Edisi 10 Maret Pekan Ke-2, 2008 Nomor Soal: 91-100

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 10

Maret Pekan Ke-2, 2008

  

Nomor Soal: 91-100

      .

  sin 947 2008 sin 1663 2008

  91. Hitunglah    

  2008

  B. 1004

  C. 502

  D.  502

  E.  1004 A.

  Solusi:[C]  2008sin 947   2008 sin 1663    2008   2008sin 2955 sin 345   

      2008sin 75 8 360 sin 360 15 2008sin 75 sin

  15                  

  1     1004 2sin 75 sin15     1004 cos 90   cos 60    1004 0   502

       

  2  

  92. Dalam ABC, sudut B sama dengan dua kali sudut A. Jika sisi b adalah 1,5 kali sisi a, tentukan cos 2A

  3

  2

  3

  1

  5 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  4

  3

  4

  8

  8 Solusi: [D] Misalnya , sehingga dan

    A      B

  2 A 2  b  2 a

  Menurut Aturan Sinus:

  a b

   sin A sin B

  C

  3

  a

  3

  a

  2

  a

  

  2

  a

  sin  sin 2 

  3

  a

  2 

  

  sin 2 

  2 

  A B 

  sin a

   

  2sin cos

  3  sin 

  2

  3

  

  cos 

  4 _{2 2  }

  3

  18

  2

  1

   

   cos 2  2 cos   1 2   1   1   

  4

  16

  16

  8  

  93. Yang mana dari bilangan identitas berikut yang benar?

   1 cos 2 x

  (1) csc x  cot x

  1  cos x  sin x (3)  csc x    sin 2 x cos x ₂

  (2) sec x csc x  cot x  tan x cos 2 x   1 2 sin x (4)

  A. hanya (1)

  C. hanya (2) dan (3)

  E. semua identitas

  B. hanya (1) dan (2)

  D. hanya (1) dan (4)

  Solusi: [E]

  2

  1 cos x

  1 cos x cos x cos x

    (1) csc x  cot x 1  cos x   1  cos x    

        

  sin x sin x sin x sin x sin x sin x   _{2 2}

   1  cos x  sin x  sin x     sin x sin x ₂

  

  1 1 cos x

  1  1  1   1 cos x (2) sec x csc x  cot x       cos x  

    sin x cos x

  cos x sin x sin x sin x cos x

    ₂     1 sin x

  sin x

 tan x

      sin x cos x cos x ₂   ₂

  1  cos 2 x 1  2 cos x 

  1

  2 cos x

  1

  (3)     ₂ csc x sin

  2 x cos x 2 sin x cos x cos x sin x

  2 sin x cos x _{2 2 2}

  cos x  x  cos cos x x  sin sin x x  cos x  sin x   1 2sin x

  (4)   Jadi, semua identitas benar. cos 22 , 5   sin 22 , 5  cot 11 , 25  .

  94. Tentukan nilai dari 2 B. 1 C. 0 D.

• –1 E. –2 A.

  Solusi: [D]

  cos 11 , 25  cos 22 , 5   sin 22 , 5  cot 11 , 25   cos 22 , 5   sin 22 , 5  sin

  11 ,

  25 cos 22 , 5 sin 11 , 25 sin 22 , 5 cos 11 ,

  25     

   sin 11 ,

  25  sin

  11 , 25   22 , 5  sin  11 , 25 

     

  1     sin

  11 , 25  sin 11 , 25 

  1

  1 ⁸ x   2 , hitunglah x 

  95. Jika _{8 .}

  x x

  A. 8 2 B. 4 C. 2 2 D. 2 E. 2

  Solusi 1: [D]

  Misalnya x  1 

  2 cos  sehingga ₂ x x  

  2 cos   x  1  _{n n}

   x  cos  i sin   

  Jika   , maka x cos n  i sin n  x cos n  i sin n  , sehingga

   _n

  dan  .

  x 1  _n 2 cos n  x π 

  Misalnya

  2  2 cos dan n 8 . ₈

  4 1  π 

  Jadi, x  

  2 cos 8  2 . ₈   x

  4   Solusi 2: [D]

   x 1 

  2 x _{2 2}

  1 

    x 

  2  

    x

    ₂

  1 x  2   ₂

  2 x

  1 _{2 2}   x x _{2 2}

  72 cos          dan

  2

  

           

  1 36 cos 144 36 180 cos cos 

  5

  

4

   

  5 18 sin 18 90 cos

  dan

  1

  4

   

  Karenanya,

  Solusi: [D]

  A.

  Jika akar-akarnya adalah  72 cos dan  144 cos , tentukan nilai a b c   .

  ax bx c    dengan koefisien a, b, dan c bulat.

  1 144 cos 72 cos     

  4

  1  

        4 2 1 5 a b c

   

   

   

     

     

  2 3 1999 cos cos cos ... cos

1000 1000 1000 1000

  ²⁰⁰⁸

  Jadi, nilai

  1 144 cos 72 cos

    

  4 ²    x x .

