BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR - BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR ,

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

BAB II
KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Benda tegar adalah elemen kecil yang tidak mengalami perubahan bentuk
apabila dikenai gaya. Struktur dua dimensi dapat diartikan sebuah struktur pipih yang
mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai tebal, atau secara lebih umum ,
sebuah struktur yang mempunyai simetri bidang.
A. SISTEM EKIVALEN GAYA
Gaya yang beraksi pada benda tegar dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu:
1. Gaya luar, aksi dari benda lain pada benda yang sedang dibahas. Contohnya berat,
gaya dorong, gaya normal.
2. Gaya dalam, gaya yang mengikat semua partikel yang membentuk benda tegar
tersebut. Contohnya gaya pada kerangka batang.
Pada bab ini hanya akan dibicarakan gaya luar. Sebagai contoh dapat dilihat pada
gambar 2.1(a) sebuah truk yang ditarik oleh beberapa orang. Gaya luar yang bekerja
pada truk tersebut ditunjukkan pada diagram benda bebas (free body diagram) seperti
tampak pada gambar 2.1(b).

(b)

(a)

Gambar 2.1. Diagram benda bebas
B. PRINSIP TRANSMISIBILITAS GAYA EKIVALEN
Prinsip transmisibilitas menyatakan bahwa persyaratan kesetimbangan gerak
benda tegar akan tetap tidak berubah jika gaya F yang beraksi pada titik tertentu pada

23

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

benda tegar itu diganti oleh gaya F’ yang besar dan arahnya sama tetapi beraksi pada
titik yang berbeda, jika kedua gaya itu memiliki garis aksi yang sama (gambar 2.2)

Gambar 2.2. Prinsip Transmisibilitas
Kembali pada contoh truk itu, mula-mula kita amati garis aksi gaya F ialah garis
horizontal yang melalui kedua bumper belakang dan depan truk itu (gambar 2.3(a)).
Dengan memakai prinsip transmisibilitas, kita boleh mengganti F dengan gaya ekivalen
F’ yang beraksi pada bumper belakang(gambar 2.3(b)).

Gambar 2.3. Prinsip Transmisibilitas pada kendaraan

C. MOMEN GAYA TERHADAP SUMBU
Kecenderungan sebuah gaya untuk memutar sebuah benda tegar di sekitar
sebuah sumbu diukur oleh momen gaya terhadap sumbu itu. Momen MA dari suatu gaya
F terhadap suatu sumbu melalui A, atau dengan singkat, momen F terhadap A,
didefinisikan sebagai perkalian besar gaya F dengan jarak tegak lurus d dari A ke garis
aksi F:
MA = Fd

(21)

24

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Di mana :

MA = momen gaya (Nm, lb ft, lb in)

F = gaya (N, lb)
d = jarak dari sumbu putar (m, ft, in)

Momen gaya tidak hanya memiliki besar tetapi juga arah. Pada pembicaraan ini
kita akan mengambil momen searah jarum jam sebagai positif dan momen berlawanan
jarum jam sebagai negatif.

D. TEOREMA VARIGNON
Suatu

teorema

yang

sangat

penting

dalam

statika

ditemukan

oleh

matematikawan Perancis yang bernama Varignon (1654-1722). Teorema ini
menyatakan bahwa momen sebuah gaya terhadap setiap sumbu sama dengan jumlah
momen komponen gaya itu terhadap sumbu yang bersangkutan.
MO = M1 + M2 + M3 + M4 +..........
= F1d1 + F2d2 + F3d3 + F4d4 +...........

(22)

Contoh 1.
Gaya vertikal 100 lb diterapkan pada ujung
lengan yang terikat pada poros di O.
Tentukan (a) momen gaya 100 lb tersebut
terhadap O; (b) besar gaya horizontal yang
diterapkan di A yang menimbulkan momen

yang sama terhadap O; (c) gaya terkecil
yang diterapkan di A yang menimbulkan
momen yang sama terhadap O; (d) berapa
jauhnya dari poros sebuah gaya vertikal
240 lb harus beraksi untuk menimbulkan
momen yang sama terhadap O.

