SKRIPSI ANALISIS PROFIL DAN APLIKASINYA

  

ANALISIS PROFIL DAN APLIKASINYA

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Oleh :

  

Anindita Kusumastuti

NIM : 033114009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  

PROFILE ANALYSIS AND IT’S APPLICATION

THESIS

  Presented As Partial Fulfillment of The Requirenets To Obtain The Sarjana Sains Degree

  In Mathematics By :

  

Anindita Kusumastuti

Student Number : 033114009

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE

DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

SKRIPSI ANALISIS PROFIL DAN APLIKASINYA

  Oleh:

  Anindita Kusumastuti NIM: 033114009

  Telah disetujui oleh : Pembimbing

  

SKRIPSI

ANALISIS PROFIL DAN APLIKASINYA

  Dipersiapkan dan ditulis oleh:

  

Anindita Kusumastuti

NIM: 033114009

  Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji Skripsi Pada tanggal 29 Oktober 2007 dan dinyatakan memenuhi syarat

  Susunan Panitia Penguji: Nama Lengkap Tanda tangan

  Ketua : Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A Sekretaris : Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. Anggota : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. Anggota : Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si . Anggota : Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

  Yogyakarta, November 2007 Fakultas Sains dan Teknologi

  Universitas Sanata Dharma Dekan.

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, November 2007 Penulis Belajar tanpa berpikir tidak ada gunanya, berpikir tanpa belajar adalah berbahaya.

  ( KONG FU TSE ) Tidak ada usaha yang gagal, kegagalan adalah usaha untuk mencapai kemenangan.

  ( Krisna ) Semoga semua pikiran yang baik datang dari segala arah.

  Karena kasih sayangku, Aku sendiri yang menghancurkan kegelapan yang timbul dari kebodohan dengan Sinar Cahaya Ilmu Pengetahuan

  ( Dr. dr. I Dewa Gede Sukardja )

  Skripsi ini kupersembahkan kepada : Bapak Ibuku dan adikku tersayang,

Untuk semua keluarga besarku, sahabat, dosen, teman, murid-muridku tercinta,

  

ABSTRAK

  Analisis profil adalah salah satu analisis multivariat yang merupakan metode statistika untuk menganalisis data dengan lebih dari dua variabel tak bebas secara bersama-sama. Analisis profil bertujuan untuk mengetahui ciri dari suatu populasi. Dalam skripsi ini, analisis profil yang akan dibahas dikhususkan untuk dua populasi yang saling independen. Salah satu bagian yang paling penting dalam analisis profil adalah uji hipotesis, yang terdiri atas tiga tahap yaitu uji hipotesis keparalelan, kesamaan level, dan pengaruh utama p – variabel. Ketiga tahap tersebut menjawab tiga tujuan analisis profil.

  Dalam tahap uji hipotesis, data yang diperlukan adalah vektor rata-rata dan matriks dispersi untuk masing-masing populasi. Vektor rata-rata tersebut merupakan ciri bagi masing-masing populasi. Selanjutnya kedua vektor rata-rata akan diuji mengggunakan uji hipotesis. Hasil pengujian hipotesis berupa suatu kesimpulan yang dapat memberi ciri bagi masing-masing populasi, dilihat dari tiga hal yaitu keparalelan, level, dan pengaruh utama p – variabel.

  Pada skripsi ini akan disajikan aplikasi analisis profil untuk data mahasiswa Universitas Sanata Dharma Yogyakarta tahun angkatan 1998-2004.

  

ABSTRACT

  Profile analysis is one of multivariate analysis which is known as a statistical methode to analize data with more than two independent variables simultaneously. The purpose of profile analysis is to identify a population characteristic. In this thesis, the domain of the profile analysis are two independent population. One of importance in profile analysis is hypothesis testing, which are consist of three steps. Those are parallelism, level equality, and main effects of p – variables. Those three steps answer three objectives of profile analysis.

  The data needed in the hypothesis testing are mean vectors and dispersion matrices from each population. Each of mean vectors is a characteristic popula- tion. Both mean vectors will be test by hypothesis testing. The result of the hy- pothesis testing is a conclusion which gives characteristic to every population, viewed from three things those are parallelism, level, and main effects of p – vari- ables.

  In this thesis, the application of profile analysis will be assigned for Sanata Dharma University data in academic year 1998-2004.

