rpp matematika klas xiiipa

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH
: MA PPMI ASSALAAM
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS/PROGRAM/SEMESTER: XII/IA/ 1
TAHUN PELAJARAN
: 2007-2008
STANDAR KOMPETENSI
: Menggunakan konsep integral dalam
pemecahan masalah
KOMPETENSI DASAR
: Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam
perhitungan integral taktentu dan integral
tertentu

INDIKATOR

:
1. Merancang aturan integral tak tentu dari
aturan turunan.

2. Menghitung integral tak tentu dari fungsi
aljabar dan trigonometri.
3. Menjelaskan integral tentu sebagai luas
daerah di bidang datar.
4. Menjelaskan integral tentu sebagai luas
daerah di bidang datar.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:
Siswa dapat menggunakan integral un tuk menyelesaikan soal –soal yang berhubungan
dengan konsep integral.
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Integral
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Inkuiri

2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati konsep integral
b. Siswa mencermati ciri – ciri integral
2. Kegiatan Inti
a. Siswa menyelesaikan soal integral tak tentu
b. Siswa menentukan kurva dengan integral
c. Siswa menyelesaikan soal dengan integral tertentu
d. Siswa menentukan luas dan volum dengan integral tertentu
3.

Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN

1

1. Buku pegangan siswa
2. Modul MGMP sekolah
3. LKS
F. PENILAIAN
1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
3. Soal Instrumen
I. Selesaikan :a. 6 x
b.

2

: Tes tertulis
: Tes uraian
:

 4 x  5dx

=

2

2 x  1 dx 

II. Diketahui f’(x) =

1 2
x + 2x -6 .dan f(0) = 6. Tentukan f(x)!
3

3

III.

3x

2

 2 xdx ……

2

IV. Carilah luas daerah yang dibatasi :
a. Kurva y = x2 – 4x + 3 dan sumbu x
b. Kurva y = x2 – 4x dan y= x2 + 4x
V. Tentukan volume benda yang diputar pada sumbu x dari daerah yang dibatasi oleh
y = 3x – 2 , garis x = 1 dan x = 3

2

INTEGRAL
KOMPETENSI DASAR

: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan
masalah
: waktu klas duasiswa telah mengenal konsep turunan, sedangkan
integral merupakan lanjutan dari turunan

ILUSTRASI

I. Integral Tak tentu: Integral merupakan operasi invers dari turunan . Jika turunan
pertama dari
F(X )adalah F’)x) = f(x) maka integral dari fungsi f(x) ditulis :
f ( x)dx  F ( x)  c C = konstanta
Rumus Integral Taktentu:
A. xdx ax  c
4. e x dx 
n

B.

ax

dx 

C.

x dx 

D.

u dx 

1

1

5.

U

6.

e

u

n

, U = f(x)

dx 

, U = f(x)

dx 

,U = f(x)

Sifat – sifat:
1. kf ( x)dx k f (x)dx
2. f ( x) g ( x)dx  f (x) dx  g ( x) dx
Contoh :
1. Diketahui f’(x) =

1 2
x + 2x -6 .dan f(0) = 6. Tentukan f(x)!
3

Jawab : f(x) =........................
=........................
=........................
x=0 
+
- + c = ......
Jadi f(x) = ................................
2.

 ... = ....

2

2 x  1 dx 
Misal u = 2x + 1 maka u’ =

du
=........
dx

du=...............
2

2 x  1 dx .........................
=.........................
=.........................
II.

INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu digunakan dalam melakukan integral pada interval-interval
tertentu. Pada integral tertentu faktor c diabaikan.
1. Rumus Integral Tertentu

3

b

b

a

a

f ( x)dx  F ( x)

 F (b)  F (a ) dengan a= batas bawah dan b = batas

atas
2. Sifat integral Tertentu
a.

b

a

f ( x)dx 

f ( x)dx

a

b

b. .

a

c.

b

c

f ( x)dx 0
a

b

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx
a

a

c

3

Contoh: Hitung

3x

2

 2 xdx ............................

