Edisi 5 Pebruari Pekan Ke-1, 2009 Nomor Soal: 41-50
41. Jika
b a b a
Dari (1)
…. (3)
2 2 2 3 2 c abc c
c ab c
2 3 2 b abc b …. (2)
b ca b 2 2
…. (1)
2 3 2 a abc a
2009 a b c adalah ….
Solusi: [B] a bc a 2 2
2 2 2 2 , maka nilai
2
2
c ab c b ca b a bc a
, , a b c adalah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
Nomor Soal: 41-50
Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 5
Pebruari Pekan Ke-1, 2009
A. 4018 B. 2009 C. 1004,5 D. 1 E. 0
- – (2) diperololeh: 2 2 3 3
- – (3) diperololeh: 2 2 3 3
- – 4 = 15
- – 15 = 4
- – 6 = 5
) )( ( ) ( 2 2 b a b a b ab a b a
3 2 a
a (diterima)
1
3
a (ditolak) atau
1 3 a
a atau
a a
1 3 (
)
a
a bc a 2 2 a a a 2 2
2
c a c ac a Dari uraian di atas, kita memperoleh c b a .
atau c a 2
2
c a atau 2 2 c a c ac a
c a c ac a c a
) ( 2 2
c a c a c ac a c a
) )( ( ) ( 2 2
c a c a
b a b ab a Dari (1)
b a b ab a b a atau 2 2
) ( 2 2 b a b ab a b a b a atau 2 2
1
a b c
3
1
1
1 Karena himpunan penyelesaiannya adalah , , , maka a b c .
1
3
3
3
3
1
1 1 Jadi, 2009 a b c 2009 2009 .
3
3
3
a b c
4
2 22
4 4 4 a b c 12 tentukan nilai dari a b c ....42. Dari sistem persamaan
3 3
3
a b c 67
A. 136 B. 140 C. 148 D. 280 E. 360
Solusi: [D] 2 2 2 a b c 2
12 ( a b c ) 2 2 ( ab ac bc )
12
( 4 ) 2 ( ab ac bc )
12
ab ac bc 3 3 3
2
a b c 3
67
( a b c ) 3 3 ( a b c )( ab ac bc ) 3 abc
67 ( 4 ) 3 ( 4 )( 2 ) 3 abc
67
abc 4 4
9 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
2 a b a c b c
2 2 2 2 2
a b c 2 ab ac bc 2 abc ( a b c )
2 2
12 2 2 2 9 4 144 136 = 280
ab a b
71
43. Jika a dan b bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
2 2
a b ab 880 2 2
Carilah nilai dari a . b
A. 120 B. 136 C. 140 D. 146 E. 993
Solusi:[D]
Misalnya x ab dan y a b , sehingga
ab a b
71 x y 71 y 71 x 2 2
a b ab 880 ab ( a b ) 880 xy 880 y 71 x xy 880
x ( 2 71 x ) 880
x
x
71 880
( x 16 )( x 55 )
16 x atau 55 x 16 x
119
13
2
2
13
2
2
z y z y
13 2 2
2
2
119
…. (2) Dengan mengurangkan persamaan (1) dari (2), maka kita memperoleh:
z z y
13 119
2
1
2
13 119
13
z y
2 13
2
z y
13
13
2
2
119
z y
z
y z y z y
x y 71
55
40
40 B. 13 3 C.
A.
xz z x yz z y y x Tentukanlah nilai z.
13 2 2 2 2
25
144
44. Diberikan x, y, dan z adalah bilangan-bilangan positif yang memenuhi sistem persamaan
2 ) 16 ( ( 2 ) 2 2 2 2 ab b a b a
( ) 2 (55) 2(16) 2993 a b a b ab atau 146 ) 55 (
b a ab 2 2 2 2
16
40
atau
b a ab
16
55
55 71
16
x y 71
16 71 55 x
55
13 D.
3
z z y
13 2 2
2
3
4
144
z y z y
13 2 2
144 ) 13 (
xz z x
144 2 2
y x 13
…. (1)
