Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

FUNGSI INVERS HIPERBOLIK

Tidak semua fungsi hiperbolik pada domainnya merupakan fungsi satu-satu
sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fungsi invers
hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. Sedangkan untuk mencari turunan dari
fungsi invers hiperbolik dilakukan terlebih dahulu cara sebagai berikut.
-1

Misal y = sinh u. Maka u = sinh y [ ∀ u, y ].
e y − e− y
Jadi : u =
⇔ e y − 2 u − e− y = 0 ⇔ e 2 y − 2 u e y − 1 = 0
2
⇔ ey = u ± u2 + 1 = u + u2 + 1

( sebab: ey > 0, ∀y)

⇔ y = ln u + u2 + 1

Turunan Fungsi invers Hiperbolik.
Misal y = sinh−1 u = ln u + u 2 + 1 . Maka :
y' =


1 +

2
u + u +1 
1


 u' =

2
u + 1
u

u'
u2 + 1

Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :

∫

du
u2 + 1

= sinh−1 u + C

Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperbolik, sebagai
berikut :
1. y = cosh −1 u = ln u + u 2 − 1 , { u ≥ 1}

Danang Mur sita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

u'

y' =

u −1
2

du
u −1
2

= cosh −1 u + C

1  1 + u
ln
 , {| u|< 1}
2  1 − u

2. y = tanh− 1 u =
y' =

∫

⇔

u'

du
−1
⇔
∫
2
2 = tanh u + C , bila | u| < 1
1− u
1− u

1  u + 1
ln
 , {| u| > 1}
2  u − 1
3.

u'
du
y' =
⇔ ∫
= coth−1 u + C , bila | u| > 1
2
2
1− u
1− u
y = coth−1 u =





1 + 1 − u2 
−
1

y = sec h u = ln

, { 0 < u ≤ 1}



4.
y' =

− u'
u 1 − u2

⇔

∫

u




du

= − sec h −1|u|+C

u 1 − u2

1
1 + u 2 

y = csc h u = ln +
, { u ≠ 0}
u
| u| 

5.
− u'
du
y' =
⇔ ∫
= − csc h −1 | u|+ C
2

2
| u| 1 + u
u 1+ u
−1

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari :
1. y = cosh −1 (2 x + 1)
2. y = coth−1

( x)

( )

3. y = csc h− 1 e2 x
4. y =

 1
5. y = sinh− 1  

 x
6. y = cosh −1 (cosh x)

(

7. y = ln cosh −1 x

1
tanh−1 x

8. y =

coth− 1 x

Danang Mur sita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

)

Matematika Dasar

9. y = sinh− 1(tanh x)

(

)10

12. y = 1 + x csc h− 1x

10. y = e x sec h−1x
 1− x
11. y = tanh−1 

 1+ x

( Nomor 13 sd 20 ) Hitung integral berikut :
13.

∫

14.

∫

15.

∫

16.

∫

17.

∫

dx
1 + 9x 2

18.

dx
x −2
2

dx

x 1 + x6
3

19.

∫

0

dx
9 x 2 − 25

dx

∫

dt
t2 + 1

1/2

20.

dt
t 1− t
1/4

∫

1 − e 2x
sin x dx
1 + cos2 x

Danang Mur sita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung