis oleh J. Gleick. Sementara
dari fungsi dalam sistem dinamik?”
penemu awal teori ini menyajikannya
“Apakah
dengan
dalam The Essence of Chaos yang ditulis
oleh E. N. Lorente (Robinson, 2004:374).
B. Sistem Dinamik dan Titik
Tetap
Pendekatan kualitatif adalah titik
Definisi 1
pandang utama yang digunakan dalam
Misal I⊆ R, F:I → I fungsi. Titik x 0 I
teori umum pada sistem dinamik. Sistem
disebut titik tetap apabila F(x 0 ) = x 0 .
dinamik mempunyai 2 komponen: ruang
Karena x 0 I titik tetap dengan F(x 0 ) = x 0 ,
fasa (ruang pusat), yang terdiri dari semua
maka dengan demikian
kemungkinan
‘keadaan’
pada
sistem
F2(x 0 ) = F(F(x 0 ))
= F(x 0 )
tetap.
= x 0 , dan F2(x 0 ) = x 0
Definisi 5
Misalkan F: I → I, I⊆ R, iterasi ke-n
Definisi 2
Misalkan F:I → I, I⊆ R, dan x 0
I.
dari F ditulis Fn(x) untuk suatu x bilangan
Orbit dari x 0 oleh F didefinisikan sebagai
real, didefinisikan sebagai n kali komposisi
2
barisan x 0 , x 1 = F(x 0 ), x 2 = F (x 0 ), x 3 =
dari fungsi F terhadap dirinya sendiri atau
F3(x 0 ), …, x n = Fn(x 0 ), …. Dalam hal ini,
Fn(x) = (F o F o F o … o F)(x) =
x 0 disebut sebagai benih dari orbit,
F(F(F(F(…(x))))).
sedangkan x i dengan i = 0,1,2,3,… disebut
Mengacu pada definisi 5 di atas,
maka untuk suatu fungsi F(x), F2(x) adalah
elemen dari orbit.
iterasi ke-2 dari fungsi F(x), dan dapat
ditulis sebagai F2(x) = F(F(x)). Demikian
Definisi 3
Misalkan F:I → I, I ⊆ R, dan x 0
I.
pula F3(x) = F(F(F(x))) dan seterusnya.
Orbit dari x 0 oleh fungsi F disebut orbit
periodik apabila orbit dari x 0 berupa
barisan pengulangan x 0 , F(x 0 ), …, Fn-1(x 0 ),
C. Menemukan Nilai Iterasi Yang
Terakhir Dan Tabel Iterasi.
x 0 , F(x 0 ), …, Fn-1(x 0 ), x 0, … dengan n
suatu bilangan asli. Dalam hal ini n disebut
Hal yang paling mudah untuk
sebagai periode prima dari orbit. Sebuah
memfungsikan iterasi dengan mathematica
titik x 0 disebut eventually periodic jika x 0
adalah
itu sendiri bukan periodik, tetapi beberapa
Nest. Perintahnya adalah:
dengan
menggunakan
perintah
Nest[fungsi, nilai awal,
titik pada orbit dari x 0 adalah periodik.
nomer iterasi]
(
Definisi 4
Misalkan F:I → I, I ⊆ R, dan x 0
I.
Orbit dari x 0 oleh fungsi F disebut orbit
periodik apabila orbit dari x 0 merupakan
Richard, 2000:204).
Dalam contoh berikut ini, diketahui
f(x) = x3 dan kemudian dicari iterasi ke-3
orbit periodik dengan periode prima satu.
dari f yang dimulai dengan nilai awal 1.2.
Dengan kata lain, orbit dari x 0 oleh fungsi
Perintahnya adalah:
F disebut orbit tetap jika orbit dari x 0
merupakan barisan konstan x 0 , x 0 , … .
Sebuah titik x 0 disebut eventually fixed
jika x 0 itu sendiri bukan tetap, tetapi
beberapa titik pada orbit dari x 0 adalah
Clear[f,x]; f[x_] :=
x^3; Nest[f ,1.2,3]
Diperoleh 137.371
Pernyataan NestList[ … ] digunakan
untuk menyatakan iterasi sebanyak n kali.
Perintahnya mirip dengan Nest. Untuk soal
hasilnya adalah:
yang sama yaitu f(x) = x3 dengan nilai awal
10
0.86414351
1.2 maka perintah untuk mencari 3 nilai
11
0.41089828
untuk iterasi pertama adalah:
12
0.84721309
Clear[f,x];
13
0.45305075
f[x_] := x^3;
14
0.86728519
NestList[f ,1.2,3]
15
0.40285557
Diperoleh
16
0.84197036
{1.2,1.728,5.15978,137.371}
17
0.46569696
(Richard,2000:204).
18
0.87088155
untuk
19
0.39356405
mengelompokkan tabel iterasi yaitu pada
20
0.83534986
Cara
berikutnya
(Richard, 2000:204).
awal dua baris pertama dijelaskan dulu
fungsinya, selanjutya menentukan variabel
D. Mengontrol Ketepatan Dari
nilai awal, cetakan iterasi pertama yang
diinginkan, dan cetakan iterasi terakhir
Perhitungan
Untuk sejumlah latihan, kita perlu
yang diinginkan. Program Mathematica
yang
secara
pendek
melakukan
aktual.
menggunakan
Pada
While[
perhitungan
contoh
…
]
ini
yang
untuk bisa mengontrol ketepatan dari
perhitungan. Kita menggunakan perintah
SetPrecission
pada
Mathematica,
menyatakan iterasi untuk fungsi h(x) =
dengan menulis pemisalan n significant
3.5x(1 – x) yang dimulai dari 1 dan nilai
digits,
iterasi yang dicetak yaitu nilai dari iterasi
pembulatan yang diperlukan. Perintahnya
ke-10 sampai dengan nilai iterasi yang ke-
adalah:
20. Perintahnya adalah:
SetPrecission[expression,n]
Clear[h,x,I,y]; h[x_] :=
penambahan
nol-nol
atau
Nol ditambahkan pada bilangan
3.5x (1 - x);
binary, sehingga 10 dasar perwakilan
StartingValue = .1;
nomor-nomor baru tidak perlu diakhiri nol.
