ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI

  

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

ARDIANSYAH

100803044

  

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

  

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar

Sarjana Sains

ARDIANSYAH 100803044

  

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

  

PERSETUJUAN

  Judul : Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks

  Kategori : Skripsi Nama : Ardiansyah Nomor Induk Mahasiswa : 100803044 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

  (FMIPA) Universitas Sumatera Utara Disetujui di

  Medan, April 2015 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Sawaluddin, M.IT Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19591231 199802 1 001 NIP. 19630405 198811 2 001 Disetujui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si.

  NIP 19620901 198803 1 002

  

PERNYATAAN

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

  SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

  Medan, April 2015 ARDIANSYAH 1008003044

  

PENGHARGAAN

  Puji dan syukur penulis kepada Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas rahmat dan karuniaNya, dan yang telah memberi kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Analisis Perubahan Bentuk Umum Permukaan Kuadrat Menjadi Bentuk Standar dengan Menggunakan Diagonalisasi Matriks. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.

  Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga kepada Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.

  Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.

  Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ummi Syahniar, Bapak Syahrani, Kakanda Rika Rosary, Kakanda Tri Suci Juli Yati, serta Adinda Haryati Ifani, Dede Febrina, dan Tria Susenita atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.

  Teruntuk Shohib dan shohibiyah seperjuangan (Syahrial, Andi, Abdul, Abdullah, Fadhil, Adam, Riki, Syaipul, Asrul, Mbak Mul, Elsa, Sanah, Fika, Ami, Irma, Zati, Fitri, Ida, Siska dan lainnya), keluarga UKMI Al Falak, keluarga BKB Adzkia, sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM3, serta rekan- rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.

  Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.

  Medan, April 2015 Penulis Ardiansyah

  

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

ABSTRAK

  Perubahan bentuk pada permukaan kuadrat adalah perubahan bentuk umum persamaan dengan bentuk _{2 2 2}

  ax  by  cz  dxy  exz  fyz  gx  hy  iz  j  a b c d e f a b c d e f g h i j

  di mana tidak semua bernilai nol dan 

  , , , , , , , , , , , , , ,

  ℝ disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x , y , z atau disebut juga permukaan kuadrat, menjadi salah satu bentuk standar yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik atau paraboloid hiperbolik yang ekuivalen terhadap bentuk umum tersebut. Diagonalisasi matriks adalah salah satu metode yang dipakai untuk mengubah dan mengidentifikasikan bentuk standar suatu permukaan kuadrat. Kemudian software

  MAPLE akan memberikan visualisasi perubahan grafiknya.

  Kata Kunci: perubahan bentuk, bentuk standar, ekuivalen, diagonalisasi matriks, visualisasi

  

ANALYSIS OF CHANGE FORM ON QUADRIC SURFACES USING

MATRIX DIAGONALIZATION

ABSTRACT

Change form on quadric surfaces is changing of general form equation which

form _{2 2 2} ax  by  cz  dxy  exz  fyz  gx  hy  iz  j  a b c d e f a b c d e f g h i j where are not all zero and 

  , , , , , , , , , , , , , ,

  ℝ called

  

quadratic equation in the variables x , y , z or called quadric surfaces, be one of

the standart forms are ellipsoid, eliptic cone, hyperboloid of one sheet,

hyperboloid of two sheet, elliptic paraboloid or hyperbolic paraboloid which

equivalent to general form. Matrix diagonalization is one method used to

changing and identity the standart form of a quadric surface.

  Then MAPLE software will give graph change visualization.

  