KATA PENGANTAR

  Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Alloh SWT atas rahmat

  dan hidayah yang telah dilimpahkan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Salam serta Shalawat tak lupa selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW atas keteladanan-Nya hingga akhir zaman.

  Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak ditemukan hambatan dan kesulitan. Namun, berkat dukungan yang luar biasa dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan dengan sangat sabar membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

  2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika FST USD Yogyakarta dan dosen penguji, yang dengan sabar telah membimbing serta memberikan kesempatan bagi penulis untuk mengikuti Program PK 7.

  3. Bapak Y.G. Hartono, M.Sc, yang telah memberikan banyak saran dan dorongan semangat kepada penulis dengan pengalamannya yang luar biasa.

  4. Ibu Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik dan dosen penguji, yang dengan sabar mendampingi penulis selama kuliah di USD Yogyakarta.

  5. Bapak dan Ibu Dosen Matematika, Fisika, dan Komputer FST yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  6. Ibu Ch. Suwarni, Bapak Z. Tukidjo, dan Ibu Linda yang dengan sabar telah memberikan pelayanan administrasi dan urusan-urusan perkuliahan kepada penulis.

  7. Mas Susilo dan Mas Widodo selaku laboran lab komputer dasar yang selalu memberikan bantuan kepada penulis.

  9. Orangtuaku (Bapak Sugiri dan Ibu Sugiarti) dan adikku tersayang Anggita Kusumarani yang selalu memberikan dukungan dalam segala hal.

  Terimakasih telah menemaniku jatuh bangun.

  10. Keluarga besarku (Almh. Mbah Kayati, Mbah Kanti, budhe-pakdhe dan oom-tante) atas doa dan dukungannya selama ini.

  11. Teman-teman Matematika angkatan 2003 (Eko bin Sipit, Septi “Kicrit.....”, Dewi “Cempluk”, Ridwan bin Jegul, Ankgie binti Sumi, Valent yang lembut, Merry yang apa aja dech, Mekar binti Oneng, Kamsi, dan Itha) yang selalu kompak dan ceria, serta selalu memberiku semangat. Terimakasih teman, takkan kulupakan kegilaan-kegilaan kita. Ku tunggu sepak terjang kalian!

  12. Teman-teman Ikom, Fisika, dan TI 2003 : Iyus, Pakdhe Galih, Danang, Embek, Ima, Gurit, Adeth dan masih banyak lagi yang telah berjuang bersama dalam PS “Sopo Selo”.

  13. Teman-teman di Sanggar Tari Bagong Kussudiarjo, Sriwijaya Musik, dan Assyifa yang selalu memberi doa, dukungan, dan suasana kerja yang menyenangkan : Ibu (Almh). Ida Manutrenggana, Pakdhe Topo, Mbak Wuri, Ibu Feli, Ibu Ari Kun, Nanil, Mas Wawan, dan teristimewa untuk Mas Agung tersayang yang selalu memberi keceriaan dan semangat dikala suka dan duka.

  14. Teman-teman KKN kelompok 25 : Nanang, Iyas, Yabes, Hana “Ma’e Telo”, Ria binti Dodot, Tirza binti Kuntilanak, dan Djati bin robot gedhek, atas kenangan yang tak terlupakan.

  15. Murid-muridku di SMAN 2 Yogyakarta, SMAN 11 Yogyakarta, di Sriwijaya Musik, dan dimanapun kalian berada, yang selalu memberiku semangat. Terimakasih atas pengertian kalian, walaupun kadang harus ditinggal-tinggal. Kalianlah sumber semangat dan gembiraku. Karena kalianlah “Mbak Anin alias Bu Anin” bisa seperti sekarang. I love You All...

  16. Seluruh Kakak-kakak dan adik-adik angkatanku. Terimakasih atas selamanya. Berjuanglah terus untuk kemajuanmu dan kemajuan almamatermu.

  17. Teman-teman IKMIP (Ikatan Mahasiswa Muslim Paingan) : Mas Bambang PMAT, Mas Salim, Mas Tonny, Mbak Tista, Mas Apoed, Mbak Ika, Mita, dan semuanya aja. Terimakasih atas kerja samanya selama ini.