13 E.
2 2 2
3
4
25
yz z y
25 2 2
y x 13
40 Solusi: [D] y 13 x
3
13
z y
45. Diberikan
A. 95112 B. 91152 C. 91125 D. 51912 E. 59112
a a
4 (
19 2 a a ) 15 )(
60
19 ( a a
60 ab 60 )
a b 19
60 ab
y y x x
60 ) (
a b 19 = 19
y xy x
60 2
b 19 a a b 19
y x y x
, sehingga 19
b y x
dan
4 a atau 15 a 4 a
15 a
Misalnya
y x
y
15 y
4
y 4 x
15
y x
15
y x
15
a b 19 = 19
y x y x
15
4
dan
y x y x
4
15
a y x
Solusi:[A]
13
3
25 2 2
13
3
4
25
z z y
2 2 2
4
25
z y
2
25
13
z y
2
25
z
. Carilah nilai 3 3 y x .
3
x xy y
60
dan 2
x x y y
19
z
40
13
z
169 625
4 2
3
3600
169
z
3 2
4
25
4
1
Misalnya u y x dan v
Solusi:[D]
.
xy y x
Hitunglah nilai dari
xy y x y x y x y x
1 ( 61 ) 2 2 2 2 2
1
45 3 ) 3 45 ( 3 91152
3
3 45 (
)
y x xy y x y x
) ( ( 3 ) 3 3 3
xy
1 , sehingga diperoleh
15
1 v
1 2 2 u u u
2
61
u u
1 ( 2 2
…. (2) Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: 61 )
u u v 1
xy y x
1 ( 61 ) 2 2 2 2 2 y x y x y x 2 2
1 1
61 2 2 v u …. (1)
61 v u
xy y x 2 2
1 ( 61 )
45
y y x
1 y
15
4
1
4
15
4
1
y x xy y x y x
) ( ( 3 ) 3 3 3
15
4
1 y y x 15
4
4
3
3
4
y
3
y
4 y
15
x
15 y
4
y x
4
y x
y x
3 52 4
4
1 3
4
15
46. Jika x dan y adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
A. 60 B. 36 C. 30 D. – 30 E. – 30
xy y x
1 ( ) 5 6 30 x y
xy
atau
xy y x
30 ) 5 (
6
1 ) (
6
19
14
11
zx x z yz z y xy y x
adalah
, , a b c . Tentukan nilai .... a b c
xy y x x y xy
1
60
5
2
2 2 u u
30 2 u
u
) 6 )( 5 (
u u
5 u atau 6 u
u u v
5
1 6 ) 5 (
1 6 u u v 1 = 1
6
1
5
xy y x
atau
47. Himpunan penyelesaian dari sitem persamaan
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 10
1
1
1
1
2
z y x 3600
1
1
1
z y x
60
1 1 z y x
12
…. (4) Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh
60
15
1
x
4
1 x
3 x
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
Solusi: [E]
1
15
11 1 xy y x
yz z y
12
11 xy y x
1 y
x
…. (1)
14
yz z y
1
14
1
15
20
1 z 1 y
…. (2)
19 zx x z
1
19 1 zx x z
20
1
1 x
z
…. (3) Perkalian ketiga persamaan tersebut menghasilkan:
1
y
1
20
60
y
1
3
y
2 Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh
z
1
12
60
z 1
5 z
4 Sehingga a 3, b 2, c .
4 Jadi, a b c 3 2 4 10
, ,
48. Jika pasangan
x y z dengan x, y, dan z adalah bilangan real bulat positif x xy xyz 564
adalah solusi dari sistem persamaan , maka nilai
y xz xyz 354
x y z ....
A. 1 B. 5 C. 70 D. 71 E. 75
Solusi: [E] x xy xyz 564 x xz xy xyz xz 564 x
1 z y yz xz 564
x
1 y 1 z xz 564
…. (1)
y xz xyz 354
xyz xz y
1 1 354
xz y
1 1 1 354
xz y
1 1 355
…. (2)
Dari persamaan (2) diperoleh
xz y
1 1 5
71
Sehingga xz
1 71 xz
70
y
1 5 y 4 atau xz
1 5 xz
4
y
1 71 y 70 atau Jika y 4 dan xz 70 , maka
x
4
1 1 z 70 564
5 x 1 z 634 , tidak ada solusi untuk x dan z yang merupakan bilagan bulat
positif.
xz
4 Jika y 70 dan , maka
x
70
1 1 z 4 564
71 x 1 z 568
x
1 z
8
Sehingga x 4 dan z
1
Sehingga pasangan x , y , z
4 ,
70 , 1 .
adalah Jadi, x y z
4 70
1 75 .