25

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Penyelesaian:
a. Momen terhadap O. Jarak tegak
lurus dari O ke garis aksi gaya
100 lb adalah
Mo = F x dcos 60
= 100 x 24cos 60
= 1200 lb in.

b. Gaya horizontal. Karena momen

terhadap O harus 1200 lb in, kita
tulis:
Mo = F x dsin 60
1200= F x 24sin 60
F = 57,7 lb

c. Gaya terkecil. Karena Mo =
Fd, harga F terkecil terjadi
ketika d maksimum. Kita
pilih gaya tegak lurus OA
dan dapatkan d = 24 in,
sehingga:
Mo = Fd
1200 = F x 24 in
F = 50 lb

26

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

d. Gaya vertikal.
Mo = F x dcos 60
1200 = 240 x dcos 60
d = 10 in

Contoh 2.
Batang sepanjang 4,8 m
mengalami gaya seperti pada
gambar. Hitunglah :
a. Besar
momen
terhadap ujung A.
b. Besar
momen
terhadap ujung B
1,6 m

1,2 m

2m

Penyelesaian:
a. Momen terhadap ujung A.
MA= (600 x 1,6)-(100 x 2,8)
+ (250 x 4,8)
= 1880 Nm

b. Momen terhadap ujung B.
MA= (100 x 2)-(600 x 3,2)
+ (150 x 4,8)
= -1000 Nm

27

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

E. Kesetimbangan Benda Tegar
Sebuah benda tegar dalam kesetimbangan jika gaya-gaya luar yang beraksi
padanya membentuk sistem gaya ekivalen dengan nol, ini berarti sistem tersebut tidak
mempunyai resultan gaya dan resultan kopel. Syarat kesetimbangan adalah:

Fx = 0

Fy = 0

MA = 0

(23)

F. Reaksi Pada Tumpuan dan Sambungan Untuk Struktur Dua Dimensi
Reaksi yang ditimbulkan pada suatu struktur dua dimensi tegar dapat dibagi
menjadi tiga kelompok, sesuai dengan tiga jenis tumpuan atau sambungan, yaitu:
1. Reaksi yang ekivalen dengan sebuah gaya yang diketahui garis aksinya. Dukungan
dan sambungan yang menimbulkan reaksi dalam kelompok ini termasuk
gelindingan (roller), goyangan (rocker), permukaan tak bergesekan, penghubung
(link) dan kabel pendek, kerah pada batang tak bergesekan dan pin (jarum) tak
bergesekan pada celah.
2. Reaksi yang ekivalen dengan gaya yang arahnya tak diketahui. Dukungan dan
sambungan yang menimbulkan reaksi dalam kelompok ini termasuk pin tak
bergesekan pas pasak lubang, engsel, dan permukaan kasar.
3. Reaksi yang ekivalen dengan suatu gaya dan suatu kopel. Reaksi sejenis ini

ditimbulkan oleh dukungan tetap yang melawan setiap jenis gerak benda bebas
sehingga mengekang geraknya sepenuhnya.
Daftar berbagai jenis tumpuan dapat dilihat pada tabel 2.1.

28

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Tabel 2.1. Reaksi Pada Tumpuan

Gambar 18

29

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Tabel 2.1. Reaksi Pada Tumpuan (lanjutan)

Contoh 3.

Gambar 2.4. Diagram Benda Bebas pada truss

Kita tinjau truss yang terlihat pada gambar 2.4(a) di atas yang mengalami gaya tertentu
P, Q, dan S. Truss tersebut terikat pada tempatnya oleh pin di A dan gelindingan di B.
Pin mencegah titik A untuk bergerak dengan menimbulkan gaya pada truss, gaya ini
dapat diuraikan menjadi komponen Ax dan Ay. Gelindingan menjaga truss itu supaya
tidak berotasi sekitar A dengan menimbulkan gaya vertikal B. Diagram benda bebas

30

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

truss tersebut diperlihatkan pada gambar 2.4(b), termasuk reaksi Ax, Ay, dan B serta
gaya P, Q, S serta berat W dari truss itu.

Contoh 4.

Gambar 2.5. Diagram Benda Bebas pada truss

Dalam kasus truss seperti gambar 2.5(a) dipegang oleh gelindingan di A dan B serta
hubungan pendek di D. Uraian gaya-gaya yang bekerja pada truss dapat dilihat pada
gambar 2.5(b)

Contoh 5.
Kerek tetap yang bermassa 1000
kg dipakai untuk mengangkat peti
seberat 2400 kg. Kerek itu
dipegang tetap pada tempatnya
oleh pin A dan goyangan di B.
Pusat gravitasi kerek terletak di G.
Tentukan komponen reaksi pada A
dan B (g = 9,8 m/s2)

31

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Penyelesaian:

