this PDF file Analisis Klasifikasi Dua Arah Model Campuran | Raupong | Jurnal Matematika Statistika dan Komputasi 1 SM

Vol. 12, No. 2, 83-91, Januari 2016

Analisis Klasifikasi Dua Arah Model Campuran
Raupong, Anisa dan Hasrina
Abstract

Two ways Analysis of Variance (ANOVA) for mixed model can be found with Henderson II
method. In this research, the mixed model y  1  X  Zu   was adjusted by found L
value such that the value can be transform into ya
model used to estimate variance of the mixed model.

  0 1  X  Zu   , and the last

Keywords: Mixed model, two ways ANOVA, Henderson II method

1. Pendahuluan
Pada perancangan percobaan, menguji lebih dari satu hipotesa dalam sebuah percobaan
tunggal meliputi faktor persilangan, dimana tiap keadaan dalam percobaan adalah sebuah
kombinasi tingkatan yang berbeda dari tiap-tiap faktor yang sedang diuji. Perbedaan yang
mendasar dengan klasifikasi yang lain adalah jika dalam klasifikasi bersilang setiap tingkatan
menyangkut satu faktor yang digunakan didalam kombinasi dengan setiap tingkatan pada faktor

yang lain, maka pada klasifikasi dua arah tersarang tingkatan faktor yang tersarang tidak bertalian
satu sama lain (Searle, 1971).
Besarnya keragaman yang ditimbulkan oleh pengaruh perlakuan disebut Kuadrat
Tengah Perlakuan (KTP), besar keragaman yang ditimbulkan oleh pengaruh Kelompok disebut
Kuadrat Tengah Kelompok (KTK), dan besar keragaman yang ditimbulkan oleh pengaruh galat
disebut Kuadrat Tengah Galat atau KTG (Gaspersz. 1991).
Metode Henderson II merupakan adaptasi dari metode Henderson I yang perhitungannya
juga didasarkan pada metode Henderson I, tetapi digunakan untuk model campuran. Model
campuran merupakan model yang menyaratkan sekurang-kurangnya satu kriteria klasifikasi yang
merupakan pengaruh tetap dan lainnya pengaruh acak. Misalkan satu faktor A adalah tetap dan
faktor lainnya yaitu B adalah acak atau random (Searle & Cassela, 1992).

2. Landasan Teori
Klasifikasi dua arah bersilang (crossed) dua faktor merupakan percobaan dimana tiap
keadaan dalam percobaan adalah sebuah kombinasi tingkatan yang berbeda dari tiap–tiap faktor
yang sedang diuji. Atau klasifikasi dua arah bersilang merupakan klasifikasi dengan setiap tingkat
terjadi dalam kombinasi dengan setiap tingkat lainnya. Menurut Gaspersz (1991), model linear
untuk klasifikasi dua arah bersilang dapat dirumuskan sebagai berikut :

yij     i   j   ij ;

i  1,2,..., a

j 1,2,...., b

(1)

dimana :


dan  Staf pengajar pada Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Lulusan Program Studi Statistika Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Hasanuddin Makassar



84
Raupong, Anisa, Hasrina

=
i

j =
 ij

yij = nilai pengamatan perlakuan ke-i dalam kelompok ke-j
Nilai tengah populasi atau rataan umum
=

pengaruh perlakuan ke-i

pengaruh kelompok ke-j
=

pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-i pada kelompok ke-j

Asumsi yang digunakan pada model campuran adalah :

  i   0,
a

E  i    i ,

i

 
E   0,

E  j  0,
ij

    0
b

Var  i    2 ,  i
j

j

 
Var    

Var  j   2 ,  j

ij

2
e



,  ij ,  ij ~ NI 0,  e2



Jika model campuran yang digunakan dalam klasifikasi dua arah, maka pengaruh
kelompok dalam klasifikasi dua arah tersebut diasumsikan sebagai efek acak, dan pengaruh
perlakuan diasumsikan sebagai efek tetap.
Klasifikasi dua arah bersilangan terdiri dari a perlakuan dan b kelompok yang berbeda.
Data pengamatan dalam tabulasi diberikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Tabulasi Data Klasifikasi Dua Arah Bersilang untuk Data Tak Seimbang yang terdiri
dari a Perlakuan dan b Kelompok
KELOMPOK
TOTAL

PERLAKUAN
RATAAN
1
2 ……………….... b
PERLAKUAN
1
Y11 Y12
…
Y1b
Y1.
Y
1.

2
.
.
a

Y21
.

Y22
.

…
…

Y2b
.

Y2.
.

Y21.

Ya 1

Ya 2

…

Yab

Ya .

Ya .

TOTAL
KELOMPOK

Y.1

Y.2 ...

Y.j

RATAAN

Y.1

Y.2 ....

Y. j .....

..... Y.b

.

Y..