FirstIteration = 10;
Pada perintah-perintah berikut, variabel
LastIteration = 20; I=0;
SigDigits
y = N[StartingValue];
sejumlah pembulatan:
mengontrol
nilai
While[i = FirstIteration,
h[x_] := 3.5x(1-x);
Print[i,” “,N[y,8]]];
StartingValue = .1;
y=h[y];I = i+1]
FirstIteration = 10;
dari
LastIteration = 20;
Program untuk menyelesaikan soal
SigDigits = 64; I=0;
ini adalah sebagai berikut:
y =etPrecission
Clear[T,x];
[StartingValue, SigDigits];
T[x_] := If[x{xmin,xmax},
12
0.84721309
AspectRatio->1]
13
0.45305075
14
0.86728519
15
0.40285557
16
0.84197036
17
0.46569696
18
0.87088155
19
0.39356405
20
0.83534986
Hasil Yang diperoleh adalah
Fungsi h(x) = 3.5x(1 – x) tidak
sensitif
kondisi
pada
perubahan
pemisalan,
program ini
sama
kecil
dalam
Penggunaan pernyataan if[ … ]
keluaran
dari
untuk menentukan T(x). Variabel xmin dan
program
xmax dicatat ulang pada titik akhir dan
dengan
sebelumnya (Richard, 2000:205).
pertama. Nomer iterasi = 2 memberi tahu
program untuk menghitung grafik dari
E. Membuat Grafik Fungsi Iterasi
fungsi T2. Jika angka 2 diganti dengan
Pada beberapa latihan, perlu juga
angka 3 maka yang terbuat adalah grafik
untuk membuat grafik dari fungsi iterasi.
T3. Plot dan Nest digunakan untuk
Sebagai contoh, untuk membuat grafik T2
membuat grafik pada garis y = x. Pada
dimana
garis kedua perintah Plot, kita definisikan
2�,
����� � ���� (0, �2 ]
�(�) = �
2 − 2� , ����� � ���� [�2 , 1]
fungsi utama untuk membuat grafik.
Plotrange->{xmin,xmax} adalah perintah
untuk
menampilkan
bahwa
kodomain
harus sama dengan domain. Akhirnya,
AspectRatio->1
menjadikan
grafiknya
Teorema 1
Jika f kontinue pada selang tutup
[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik
dalam dari (a,b), maka terdapat paling
persegi (Richard, 2000:206).
sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan
F. Teorema Nilai Rata-rata Untuk
f (b) − f (a) = f '(c)(b − a)
(Purcell, 2003:204).
Titik Tetap
Dalam bahasa geometri, Teorema
Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan
G.
Soal-soal
Yang
Dapat
dipahami. Teorema ini mengatakan bahwa
Diselesaikan
Secara
Manual
jika
kontinue
Diselesaikan
dengan
Menggunakan
mempunyai garis singgung tak tegak pada
Mathematica
grafik
sebuah
fungsi
dan
setiap titik antara A dan B, maka terdapat
paling sedikit satu titik C pada grafik
Contoh 1
antara A dan B, sehingga garis singgung di
Misal F(x) = x2 – 2, maka titik tetap
titik C sejajar talibusur AB.
P
P
oleh fungsi tersebut adalah:
1. Dikerjakan dengan cara manual
F(x) = x
⇔ x2 – 2 = x
P
P
⇔ x2 – x – 2 = 0
P
P
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
⇔ x = 2 atau x = -1
Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2
P
P
adalah -1 dan 2.
2. Dikerjakan dengan Menggunakan
Mathematica Perintahnya:
Nroots[x^2-x-2= = 0,x]
Hasilnya x = -1 dan x = 2
Selain dengan Nroots dapat pula
dicari dengan perintah: Solve[x^2-x2= =0]
Hasilnya {{x→-1},{x→2}}
Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2
yaitu:
F (x) = 1 - 2x Untuk x = 0 maka │F
adalah -1 dan 2.
(0)│= │1 - 2.(0)│= 1
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
di atas dapat dicari dengan mencari
Jadi untuk x = 0 merupakan titik
tetap netral, karena │F (0)│= 1 = 1.
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2
yaitu: F (x) = 2x
Contoh 3
Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │2.(1)│= 2 > 1 Untuk x = 2 maka │F (2)│=
│2.(2)│= 4 > 1
Misal F(x) = x2 - 2 dan x o = 1. Maka
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah:
Jadi untuk x = -1 merupakan titik
tetap pelempar, karena │F (-1)│= 2 > 1.
1. Dikerjakan dengan Cara Manual
xo = 1
untuk x= 2 merupakan titik tetap pelempar,
x 1 = F(x o )
karena │F (2)│= 4 > 1.
=
F(1)
=
(1)2 - 2
Contoh 2
=
1-2
Misal F(x) = x - x2, maka titik tetap
=
-1
x 2 = F(F(x o ))
oleh fungsi tersebut adalah:
1. Dikerjakan dengan cara manual
=
F(-1)
F(x) = x
=
(-1)2 – 2
⇔
x - x2 = x
=
1-2
⇔
- x2 = 0
=
-1
⇔
x=0
x 3 = F(F(F(x o )))
2
Jadi titik tetap dari F(x) = x - x adalah 0.
2. Dikerjakan dengan Menggunakan
= F(-1)
= (-1)2 - 2
= 1-2
Mathematica Perintahnya:
= -1
Nroots[-x^2==0,x]
Hasilnya x = 0. Selain dengan Nroots
x 4 = F(F(F(F(x o ))))
dapat
perintah:
= F(-1)
Hasilnya
= (-1)2 - 2
pula
dicari
Solve[-x^2==0].
dengan
{{x→0},{x→0}}, jadi titik tetap dari F(x)
= 1-2
= x - x2 adalah 0.
= -1 dan seterusnya.
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
di atas dapat dicari dengan mencari
turunan yang pertama dari F(x) = x - x2
Jadi orbit dari x o = 1 oleh F(x) = x2 2 adalah barisan 1, -1, -1, -1, -1, ...
Jadi titik tetapnya adalah -1.
= - 6 - 36
2.
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
= - 42
Mathematica Perintahnya:
x 4 = F(F(F(F(x o ))))
Clear[f,x]; f[x_]:=x^2-2;
= F(-42)
NestList[f,1,4]
= - 42 – (- 42)2
hasilnya adalah: {1, -1, -1, -1, -1} Jadi titik
= - 42 – 1764
tetapnya adalah -1.
= - 1806
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
x 5 = F(F(F(F(F(x o )))))
di atas dapat dicari dengan mencari
= F(- 1806)
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2
= -1806 – (- 1806)2
yaitu:
= - 1806 - 3261636
F (x) = 2x, Untuk x = -1 maka │F (-1)│=
= - 3263442 dan seterusnya.
│2.(-1)│= 2 > 1
Jadi orbit dari x o = 2 oleh F(x) = x –
Jadi untuk F(x) = x2 - 2 dan x o = 1,
x2 adalah barisan 2, -2, -6, -42, -1806,...
maka titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk nilai x = -1 maka
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42,
-1806, -3263442, ...
│F (x)│> 1.
2.
Contoh 4
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
Mathematica Perintahnya:
2
Misal F(x) = x - x dan x o = 2. Maka
Clear[f,x]; f[x_]:=x-x^2;
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah:
NestList[f,2,5]
1. Dikerjakan dengan Cara Manual x o = 2
hasilnya adalah {2, -2, -6, -42, -
x 1 = F(x o )
1806, -3263442}
= F(2)
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42, -1806,
= 2 – 22
-3263442. Jadi klasifikasi untuk titik tetap
= 2-4
tersebut di atas dapat dicari dengan
= -2
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x 2 = F(F(x o ))
x – x2 yaitu:
= F(-2)
f (x) = 1 – 2x, Untuk x = -2 maka │F (-
= -2 – (-2)
2
2)│=│1 - 2(-2)│=│1 + 4│= 5 > 1
= -2 - 4
Untuk x = -6 maka │F (-6)│=│1 - 2(-6)│=
= -6
│1 + 12│= 13 > 1 dan seterusnya.
x 3 = F(F(F(x o )))
Jadi untuk F(x) = x – x2 dan x o = 2 semua
= F(- 6)
titik
= - 6 – (- 6)
2
tetapnya
merupakan
titik
tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
H.
merupakan titik tetap penarik, karena│F
Contoh
Soal
Yang
Sulit
(0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (1)│= 15 > 1.
Diselesaikan Secara Manual
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
Contoh 5
fungsi F(x) = x15 dengan x = 15.
Misal F(x) = x15 dan x o = 15. Titik
Perintahnya:
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
Clear[f,x]; f[x_]:=x^15;
sangat sulit diselesaikan secara manual.
NestList[f,15,2]
Karena
hasilnya adalah:
secara
manual
sangat
sulit
diselesaikan, maka untuk menyelesaikan
{15,437893890380859375,17381
yaitu dengan menggunakan Mathematica.
5884388650643684523248235342
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
3048336904055981032837419410
x15. Perintahnya:
7072236685794679808754722755
NRoots[x^15-x= =0,x]
9573094377456591352752701090
Hasilnya:
6886812202653355422704296190
x = -1. x = -0.900969 0.433884i x = -0.900969 +
0.433884i x = -0.62349 0.781831i x = -0.62349 +
0.781831i x = -0.222521 0.974928i x = -0.222521 +
0.974928i x = 0 x = 0.222521
- 0.974928i x = 0.222521 +
0.974928i x =
0.62349 0.781831i x =
0.62349 +
0.781831i x = 0.900969 0.433884i x = 0.900969 +
0.433884i x = 1.
1854094259468910828281856816
5515717030251408538115955132
2001849023808191322662194955
3063473103975411504507064819
3359375}.
Jadi untuk F(x) = x15 dan x o = 15
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x15 yaitu:
Contoh 6
Misal F(x) = x25 dan x o = 545. Titik
F (x) = 15x14
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │15.(-
sangat sulit diselesaikan secara manual.
1)14│= 15 > 1 Untuk x = 0 maka │F (0)│=
Karena
│15.(0)14│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
(1)│= │15.(1)14│= 15 > 1
soal pada contoh 4.10 yaitu dengan
Jadi x = -1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (-1)│= 15 > 1. x = 0
secara
manual
sangat
sulit
menggunakan Mathematica.
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
x25. Perintahnya:
NRoots[x^25-x= =0,x]
{545,25698782981643620214314
Hasilnya:
7864160233298385955790928825
x = -1 x = -0.965926 0.258819i x = -0.965926 +
0.258819i x = -0.866025 0.5i x = -0.866025 + 0.5i x
= -0.707107 - 0.707107i x =
-0.707107 + 0.707107i x = 0.5 - 0.866025i x = -0.5 +
0.866025i x = -0.258819 0.965926i x = -0.258819 +
0.965926i
x
=
0
x
=
1.19264x1017
–
1i
x
=
1.19264x1017
+
1i
x
=
0.258819 - 0.965926i x =
0.258819 + 0.965926i x = 0.5
0.866025i
x
=
0.5
+
0.866025i x = 0.707107 0.707107i x = 0.707107 +
0.707107i x = 0.866025 –
0.5i x = 0.866025 + 0.5i x =
0.965926 - 0.258819i x =
0.965926 + 0.258819i x = 1
438022613525390625}.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x25 yaitu: F (x) = 25x24, Untuk x = -1 maka
│F (-1)│= │25.(-1)24│= 25 > 1 Untuk x =
0 maka │F (0)│= │25.(0)│= 0 < 1 Untuk x
= 1 maka │F (1)│= │25.(1)│= 25 > 1
Jadi x = -1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (-1)│= 25 > 1. x = 0
merupakan titik tetap penarik, karena│F
(0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (1)│= 25 > 1
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x25 dengan x = 545.
Perintahnya:
Clear[f,x]; f[x_]:=x^25;
NestList[f,545,1]
hasilnya adalah:
Jadi untuk F(x) = x25 dan x o = 545
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
Contoh 7
Misal F(x) = x20 dan x o = 9. Titik
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
sangat sulit diselesaikan secara manual.
Karena
secara
manual
sangat
sulit
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
soal pada contoh 4.11 yaitu dengan
menggunakan Mathematica.
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
x20. Perintahnya:
NRoots[x^20-x= =0,x]
Hasilnya:
x = -0.986361 - 0.164595i
= -0.986361 + 0.164595i x
-0.879474 - 0.475947i x =
0.879474 + 0.475947i x =
0.677282 - 0.735724i x =
0.677282 + 0.735724i x =
0.401695 - 0.915773i x =
0.401695 + 0.915773i x =
0.0825793 - 0.996584i x =
0.0825793 + 0.996584i x =
x = 0.245485 - 0.9694i x
0.245485
+
0.9694i
x
0.546948 - 0.837166i x
0.546948 + 0.837166i x
0.789141 - 0.614213i x
0.789141 + 0.614213i x
0.945817 - 0.324699i x
0.945817 + 0.324699i x = 1.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
x
=
0
=
=
=
=
=
=
=
NRoots[x^17-x+3= =0,x]
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
20
x yaitu:
19
F (x) = 20x
Untuk x = 0 maka │F (0)│=
│20.(019)│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F
(1)│= │20.(119)│= 20 > 1
Jadi x = 0 merupakan titik tetap
penarik, karena │F (0)│= 0 < 1. x = 1
merupakan titik tetap pelempar, karena │F
(1)│= 20 > 1.
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x20 dengan x = 9.
Perintahnya:
Hasilnya:
x = -1.08633 x = -1.00984 0.397987i x = -1.00984 +
0.397987i x = -0.791853 0.738446i x = -0.791853 +
0.738446i x = -0.465012 0.972816i x = -0.465012 +
0.972816i x = -0.0778989 1.06912i x = -0.0778989 +
1.06912i x = 0.312905 1.017i x = 0.312905 + 1.017i
x = 0.65254 - 0.829137i x =
0.65254 + 0.829137i x =
0.897877 - 0.537805i x =
0.897877 + 0.537805i x =
1.02444 - 0.185664i x =
1.02444 + 0.185664i
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
Clear[f,x];f[x_]:=x^20;
tersebut di atas dapat dicari dengan
NestList[f,9,1]
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
Hasilnya
adalah
{9,12157665459056928801}.
Jadi untuk F(x) = x20 dan x o = 9
x17 + 3 yaitu:
F (x) = 17x16
Untuk x = -1.08633 maka │F (1.08633)│=
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
│17.(-1.08633)16│= │17.(3,761736)│ =
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
63.94952 > 1
│F (x)│> 1.
Jadi x = -1.08633 merupakan titik tetap
pelempar, karena │F (-1.08633)│> 1.
Contoh 8
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x17 + 3 dengan x = 11.
Misal F(x) = x
17
+ 3 dan x o = 11.
Perintahnya:
Titik tetap dan orbit dari x o oleh fungsi
Clear[f,x]; f[x_]:=x^17+3;
tersebut sangat sulit diselesaikan secara
NestList[f,11,2]
manual. Karena secara manual sangat sulit
Hasilnya adalah:
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
{11, 505447028499293774, 917
soal pada contoh 4.12 yaitu dengan
2463893975597424478896754521
menggunakan Mathematica.
2134742766342760937869901351
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
6026401269483902781980416678
17
x + 3.
2838929516105693166852339972
Perintahnya:
3116579927183111458423316178
6679074581161904221053109124
disimpulkan bahwa:
7073055355715988323965358787
1. Untuk mencari solusi titik tetap dari
4964615086743106522647224287
fungsi dalam sistem dinamik dengan
3668340748421525337401178359
menggunakan
7138766050157186281313973069
dicari dengan perintah NRoots ataupun
7592290851815427}
Solve. Sedangkan untuk mencari titik
17
Jadi untuk F(x) = x + 3 dan x o = 11
Mathematica
6.0
dapat
tetap pada orbit dari fungsi dalam sistem
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
dinamik dapat dicari dengan menggunakan
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
perintah Nest ataupun NestList.
│F (x)│> 1.
2. Dengan menggunakan Mathematica 6.0
lebih cepat dan lebih mudah dalam
I. Penutup
mencari solusi untuk masalah titik tetap
Berdasarkan uraian pada
dari fungsi dalam sistem dinamik.
pembahasan di atas, maka dapat
DAFTAR PUSTAKA
Abell, Martha L. dan Braselton, James P. 1994. Mathematica By Example, Revised Edition.
Cambridge:Academic Press Inc.
Devaney, Robert L., 1992. A First Course In Chaotic dynamical Systems. Menlo Park:AddisonWesley.
Perto Lawrence, 2000. Differential Equations and Dynamical System. New York:SpringerVerlag.
Purcell, Edwin J., 2003. Kalkulus 1. Hamline:Addison-Wesley.
Richard A. dan Holmgren, 2000. A First Course In Discrete Dynamical System. New
York:Springer-Verlag.
Robert L. dan Devaney, 1986. An Introduction to Chaotic Dynamical System.Canada:United
States of America.
Robinson James C. 2004. An Introduction to Ordinary Differential equations. United
Kingdom:Cambridge University Press.
Penggunaan Software Pembelajaran Mathematica 6.0
Ega Gradini *
Abstrak
Dalam masalah rekayasa di bidang fisika, biologi, matematika dan terapan- terapannya,
sistem dinamik sering ditemui dalam bentuk matematis, dimana dalam menyelesaikan
persamaan digunakan proses pengulangan fungsi. Proses pengulangan inilah yang
dinamakan iterasi. Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mencari solusi untuk
masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica 6.0?
dan apakah dengan Mathematica 6.0 dapat mempermudah dan mempercepat dalam mencari
solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik?, khususnya sistem
dinamik dengan fungsi satu variabel. Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui
bagaimana mencari solusi untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan
menggunakan Mathematica 6.0. Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap
buku-buku atau literatur. Tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materinya
secara mendalam. Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari solusi titik
tetap dari fungsi dalam sistem dinamik dengan menggunakan Mathematica dapat dicari
dengan perintah NRoots ataupun Solve. Sedangkan untuk mencari titik tetap pada orbit
dari fungsi dalam sistem dinamik dapat dicari dengan menggunakan perintah Nest ataupun
NestList. Dari pembahasan juga dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan
Mathematica lebih cepat dan lebih mudah dalam mencari solusi untuk masalah titik tetap
dari fungsi dalam sistem dinamik. Berdasarkan hasil kegiatan di atas pembahasan mengenai
penggunaan software Mathematica untuk masalah titik tetap dari fungsi dalam sistem dinamik
masih sangat terbatas sehingga perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam dalam
pengkajian berikutnya, dan apakah software Mathematica ini dapat berlaku untuk masalah
sistem dinamik yang lain, seperti masalah titik tetap pada fungsi trigonometri dan lain-lain.
Bagi mahasiswa matematika yang tertarik untuk melakukan penelitian yang berkaitan
dengan sistem dinamik, hendaknya dapat melakukan penelitian pada pokok bahasan sistem
dinamik yang lain, sehingga dapat mengembangkan aplikasi Mathematica untuk masalah
sistem dinamik.
Kata kunci: Iterasi, Bifurkasi, Mathematica 6.0, Titik Tetap, Sistem Dinamik, Software Edukasi
*Ega Gradini, Dosen Jurusan Tadris Matematika - Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri
(STAIN) Gajah Putih, Jalan Yos Sudarso No Takengon, Aceh.
Untuk mendapat solusi masalah
A. Pendahuluan
dasarnya
sistem dinamik tersebut, dapat digunakan
merupakan alat, sarana atau pelayan ilmu
dengan perhitungan manual, Mathematica,
lain. Hal ini tidak dapat dipungkiri dengan
dan
munculnya berbagai aplikasi matematika,
perhitungan dalam masalah sistem dinamik
baik dalam kehidupan sehari-hari maupun
baik secara manual, dengan Maple dan
dalam disiplin ilmu yang membutuhkan
Pascal
banyak perhitungan. Berbagai masalah
dikembangkan dan mungkin paling dikenal
dirasakan lebih mudah dimengerti dengan
baik
pendekatan matematika, sebagai dasar dari
Mathematica
berbagai disiplin ilmu.Dalam masalah
jurusan matematika belum pernah dikaji
rekayasa
secara mendalam, oleh karena itu penulis
Matematika
di
pada
bidang
fisika,
biologi,
lain-lain.