2

=............................
=............................
III.Luas Daerah
1.
y = f(x)

2.
y = f(x)
L

L

y = g(x)
a

b

a

b

b

L=

f ( x)dx

L=

a

b

( f ( x) 

g ( x))dx

a

Carilah luas daerah yang dibatasi :
a. Kurva y = x2 – 4x + 3 dan sumbu x
b. Kurva y = x2 – 4x dan y= x2 + 4x
IV. Volume Benda putar
1. Volume benda yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a , garis x = b dan
sumbu x yang diputar 360o pada sumbu x adalah
b

V=

 ( f ( x)) 2 dx
a

2. Volume benda yang dibatasi oleh kurva x = f(y), garis y = a , garis y = b dan
sumbu y yang diputar 360o pada sumbu y adalah

4

b

V=

 ( f ( y )) 2 dy
a

3. Volume dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y =g(x) adalah:
b

V=

 ( f ( x) 2 

g ( x) 2 )dx

a

Contoh :
Tentukan volume benda yang diputar pada sumbu x dari daerah yang dibatasi
oleh
y = 3x – 2 , garis x = 1 dan x = 3

Mengetahui,

Sukoharjo, 01 Juni 2007
Guru Mata Pelajaran

Sigit Rahardja, S.Si

................................

5

6

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH
: MA PPMI ASSALAAM
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1
TAHUN PELAJARAN
: 2007-2008
STANDAR KOMPETENSI
: Merancang dan menggunakan model
matematika program linier serta
menggunakan sifat dan aturan yang
berkaitan dengan barisan, deret ,
matriks , vektor, tranformasi , fungsi
eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR
: Merumuskan masalah nyata kedalam model
matematika sistem pertidaksamaan linier,
menyelesaikan dan menafsirkan hasil
yang diperoleh.

INDIKATOR

:
1. Menentukan
penyelesaian
sistem
oertidaksamaan linier dua variabel..
2. Menentukan fungsi tujuan beserta
kendala yang harus dipenuhi dalam
masalah program linier.
3. Menggambarkan kendala sebagai
daerah yang memenuhi sistem
pertidaksamaan linier.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:
Siswa dapat mengubah soal cerita kedalam sistem pertidaksamaan linier dan
menyelesaikannya.
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Program Linier
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Ikuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati bentuk program linier
b. Siswa mencermati ciri – ciri bentuk program linier
2. Kegiatan Inti
a. Siswa menentukan daerah penyelesaian.

7

b. Siswa menentukan nilai maksimum dan minimum pada daerah
penyelesaian
c. Siswa mengubah soal cerita kedalam model matematika
d. Siswa dapat menyelesaikan soal gram linier dengan tabel
e. Siswa dapat menyelesaikan soal gram linier dengan garis selidik
f. Dengan contoh pcara menyelesaikan soal program linier siswa diberi
tugas untuk menyelesaikan soal dengan tabel dan garis selidik
3.

Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN
a.
Buku pegangan siswa
b. Modul MGMP sekolah
c. LKS
F. PENILAIAN
1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
3. Soal Instrumen

: Tes tertulis
: Tes uraian
:

i. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:
1. x 0 ;y 0 ; 3x + 2y  12; 5x + 6y  30
2. x 0 ;y 0 ; x + 2y  12 ; 2x + t  12
3. 2  x  8 ; 0  y  6 ; 3x + 4y  36
ii. Tulislah sistem pertidak samaan dari daerah penyelesaian berikut:
8

