PERBANDINGAN METODE INTEGRASI NUMERIK BOOLE, GAUSS-LEGENDRE DAN ADAPTIVE SIMPSON DALAM MENGHITUNG VOLUME BENDA - Binus e-Thesis
UNIVERSITAS BINA NUSANTARA
Program Ganda Teknik Informatika - Matematika
Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Genap 2005/2006
PERBANDINGAN METODE INTEGRASI NUMERIK BOOLE, GAUSS-
LEGENDRE, DAN ADAPTIVE SIMPSON DALAM MENGHITUNG VOLUME
BENDA
Adithya Satiadi NIM: 0500589760
Abstrak Masalah yang melibatkan persamaan integral timbul diberbagai bidang teknik, fisika, dan lain-lain. Terdapat beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan integral. Diantaranya adalah dengan menggunakan metode numerik, seperti aturan Boole dan Gauss-Legendre sebagai dasar dari pencarian volume benda yang melibatkan persamaan integral. Namun kedua persamaan tersebut masih mempunyai kekurangan dan harus memenuhi berberapa syarat untuk mencapai jawaban yang memiliki tingkat kesalahan terkecil. Kekurangan dalam metode-metode tersebut dapat ditanggulangi oleh suatu metode yang disebut Adaptive Simpson.
Dari hasil penelitian yang diperoleh, diketahui bahwa dengan Metode Boole dan Gauss-Legendre tidak dapat mendapatkan hasil integral numerik yang memiliki tingkat kesalahan kecil dalam iterasi sedikit. Sedangkan dengan metode Adaptive Simpson, bisa mendapatkan hasil integral numerik yang memiliki tingkat kesalahan terkecil dalam iterasi yang lebih sedikit dibanding kedua metode di atas, selain itu dalam mengimplementasikan rumusnya jauh lebih mudah dibanding kedua metode di atas. Oleh sebab itu perlu pembelajaran mengenai metode Adaptive Simpson karena pada kenyataannya untuk mencapai hasil yang efektif dan efisien dibutuhkan iterasi yang sedikit dan tingkat kesalahan yang kecil.
Kata Kunci: Integrasi numerik, analisis numerik, metode numerik, Aturan Boole, Aturan Gauss- Legendre, Aturan Adaptive Simpson.
PRAKATA
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat dan rahmat-Nya sehingga penulisan skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Integrasi Numerik Boole, Gauss-Legendre dan Adaptive Simpson dalam Menghitung Volume Benda” dapat terselesaikan. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi strata satu pada jurusan Teknik Informatika dan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Bina Nusantara.
Selama proses pembuatan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan masalah. Namun berkat bimbingan dari para dosen dan dukungan dari orang-orang yang banyak membantu, secara langsung maupun tidak langsung, akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Oleh sebab itu, penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih sebesar- besarnya kepada: 1.
Orang Tua penulis yang telah dengan sabar mendidik, memberikan dukungan dan nasihat yang berguna selama hidup penulis.
2. Bapak Gerardus Polla, Prof, Dr., Drs., MAppSc., selaku Rektor Universitas Bina Nusantara.
3. Bapak Wikaria Gazali, S.Si., M.T., selaku Dekan Fakultas MIPA.
4. Bapak Drs. Ngarap Imanuel Manik, M.Kom, selaku Ketua Jurusan Fakultas MIPA.
5. Bapak Ir. Sablin Yusuf, M.Sc, M.Comp.Sc., selaku Dekan Fakultas Ilmu Komputer Universitas Bina Nusantara 6.
H. Mohammad Subekti, BE, M.Sc. selaku Ketua Jurusan Teknik Informatika Universitas Bina Nusantara.
7. Bapak Makmuri, Drs., MSi., dan Bapak Siswa Trihadi, Ir., MSc., Dr., selaku
Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan waktu, bantuan dan bimbingan selama masa penyusunan skripsi ini.
8. Seluruh Dosen Universitas Bina Nusantara yang selama ini telah memberikan ilmu dan bimbingan akademis kepada penulis dari awal hingga akhir perkuliahan.
9. Seluruh staff Perpustakaan Universitas Bina Nusantara yang telah membantu dalam memberikan sebagian literatur yang digunakan dalam studi pustaka.
10. Bapak Adelin Juliarso, selaku manajer produksi PT. Usaha Saudara Mandiri yang telah memberikan banyak penjelasan dan data yang penulis butuhkan dalam menyelesaikan skripsi ini.
11. Teman - teman yang telah memberikan semangat, masukan dan dorongan dalam penulisan skripsi ini, khususnya teman - teman jurusan Teknik Informatika – Matematika angkatan 2001.
12. Pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah mendukung dan membantu penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, karena keterbatasan kemampuan dan pengetahuan penulis. Karenanya, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dalam menyempurnakan skripsi ini.
Akhir kata, penulis berharap agar skripsi ini dapat berguna dan menambah wawasan bagi siapapun yang membacanya.
Jakarta, 24 Juni 2006 Penulis Adithya Satiadi 0500589760
DAFTAR ISI
29
2.6 Kuadratur Gauss
38
2.5.1 Rumus Newton-Cotes secara Umum
36
2.5 Aturan Boole
32
27
2.6.2 Ciri sebuah Rumus Gauss
26
24
22
21
2.4.8 Kesalahan Pemotongan pada Aturan Simpson
2.4.7 Aturan Simpson 3/8
2.4.6 Aturan Simpson 1/3
2.6.1 Perubahan Koordinat
2.6.3 Rumus Gauss-Legendre
2.4.4 Kesalahan Pemotongan pada Aturan Persegi
52
57
2.9 Volume Benda Putar
55
2.8 Integrasi Numerik dalam Daerah Dua Dimensi
53
2.7 Aturan Adaptive Simpson
45
2.6.4 Turunan dari Rumus Gauss Dua Titik
44
42
41
40
39
2.6.6 Estimasi Kesalahan
2.6.5 Prosedur Umum
2.4.5 Aturan Simpson
Halaman Abstrak iv
Prakata v Daftar Isi vii
2
3
1.4.1 Tujuan Rancangan
3
1.4 Tujuan dan Manfaat
2
1.3 Perumusan Masalah
1.2 Ruang Lingkup
3
1
1.1 Latar Belakang
1
BAB 1 PENDAHULUAN
Daftar Lampiran xii
Daftar Gambar x
Daftar Tabel ix
1.4.2 Manfaat Rancangan
1.5 Metodologi
2.4.2 Aturan Trapezoidal
12
17
2.4.1 Aturan Persegi
16
2.4 Rumus Newton-Cotes
14
2.3 Sumber-sumber Kesalahan
2.2 Integrasi Numerik
3
6
2.1.1 Metode Numerik
6
2.1 Analisis Numerik
6
4 BAB 2 LANDASAN TEORI
1.6 Sistematika Penulisan
2.4.3 Kesalahan Pemotongan pada Aturan Trapezoidal
2.10 Volume Benda Padat
4.1.2. Spesifikasi Piranti Lunak
82
84
84
85
86 BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI
88
4.1 Implementasi
88
4.1.1. Spesifikasi Perangkat Keras
88
88
3.3.2 Form Integral Biasa
4.2 Cara Pengoperasian Program
89
4.3 Analisis Program
95
4.4 Evaluasi Program 117
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 118
5.1 Kesimpulan 118
5.2 Saran 119
5.3 Open Problem 120
DAFTAR PUSTAKA 121
RIWAYAT HIDUP 122
3.3.3 Form Integral Lipat Dua
3.3.1 Form Utama
60 BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN
3.2 Perancangan
62
3.1 Analisis
62
3.1.1 Analisis Masalah yang Dihadapi
62
3.1.2 Analisis Kebutuhan
3.1.3 Usulan Pemecahan Masalah
3.1.4 Analisis Piranti Lunak yang Digunakan
63
63
64
64
Form
3.2.1 Perancangan Layar
64
3.2.2 Perancangan Proses
3.2.3 Perancangan Program
3.2.3. Perancangan Diagram Alir (Flow chart)
70
70
70
3.3 3.2.4.
Perancangan Diagram Transisi (State Transition
Diagram )
SOURCE CODE PROGRAM L 1
DAFTAR TABEL
Tabel 4.11 Tabel Gauss-Legendre Kasus 2 dengan 5 iterasi. 104Tabel Gauss-Legendre Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 100. Tabel Adaptive Simpson Kasus 3.