Semua
adalah
metode
yang
hingga
paling
sekarang.
pada
masa
awal
Program
perkuliahan
matematika dan terapan-terapannya, sistem
tertarik
dinamik sering ditemui dalam bentuk
Mathematica untuk masalah titik tetap dari
matematis, dimana dalam menyelesaikan
fungsi
persamaan digunakan proses pengulangan
dijadikan
fungsi. Dalam sistem dinamik proses
Mathematica belum pernah dikaji secara
pengulangan
dari
mendalam dalam perkuliahan, dengan
sebuah fungsi, dan proses pengulangan
Mathematica juga lebih mudah untuk
inilah yang dinamakan iterasi. Dalam
mencari solusi masalah sistem dinamik
mengerjakan
dari
karena Mathematica memang dirancang
mahasiswa menggunakan cara manual,
khusus untuk mencari dan menyelesaikan
padahal dalam sistem dinamik terdapat
masalah sistem dinamik walaupun dengan
soal yang bila diselesaikan secara manual
program lain masalah sistem dinamik juga
sangat sulit diselesaikan atau bahkan tidak
dapat diselesaikan, tetapi butuh waktu
dapat
lama untuk mengerjakannya.
merupakan
soal
aplikasi
kebanyakan
diselesaikan,
tetapi
apabila
mengangkat
untuk
dalam
Dalam
menggunakan Mathematica maka masalah
materi
sistem
judul
aplikasi
dinamik
skripsi.
menentukan
solusi
untuk
Selain
atau
sistem dinamik tersebut dapat dengan
penyelesaian suatu masalah titik tetap dari
mudah diselesaikan. Semua ini seiring
fungsi dalam sistem dinamik, keberadaan
dengan kemajuan teknologi, komputer
alat
merupakan produk teknologi yang mampu
mempermudah menyelesaikan secara cepat
memecahkan
hanya
dan tepat. Dewasa ini perkembangan
kemampuannya dalam menyimpan dan
teknologi komputer dan perangkat lunak
memberikan informasi tetapi juga dalam
lainnya dirasakan sangat pesat, khususnya
segi perhitungan matematika.
di bidang pendidikan. Salah satu perangkat
masalah,
bukan
bantu
sangat
dibutuhkan
untuk
lunak (software) berbasis matematika yang
(untuk besaran skalar pada garis R,
dikembangkan untuk kepentingan ilmu
meliputi semua kemungkinan nilai x), dan
pengetahuan adalah Mathematica.
‘dinamik’ yang digambarkan bagaimana
Mathematica
digunakan
oleh
belum
para
banyak
ilmuwan
atau
keadaan berubah pada saat itu (untuk kata
dinamik
ditentukan
mahasiswa di Indonesia untuk membantu
persamaan
menyelesaikan
meningkatnya
permasalahan-
x
=
dengan
solusi
f(x)).
teknologi
Dengan
komputer
padahal
diperoleh keuntungan yang sangat besar
Mathematica adalah perangkat lunak yang
dalam teori sistem dinamik pada akhir-
lengkap dan komunikatif. Persoalan yang
akhir ini, dan teori ini mendapat perhatian
dapat diselesaikan dengan Mathematica
pada
merupakan persoalan matematika murni,
persahabatan ‘chaos’ bonner (Robinson,
seperti sistem dinamik. Dengan alasan di
2004:56).
permasalahan
matematika,
tahun
1980-an
Secara
atas penulis tertarik untuk meneliti tentang
numerik
dibawah
telah
media
diselidiki
sistem
kerumitan dari persamaan sistem dinamik.
dinamik satu variabel, khususnya masalah
Sama halnya dengan menguji perilaku
titik tetap dari suatu fungsi. Ada beberapa
grafik
permsalahan
penulis
merupakan masalah yang solusinya di luar
tertarik, diantaranya adalah “Bagaimana
teknik yang disajikan dalam teori sistem
mencari solusi untuk masalah titik tetap
dinamik. Teori ini memperoleh dukungan
dari fungsi dalam sistem dinamik dengan
yang besar pada tahun 80-an, ketika
menggunakan
aplikasi
Mathematica
yang
untuk
membuat
iterasi
logistik.
Semua
ini
Mathematica?”
dan
dipopulerkan dibawah bendera media-
Mathematica
dapat
friendly “Chaos”. Salah satunya yang
mempermudah dan mempercepat dalam
popular adalah Making A New Science
mencari solusi untuk masalah titik tetap
yang ditulis oleh J. Gleick. Sementara
dari fungsi dalam sistem dinamik?”
penemu awal teori ini menyajikannya
“Apakah
dengan
dalam The Essence of Chaos yang ditulis
oleh E. N. Lorente (Robinson, 2004:374).
B. Sistem Dinamik dan Titik
Tetap
Pendekatan kualitatif adalah titik
Definisi 1
pandang utama yang digunakan dalam
Misal I⊆ R, F:I → I fungsi. Titik x 0 I
teori umum pada sistem dinamik. Sistem
disebut titik tetap apabila F(x 0 ) = x 0 .
dinamik mempunyai 2 komponen: ruang
Karena x 0 I titik tetap dengan F(x 0 ) = x 0 ,
fasa (ruang pusat), yang terdiri dari semua
maka dengan demikian
kemungkinan
‘keadaan’
pada
sistem
F2(x 0 ) = F(F(x 0 ))
= F(x 0 )
tetap.
= x 0 , dan F2(x 0 ) = x 0
Definisi 5
Misalkan F: I → I, I⊆ R, iterasi ke-n
Definisi 2
Misalkan F:I → I, I⊆ R, dan x 0
I.
dari F ditulis Fn(x) untuk suatu x bilangan
Orbit dari x 0 oleh F didefinisikan sebagai
real, didefinisikan sebagai n kali komposisi
2
barisan x 0 , x 1 = F(x 0 ), x 2 = F (x 0 ), x 3 =
dari fungsi F terhadap dirinya sendiri atau
F3(x 0 ), …, x n = Fn(x 0 ), …. Dalam hal ini,
Fn(x) = (F o F o F o … o F)(x) =
x 0 disebut sebagai benih dari orbit,
F(F(F(F(…(x))))).
sedangkan x i dengan i = 0,1,2,3,… disebut
Mengacu pada definisi 5 di atas,
maka untuk suatu fungsi F(x), F2(x) adalah
elemen dari orbit.
iterasi ke-2 dari fungsi F(x), dan dapat
ditulis sebagai F2(x) = F(F(x)). Demikian
Definisi 3
Misalkan F:I → I, I ⊆ R, dan x 0
I.
pula F3(x) = F(F(F(x))) dan seterusnya.
Orbit dari x 0 oleh fungsi F disebut orbit
periodik apabila orbit dari x 0 berupa
barisan pengulangan x 0 , F(x 0 ), …, Fn-1(x 0 ),
C. Menemukan Nilai Iterasi Yang
Terakhir Dan Tabel Iterasi.
x 0 , F(x 0 ), …, Fn-1(x 0 ), x 0, … dengan n
suatu bilangan asli. Dalam hal ini n disebut
Hal yang paling mudah untuk
sebagai periode prima dari orbit. Sebuah
memfungsikan iterasi dengan mathematica
titik x 0 disebut eventually periodic jika x 0
adalah
itu sendiri bukan periodik, tetapi beberapa
Nest. Perintahnya adalah:
dengan
menggunakan
perintah
Nest[fungsi, nilai awal,
titik pada orbit dari x 0 adalah periodik.
nomer iterasi]
(
Definisi 4
Misalkan F:I → I, I ⊆ R, dan x 0
I.
Orbit dari x 0 oleh fungsi F disebut orbit
periodik apabila orbit dari x 0 merupakan
Richard, 2000:204).
Dalam contoh berikut ini, diketahui
f(x) = x3 dan kemudian dicari iterasi ke-3
orbit periodik dengan periode prima satu.
dari f yang dimulai dengan nilai awal 1.2.