  2

  1

  1 ²    x x 

  2

  1

  4

  Karenanya persamaan kuadrat yang dinginkan adalah

  ²

        

  4 a b a b a b

    

  8

  8

  2

  1

  4

  x x

     

  1  

  1

  2

    ^{2 2} ₄ ⁴

  1 _{4 4}    x x

  2

  2 ₄ ⁴    x x

  1

  x x

      

    

  x x

  2

  1 _{8 8}   x x

  3 1 tan tan

  96

  24 tan

        tan tan

  4 a b a b

  32

  32

  3 tan tan

  24

    tan tan

  32 tan tan a b a b

  32 tan tan a b   tan tan

  1

  1

  Solusi: [D] cot cot  32 a b 

  288 B. 144 C. 108 D. 96 E. 64

    tan a b  ? A.

  96. Jika tan tan  24 a b  dan cot cot  32 a b  , berapakah

97. Persamaan kuadrat (polinomial kuadrat)

8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4

98. Hitunglah jumlah

  2 E. 2 A. 0 B. 1 C. 1 D.

  2 Solusi: [B]

  cos   x   cos x

   

  

  2  3  1999  cos  cos  cos   ... cos 1000 1000 1000 1000

  

  2  999  1000  1001  1999   cos  cos   ... cos  cos  cos   ... cos 1000 1000 1000 1000 1000 1000

   2  999   999 

     

  cos cos ... cos cos  cos  ... cos           

     

  1000 1000 1000 1000 1000

     

  

  2  999   999          cos cos ... cos cos  cos ... cos

1000 1000 1000 1000 1000

       0 0 ... 0 cos 

  1   _{2008 2008}

  

  2 

3  1999 

   

  cos  cos  cos   ... cos 

  1

  

   

   

  1000 1000 1000 1000

   _{2 2} 

  a  ab b  a b _{2 2}

    1 , dengan  a b ,  , tentukan nilai 1 a  . b

  99. Jika _{2 2} 1 b 1 a

   

  A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

  Solusi 1: [E] a  sin b sin 

  Misalnya  dan  , sehingga _{2 2}

  a  ab b  a b ₂   ₂

  1 1 b 1 a

    _{2 2 2 2}

  a

  1 b b 1 a  

   

  1 b   1 a  

  1 ₂     _{2 2 2} 1 b 1 b 1 a 1 a

     

  2

  2 a

  1  b  b 1  a 

  1

  2

  2

  sin 1 sin   sin 1 sin  

  1     sin cos    sin  cos  

  1

  sin    

  1  

   

  90 ₂    _{2 2 2 2 2 2 2}

                  a b sin sin sin sin 90 sin cos

  1  

  Solusi 2: [E]

  Misalnya a  cos  dan b  cos  , sehingga _{2 2}

  a ab b a b

   

  1 ₂   ₂ 1 b 1 a

    _{2 2 2 2}

  a

  1 b b 1 a  

   

  1  b   1  a ₂     _{2 2 2}

  1 1 b 1 b 1 a 1 a

     

  2

  2 a

  1  b  b 1  a 

  1

  2

  2

  cos 1 cos cos 1 cos

  1        

  cos sin   cos sin  

  1  

    sin  

  1  

       _{2 2}

  90 _{2 2 2 2 2 2}

  a  b  sin   sin   sin   sin 90     sin   cos  

  1

 

  Solusi 3: [E] _{2 2} a ab b a b

   

  1 ₂   ₂ 1  b ₂ 1  a _{2 2 2}

  a

  1  b b 1  a

   

  1  b   1  a ₂     _{2 2 2}

  1 1  b 1  b 1  a 1  a

  2

  2 a

  1 b b 1 a

  1    

  2

  2 a

  1 b b 1 a

  1 ₂      _{2 2 2 2}

  a 1  b  b 1  a  2 b 1  a 

  1 _{2 2 2}     _{2 2 2 2} a  a b  b  a b  _{2 2 2} 2 b 1  a 

  1     2 b ₂ 1 a b a _{2 4 4 2 2}

  1 ₂

₂

  4 b 1 a b a 1 2 a b 2 b 2 a        _{2 2 2}   _{4 4 2 2 2}

₂

         4 b _{4 2 2} 4 a b b a 1 2 a b _{4 2 2} 2 b 2 a

  a 

  2 a b  b  2 a  b   1 0 _{2 2 2 2}   ₂

  a  b 

  2 a  b   1 0

      _{2 2 2} a b

  1   

    _{2 2} a b 1 0 ₂    ₂

   

  a b

  1 ₂

      , dengan x adalah bilangan real dan   x 1 . Tentukan nilai f x x 3 3 x

  2

  100. Diberikan   maksimum f .

  4 B.

3 C. 2 D.

  3 E. 1 A.

  Solusi: [A] Misalnya x  cos  , di mana     . _{2 2} f x   x 3 3  x   2 cos   3 1 cos    2  cos   3 sin  

  2  

     f x  cos  tan sin 

  2    

  3     f x cos  cos cos  sin sin  2cos

     

  3

  3

  3

  

3

     f x cos cos 2cos

       

   

  3

  3

  3      f x 2cos 

   

  2     

  3  

  Karena nilai kosinus maksimum adalah 1, maka nilai maksimum    yang dicapai

  f _max

  2

  2

  4

  1

   jika   , yaitu jika x  .

  3

  2