  18. Teman-teman yang luar biasa : Handirofa Agustaf dan Nanda Rigih Djatmiko, terimakasih atas kebersamaan yang telah dilalui bersamaku.

  19. Teman-teman seluruh peserta Pelayaran Kebangsaan VII (Ruth, Harisma, Mei, Wati, dan masih banyak lagi) yang telah memberikan kenangan yang luar biasa kepada penulis. Tak lupa terimakasih yang spesial untuk dr.

  Dhanny Primantara, J.S, dokternya anak-anak PK 7, yang telah membuka mata hatiku dan membuatku kembali bangkit menatap masa depan. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat beberapa kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun akan diterima dengan segala keterbukaan hati. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi semua pihak yang membutuhkan dan dapat menjadi bahan kajian selanjutnya.

  Yogyakarta, November 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL............................................................................. i HALAMAN JUDUL (INGGRIS)......................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................... iii HALAMAN PENGESAHAN............................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA................................................ v HALAMAN PERSEMBAHAN............................................................ vi ABSTRAK............................................................................................ vii ABSTRACT.......................................................................................... viii KATA PENGANTAR.......................................................................... ix DAFTAR ISI......................................................................................... xii DAFTAR TABEL................................................................................. xv DAFTAR GAMBAR............................................................................ xvi DAFTAR LAMPIRAN......................................................................... xvii

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang........................................................................

  1 B. Rumusan Masalah...................................................................

  5 C. Pembatasan Masalah...............................................................

  6 D. Tujuan Penulisan.....................................................................

  7 E. Metode Penulisan....................................................................

  7

  G. Sistematika Penulisan............................................................

  7 BAB II ALJABAR MATRIKS DAN DISTRIBUSI MULTIVARIAT A. Beberapa Konsep dalam Aljabar Matriks.............................

  9 B. Beberapa Distribusi yang Penting..........................................

  21

  2 1. Distribusi ....................................................................

  22

  χ 2. Distribusi t .......................................................................

  25 3. Distribusi F.......................................................................

  29 C. Distribusi Normal Multivariat................................................

  33 D. Distribusi Wishart...................................................................

  52

  2 E. Distribusi Hotelling T ..........................................................

  55 BAB III ANALISIS PROFIL A. Konsep Dasar Analisis Profil.................................................

  65 B. Uji Hipotesis..........................................................................

  73 1. Kondisi Keparalelan.........................................................

  74 2. Kondisi Kesamaan Level..................................................

  76 3. Kondisi Pengaruh Utama p – Variabel.............................

  80 C. Statistik Uji.............................................................................

  82 1. Kondisi Keparalelan..........................................................

  82 2. Kondisi Kesamaan Level..................................................

  84 3. Kondisi Pengaruh Utama p – Variabel.............................

  86 D. Tahap-Tahap Uji Hipotesis Dalam Analisis Profil.................

  87 1. Kondisi Keparalelan.........................................................

  87

  3. Kondisi Pengaruh Utama p – Variabel.............................

  88 E. Contoh dengan Data Sekunder................................................

  92 BAB IV ANALISIS PROFIL DAN APLIKASINYA DALAM ANALISIS DATA

  A. Sumber Data........................................................................... 113

  B. Kasus I.................................................................................... 113

  1. Analisis Data.................................................................... 114

  2. Kesimpulan....................................................................... 117

  C. Kasus II.................................................................................. 118

  1. Analisis Data..................................................................... 120

  2. Kesimpulan....................................................................... 124

  BAB V KESIMPULAN........................................................................ 127 DAFTAR PUSTAKA............................................................................ 129 LAMPIRAN.......................................................................................... 131

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 1...................................................................................................

  71 Tabel 2 ..................................................................................................

  85 Tabel 3...................................................................................................

  89 Tabel 4 ..................................................................................................

  97 Tabel 5................................................................................................... 104 Tabel 6 .................................................................................................. 108 Tabel 7................................................................................................... 126

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 3.1 ............................................................................................