Dengan kata lain, orbit dari x 0 oleh fungsi
Perintahnya adalah:
F disebut orbit tetap jika orbit dari x 0
merupakan barisan konstan x 0 , x 0 , … .
Sebuah titik x 0 disebut eventually fixed
jika x 0 itu sendiri bukan tetap, tetapi
beberapa titik pada orbit dari x 0 adalah
Clear[f,x]; f[x_] :=
x^3; Nest[f ,1.2,3]
Diperoleh 137.371
Pernyataan NestList[ … ] digunakan
untuk menyatakan iterasi sebanyak n kali.
Perintahnya mirip dengan Nest. Untuk soal
hasilnya adalah:
yang sama yaitu f(x) = x3 dengan nilai awal
10
0.86414351
1.2 maka perintah untuk mencari 3 nilai
11
0.41089828
untuk iterasi pertama adalah:
12
0.84721309
Clear[f,x];
13
0.45305075
f[x_] := x^3;
14
0.86728519
NestList[f ,1.2,3]
15
0.40285557
Diperoleh
16
0.84197036
{1.2,1.728,5.15978,137.371}
17
0.46569696
(Richard,2000:204).
18
0.87088155
untuk
19
0.39356405
mengelompokkan tabel iterasi yaitu pada
20
0.83534986
Cara
berikutnya
(Richard, 2000:204).
awal dua baris pertama dijelaskan dulu
fungsinya, selanjutya menentukan variabel
D. Mengontrol Ketepatan Dari
nilai awal, cetakan iterasi pertama yang
diinginkan, dan cetakan iterasi terakhir
Perhitungan
Untuk sejumlah latihan, kita perlu
yang diinginkan. Program Mathematica
yang
secara
pendek
melakukan
aktual.
menggunakan
Pada
While[
perhitungan
contoh
…
]
ini
yang
untuk bisa mengontrol ketepatan dari
perhitungan. Kita menggunakan perintah
SetPrecission
pada
Mathematica,
menyatakan iterasi untuk fungsi h(x) =
dengan menulis pemisalan n significant
3.5x(1 – x) yang dimulai dari 1 dan nilai
digits,
iterasi yang dicetak yaitu nilai dari iterasi
pembulatan yang diperlukan. Perintahnya
ke-10 sampai dengan nilai iterasi yang ke-
adalah:
20. Perintahnya adalah:
SetPrecission[expression,n]
Clear[h,x,I,y]; h[x_] :=
penambahan
nol-nol
atau
Nol ditambahkan pada bilangan
3.5x (1 - x);
binary, sehingga 10 dasar perwakilan
StartingValue = .1;
nomor-nomor baru tidak perlu diakhiri nol.
FirstIteration = 10;
Pada perintah-perintah berikut, variabel
LastIteration = 20; I=0;
SigDigits
y = N[StartingValue];
sejumlah pembulatan:
mengontrol
nilai
While[i = FirstIteration,
h[x_] := 3.5x(1-x);
Print[i,” “,N[y,8]]];
StartingValue = .1;
y=h[y];I = i+1]
FirstIteration = 10;
dari
LastIteration = 20;
Program untuk menyelesaikan soal
SigDigits = 64; I=0;
ini adalah sebagai berikut:
y =etPrecission
Clear[T,x];
[StartingValue, SigDigits];
T[x_] := If[x{xmin,xmax},
12
0.84721309
AspectRatio->1]
13
0.45305075
14
0.86728519
15
0.40285557
16
0.84197036
17
0.46569696
18
0.87088155
19
0.39356405
20
0.83534986
Hasil Yang diperoleh adalah
Fungsi h(x) = 3.5x(1 – x) tidak
sensitif
kondisi
pada
perubahan
pemisalan,
program ini
sama
kecil
dalam
Penggunaan pernyataan if[ … ]
keluaran
dari
untuk menentukan T(x). Variabel xmin dan
program
xmax dicatat ulang pada titik akhir dan
dengan
sebelumnya (Richard, 2000:205).
pertama. Nomer iterasi = 2 memberi tahu
program untuk menghitung grafik dari
E. Membuat Grafik Fungsi Iterasi
fungsi T2. Jika angka 2 diganti dengan
Pada beberapa latihan, perlu juga
angka 3 maka yang terbuat adalah grafik
untuk membuat grafik dari fungsi iterasi.
T3. Plot dan Nest digunakan untuk
Sebagai contoh, untuk membuat grafik T2
membuat grafik pada garis y = x. Pada
dimana
garis kedua perintah Plot, kita definisikan
2�,
����� � ���� (0, �2 ]
�(�) = �
2 − 2� , ����� � ���� [�2 , 1]
fungsi utama untuk membuat grafik.
Plotrange->{xmin,xmax} adalah perintah
untuk
menampilkan
bahwa
kodomain
harus sama dengan domain. Akhirnya,
AspectRatio->1
menjadikan
grafiknya
Teorema 1
Jika f kontinue pada selang tutup
[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik
dalam dari (a,b), maka terdapat paling
persegi (Richard, 2000:206).
sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan
F. Teorema Nilai Rata-rata Untuk
f (b) − f (a) = f '(c)(b − a)
(Purcell, 2003:204).
Titik Tetap
Dalam bahasa geometri, Teorema
Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan
G.
Soal-soal
Yang
Dapat
dipahami. Teorema ini mengatakan bahwa
Diselesaikan
Secara
Manual
jika
kontinue
Diselesaikan
dengan
Menggunakan
mempunyai garis singgung tak tegak pada
Mathematica
grafik
sebuah
fungsi
dan
setiap titik antara A dan B, maka terdapat
paling sedikit satu titik C pada grafik
Contoh 1
antara A dan B, sehingga garis singgung di
Misal F(x) = x2 – 2, maka titik tetap
titik C sejajar talibusur AB.
P
P
oleh fungsi tersebut adalah:
1. Dikerjakan dengan cara manual
F(x) = x
⇔ x2 – 2 = x
P
P
⇔ x2 – x – 2 = 0
P
P
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
⇔ x = 2 atau x = -1
Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2
P
P
adalah -1 dan 2.
2. Dikerjakan dengan Menggunakan
Mathematica Perintahnya:
Nroots[x^2-x-2= = 0,x]
Hasilnya x = -1 dan x = 2
Selain dengan Nroots dapat pula
dicari dengan perintah: Solve[x^2-x2= =0]
Hasilnya {{x→-1},{x→2}}
Jadi titik tetap dari F(x) = x2 - 2
yaitu:
F (x) = 1 - 2x Untuk x = 0 maka │F
adalah -1 dan 2.
(0)│= │1 - 2.(0)│= 1
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
di atas dapat dicari dengan mencari
Jadi untuk x = 0 merupakan titik
tetap netral, karena │F (0)│= 1 = 1.
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2
yaitu: F (x) = 2x
Contoh 3
Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │2.(1)│= 2 > 1 Untuk x = 2 maka │F (2)│=
│2.(2)│= 4 > 1
Misal F(x) = x2 - 2 dan x o = 1. Maka
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah:
Jadi untuk x = -1 merupakan titik
tetap pelempar, karena │F (-1)│= 2 > 1.