Tabel 4.21 Tabel Gauss-Legendre Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 25.Tabel 4.19 Tabel 4.20
Tabel 4.18 Tabel Gauss-Legendre Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 9. 112Tabel 4.17 Tabel Boole Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 100. 111Tabel 4.16 Tabel Boole Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 25. 111Tabel 4.15 Tabel Boole Kasus 3 dengan jumlah total iterasi 9. 109Tabel 4.14 Tabel Adaptive Simpson Kasus 2. 107Tabel 4.13 Tabel Gauss-Legendre Kasus 2 dengan 20 iterasi. 116Tabel 4.12 Tabel Gauss-Legendre Kasus 2 dengan 10 iterasi. 105Tabel 4.10 Tabel Boole Kasus 2 dengan 20 iterasi. 104Halaman Tabel
Tabel 4.9 Tabel Boole Kasus 2 dengan 10 iterasi. 103Tabel 4.8 Tabel Boole Kasus 2 dengan 5 iterasi. 103Tabel 4.7 Tabel Adaptive Simpson Kasus 1. 10199 Tabel 4.6 Tabel Gauss-Legendre Kasus 1 dengan 20 iterasi. 100
99 Tabel 4.5 Tabel Gauss-Legendre Kasus 1 dengan 10 iterasi.
98 Tabel 4.4 Tabel Gauss-Legendre Kasus 1 dengan 5 iterasi.
97 Tabel 4.3 Tabel Boole Kasus 1 dengan 20 iterasi.
97 Tabel 4.2 Tabel Boole Kasus 1 dengan 10 iterasi.
47 Tabel 4.1 Tabel Boole Kasus 1 dengan 5 iterasi.
39 Tabel 2.2 Tabel titik-titik Gauss, weight dan estimasi kesalahannya.
2.1 Tabel beberapa rumus Newton-Cotes beserta estimasi Kesalahannya.
113 114 115
DAFTAR GAMBAR
77 Gambar 3.11 Flowchart Modul Adaptive2.
68 Gambar 3.4 Flowchart Modul Volume_Benda_Putar.
71 Gambar 3.5
Flowchart Modul Adaptive1.
72 Gambar 3.6 Flowchart Modul Boole1.
73 Gambar 3.7 Flowchart Modul Simpson1.
74 Gambar 3.8 Flowchart Modul Gauss1.
75 Gambar 3.9 Flowchart Modul Grafik_Benda_Putar.
76 Gambar 3.10 Flowchart Modul Volume_Benda_Padat.
78 Gambar 3.12 Flowchart Modul Boole2.
65 Gambar 3.2 Rancangan Layar Form Integral Biasa.
79 Gambar 3.13 Flowchart Modul Simpson2.
80 Gambar 3.14 Flowchart Modul Gauss2.
81 Gambar 3.15 Flowchart Modul Grafik_Benda_Padat
82 Gambar 3.16 STD Program.
83 Gambar 3.17 Form Utama.
84 Gambar 3.18
Gambar 3.19 Form Integral Biasa.Form Integral Lipat Dua.
85
66 Gambar 3.3 Rancangan Layar Form Integral Lipat dua.
60 Gambar 3.1 Rancangan Layar Form Utama.
Halaman Gambar 2.1 Diagram alir pengolahan informasi.
21 Gambar 2.11 Kesalahan pemotongan Aturan Trapezoidal.
6 Gambar 2.2 Proses pemecahan persoalan dalam metode numerik.
8 Gambar 2.3 Evaluasi numerik integral I 2.
11 Gambar 2.4 Integral sebagai daerah di bawah kurva.
13 Gambar 2.5 Evaluasi dari sebuah integral menggunakan jaring atau kertas grafik.
14 Gambar 2.6 Tipe-tipe yang berbeda dari pendekatan f(x). 17
Gambar 2.7 Pendekatan f(x) oleh bagian dari polinomial berderajat 0 dan 1.19 Gambar 2.8 Estimasi atas dan estimasi bawah dari I. 20
Gambar 2.9 Pendekatan f(x) oleh (f i +f i +1 )/2 dalam x i ≤ x ≤ x i+1 .20 Gambar 2.10 Aturan Trapezoidal.
22 Gambar 2.12 Aturan Simpson 1/3.
60
27 Gambar 2.13 Aturan Simpson 3/8.
30 Gambar 2.14 Kesalahan pemotongan Aturan Simpson.
33 Gambar 2.15 Evaluasi dari sebuah integral lipat dua.
56 Gambar 2.16 Gambar 2.17 Gambar 2.18 Gambar 2.19
Gambar 2.20 Volume benda putaran yang terbentuk oleh fungsi f(x).Pita sempit dalam bentuk bidang. Benda putar dibagi menjadi beberapa pita silinder. Benda padat yang diambil salah satu bagiannya. Penampang antara benda dan y 0.
58
58
59
86
Gambar 4.1 Grafik benda yang terbentuk dari fungsi f(x) = log x yang10 diputar mengelilingi sumbu x.
96 Gambar 4.2 Grafik benda yang terbentuk dari fungsi f(x) =
10 log x yang
diputar mengelilingi sumbu y. 102
Gambar 4.3 Grafik benda padat yang terbentuk dari fungsi f(x,y) =2 .
108
25 − x