Y.b

dimana :
Yi . = jumlah semua pengamatan dalam sampel dari kelompok ke-i, i =1,2,...,a

Y. j

= jumlah semua pengamatan dalam sampel dan perlakuan ke-j, j = 1,2, ...,b

Yi .

= rataan pengamatan dalam kelompok ke – i

Y. j

= rataan pengamatan dalam perlakuan ke – j

Y..

= jumlah semua pengamatan

Y..

= rataan semua pengamatan (rataan umum)

Y..

85
Raupong, Anisa, Hasrina

Untuk percobaan yang menggunakan a buah perlakuan dengan jumlah kelompok
sebanyak b, maka analisis ragam untuk klasifikasi dua arah bersilang diuraikan berikut ini.
Derajat bebas (db) perlakuan adalah a – 1, derajat bebas (db) kelompok adalah b –
1, derajat bebas (db) galat adalah (a – 1) (b – 1) dan derajat bebas total adalah ab – 1.
Jumlah kuadrat Total (JKT) adalah :

JKT  JKP  JKK  JKG

JKP    yi   y 

dimana

a

b

i 1 j 1

2



; JKK     y

JKG   yij  yi   y j  y
a

b

i 1 j 1

a



b

i 1 j 1

j

 y 

(2)

;
2

2

sehingga diperoleh :

- Kuadrat Tengah Perlakuan (KTP), KTP 

JKP
a 1

- Kuadrat Tengah Kelompok (Kelompok), KTK 
- Kuadrat Tengah Galat (KTG), KTG 

(3)

JKK
b 1

(4)

JKG
b  1a  1

(5)

Berdasarkan hasil analisis di atas maka bentuk baku dari analisis variansi diberikan
dalam suatu tabel analisis variansi seperti yang diperlihatkan pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Analisis Variansi untuk Klasifikasi Dua Arah Bersilang
SUMBER
DERAJAT
JUMLAH
RATAAN
KERAGAMAN
BEBAS (DB)
KUADRAT
KUADRAT (KT)
(JK)
Perlakuan
a–1
JKP
KTP
Kelompok

Galat
Total

b–1

(b – 1) (a – 1)
ab – 1

JKK

KTK

JKG
JKT

KTG

FHITUNG

KTP
KTG
KTK
KTG

2.1. Metode Henderson II
Metode Henderson II merupakan metode penaksiran analisis variansi yang
menggunakan prinsip dasar metode Henderson I, tetapi diterapkan pada model campuran. Namun
demikian, metode Henderson II ini hanya dapat diterapkan pada model campuran tanpa interaksi.
Dengan metode Henderson II, maka akan diperoleh penyesuaian (adjusting) untuk suatu efek
tetap dari suatu model campuran, sehingga analisis variansi dari model campuran yang telah
disesuaikan tersebut dapat ditaksir dengan prinsip dasar metode Henderson I.
Pada metode Henderson II, model umum yang digunakan adalah :

86
Raupong, Anisa, Hasrina

y  μ1 X β  Zu  e

(6)
Selanjutnya pada model umum tersebut akan dilakukan penyesuaian (adjusting) sehingga
menghasilkan model persamaan :

y a  μ 0 1  Zu 

(7)

yang dalam penaksiran analisis variansi dapat dilakukan melalui pendekatan persamaan metode
Henderson I.

3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Metode Henderson II
Metode II berisi penyesuaian data hasil perkalian vektor dari pengamatan yang
disesuaikan dengan model linear yang merupakan model acak lengkap yang terdiri dari rata–rata
umum dan efek acak yang merupakan bagian dari model untuk y hasil dari transformasi bentuk
error.
Pada umumnya persamaan model yang digunakan adalah sebagai berikut :

y  Xβ  Zu  e

(8)

y  1  X   Zu  e

Namun pada Henderson II pada persamaan (6) adalah :
atau

y  Xb  e

dimana X  1 X

 
 
Z  dan b     .
 u 

(9)

Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (9) dengan X’, diperoleh :

X ' y  X ' Xb  X ' e

karena X ' e mendekati nol, maka diperoleh



X ' y  X ' X , dimana   b

(10)

ˆ   X ' X 1 X ' y

atau dengan kata lain

(11)

Prosedur umum dari Metode II perhitungannya didasarkan pada ˆ  Ly , sehingga dari
persamaan (11) dapat dituliskan :

L   X' X  X' ,
1



Dengan menggunakan persamaan (9), yang dikali dengan 1

 1' y 
X ' y 


 Z ' y 

 1'1ˆ  1' X ˆ  1' Zuˆ 


ˆ
X '1ˆ  X ' X   X ' Zuˆ 
 Z '1ˆ  Z ' X ˆ  Z ' Zuˆ 



X



(12)

Z , akan diperoleh :

(13)