  68 Gambar 3.2 ............................................................................................

  75 Gambar 3.3 ............................................................................................

  78 Gambar 3.4 ............................................................................................

  78 Gambar 3.5 ............................................................................................

  79 Gambar 3.6 ...........................................................................................

  81 Gambar 3.7 ............................................................................................

  90 Gambar 3.8 ............................................................................................

  96 Gambar 3.9 ............................................................................................ 102

Gambar 3.10 .......................................................................................... 107Gambar 3.11 .......................................................................................... 111Gambar 4.1 ............................................................................................ 117Gambar 4.2 ............................................................................................ 123Gambar 4.3 ........................................................................................... 124

DAFTAR LAMPIRAN

  Halaman Lampiran 1 ............................................................................................ 132 Lampiran 2 ............................................................................................ 135

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, pengamatan sering dilakukan dalam berbagai

  hal. Misalnya mengamati bentuk suatu barang, fungsi barang itu, bentuk wajah seseorang, tingkah laku seseorang, dan masih banyak lagi. Biasanya pengamatan tersebut didasarkan pada pemikiran subyektifitas belaka, sehingga pengamatan yang dilakukan hanya sepintas dan tidak rinci. Pengamatan suatu objek yang tidak rinci terkadang menimbulkan kebingungan bahkan ketidaktahuan saat harus menjelaskan lebih jauh tentang ciri objek itu. Hal ini dapat terjadi akibat pengamatan hanya dilakukan pada kulit terluar dari suatu objek, tanpa melihat objek itu lebih dalam. Apalagi jika yang diamati adalah dua objek yang hampir sama, baik segi bentuk, sifat ataupun karakteristik lainnya. Kesulitan yang biasanya timbul adalah saat harus menemukan pembeda yang paling signifikan di antara keduanya. Oleh karena itu pengamatan harus dilakukan secara rinci dengan cara melihat objek dari berbagai sisi. Mengapa hal itu harus dilakukan ? Karena di kehidupan nyata, objek sesungguhnya multidimensional. Jika ciri-ciri dari objek yang akan diamati sudah dikenal dengan baik dan mendalam, maka objek tersebut akan mudah dikenal, sehingga kesulitan-kesulitan dalam pengamatan suatu objek dapat diminimalkan.

  Di zaman yang serba maju seperti sekarang ini, nampaknya sudah tidak tepat Oleh karena itu, munculah suatu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah dalam pengamatan ciri suatu objek, yaitu analisis profil. Dalam skripsi ini analisis profil yang akan dibahas adalah analisis profil untuk dua populasi yang saling independen

  Analisis profil adalah salah satu analisis multivariat yang merupakan metode statistika untuk menganalisis data dengan lebih dari dua variabel tak bebas secara bersama-sama. Analisis multivariat adalah perluasan dari analisis univariat. Dalam analisis univariat, analisis hanya dilakukan untuk satu variabel tak bebas saja. Oleh karena itu dalam analisis profil akan dilakukan analisis terhadap lebih dari dua variabel tak bebas dengan tujuan untuk mengetahui ciri-ciri populasi yang diteliti.

  Analisis profil dimulai dengan asumsi bahwa profil dideskripsikan

  multidimensional

  . Karena multidimensional, maka ia tersusun dari beberapa komponen, misalkan p - komponen. Komponen-komponen itulah yang memberi ciri bagi suatu profil, sehingga akan membedakan profil objek itu dibanding profil objek lain. Dalam bahasa statistika, komponen-komponen penyusun itu disebut

  

variabel . Variabel-variabel penyusun profil dapat dinyatakan dalam bentuk vektor

  yang dinamai vektor ciri. Vektor ciri tersebut tidak lain adalah vektor rata-rata, yang diperoleh dengan cara mencari rata-rata setiap variabel pengamatan untuk seluruh responden. Selanjutnya vektor cirilah yang akan mewakili profil suatu populasi.

  Misalkan profil dideskripsikan sebagai p – dimensi multinormal variabel variabel pengamatan, sehingga vektor X adalah matriks dengan baris atau kolom tunggal yang dapat ditulis menjadi X

  

'

=

  Sebagai contoh, suatu lembaga psikologi akan melakukan tes terhadap dua kelompok sampel anak yang diambil dari dua populasi. Populasi pertama adalah anak-anak dengan kelainan sejak lahir yang dalam bahasa kedokteran disebut