7

5
9

14

(6,7)
DP
9

iii. Jika A = x + y , B = 5x + y , maka tentukan A maksimum dan B maksimum pada
daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : x 0 ; y 0 ; 3x + 2y  12;
5x + 6y  30
iv. Roti jenis A memerlukan tepung 200 gram dan mentega 25 gram, sedangkan roti
jenis B memerlukan tepung 100 gram dan mentega 50 gram. Pabrik ingin
membuat roti sebanyak – banyaknya. Jika tepung yang tersedia 3 kg dan mentega
1,2 kg . Berapa buah roti jenis A dan B dapat dibuat dengan barang ?
v. Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata – rata untuk sebuah mobil 6 m2 dan untuk
sebuah bus 24 m2 . Daerah parkir itu tidak dapat memuat kendaraan lebih dari 30
kendaraan. Biaya parkir sebuah mobil Rp 1.000,00 sedangkan bus Rp 2.000,00.
berapakah banyaknya masing – masing jenis kendaraan agar diperoleh
pendapatan maksimum?

8

PROGRAM LINIER
KOMPETENSI DASAR: Merumuskan masalah nyata kedalam nodel matematika
sistem pertidaksamaan kinier, menyelesaikan dan
menafsirkan hasil yang diperoleh.
ILUSTRASI

: siswa telah mengenal pertidaksamaan dua variabel ,
sedangkan ada program linier siswa harus bisa mengubah
soal dalam bentuk cerita kedalam model matematika.

I. Menentukan daerah penyelesaian.
Tentukan derah penyelesaian dari x + 2y  12
Jawab: x + 2y = 12
X
Y

0
0

Y

(0,0) → x + 2y < 12
↔ 0 + 2.0 < 12
↔ 0 < 12
Jadi HP dari x + 2y  12 adalah
daerah dimana titik
(0,0) beradadan daerah pada garis :
x + 2y = 12

II. Mengubah soal deritera kedalam model matematika
Suatu jenis roti memerlukan 150 g tepung dan 50 g mentega . Sedangkan roti
jenis lain memerlukan 75 g tepung dan 75 g mentega. Jika tersedia tepung 2,25
kg dan mentega 1,5 kg .Buatlah model matematikanya.
Jawab
Jenis Roti
Tepung
Mentega
I
150
50
2
75
75
2250
1500
Misal banyaknya roti 1 = x dan banyaknya roti 2 = y maka didapat sistem
pertidaksamaan sbb:
( 1 ) x ≥ 0 (2) y ≥ 0 (3) 150 x + 75 y ≤ 2250 ↔ 2x + y ≤ 30
50 x + 75 y ≤ 1500 ↔ 2x + 3 y ≤ 60

9

III.Menentukan nilai Maks dan min pada daerah penyelesaian
Carilah nilai maksimum dan minimum P =3x +10 y padai sistem pertidaksaman:
x  0; y  0; x + y  5; x + 2y  6
Jawab:
x+y=5
x
y

5 0
0 5

x + 2y = 6
x
y

6
0

0
3

Y
potong:
x + 2y = 6
x+y =5
y =1

Titik
y=1 → x + 2.1 = 6
↔ x=4
titk potong (4,1)

x
Tabel :
Titik
P = 3x +10 y
(0 , 5)
50
( 0 , 0)
0
( 5 , 0)
15
(4,1)
22
Jadi P maklsimum = 50 dam P minimum = 0
IV. Menentukan nilai maksimum dan minimum dengan garis selidik
Tentukan nilai maksimum x + y dari sistem pertidaksamaan : x + 2y  10; 2x +
y  8; x  0;
y  0.
Jawab : x + 2y = 10 2x + y = 8
x 10 0
y 0 5

x
y

4
0

0
8

y
2x + 4y = 20
2x + y = 8
3y = 12
y =4

8
5
4

10

Titik potong:
y=4 → x + 2.4 = 10
↔ x=2
titk potong (2,4)

x

Perhatikan himp garis – garis x + y= k, dengan k  R
Garis x + y= k digeser hingga menyinggung paling kanan daerah penyelesaian
yaitu di titik (2,4)
Jadi nilai maksimum x + y = 2 + 4 = 6
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH

: MA PPMI ASSALAAM

10

MATA PELAJARAN
KELAS/PROGRAM/SEMESTER
TAHUN PELAJARAN
STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

: MATEMATIKA
: XII/IA/ 1
: 2007-2008
: Merancang dan menggunakan model
matematika program linier serta
menggunakan sifat dan aturan yang
berkaitan dengan barisan, deret ,
matriks , vektor, tranformasi , fungsi
eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
: Menggunakan sifat – sifat dan operasi
matriks untuk menentukan invers
matriks persegi beserta pembuktian
rumusnya

INDIKATOR

:
1. Menjelaskan ciri suatu matriks.
2. Menuliskan informasi dalam bentuk
matriks..
3. Melakukan operasi aljabar atas dua
matriks

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:

Siswa dapat menyelesaikan operasi aljabar dua matriks
B. MATERI PEMBELAJARAN:

MATRIKS
C. METODE PEMBELAJARAN:

1.
2.
3.

Ikuiri
Tanya jawab
Penugasan

D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati bentuk matrik
b. Siswa mencermati ciri – ciri matrik
2. Kegiatan Inti
a. Siswa menentukan hasil operasi aljabar 2 matriks
b. Siswa menyimpulkan syarat operasi aljabar 2 matriks
c. Dengan contoh operasi aljabar 2 matriks siswa diberi tugas untuk
mencari hasil aljabar dua matriks
3.

Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

11

E. SUMBER PEMBELAJARAN
1. Buku pegangan siswa
2. Modul MGMP sekolah
3. LKS
F. PENILAIAN
1. Tehnik
3. Bentuk Instrumen
4. Soal Instrumen
 10


a. Diketahui A   5
 5


: Tes tertulis
: Tes uraian
:

3
2

0
1

0

3

 7

4 
8 

1. Sebutkan ordo matriks A
2. Sebutkan elemen kolom ke 2 baris ke 3
3. Tentukan transpos matriks A
x y
 4

b. Tentukan nilai x dan y dari : 
 3
 1

c. Jika A = 
a.
b.
c.
d.
e.

2
, B =
0 

4

2

5  5
 
x  y   4

 1
 dan C =
5 

 2

 3

5

1 
 2

3 

Tentukan A + B
Tentukan A – C
Tentukan A . B
Tentukan B . C
Tentukan A-1
Sukoharjo, 01 Juni 2007
Guru Mata Pelajaran

Mengetahui,
Sigit Rahardja, S.Si

................................

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH
: MA PPMI ASSALAAM
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1

12

TAHUN ELAJARAN
STANDAR KOMPETENSI

: 2007-2008
: Merancang dan menggunakan model
matematika program linier serta
menggunakan sifat dan aturan yang
berkaitan dengan barisan, deret ,
matriks , vektor, tranformasi , fungsi
eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
: Menggunakan determinan dan invers

KOMPETENSI DASAR

matriks persegi dalam penyelesaian
sistem persamaan linier

INDIKATOR

:
1. Menjelaskan sifat – sifat matriks yang
digunakan dalam menentukan
penyelesaian sistem persamaan linier..
2. Menentukan penyelesaian sistem
persamaan linier dua variabel dengan
determinan

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:

Siswa dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan matriks
dan determinan
B. MATERI PEMBELAJARAN:

MATRIKS
C. METODE PEMBELAJARAN:

1. Ikuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN

1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati sifat – sifat matrik
b. Siswa mencermati determinan matrik
2. Kegiatan Inti
a. Siswa menentukan hasil penyelesaian persamaan dua variabel
dengan matriks
b. Siswa menentukan hasil penyelesaian persamaan dua variabel
dengan determinan
c. Dengan contoh cara menyelesaikan persamaan 2 variabel dengan
matriks dan determinan siswa diberi tugas untuk mencari himounan
penyelesaian persamaan 2 variabel dengan matriks dan determinan
3. Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran

13

E. SUMBER PEMBELAJARAN

1. Buku pegangan siswa
2. Modul MGMP sekolah
3. LKS
F. PENILAIAN

1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
3. Soal Instrumen

: Tes tertulis
: Tes uraian
:

I. Dengan matriks selesaikan persamaan berikut:
a. x + 2y = 3
4x – 2y = 2
b. 2x + y = 5
x+y=5
II. Dengan determinan selesaikan persamaan berikut:
a. 3x - 2y = 13
x + y =5
b. 2x - y = 9
x+3y=1

14

MATRIKS
KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI
I.