Ay
23,5 kN
Ax

A

1,5 m

9,8 kN
B

B
2m

4m

W1 = 2400 x 9,8 = 23520 N
= 23,5 kN
W2 = 1000 x 9,8 = 9800 N
= 9,8 kN
Fy = 0
Ay – W2 – W1 = 0
Ay = 9,8 + 23,5 = 33,3 kN
MA = 0
(W2 x 2) + (W1 x 6) – (B x 1,5) = 0
(9,8 x 2) + (23,5 x 6) –(B x 1,5) = 0
19,6 + 141 = 1,5B
B = 107,1 kN
Fx = 0
Ax + B = 0
Ax = - B = - 107,1 kN = 107,1 kN (ke kiri)

32

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Contoh 6.
Tiga beban diterapkan terhadap
sebuah balok seperti terlihat
pada gambar. Balok tersebut
didukung
oleh
sebuah
gelindingan di A dan sebuah pin
di B. Abaikan berat balok,
tentukan reaksi di A dan B jika
P = 15 kips
Penyelesaian:

Fx = 0
Bx = 0
MB = 0
(A x 9) + (6 x 2) + (6 x 4) – (15 x 6) = 0
9A = 90 – 12 – 24
A = 6 kips
Fy = 0
A – 15 + By – 6 – 6 = 0
6 – 15 + By – 6 – 6 = 0
By = 21 kips

33

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Contoh 7.
Seorang
lelaki
mengangkat
tonggak 10 kg yang panjangnya
4 m dengan menariknya dengan
tambang. Carilah tegangan T
dari tambang dan reaksi di A

Penyelesaian :
Tsin 70

B
25
70

T

Tcos 70

F
W

A

45
Fcos 45

MA = 0
(W x 0,5AB x cos 45) + (Tcos 70 x AB x cos 45) – (Tsin 70 x AB x sin 45) = 0
0,5W + Tcos 70 - Tsin 70 = 0
(0,5 x 98) + (0,342 x T) –(0,9397 x T) = 0
49 = 0,5977 T
T = 81,98 N
Fx = 0
Fcos 45 - Tsin 70 = 0
0,7F = (81,98 x sin 70)
0,7F = 77
F = 110 N

34

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Contoh 8
Kerangka yang diperlihatkan
mendukung
sebagian
atap
bangunan
kecil.
Diketahui
tegangan pada kabel sebesar
150 kN. Tentukan reaksi pada
ujung E.

Penyelesaian :
D
A

B

C

Ex



E



F

ME

Ey
Fx = 0
150cos  + Ex = 0
Ex = - 150 x 4,5/7,5
= - 90 kN = 90 kN (kiri)
Fy = 0
Ey – 20 – 20 – 20 – 20 – 150sin  = 0
Ey = 80 + (150 x 6/7,5)
= 200 kN
ME = 0
(Tcos  x 6) – (20 x 1,8) – (20 x 3,6) – (20 x 5,4) – (20 x 7,2) – ME = 0
(150 x 4,5/7,5 x 6) – 360 = ME
ME = 180 kNm

35

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

LATIHAN :
1.

a. Determine the magnitude and directional
sense of the moment of the force at A about
point O
b. Determine the magnitude and directional
sense of the moment of the force A about point
P.

2. The boom has a length of 30 ft, a weight of 800 ib, and mass center at G. If the
maximum moment that can be developed by the motor at A is M = 20(10 3) lb.ft,
determine the maximum load W, having a mass center at G, that can be lifted. Take
 = 30.

36

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

3.

Determine the moment of each of the three
forces about point A.

4. The towline exerts a force of P = 4 kN at the and of the 30 m long crane boom. If 
= 30, determine the placement x of the hook at A so that this force creates a
maximum moment about point O. What is this momen ?

5. The crane can be adjusted for any angle 0    90 and any extension 0  x  5 m.
For a suspended mass of 120 kg, determine the moment develop at A as a function

37

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

of x and . What values of both x and  develop the maximum possible moment at
A ? Compute this moment. Neglect the size of the pulley at B

6.

Determine the reactions at the supports for
the truss

38

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

7.

Determine the reactions at the supports for
the truss

8.

Determine the reactions at the pin A and
at the roller at B of the beam.

9.

Determine

the

reactions

at

the

supports A and B of the frame

39

BAB II KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

10.

Determine the tension in the cable and the
horizontal

and

vertical

components

of

reaction of the pin A. The pulley at D is
frictionless and the cylinder weights 80 lb.

40