  8 X = kemampuan melengkapi memori dalam hal tata bahasa

  7 X = kemampuan melengkapi memori penglihatan

  = kemampuan mengumpulkan memori penglihatan

  6 X

  5 X = kemampuan mengumpulkan memori pendengaran

  4 X = kemampuan memori penglihatan

  3 X = kemampuan memori pendengaran

  2 X = kemampuan menerima informasi melalui indera penglihatan

  1 X = kemampuan menerima informasi melalui indera pendengaran

  (TNT) sedangkan populasi kedua adalah anak- anak normal. Masing-masing kelompok sampel berjumlah 27 orang anak dengan usia 8 sampai 9 tahun. Kelompok sampel pertama diambil dari populasi pertama, sedangkan kelompok sampel kedua diambil dari populasi kedua. Dalam tes tersebut ada10 variabel psikologis yang akan diteliti, yaitu :

  Transient Neonatal Tyrosinemia

  21 K adalah rata-rata sampel masing-masing variabel untuk setiap populasi.

  [ ] ^p

  22

  2

  [ ] ^{p x x x}

  11 K dan ' 2 x =

  

12

  1

  ' 1 x = [ ] ^{p x x x}

  . Jika ada dua populasi yang diteliti, maka

  1

  2

  X K

  X X

  9 X = kemampuan mengekspresikan memori yang ada secara verbal

  X

  = kemampuan mengekspresikan memori yang ada dengan bahasa tubuh

  10 Dalam contoh di atas, profil populasi yang akan diteliti, dideskripsikan menjadi

  10 variabel psikologis. Kesepuluh variabel di atas akan disusun menjadi suatu vektor ciri yang akan mewakili profil kedua populasi yang diteliti.

  Setelah vektor ciri atau vektor rata-rata dari masing-masing populasi diketahui, maka keduanya akan dibandingkan menggunakan uji hipotesis. Uji hipotesis dalam analisis profil tentunya mengikuti asumsi-asumsi dalam pengujian vektor rata-rata untuk kasus multivariat. Asumsi-asumsi tersebut adalah populasi- populasi yang diteliti berdistribusi normal multivariat dan kesamaan matriks varian-kovarian (matriks dispersi) untuk semua variabel tak bebas.

  Contoh kasus lain misalnya, sebuah lembaga yang membawahi seluruh perusahaan makanan di Indonesia ingin mengetahui tingkat kepuasaan pelanggan produk mie Sedap dan Indomie. Lembaga tersebut mengambil 5 variabel penelitian yaitu :

  X = persepsi tentang rasa

  1 X = persepsi tentang banyaknya pilihan rasa

  2 X = persepsi tentang harga

  3 X = persepsi tentang iklan yang lebih menarik

  4 X = persepsi tentang kemudahan dalam mendapatkannya di toko-toko

  5 Dalam contoh tersebut, profil 2 produk mie dideskripsikam menjadi 5 variabel.

  Seperti pada contoh sebelumnya, 5 variabel di atas akan diteliti menggunakan uji konsumen kedua produk mie tersebut mengapa lebih memilih salah satu dari kedua produk mie yang diteliti.

  Dalam analisis profil ada 3 hal penting yang harus terjawab. Ketiga hal tersebut adalah :

  1. Apakah profil kedua populasi sama, dalam hal ini apakah grafik profilnya paralel ?

  2. Bila kedua profil populasi paralel, apakah keduanya juga terletak pada level yang sama ?

  3. Kembali asumsikan bahwa kedua profil populasi paralel, maka apakah rata-rata kedua populasi tersebut berbeda secara simultan ? Dalam hal ini, adakah pengaruh utama akibat adanya p – variabel ?

  Ketiga pertanyaan tersebut akan disusun menjadi hipotesis-hipotesis yang berbeda sesuai dengan kondisi masing-masing pertanyaan. Dalam skripsi ini ketiga pertanyaan tersebut akan dijawab untuk masing-masing kondisi, yaitu kondisi keparalelan, kondisi kesamaan level, serta kondisi pengaruh utama p – variabel.

B. Rumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

  1. Bagaimana landasan teori analisis profil ?

  2. Bagaimana mengetahui ciri-ciri dua populasi yang saling independen menggunakan analisis profil ?

C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang analisis profil dan aplikasinya dalam analisis data. Penulisan skripsi ini dibatasi pada beberapa hal karena sudah diperoleh dalam perkuliahan atau di luar jangkauan skripsi ini. Hal-hal yang tidak dibahas adalah sebagai berikut :

  1. Asumsi normalitas yang menjadi landasan dalam analisis profil tidak diuji, karena fokus dari skripsi ini adalah pada metode.