: Menggunakan sifat sifat dari operasi matriks untuk
menentukan invers
matriks persegi beserta pembuktian rumusnya.

: Menerangkan pengertian matriks dan cirinya beserta operasimya

Pengertian dan Notasi matriks
Matriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan – bilangan
yang diatur pada baris dan kolom.
Contoh : Keadaan kelas XII IA tanggal 5 Agistus 2006
Kelas Sakit
IA1
IA2
IA3

1
2
1

Ijin
0
2
3

Tanpa
Keterangan
0
0
3

Dari data diatas jika kepala baris
dan kolom dihilangkan dan diletakkan diantara kurung kecil atau kurung siku
maka susunan tersebut dinamakan matriks.
1

Adapun bentuknya sebagai berikut:  2
1


0
2
3

0
1

0  atau  2
3 
 1

0
2
3

0
0
3

Banyaknya baris 3 sedangkan banyaknya kolom 3 sehingga ordo matiks adalah
3x3
II.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Macam-macam matriks
Matriks baris: matiks yang terdiri hanya satu baris
Matriks kolom: matriks yang terdiri satu kolom
Matriks persegi:matriks yang banyaknya baris dan kolom sama
Matrriks segitiga bawah: matriks persegi dengan elemen – elemen diatas
diagonal utama nol
Matrriks segitiga atas: matriks persegi dengan elemen – elemen dibawah
diagonal utama nol
Matriks diagonal:matiks segitiga atas dan bawah
Matriks skalar: matriks diagonal dengan elemen – elemen k(skalar)
Matiks satuan :matriks diagonal yang elemennya 1
Matriks Nol :matriks yang semua elemennya nol

III.

Transpose suatu matriks
Tranpose dari matriks A adalah suatu matrik yang elemen – elemennya diperoleh
dengan mengubah setiap baris dari matrik A menjadi kolom. Notasinya adalahA’

IV.

Kesamaan 2 matriks
Dua matriks A dan matriks B dikatakan sama apabila ordonya sama dan elemenelemen yang seletak juga sama

15

x y
 4

5 
 dan B=
x  y 

Contoh : A= 

5

4

5
 . Tentukan x!
1 

Jawab : A = B



x y

 4

5 
=
x  y 

5

4

5

1 

 x+y=5
x–y=1
2x = 6
 x=3
V. Penjumlahan dan pengurangan matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila ordonya
sama
1
2

5
 . B=
3 
 1 5
 +
Jawab A + B = 
 2 3

Contoh: A= 

6
6

5

4
5

4

5
 . Carilah A + B dan A – B
1 
5
 1  5 5  5
 = 

1
 2  4 3 1

10 

4 

= 

1
2

A – B = 
 4
 2

= 

5  5
 - 
3   4

5

1 

1 5
2 4

= 

5  5

3  1 

0

2 

Lawan matriks A adalah – A yang elemennya lawan dari matriks A
Sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan suatu matriks:
Jika A,B dan C matriks berordo sama , maka berlaku sifat – sifat sebagai berikut:
4. A + B = B +A (sifat komutatif)
5. (A B) C=A (B C) (sifat asosiatif)
6. Mempunyai insur identitas yaitu matrik nol sehingga berlaku A+(-A)=(-A) +
A =0
VI.