1. Dikerjakan dengan Cara Manual
xo = 1
untuk x= 2 merupakan titik tetap pelempar,
x 1 = F(x o )
karena │F (2)│= 4 > 1.
=
F(1)
=
(1)2 - 2
Contoh 2
=
1-2
Misal F(x) = x - x2, maka titik tetap
=
-1
x 2 = F(F(x o ))
oleh fungsi tersebut adalah:
1. Dikerjakan dengan cara manual
=
F(-1)
F(x) = x
=
(-1)2 – 2
⇔
x - x2 = x
=
1-2
⇔
- x2 = 0
=
-1
⇔
x=0
x 3 = F(F(F(x o )))
2
Jadi titik tetap dari F(x) = x - x adalah 0.
2. Dikerjakan dengan Menggunakan
= F(-1)
= (-1)2 - 2
= 1-2
Mathematica Perintahnya:
= -1
Nroots[-x^2==0,x]
Hasilnya x = 0. Selain dengan Nroots
x 4 = F(F(F(F(x o ))))
dapat
perintah:
= F(-1)
Hasilnya
= (-1)2 - 2
pula
dicari
Solve[-x^2==0].
dengan
{{x→0},{x→0}}, jadi titik tetap dari F(x)
= 1-2
= x - x2 adalah 0.
= -1 dan seterusnya.
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
di atas dapat dicari dengan mencari
turunan yang pertama dari F(x) = x - x2
Jadi orbit dari x o = 1 oleh F(x) = x2 2 adalah barisan 1, -1, -1, -1, -1, ...
Jadi titik tetapnya adalah -1.
= - 6 - 36
2.
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
= - 42
Mathematica Perintahnya:
x 4 = F(F(F(F(x o ))))
Clear[f,x]; f[x_]:=x^2-2;
= F(-42)
NestList[f,1,4]
= - 42 – (- 42)2
hasilnya adalah: {1, -1, -1, -1, -1} Jadi titik
= - 42 – 1764
tetapnya adalah -1.
= - 1806
Klasifikasi untuk titik tetap tersebut
x 5 = F(F(F(F(F(x o )))))
di atas dapat dicari dengan mencari
= F(- 1806)
turunan yang pertama dari F(x) = x2 - 2
= -1806 – (- 1806)2
yaitu:
= - 1806 - 3261636
F (x) = 2x, Untuk x = -1 maka │F (-1)│=
= - 3263442 dan seterusnya.
│2.(-1)│= 2 > 1
Jadi orbit dari x o = 2 oleh F(x) = x –
Jadi untuk F(x) = x2 - 2 dan x o = 1,
x2 adalah barisan 2, -2, -6, -42, -1806,...
maka titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk nilai x = -1 maka
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42,
-1806, -3263442, ...
│F (x)│> 1.
2.
Contoh 4
Dikerjakan
dengan
Menggunakan
Mathematica Perintahnya:
2
Misal F(x) = x - x dan x o = 2. Maka
Clear[f,x]; f[x_]:=x-x^2;
titik tetap oleh fungsi tersebut adalah:
NestList[f,2,5]
1. Dikerjakan dengan Cara Manual x o = 2
hasilnya adalah {2, -2, -6, -42, -
x 1 = F(x o )
1806, -3263442}
= F(2)
Jadi titik tetapnya adalah -2, -6, -42, -1806,
= 2 – 22
-3263442. Jadi klasifikasi untuk titik tetap
= 2-4
tersebut di atas dapat dicari dengan
= -2
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x 2 = F(F(x o ))
x – x2 yaitu:
= F(-2)
f (x) = 1 – 2x, Untuk x = -2 maka │F (-
= -2 – (-2)
2
2)│=│1 - 2(-2)│=│1 + 4│= 5 > 1
= -2 - 4
Untuk x = -6 maka │F (-6)│=│1 - 2(-6)│=
= -6
│1 + 12│= 13 > 1 dan seterusnya.
x 3 = F(F(F(x o )))
Jadi untuk F(x) = x – x2 dan x o = 2 semua
= F(- 6)
titik
= - 6 – (- 6)
2
tetapnya
merupakan
titik
tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
H.
merupakan titik tetap penarik, karena│F
Contoh
Soal
Yang
Sulit
(0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (1)│= 15 > 1.
Diselesaikan Secara Manual
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
Contoh 5
fungsi F(x) = x15 dengan x = 15.
Misal F(x) = x15 dan x o = 15. Titik
Perintahnya:
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
Clear[f,x]; f[x_]:=x^15;
sangat sulit diselesaikan secara manual.
NestList[f,15,2]
Karena
hasilnya adalah:
secara
manual
sangat
sulit
diselesaikan, maka untuk menyelesaikan
{15,437893890380859375,17381
yaitu dengan menggunakan Mathematica.
5884388650643684523248235342
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
3048336904055981032837419410
x15. Perintahnya:
7072236685794679808754722755
NRoots[x^15-x= =0,x]
9573094377456591352752701090
Hasilnya:
6886812202653355422704296190
x = -1. x = -0.900969 0.433884i x = -0.900969 +
0.433884i x = -0.62349 0.781831i x = -0.62349 +
0.781831i x = -0.222521 0.974928i x = -0.222521 +
0.974928i x = 0 x = 0.222521
- 0.974928i x = 0.222521 +
0.974928i x =
0.62349 0.781831i x =
0.62349 +
0.781831i x = 0.900969 0.433884i x = 0.900969 +
0.433884i x = 1.
1854094259468910828281856816
5515717030251408538115955132
2001849023808191322662194955
3063473103975411504507064819
3359375}.
Jadi untuk F(x) = x15 dan x o = 15
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x15 yaitu:
Contoh 6
Misal F(x) = x25 dan x o = 545. Titik
F (x) = 15x14
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
Untuk x = -1 maka │F (-1)│= │15.(-
sangat sulit diselesaikan secara manual.
1)14│= 15 > 1 Untuk x = 0 maka │F (0)│=
Karena
│15.(0)14│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
(1)│= │15.(1)14│= 15 > 1
soal pada contoh 4.10 yaitu dengan
Jadi x = -1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (-1)│= 15 > 1. x = 0
secara
manual
sangat
sulit
menggunakan Mathematica.