  2. Beberapa konsep dan teorema dalam aljabar matriks tidak dibuktikan, contohnya tentang matriks idempoten dan akar karakteristik, rank dari suatu matriks, dan beberapa sifat determinan .

  3. Hal-hal yang berkaitan dengan penurunan distribusi Wishart. Tetapi sifat-sifat distribusi Wishart digunakan untuk membuktikan beberapa teorema.

  4. Beberapa teorema tidak dibuktikan karena diluar jangkauan skripsi ini, misalnya Teorema Ketunggalan. Namun Teorema Ketunggalaan langsung diaplikasikan untuk membuktikan beberapa teorema.

  5. Konsep tentang Integral Aitken. Namun bentuk integral aitken digunakan untuk membuktikan beberapa teorema.

  6. Analisis profil yang dibahas dalam skripsi ini dibatasi hanya untuk dua sampel yang saling independen.

  7. Seluruh data yang dijadikan contoh dalam skripsi ini diasumsikan berdistribusi Normal Multivariat tanpa dilakukan pengujian.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah mengenalkan salah satu teknik analisis data multivariat, yaitu analisis profil untuk dua populasi sehingga dapat mengetahui landasan teori analisis profil serta dapat menerapkannya untuk menganalisis data.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Mengetahui landasan teori analisis profil.

  2. Dapat mengggunakan distribusi normal multivariat dalam analisis profil.

  G. Sistematika Penulisan

  BAB I : PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran umum tentang isi skripsi ini yang meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II : ALJABAR MATRIKS DAN DISTRIBUSI MULTIVARIAT Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab selanjutnya, yaitu beberapa konsep dalam aljabar matriks dan sifat-sifatnya, beberapa distribusi penting lainnya yang merupakan analogi dari kasus univariat, distribusi normal

  2 multivariat, distribusi Wishart, dan distribusi Hotelling T .

  BAB III : ANALISIS PROFIL Bab ini membahas tentang konsep dasar analisis profil, uji hipotesis untuk tiga kondisi dalam analisis profil, yaitu kondisi keparalelan, kondisi kesamaan level, dan kondisi pengaruh utama p - variabel. Kemudian akan dibahas juga tentang statistik uji yang digunakan, tahap-tahap analisis profil, serta contoh aplikasi analisis profil dengan data sekunder.

  BAB IV : APLIKASI ANALISIS PROFIL DALAM ANALISIS DATA Bab ini berisi tentang kasus pengamatan ciri dua profil yang akan diselesaikan mengunakan analisis profil dengan SPSS 12.0 dan Matlab 6.5.1.

  BAB V : KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan.

BAB II ALJABAR MATRIKS DAN DISTRIBUSI MULTIVARIAT Pada bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar teori yang akan

  dipergunakan pada bab III. Dasar-dasar teori itu meliputi beberapa konsep dan teorema yang berhubungan dengan aljabar matriks, distribusi multivariat dan

  2 sifat-sifatnya, distribusi Wishart, serta distribusi Hotelling T .

A. Beberapa Konsep dalam Aljabar Matriks Definisi 2.1.1

  Jika A adalah suatu matriks n n , maka skalar λ disebut eigennilai dari A

  × _n Ax x

  jika dan hanya jika λ , untuk suatu vektor taknol x . Vektor x itu

  = ∈ ℜ disebut eigenvektor yang bersesuain dengan .

  λ Definisi 2.1.2 _t Suatu matriks bujur sangkar A disebut Simetrik jika A A .

  = Definisi 2.1.3 _' x Ax

  Jika A adalah matriks simetrik n n dan 0 untuk setiap vektor _n × ≥

   O taknol x , maka A disebut matriks semidefinit positif, dan ditulis A .

  ∈ ℜ _' ≥

  Jika A adalah matriks simetrik n n dan x Ax > 0 untuk setiap vektor taknol x _n × , maka A disebut matriks definit positif, dan ditulis A > O.

  ∈ ℜ

  Teorema 2.1.1

  Matriks A adalah definit positif jika dan hanya jika semua eigennilai dari A adalah positif.