Perkalian Matriks
1. Perkalian matriks dengan skalar:
Jika k skalar maka perkalian matriks A dengan k adalah perkalian setiap
elemen matriks A dengan k
Sifat perkalian matriks dengan skalat:
1. (k+l)A= kA + lA d.. I x A=A x I = A
2. k(A+B)= kA + kB e.. (-I)A=A(-I)=-A
3. k(lA)=(kl)A

2. Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matrik A dan B dapat dikalikan apabila banyaknya kolom natriks
A sama dengan banyaknya baris natriks B
Sifat perkalian matriks dengan matriks
a. (AB)C=A(BC)
e. AI=IA=A

16

b. A(B+C)=AB+AC
c. (B+C)A=BA+CA
d. k(AB)=(kA)B=A(kB)

f. AO=OA=O
h. AB≠BA

VII. Invers Matriks
1. Invers matrik ordo dua
Determinan matriks ordo 2
a
c

b
a
 maka detterminan A= A 
c
d

Jika A = 

b
d

= ad-bc

Jika A dan B saling merupakan invers naka AB = BA = I
Rumus matriks Invers:
A-1 =

 d
1

ad  bc   c

 b

a 

Matriks singular dan non sungular:
Matriks singular adalah matriks yang detnya = 0
Matriks non singular adalah matriks yang detnya ≠ 0
2. Invers matriks ordo 3
Determinan matriks ordo 3
a

Jika A =  d
g


b
e

c
a

f  maka detterminan A= A  d
g
i 

h

b
e
h

c
f
i

= (aei +bfg +

cdh)-(gec+hfa+idb)




Adj A =  





Rumus A-1=

e
h
b
h
b
e

f
i
c
i
c
f

d
g
a

g
a

d



f
i
c
i
c
f

d
g
a

g
a

d



e

h
b

h
b
e 

1
adj A
det A

VIII. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan invers matriks
1. Untuk menyelesaikan bentuk :
AX = B maka X = A-1.B
2. Untuk menyelesaikan bentuk :
X.A = B maka X = B. A-1

IX.

Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan Determinan:
Misal: ax + by = e maka D =

a

b

c

d

, Dx =

dx + ey = f

17

e

b

f

d

, Dy =

a

e

c

f

x=

Dx
Dy
dan y =
D
D

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH
: MA PPMI ASSALAAM
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1

18

TAHUN PELAJARAN
STANDAR KOMPETENSI

: 2007-2008
: Merancang dan menggunakanmodel
matematika program linier serta
menggunakan sifat dan aturan yang
berkaitan dengan barisan, deret ,
matriks , vektor, tranformasi , fungsi
eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
: Menggunakan notasi sigma dalam deret

KOMPETENSI DASAR

dan
induksi
pembuktian.

INDIKATOR

matematika

dalam

:
1. Menulis suatu deret dengan notasi
sigma.
2. Menjelaskan ciri rumus yang dapat
dibuktikan dengan induksi matematika.
3. Menggunakan induksi matematika
dalam pembuktian.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:
Siswa dapat mrngubah suatu deret kedalam notasi sigma
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Notasi sigma
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Inkuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati konsep notasi sigma
b. Siswa mencermati ciri – ciri notasi sigma
2. Kegiatan Inti :
a. Siswa menyelesaikan soal notasi sigma
b. Siswa membuktikan dengan menggunakan sifat – sifat notasi sigma
c. Siswa mengubah bentuk deret kedalam notasi sigma
3.

Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN
a. Buku pegangan siswa

19

b. Modul MGMP sekolah
c. LKS
F. PENILAIAN

a. Tehnik
: Tes tertulis
b. Bentuk Instrumen : Tes uraian
c. Soal Instrumen
:
7

I.

Selesaikan :a.

 (3n  1)

=

n 1

7

b.

 (3n

2

 3n  10) 

n 2

II. Ubahlah dengan batas bawah 1 :
17

 (3n  1)

a.

n 5
7

 (3n

b.