49. Diberikan x, y, dan z adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
x y z
1 2 2 2
4 4 4
x y z 2 . Hitunglah nilai x y z .
3 3 3
x y z
3
1
1
1 C. 6 D.
E.
4
6
6 A. 4 B.
6
6
4 Solusi: [B] 2 2 2 2
x y z x y z 2 2 xy 2 xz 2 yz
1 2 2 xy 2 xz 2 yz
1
xy xz yz 3 3
2 3 3
x y z x y z
3 xy xz yz x y z 3 xyz
1
3
1
3 3
1 3 xyz
2
3 1 3 3 xyz
2
1 3 xyz
2
1
xyz 2
6 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
x y z x y z
2 x y x z y z
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2
x y z x y z
2 xy xz yz 2 x yz 2 xyz 2 xyz
2 2 2 2 4 4 4 2 x y z x y z
2 xy xz yz 2 xyz x y z
2 2 4 4 4 1
1 2 x y z
2 2 1
2
6
1
1
4
4
4
4 x y z 2
4
3 4 4 4
1 4 x y z 4 4 4
6
1
x y z
4
6
50. Jika penyelesaian dari sistem persamaan
…. (2) 9 x w z xz wx zw zwx
10 ) 1 )( 1 (
x x w x z x zw
) 1 ( 1 (
) 1 ( ) 1 (
9 1 x w z xz wx zw zwx 10 )
1
1 )( 1 )( 1 ( w z y
10 ) ) 1 (
) 1 ( 1 ( w z z y 10 )
10 ) ) 1 (
1 ( w z y yz
1 ( w w z w y w yz 10 ) 1 )(
) 1 ( ) 1 (
10 ) ) 1 (
w z y wy zw yz yzw
x w z zw
) 1 ( 1 ( x w w z 10 )
9
1 )( 1 )( 1 ( w y x
2 10 ) 1 ( 2 w
…. (5) Dari persamaan (1) dan (5) kita memperoleh: 3
1 )( 1 ( w z y x
2 10 ) 1 )( 1 )(
) 1 ( 1 ( 3 3 3 3 w z y x 3
) 1 ( ) 1 (
…. (4) Perkalian dari ke empat persamaan itu menghasilkan: 2000 )
) 1 ( 1 ( y x x w 10 )
1 )( 1 )( 1 ( w z x
10 ) ) 1 (
1 )( 1 ( y x w wx
) 1 ( 1 ( y y x y w y wx 10 )
) 1 ( ) 1 (
9 1 y x w yw xy wx wxy 10 )
1
…. (3) 9 y x w yw xy wx wxy
1
x y z .
3
8 2 4 D.
3
3 8 2 C.
2 4 B.
3
A.
, , , w x y z , tentukan nilai w
4
adalah
y x w yw xy wx wxy x w z xz wx zw zwx w z y wy zw yz yzw z y x zx yz xy xyz
1
9
9
9
2 4 E. 3 8 2
Solusi: [E]
w z y wy zw yz yzw
z y x xy
9
…. (1)
z y x
2 ) 1 )( 1 )( 1 (
z y y x
) 1 ( 1 (
2 ) ) 1 (
1
2 ) 1 )( 1 (
z z y z x z xy
) 1 ( ) 1 ( 1 (
2 ) ) 1 (
z y x zx yz xy xyz
1
1
1
3
1
2
1
z
1
2 3 z Sehingga, nilai-nilai
1
2 3
z y x dan
2
2
5 3
w .
Jadi,
3
3
5 2 1 3 2 1 w x y z
3
8 2
10 10 ) 1 ( z 3
2 3 y Dari persamaan (4) dan (5) kita memperoleh: 3
2
x 3
5 1 w
1
2
5 3
w
Dari persamaan (2) dan (5) kita memperoleh: 3
2
10 10 ) 1 (
2 1 x
1
1
2 3 x Dari persamaan (3) dan (5) kita memperoleh: 3
2
10 10 ) 1 (
y 3
2
1
y
4