  Bukti :

  ⇒ Andaikan bahwa A definit positif dan adalah sebarang eigennilai dari

  λ ( )

  

A . Jika x adalah eigenvektor yang bersesuain dengan , maka x , sehingga

_{' ' 2} λ ≠

  0< Ax x = x x = x dimana x adalah panjang baku dari x. Karena ₂ λ λ

  x >0, maka haruslah λ >0.

  Andaikan semua eigennilai dari A bernilai positif. Harus ditunjukkan

  ( ) ⇐ _' x y

  bahwa x Ax > 0 untuk setiap x . Andaikan , sehingga y =1. Menurut

  

≠ =

x

  teorema dalam aljabar matriks, jika A adalah matriks simetrik n n dengan _n × nilaieigen K dan x adalah vektor di sedemikian hingga x =1,

  1

  2

  ℜ λ ≥ λ ≥ ≥ λ n _{' '}

  maka x Ax . Karena y =1, maka y Ay , di mana adalah

  λ ≥ ≥ λ ≥ λ >

_{1 n n λ n}

  nilaieigen terkecil dari A. Jadi, _'    

  x x _{' '}

  1    

  y Ay A x Ax

= = >

  2

     

  x x x

      _{2 '}

  x x Kalikan kedua ruas dengan , maka diperoleh Ax > 0.

  ٱ

  Definisi 2.1.4 A

  Jika A adalah matriks bujur sangkar dan , maka A disebut sebagai

  ≠

  1 −

  A

matriks non-singular dan mempunyai invers, dinotasikan dengan dan

  1

  1 − −

  AA A A

  I A . Jika , maka matriks A disebut sebagai matriks singular.

  = = = Teorema 2.1.2

  Misalkan A suatu matriks n n , maka determinan matriks A dapat dihitung

  ×

  dengan mengalikan anggota-anggota pada sembarang baris (kolom) dengan

  i n

  kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan, untuk setiap 1

  ≤ ≤

  dan 1 j n ,

  ≤ ≤

  det(A ) a C a C K a C

  = _{j j j j nj nj} + + +

  1

  1

  

2

  2

  ( perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke – j ) dan det(A ) a C a C K a C

  = _i + + + 1 i 1 i 2 i 2 in in

  ( perluasan kofaktor di sepanjang baris ke – i ) ٱ

  Sifat-sifat Determinan _t n n A A 1. Jika A adalah suatu matriks , maka det( ) det( ) .

  × =

  2. Jika A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar yang berukuran sama dan

  A dapat dibalik, maka

  det( AB ) det( A ) det( B )

  =

  Contoh 2.1.1

  

  3 1   

  Misalkan A =

  2

  4 3 . Akan dihitung

  − − det(A dengan perluasan )

     

  5

  4

  2

  −

    kofaktor disepanjang baris pertama. Maka,

  3

  1

  4

  3

  2

  3

  2

  4

  − − − −

  det(A = )

  2

  4 3 = 3 - (1) + 0

  − −

  4

  2

  5

  2

  5

  4

  − −

  5

  4

  2

  − = 3 (-4) – (1)(-11) + 0 = -1.

  

  3

  2 5  _{t  } − Diketahui pula A =

  1

  4

  4

  −

     

  3

  2

  −

    _t Akan dihitung pula det( A ) dengan perluasan disepanjang kolom pertama. Maka,

  3

  2

  5

  −

  4

  3

  2

  3

  2

  4 _t − − − −

  A

  det( ) =

  1

  4 4 = 3 - (1) + 0

  −

  4

  2

  5

  2

  5

  4

  − −

  3

  2

  − _t = 3 (-4) – (1)(-11) + 0 = -1.

  Jadi det( A ) det( A ) = -1

  = Definisi 2.1.5

  Misalkan P adalah matriks bujur sangkar berorde n. P disebut matriks

  

orthogonal jika dan hanya jika invers P adalah tranpos dari P sendiri, sehingga

1 t

  − P P dapat ditulis .

  =

  Teorema 2.1.3 Sebuah matriks orthogonal adalah non-singular. Bukti : n n

  Misalkan P adalah matriks bujur sangkar . Menurut definisi 2.1.5, P

  ×

  dikatakan orthogonal jika dan hanya jika invers matriks P sama dengan tranpos P _t

  −

  1

  sendiri, sehingga ditulis P P . Sedangkan menurut definisi 2.1.4, matriks P

  =

  dikatakan non-singular jika P dapat dibalik atau mempunyai invers. Dari dua definisi di atas dapat disimpulkan bahwa jika P orthogonal maka P mempunyai invers atau dapat dibalik, sehingga P non-singular. Jadi terbukti bahwa sebuah matriks orthogonal adalah non-singular.