2

 3n  1)

n  10

III. Buktikan :

7

7

n 1

n 1

 (3n  10) 3 n  70

IV. Ubahlah kedalam notasi sigma dengan batas bawah 5
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5
b. 3 + 5 + 7 + 9
c. 8 + 26 + 31 + 63

20

NOTASI SIGMA
KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI

: Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi
matematikadalam
pembuktian.

: Menyatakan suatu deret dengan notasi sigma

Notasi sigma adalah suatu cara un tuk menyatakan bentuk penjumlahan dengan cara
yang singkat yaitu mrnggunakan notasi ∑
n

Definisi : a1 + a2 + a3 + ... + an =

a

n

n1

7

Contoh: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 =  (3n  1)
n 1

7

Keterangan : notasi

 (3n  1)

dibaca jumlah 3n – 1 untuk n = 1 sampai n = 7

n 1

1 disebut batas bawah
7 disebut batas atas
n disebut indeks penjumlahan
sifat – sifat :
n

1.

u

n

u1  u2  u3 ....un

n1
n

2.

u
n 1

n

n

 u j
j 1

n

 k nk , dengan k konstanta

3.

n1

4.

n

n

n 1
n

n 1

 kun k  un , dengan k konstanta
n

n

i 1
n

i 1

5.  (ui vi )  ui  vi
i 1
n

6.

 (u

i

i 1

n

7.

i 1

m

i


i 1
m

9.

n

n

i 1

i 1

i 1

m

 u   u  u
i 1
n

8.

n

vi ) 2  u i2 2 ui  vi   v i2
i

i n 1
n 1

i
i 1
n 1

u i  u i 1  u i  1

u

i 0

m

i 2

u m dengan m = 1,2,3,...n merupakan elemen bil asli

i m

21

Mengetahui,
Sigit Rahardja, S.Si

Sukoharjo, 01 Juni 2007
Guru Mata Pelajaran
................................

22

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
SEKOLAH
: MA PPMI ASSALAAM
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS/PROGRAM/SEMESTER : XII/IA/ 1
TAHUN PELAJARAN
: 2007-2008
STANDAR KOMPETENSI
: Merancang dan menggunakan Model
matematika program linier serta
menggunakan sifat dan aturan yang
berkaitan dengan barisan, deret ,
matriks , vektor, tranformasi , fungsi
Eksponen dan logaritma dalam
pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR
: Merumuskan masalah nyata yang
model matematikanya berbentuk deret ;
menyelesaikan
modelnya
dan
menafsirkannya hasil yang diperoleh.

INDIKATOR

:
1.Menjelaskan karakteristik masalah yang
model matematikanya berbentuk deret
aritmatika atau geometri,
2.Merumuskan deret yang merupakan
model matematika dari masalah.
3.Menentukan penyelesaian dari model
matematika
4.Memberikan tafsiran terhadap hasil yang
diperoleh.

ALOKASI WAKTU

:

x 45 menit

A. TUJUAN PEMBELAJARAN:
Siswa dapat menyelesaikan soal – soal yang berhubungan dengan deret
aritmatika dan deret geometri.
B. MATERI PEMBELAJARAN:
Barisan dan deret
C. METODE PEMBELAJARAN:
1. Inkuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
D. LANGKAH LANGKAH KEGIATAN PEMBELAJARAN:
1. Kegiatan Awal:
a. Siswa mencermati konsep barisan
b. Siswa mencermati ciri – ciri barisan
c. Siswa mencermati konsep deret
d. Siswa mencermati ciri – ciri deret

23

2. Kegiatan Inti
a. Siswa menyelesaikan soal barisan aritmatika
b. Siswa menyelesaikan soal barisan geometri
c. Siswa mengerjakan soal deret aritmatika
d. Siswa mengerjakan soal deret geometri
e. Siswa mengerjakan soal deret geometri tak terhingga
f. Siswa menyelesaikan soal siaipan barisan aritmatika
g. Siswa menyelesaikan soal siaipan barisan geometri
h. Dengan contoh cara menyelesaikan barisan dan deret siswa diberi tugas
untuk mencari penyelesaian barisan dan deret
3.