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
x25. Perintahnya:
NRoots[x^25-x= =0,x]
{545,25698782981643620214314
Hasilnya:
7864160233298385955790928825
x = -1 x = -0.965926 0.258819i x = -0.965926 +
0.258819i x = -0.866025 0.5i x = -0.866025 + 0.5i x
= -0.707107 - 0.707107i x =
-0.707107 + 0.707107i x = 0.5 - 0.866025i x = -0.5 +
0.866025i x = -0.258819 0.965926i x = -0.258819 +
0.965926i
x
=
0
x
=
1.19264x1017
–
1i
x
=
1.19264x1017
+
1i
x
=
0.258819 - 0.965926i x =
0.258819 + 0.965926i x = 0.5
0.866025i
x
=
0.5
+
0.866025i x = 0.707107 0.707107i x = 0.707107 +
0.707107i x = 0.866025 –
0.5i x = 0.866025 + 0.5i x =
0.965926 - 0.258819i x =
0.965926 + 0.258819i x = 1
438022613525390625}.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
x25 yaitu: F (x) = 25x24, Untuk x = -1 maka
│F (-1)│= │25.(-1)24│= 25 > 1 Untuk x =
0 maka │F (0)│= │25.(0)│= 0 < 1 Untuk x
= 1 maka │F (1)│= │25.(1)│= 25 > 1
Jadi x = -1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (-1)│= 25 > 1. x = 0
merupakan titik tetap penarik, karena│F
(0)│= 0 < 1. x = 1 merupakan titik tetap
pelempar, karena│F (1)│= 25 > 1
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x25 dengan x = 545.
Perintahnya:
Clear[f,x]; f[x_]:=x^25;
NestList[f,545,1]
hasilnya adalah:
Jadi untuk F(x) = x25 dan x o = 545
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
│F (x)│> 1.
Contoh 7
Misal F(x) = x20 dan x o = 9. Titik
tetap dan orbit dari x o oleh fungsi tersebut
sangat sulit diselesaikan secara manual.
Karena
secara
manual
sangat
sulit
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
soal pada contoh 4.11 yaitu dengan
menggunakan Mathematica.
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
x20. Perintahnya:
NRoots[x^20-x= =0,x]
Hasilnya:
x = -0.986361 - 0.164595i
= -0.986361 + 0.164595i x
-0.879474 - 0.475947i x =
0.879474 + 0.475947i x =
0.677282 - 0.735724i x =
0.677282 + 0.735724i x =
0.401695 - 0.915773i x =
0.401695 + 0.915773i x =
0.0825793 - 0.996584i x =
0.0825793 + 0.996584i x =
x = 0.245485 - 0.9694i x
0.245485
+
0.9694i
x
0.546948 - 0.837166i x
0.546948 + 0.837166i x
0.789141 - 0.614213i x
0.789141 + 0.614213i x
0.945817 - 0.324699i x
0.945817 + 0.324699i x = 1.
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
x
=
0
=
=
=
=
=
=
=
NRoots[x^17-x+3= =0,x]
tersebut di atas dapat dicari dengan
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
20
x yaitu:
19
F (x) = 20x
Untuk x = 0 maka │F (0)│=
│20.(019)│= 0 < 1 Untuk x = 1 maka │F
(1)│= │20.(119)│= 20 > 1
Jadi x = 0 merupakan titik tetap
penarik, karena │F (0)│= 0 < 1. x = 1
merupakan titik tetap pelempar, karena │F
(1)│= 20 > 1.
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x20 dengan x = 9.
Perintahnya:
Hasilnya:
x = -1.08633 x = -1.00984 0.397987i x = -1.00984 +
0.397987i x = -0.791853 0.738446i x = -0.791853 +
0.738446i x = -0.465012 0.972816i x = -0.465012 +
0.972816i x = -0.0778989 1.06912i x = -0.0778989 +
1.06912i x = 0.312905 1.017i x = 0.312905 + 1.017i
x = 0.65254 - 0.829137i x =
0.65254 + 0.829137i x =
0.897877 - 0.537805i x =
0.897877 + 0.537805i x =
1.02444 - 0.185664i x =
1.02444 + 0.185664i
Jadi klasifikasi untuk titik tetap
Clear[f,x];f[x_]:=x^20;
tersebut di atas dapat dicari dengan
NestList[f,9,1]
mencari turunan yang pertama dari F(x) =
Hasilnya
adalah
{9,12157665459056928801}.
Jadi untuk F(x) = x20 dan x o = 9
x17 + 3 yaitu:
F (x) = 17x16
Untuk x = -1.08633 maka │F (1.08633)│=
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
│17.(-1.08633)16│= │17.(3,761736)│ =
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
63.94952 > 1
│F (x)│> 1.
Jadi x = -1.08633 merupakan titik tetap
pelempar, karena │F (-1.08633)│> 1.
Contoh 8
2. Mencari titik tetap pada orbit untuk
fungsi F(x) = x17 + 3 dengan x = 11.
Misal F(x) = x
17
+ 3 dan x o = 11.
Perintahnya:
Titik tetap dan orbit dari x o oleh fungsi
Clear[f,x]; f[x_]:=x^17+3;
tersebut sangat sulit diselesaikan secara
NestList[f,11,2]
manual. Karena secara manual sangat sulit
Hasilnya adalah:
diselesaikan, maka untuk menyelesaiakan
{11, 505447028499293774, 917
soal pada contoh 4.12 yaitu dengan
2463893975597424478896754521
menggunakan Mathematica.
2134742766342760937869901351
1. Mencari titik tetap untuk fungsi F(x) =
6026401269483902781980416678
17
x + 3.
2838929516105693166852339972
Perintahnya:
3116579927183111458423316178
6679074581161904221053109124
disimpulkan bahwa:
7073055355715988323965358787
1. Untuk mencari solusi titik tetap dari
4964615086743106522647224287
fungsi dalam sistem dinamik dengan
3668340748421525337401178359
menggunakan
7138766050157186281313973069
dicari dengan perintah NRoots ataupun
7592290851815427}
Solve. Sedangkan untuk mencari titik
17
Jadi untuk F(x) = x + 3 dan x o = 11
Mathematica
6.0
dapat
tetap pada orbit dari fungsi dalam sistem
semua titik tetapnya merupakan titik tetap
dinamik dapat dicari dengan menggunakan
pelempar, karena untuk setiap nilai x maka
perintah Nest ataupun NestList.
│F (x)│> 1.
2. Dengan menggunakan Mathematica 6.0
lebih cepat dan lebih mudah dalam
I. Penutup
mencari solusi untuk masalah titik tetap
Berdasarkan uraian pada
dari fungsi dalam sistem dinamik.
pembahasan di atas, maka dapat
DAFTAR PUSTAKA
Abell, Martha L. dan Braselton, James P. 1994. Mathematica By Example, Revised Edition.
Cambridge:Academic Press Inc.
Devaney, Robert L., 1992. A First Course In Chaotic dynamical Systems. Menlo Park:AddisonWesley.
Perto Lawrence, 2000. Differential Equations and Dynamical System. New York:SpringerVerlag.
Purcell, Edwin J., 2003. Kalkulus 1. Hamline:Addison-Wesley.
Richard A. dan Holmgren, 2000. A First Course In Discrete Dynamical System. New
York:Springer-Verlag.
Robert L. dan Devaney, 1986. An Introduction to Chaotic Dynamical System.Canada:United
States of America.
Robinson James C. 2004. An Introduction to Ordinary Differential equations. United
Kingdom:Cambridge University Press.