6b solusi pm 6 2008 barisan deret

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 6

Pebruari Pekan Ke-2, 2008

  

Nomor Soal: 51-60

51. Jumlah n bilangan positif kelipatan 3 adalah 360. Berapakah nilai n?

A. 28 B. 24 C. 18 D. 15 E. 14

  Solusi: [D]

      3 6 9 ... 360

  n

  2 a n 1 b 360     

   

   

  2

  n 3 n 3 720  

    ₂

  3 n 3 n 720 ₂   

  n   n 240  n 15 n

  16       n 

  15 (diterima) atau n   (ditolak)

  16

  1

  3 untuk menentukan suku ketiga.

  r  dan S  148

52. Gunakan data barisan geometri

  ⁴

  4

  4 B.

  1

3 C. 5 D. 6 E. 7 A.

  Solusi: [E] ₄ a

  1  r

    S  ₄

  1 r 

  1  

  a

  1  ₄  

  595

  4  

  

  1

  4 1  4 3 595

   1 

   

   

  a

  1   16 256   3 595

    255 a

   16 256 3 595

    256 a 7 16

      16 255 ₂

  1

  u ar 7 16

  7 ₃      ₂

  4 , didefinisikan rekursif sebagai dan

  53. Barisan bilangan bulat positif, dan dan k adalah konstanta bulat positif. Jika a adalah kuadrat sempurna ₄

  80320 N dan , tentukan jumlah angka-angka bilangan N tersebut.

   a _k

  A. 6

  B. 8

  C. 10

  D. 12 E. 14

  Solusi: [C]

  Pertama tulislah ₂

  a ka

  1 k k

  1 1 k k

  1 ₂         ₁

    _{2 3 2} a ka k k k k k k

  1

  1

  1

  1 ₃           ₂

    _{3 2 4 3 2} a ka

  1 k k k k

  1 1 k k k k

  1 ₄             ₃

    ₂ a m

  Karena a adalah kuadrat sempurna, maka ambillah , sehingga _{4 3 4 2 2 4} 

  k k k k

  1 m ₄      _{3 2 2}

  k k k k m

  1     

  Yang mengakibatkan _{4 2 3 2}

  k k k k m

  1     

      _{2 2 2 2} k k

  1 k k 1 m

  1      ₂     ₂

  k k k

  1 m 1 m

  1     

       

  Kita dapat mengasumsikan bahwa ada nilai k yang unik. Jika kita menganggap bahwa dua faktor yang diberikan adalah sama, kemudian mengambil perbedaan mereka untuk melihat bahwa _{2 2}

  k k k m m k k

  1

  1

  1

  1

  2

  3

             

          _{3 2}

  3

  3

  3

  1

  40 a

  sehingga ₃      80320 80320

  N

  2008 selanjutnya,   

  a _k

  40 Jadi, jumlah angka-angka bilangan N tersebut adalah 2 + 0 + 0 + 8 = 10.

54. Tentukan jumlah dari semua nilai untuk “x” bahwa 4, x, y, 18 adalah barisan dengan tiga suku pertama adalah barisan aritmetika dan tiga suku terakhir adalah barisan geometri.

  

1

A. 8

  B. 9 C.

9 D. 10 E. 11

  

3

Solusi: [D]

     2   .... (1) (b adalah beda antara dua suku berurutan)

  x

  4 b x 8 2 b

  y   4 2 b .... (2)

  Dari persamaan (1) dan (2) dipoeroleh 2 x   y

  4   .... (3)

  y

  2 x

  4 Barisan geometri: x, y, 18

  y

  18 

  x y ₂

   .... (4)

  y

  18 x Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh: ₂

  2 x

  4 18 x     ₂

  4 x  16 x  16 18  x

  2

  51

  8

  51

  7

  1

  b c c        ₂

  8

  2

  8

  2

  10

  7

  8 ⁿ

  1

  7

        

  a b b

  2

  8

  8

  2

  8

  8

  2

  a n n

  1

  a         

  Solusi: [C]

  D. 1040 E. 1030

  C. 840

  B. 668

  A. 501

  56. Berapa banyak bilangan antara 1 dan 2013 yang bulat kelipatan 3 atau 4 tetapi bukan 12?

  a   

  8

  8 8 255

  Jadi, ₆ 255

  8

     _{2 6}

  8

  8

  8

  8

  2

  8

  6

  6

  51 36 168 51 255

  7

  1

  7

  1

  4

  1

     , sehingga _{1 2}

  b x x a

  17  8 x x   menggunakan rumus _{1 2}

  2

  Kita dapat menentukan jumlah nilai “x” langsung dari persamaan kuadrat ²

  Catatan:

  2   .