Key words: change form, standart form, equivalently, matrix diagonalization,

visualization

  Halaman PERSETUJUAN i

  PERNYATAAN ii

  PENGHARGAAN iii

  ABSTRAK v

  ABSTRACT vi

  DAFTAR ISI vii

  DAFTAR GAMBAR ix

  DAFTAR SINGKATAN x

  BAB 1 PENDAHULUAN

  1.1

  1 Latar Belakang

  1.2 Perumusan Masalah

  3

  1.3 Batasan Masalah

  3

  1.4

  3 Tujuan Penelitian

  1.5

  4 Manfaat Penelitian

  1.6

  4 Tinjauan Pustaka

  1.7

  7 Metodologi Penelitian

  1.8

  8 Diagram Konsep

  BAB 2 LANDASAN TEORI

  2.1

  9 Transpose , Invers dan Determinan Matriks

  2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen

  10

  2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam

  12

  2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal

  13

  2.4.1 Basis Ortonormal

  13

  2.4.2 Matriks Ortogonal

  17

  2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat

  18

  2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

  20

  2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi Ortogonal

  22 BAB 3 BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT

  3.1

  33 Elipsoid

  3.2 Kerucut Eliptik

  35

  3.3 Hiperboloid Satu Lembar

  37

  3.4 Hiperboloid Dua Lembar

  40

  3.5 Paraboloid Eliptik

  42

  3.6 Paraboloid Hiperbolik

  45 BAB 4 PERUBAHAN BENTUK PADA PERMUKAAN KUADRAT

  4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi

  49

  4.2 Permukaan Kuadrat yang Dirotasi

  52

  4.3 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi dan Dirotasi

  63 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

  5.1 Kesimpulan

  69

  5.2 Saran

  69 DAFTAR PUSTAKA

  71

  

DAFTAR GAMBAR

  4.2 Hiperboloid dua lembar: 144

  36

  4.4 Hiperboloid satu lembar:

  52

  7 ^{2 2}       z y x y x

  3

  4.3 Paraboloid hiperbolik: 135 72 126

  51

  3 ^{2 2 2}      x z y x

  3

  42

  48

  20

  4.1 Grafik yang dirotasikan dan ditranslasikan

  47

  2 ^{2 2}    z y x

  2

  3.12 Paraboloid hiperbolik:

  46

    ₂ ² ₂ ²

  B y A x

  3.11 Paraboloid hiperbolik: z

  44

  16 ^{2 2}    z y x

  4

  16

  3.10 Paraboloid eliptik:

  4.6 Kerucut eliptik:

  z y x xz z y x

  10 ^{2 2 2}       

  25

  10

  40

  20

  2

  50

  20

  2

  15

  63

  2

  4 ^{2 2 2}        yz xz xy z y x

  4

  4

  4

  4

  4

  32

  4.5 Elipsoid:

  58

  5 ^{2 2 2}       yz xz xy z y x

  11

  4

  43

  Nomor Judul Halaman Gambar

  3.1 Elipsoid:

  z B y A x

  3.3 Kerucut eliptik: ₂ ² ₂ ² ₂ ² C

  35

  4 ^{2 2 2}    z y x

  9

  36

  3.2 Elipsoid:

  34

  B y A x

  1 ₂ ² ₂ ² ₂ ²    C z

  7

  36

  1.6 Parabola

  6

  1.5 Hiperbola

  6

  1.4 Elips

  6

  1.3 Lingkaran

  5

  1.2 Irisan kerucut

  2

  1.1 Enam bentuk standar permukaan kuadrat

   

  3.4 Kerucut eliptik:

    ₂ ² ₂ ²

  40

  B y A x

  3.9 Paraboloid eliptik : z

  42

  2 ^{2 2 2}     z y x

  3

  12

  3.8 Hiperboloid dua lembar:

  41

  B y A x

  1 ₂ ² ₂ ² ₂ ²     C z

  3.7 Hiperboloid dua lembar:

  6 ^{2 2 2}    z y x

  9

  3

  2

  18

  3.6 Hiperboloid satu lembar:

  39

  

B

y

A x

  1 ₂ ² ₂

²

₂ ²    C z

  3.5 Hiperboloid satu lembar:

  37

  2 ^{2 2 2}    z y x

  8

  68

  ℝ : Himpunan bilangan riil

  x : Suatu vektor x : Suatu variabel a : Suatu konstanta A

  : Suatu Matriks [a ^ij ] : Matriks dengan entri-entrinya _T

  A

  : Transpose matriks

  A k : Suatu skalar I : Matriks identitas _{1 }

  A : Invers matriks A _ij M : Minor baris ke-i dan kolom ke-j _ij C

  : Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j

  A : Determinan matriks A

  <u,v> : Hasil kali dalam

  V

  : Ruang hasil kali dalam ||u|| : Vektor norm

  S : Himpunan vektor yang ortogonal _n

R : Himpunan vektor yang berimensi-n

_i

   : Suatu nilai eigen

  ~

  : Ekuivalensi