87
Raupong, Anisa, Hasrina
Dengan proses absorpsi, dan menganggap ˆ  0 , maka persamaan di atas menjadi
X ' X
 Z 'X


X 'Z
Z ' Z 

 ˆ  X ' y
  

 uˆ   Z ' y 

Persamaan yang telah diuraikan di atas biasanya tidak memenuhi baris, sehingga akan
terdapat tak berhingga banyaknya solusi. Solusi tersebut dapat dipilih dengan menggunakan
invers umum dari persamaan
X ' X
C 
 Z 'X

0
0
1
C 
0
0


X 'Z
,
Z ' Z 

0

 X X2

 Z X2
0
'
2
'

0

X Z

Z Z
0
'
2
'

(14)
1

0
0

0
0

0
0

0
0


0

0
1
Q11 Q12 

Q
 21 Q 22 
0 0

0
0

0
0

(15)

Untuk membentuk persamaan Henderson I digunakan persamaan berikut

ya  y  X ˆ

(16)

dengan ˆ seperti pada persamaan (11), yaitu

ˆ   X ' X 1 X ' y = Ly

(17)

Subtitusi menggunakan persamaan (7) ke persamaan (16) diperoleh

ya  y  X Ly

 1  X   Zu  e  X L1  X   Zu  e 
 1  X   Zu  e  X L1  X LX   X LZu  X Le
  I  X L1  I  X LX   I  X L Zu  I  X L e

(18)

Berdasarkan persamaan (17) di atas, maka syarat yang harus dipenuhi untuk
mendapatkan L adalah sebagai berikut :
(1)

(2)
(3)

I  XLZu

 Zu  XLZu
 Z  X LZ  u
 Z  XLZ  Z

X L1   11 , untuk skalar  1

bila X LZ  0

X  X LX  1 , untuk beberapa baris vektor 
'

(19)
(20)
'

Jika L memenuhi ketiga kondisi tersebut maka dari persamaan (18) akan diperoleh:

ya  1  X L1  X   X LX   Zu  X LZu  e  X Le

   11 X  X LX   Zu  X LZu  e  X Le

 1   11  1 '   Zu  0   I  X L e

(21)

88
Raupong, Anisa, Hasrina

 μ 0 1 Zu 

atau

ya  1  X   Zu  e  X L1  X LX   X LZu  X Le 

  I  X L1  X  X LX   Z  X LZ  u  I  X Le
  0 1  0  Zu  

y a  μ 0 1  Zu 

(22)

3.2. Penaksiran Analisis Variansi
Pada klasifikasi dua arah yang menggunakan model campuran setelah datanya
dilakukan penyesuaian dengan metode Henderson II maka analisis variansi dari data tersebut
ditaksir dengan menggunakan persamaan dari metode Henderson I yang telah disesuaikan.
Berdasarkan persamaan (8) jika E ( y)   dan Var ( y)  V maka dapat ditulis y ~

 ,V  , dan berdasarkan teorema :





 

E y ' Ay  tr  AV   E y ' A E  y 

 

E y  X



E  y  X
'

'



'

(23)

dan

sehingga E y ' Ay  tr  AV    'X ' AX  , dimana X ' AX  0





Karena E y ' Ay  k A e2 , maka





k A e2  tr A e2 I   e2 tr  A





'





k A   A  e2 , maka akan diperoleh:

 

(24)

 

E ya' Aya  tr  AV   E ya' AE  ya  , dimana E ya' AE  ya   0

Dan karena E ya Aya

atau

kA   A  e2  tr  AV

Dari persamaan (22), dimana y a  μ 0 1  Zu  , dengan   I  X L e , maka akan diperoleh
penyederhanaan persamaan (25), yaitu

k A   A  e2

(25)

 tr A Var I  X L e

Berdasarkan sifat variansi dimana Var aX   a 2 var  X  , maka:

var I  X L e  I  X L Var e 
2

 I  X L I  X L  e2
'

sehingga persamaan (26) dapat disederhanakan menjadi :

(26)

89
Raupong, Anisa, Hasrina




  tr AI  X LI  X L 
 tr AI  X LI  X L 

k A   A  e2

 tr AI  X LI  X L  e2
'

'

2
e

'

X  X

(27)



Berdasarkan pada persamaan (15), X dipartisi menjadi :

X

1

2

(28)

dengan persamaan (12) diperoleh :

0

'
Q11X 2  Q12 Z 


L  

(29)

'





Q

Dengan mengalikan persamaan (28) dan (29), akan diperoleh :
'
'
XL  0.X1  X 2 Q11 X 2  Q12 Z

Misalkan U  Q11X
Maka U ' 

Q

 Q12 Z ' ,

'
2

'

X



 Q12 Z '

'

2



'
2

 Q12 Z '

k A   A  tr AI  X 2U  I  X 2U 


 tr AI  U X

 tr A I  U 'X

'