  2

  8

  8

  1

  1

    Jadi, jumlah nilai “x” adalah

  x x

  2

  8

  1 atau

  1  8 x x  

  2

    

  17 8 x x   

  2

  34  16 x x   ₂

  17

  2

  a 

  18

  8

  1

    .... (5) Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh 1 8a 

  Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh 9 16 2 a b

  25 5 a b c    .... (4)

  27

  8 2 a b   .... (3)

  8

  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

  9 3 a b c    .... (2)

  10 a b c    .... (1)

  8

  Solusi: [A] ₂ y ax bx c   

  225

     . Berapakah nilai 8 kali suku ke-6? A. 255 B. 288 C. 292 D. 259 E.

  a An Bn C

  ke-n dapat dinyatakan dengan ² _n

  10, 18,  27 a a a   adalah barisan kuadrat di mana setiap suku

  55. Sebuah barisan, di mana ^{1 3 5}

       .

  

x

  2

  2

  Bagilah 2013 dengan 3 dan abaikan sisanya, sehingga didapat 671. Bagilah 2013 dengan 4 dan abaikan sisanya, sehingga didapat 503. Jumlahkan jawaban ini, sehingga diperoleh 1174. Kemudian harus membagi 2013 dengan 12 dan abaikan sisanya, sehingga diperoleh 167. Tetapi

  kita tidak menginginkan keduanya, sehingga kita harus mengurangkan dua kali dari 1174, sehingga didapat 1174

• – 2  167 = 840.

57. Jumlah dua suku pertama deret geometri adalah 90. Jumlah suku ke enam dan ke tujuh adalah

  10  . Tentukan jumlah lima suku pertama.

  27

  2

  1

  1

  2

  1 B.

  C.

  D.

  E. 101 101 101 100 100 A.

  3

  3

  6

  3

  3 Solusi: [A]

  a u

  90   ₂

  .... (1)

  a 1  r 

  90  

  10

  u u ₆    _{7 5 6}

  27

  10

  ar  ar  

  27 ₅

  10

  ar

  1  r   .... (2)

   

  27 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh ₅

  10 90 r   ₅

  27

  1

  r  

  243

  1

  r  

  3

  1

  1  

  r

     a 1   90   a 135  

  3

  3 _n  

  a r

  1 

    S _n  r 

  1

  1  

  135

  1   ₅

    135   1 243

    135 244  305

  2

  3  

  S

  101 ₇     

  1   81 243 324

  3

  3

  1  

  3

  58. Diberikan tiga bilangan bulat positif, sehingga setiap hasil dua bilangan adalah unsur yang unik dari . Berapakah hasil dari ketiga bilangan bulat tersebut?

  {48, 72,96}

  B. 529

  C. 576

  D. 625

  E. 676

  A. 484

  Solusi: [C] Misalnya bilangan-bilangan tersebut adalah x, y, dan z.

  ì xy = 24

  ï Kita mendapatkan sistem . í yz = 27 ï xz = 32

  î

  Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan:

  xy yz xz    48 72 96  

  2 _{4 3 2 5 12 4} xyz  2       3 2

  3

  2

  3 2 

  3   _{12 4 6 2} xyz

  2

  3

  2 3 64 9 576       

59. Hasil kali lima suku pertama deret geometri adalah 32. Jika suku ke empat adalah 1, misalnya

  A = suku kedua. Jika 1, x, y, adalah barisan geometri dan x, y, 3 adalah barisan aritmetika, ambillah B = nilai maksimum dari x + y. Tentukan nilai dari AB.

  5 C.

  10 D.

  14 E.

  15 A. 4 B.

  Solusi: [D] ₃ u  ar  ₄

  1 u      u u u u _{1 2 3 4 5}

  32

  1

  1

  1 ₃      ₂ 1 r

  32

  r r r

  1 ₅ 

  32 r ₅

  1

  r 

  32

  1

  r 

  2

  1   

  u _{2 2}

  4 A  

  1  

  2  

  x y ₂ Barisan geometri: 1, x, y, sehingga .... (1)

     y x 1 x

  x 

  3 Barisan aritmetika: x, y, 3, sehingga y x 3 y y .... (2)      _{2 x }

  2

  3 ² Dari (1) dan (2) diperoleh x   2 x    x 3 

  2 x  3 x   1    

  2

  3

  x     x

  1

  2 ₂

  3

  3

  9   x    y 

   

  2

  2

  4   ₂ x      1 y 1 

  1  

  3

  9 Sehingga x  dan y  _{max max}

  2

  4

  3

  9

  15 B  x  y    _{max max}

  2

  4

  4

  15 Jadi, AB

  4

  15   

  4

  243 256

  , dan suku ke-12 adalah . Jika suku ke-15

60. Suku ke-3 barisan geometri adalah

  2

  81 a

  dinyatakan dalam , tentukan nilai b  . a

  b ฀  ฀ 

A. 169 B. 149 C. 140 D. 139 E. 138

  Solusi: [A] _{11 9} u ar ₁₂   ₃ u r

  256 243

  9   r

  81

  2 256

  2

  9   r

  81 243 ₉

  2 ₉

  ฀  r ₉ 

  3

  2 ฀  r 

  3 ₃

  256 2 2048 a  

  u u r   ₁₃    ₁₂

   

  81 3 2187 b  

  

a 2048 b 2187 b a 2187 2048 139

฀  Karena itu  dan  , sehingga    