Kegiatan Akhir
a. Siswa dan guru melakukan refleksi
b. Siswa mendapat tugas untuk pembelajaran berikutnya

E. SUMBER PEMBELAJARAN
1. Buku pegangan siswa
2. Modul MGMP sekolah
3. LKS
F. PENILAIAN
1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
3. Soal Instrumen

: Tes tertulis
: Tes uraian
:

a. Sebutkan ciri-ciri barisan aritmetika.
b. Diketahui suku pertama dan kedua deret aritmetika adalah 2 dan 5, hitung jumlah
c.

d.
e.

f.
g.
h.
i.

14 suku suku pertama deret aritmetika itu.
Tentukan beda dan suku ke 8 dari barisan :
1. 2,4,6.....
2. 3,8,13,...
3. 4,7,10,...
Sebutkan ciri-ciri barisan geometri
Tentukan rasio dan suku ke 8 dari barisan :
1. 2,4,8,...
2. 3,9,27,...
3. 100,50,25,...
Hitunglah x dari deret :
1. 2+ 4 + 6 +…+ x = 930
2. 5 + 7 + 9 + …+ x = 192……
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri yang hasil kalinya 1000. Jika
jumlahnya 35 Tentukan tiga bilangan itu.
Tentukan jumlah 10 suku dari deret geometri: 32 + 16 + 6 = ...
Sebuah bola dujatuhkan dari suatu tempat yang ketinggiannya 10 m. Setelah
jatuh dilantai memantul setinggi 5 meter kemudian 2,5 m dan seterusnya.
Tentukan jarak yang ditempoh bola sampai berhenti.

24

j. Diketahui barisan aritmatika 1,5,9,13. Jika setiap suku disisipkan 3 bilangan
sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan beda baru dan jumlah suku
baru.
k. Diketahui barisan geometri 1,8,64,512. Jika setiap suku disisipkan 2 bilangan
sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio baru dan jumlah suku
baru.

25

Barisan dan deret
KOMPETENSI DASAR

ILUSTRASI

: Merumuskan masalah nyata yang model
matematikanya berbentuk
deret, menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil
yang diperoleh..

: menyatakan suatu kalimat verbal kedalam bentuk deret

A. Barisan Aritmatika: barisan yang suku –suku berikutnya didapat dengan
menambahkan konstanta
yang sama
Bentuk Umum: a, a+b, a+2b, a+3b,...a +(n-1)b
Keterangan : suku pertama: a
Beda : b
Banyaknya suku : n
Suku ke n : Un
Rumus suku ke n : Un = a + ( n – 1 )b
B. Barisan Geometri : barisan yang suku –suku berikutnya didapat dengan
mengalikan dengan
konstanta yang sama
Bentuk Umum: a, ar, ar2, ar3, ..., arn-1
Keterangan : suku pertama: a
Ratio : r
Banyaknya suku : n
Suku ke n : Un
Rumus suku ke n : Un = a rn-1
C. Deret aritmetika: barisan aritmatika yang suku-sukunya dijumlahkan
Bentuk umum: a + (a+b)+ (a+2b) + (a+3b) +...(a +(n-1)b)
n
2

Rumus jumlah n suku pertama: Sn =

=
rumus suku ke n

n
2

( U1 + Un) atau

( 2a + ( n – 1 )b)

Un = Sn – Sn-1

D. Deret Geometri: barisan geometri yang suku-sukunya dijumlahkan
Bentuk umum : a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1
a (r n  1)
,r 1
r1

Rumus jumlah n suku pertama: Sn =
rumus suku ke n

Un = Sn – Sn-1

E. Deret Gepmetri tak terhingga:
Bentuk umum : a + ar + ar2 + ar3 + ...

26

atau Sn =

a (1  r n )
,r 1
1 r

Deret Konvergen syarat : -1 < r