'
2

'

'
2

2

 Q12 Z '

'
2

X

11



(30)

 X 2 Q11'  Z1Q12'

Jadi X L  X 2U dengan U  Q11X
sehingga:
11

X



(31)

 X 2U  X 2UU 'X



'
2





 X 2U  X 2U X 2 Q11'  Z Q12' X

'
2



(32)

Persamaan (31) disederhanakan dalam bentuk :

Q

Q11X 2' X

X

11

2
'
2

 Q12 Z ' X



 Q12 Z X
'

U X

2
2

I

 I

I

(33)

Q11X Z  Q12 Z Z  0

Q

'
2

'
2

X

11



2

'

 Q12 Z ' Z  0
U Z 0

 

Subtitusi persamaan (25) ke persamaan (32) diperoleh :

k A   A  k A  tr A U 'X



'
2

 X 2U  X 2 Q11X

 

'
2



tr  AX 2U   tr Z FMF ' Z ' X 2U  tr UZ FMF ' Z ' X

Karena U Z1  0 seperti pada persamaan (34), maka :



 

 

2

(34)

 0

0  tr  AX 2U   tr U ' X '2 A'  tr U ' X '2 A  tr AU ' X '2



(35)

90
Raupong, Anisa, Hasrina

 A  tr  AX 2 Q11X



sehingga persamaan (35) akan menjadi :
'
2

(36)

Dari persamaan (36), diperoleh persamaan penaksiran analisis variansi untuk metode Henderson
II yang mengalami penyesuaian (adjusting) sebagai berikut :


tr AV 
σ 2e 
kA  A

dimana, dari persamaan (25) diketahui V  I  X Le , dan
 N 1
 N
 1
k A  tr  A dan A  
 N
 
 1
 N

1
N
N 1
N

1
N






(37)

1 
N 
1 

N 
 
N  1
N 

3.3. Aplikasi Penaksiran Analisis Variansi pada Klasifikasi Dua Arah Model
Campuran
Data yang digunakan sebagai contoh untuk aplikasi penulisan ini adalah data sekunder
yang diperoleh dari penelitian dengan judul ”Pertumbuhan dan Hasil Bawang Merah (Allium
ascalonicum L) Pada Berbagai Dosis Pupuk Top Ziolite”, oleh Sulastri (2002). Data terdiri
dari 6 perlakuan dan 3 kelompok. Dosis pupuk Top Ziolite yang digunakan diklasifikasikan
adalah sebagai berikut:
T0
T1
T2
T3
T4
T5

: Tanpa Top Ziolite (Kontrol)
: Dosis Top Ziolite 0.30 g / 8 kg tanah
: Dosis Top Ziolite 0.60 g / 8 kg tanah
: Dosis Top Ziolite 0.90 g / 8 kg tanah
: Dosis Top Ziolite 1.20 g / 8 kg tanah
: Dosis Top Ziolite 1.50 g / 8 kg tanah

Hasil pengolahan data dengan metode Henderson II diperoleh nilai taksiran dari
analisis variansi sebagai berikut :

 e2 


Tr  AV 
kA   A

 17 .765
 17.765

  0.36124
82 .936
49.176  33.176

4. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan aplikasi dari penelitian ini, disimpulkan bahwa dengan menggunakan
metode Henderson II pada klasifikasi dua arah bersilangan (Crossed) untuk model campuran
tanpa interaksi dengan data tak seimbang, pada data tinggi tanaman bawang merah (cm),

91
Raupong, Anisa, Hasrina
diperoleh taksiran variansi  e2   0.36124 , yang berarti bahwa tidak ada pengaruh dalam
keragaman baik dalam perlakuan maupun dalam kelompok.
Penelitan lebih lanjut dapat dilakukan pada data seimbang dan membandingkan hasil
penyesuaian dengan metode Henderson II pada kedua data tersebut. Perlu pula dilakukan
penelitian lebih jauh mengenai spesifikasi komponen acak dan tetap yang memberikan taksiran
variansi  e2 dengan metode Henderson II yang positif.

Daftar Pustaka
[1]. Sulastri D, 2002, “Pertumbuhan dan Hasil Bawang Merah (Allium ascalonicum L) pada
Berbagai Dosis Pupuk Top Ziolite”, Jurusan Pertanian, Fakultas Pertanian dan Kehutanan
Universitas Hasanuddin, Makassar.
[2]. Gaspersz G, 1991, ”Metode Perancangan Percobaan”, PT. Armico, Bandung.
[3]. Searle SR, 1971, “Linear Models”, John Wiley & Son Inc., Canada.
[4]. Searle SR & Casella G, 1992, “Variance Components”, John Wiley & Son Inc., Canada.
[5]. Daniel WW, 1989,”Statistik Non Parametrik”, PT. Gramedia, Jakarta.