  ٱ

  Teorema 2.1.4 Determinan dari matriks orthogonal adalah sama dengan 1. Bukti : _t

  Misalkan P adalah matriks orthogonal dengan ukuran n n , sedangkan P

  ×

  adalah transpos dari P dengan ukuran n n . Menurut definisi 2.1.5,

  

×

− 1 t

  P P =

  Kalikan masing-masing ruas dengan P sehingga, _t

  −

  1 P P = P P _t Andaikan bahwa det( P ) 1 , maka dengan memperhatikan definisi 2.1.5, sifat

  ≠ _t P

  determinan (2) dan persamaan (2.1.1), maka harus dicari det( ) yang memenuhi _t

  P P

  I

  det( ) det( ) det( ) . Menurut sifat determinan (1) diketahui bahwa _{t t t} = det( P ) det( P ) , maka tidak ada det( P ) yang memenuhi det( P ) det( P ) det(

  I ) = _t

  =

  kecuali det( P ) det( P ) 1 . Jadi, jika P adalah matriks orthogonal dengan ukuran

  = = n n P

  maka det( ) 1 .

  × =

  ٱ

  Definisi 2.1.6

  Sebuah matriks A = a dapat dipartisi dalam beberapa bentuk. Misalnya di _ij

  ( )

  bawah ini adalah 3 partisi yang mungkin dari sebuah matriks umum A berukuran

  3 4 . Pertama, matriks A dapat dipartisi dengan mengelompokkan baris-baris

  ×

  dalam kesatuan vertikal, seperti berikut :

  a a a a

   

  11

  12

  13

  14

   A   

1 A = a a a a = .

  21

  22

  23 24  

   

  A

   

  2

   

  a a a a

  

  31

  32

  33 34 

  Kedua, matriks A dapat juga dipartisi dengan mengelompokkan kolom-kolom dalam kesatuan horisontal, seperti berikut :  a a a a 

  11

  12

  13

  14

    A a a a a A A A .

  = = [ ]

  21

  22

  23

  24

  1

  2

  

3

     

  a a a a

  

  31

  32

  33 34 

  Ketiga, matriks A dapat juga dipartisi dengan mengelompokkan baris-baris dan kolom-kolom menjadi kelompok-kelompok kecil seperti contoh di bawah ini :

   a a a a 

  11

  12

  13

  14 A A

     

  11

  12 A a a a a .

  = =

  21

  22

  23 24  

   

  A A

   

  21

  22

   

  a a a a

  

  31

  32

  33 34  m n n p

  Misalkan A sebuah matriks dan B sebuah matriks . Andaikan A

  × ×

  dan B dipartisi dengan sesuai. Jika submatriks dari A dan B dinotasikan berturut- turut sebagai A dan B , di mana i adalah kelompok-kelompok baris dan j _{ij ij} adalah kelompok-kelompok kolom, maka AB = C, di mana C adalah matriks

  C C A B

m p yang dinotasikan sebagai C = dan adalah submatriks

  × = ∑

  ( ) ij ij ik kj _{k =}

  1 ke - ij dari matriks C.

  Contoh 2.1.2

   A 

  1

  3 3   ×

   

  A B B B

  Misalkan dan

  = =

  1

  2

     

  4 ×

  3 3 ×

  5 A 3 × 2 3 ×

  3

   

  2

   

  1

  3 ×

   

  A B A B

   

  1

  1

  1

2 Maka AB =

   

  4

  5 ×

  A B A B

  

  2

  1

  2 2  Teorema 2.1.5 n n

  Misalkan A adalah matriks non-singular yang dipartisi dengan ukuran

  ×

  mengikuti bentuk berikut :  A A 

  

11

  12 A =

   

  

A A

   

  

21

  22 di mana mempunyai ukuran n n untuk i, j = 1, 2 dan n n n , _{ij i × j =}

• A

  ( )

  1

  2 n n .

  < <

  1 −

1 Misalkan pula A B dan B dipartisi sebagai :

  =

   B B 

  11

  12 B =

   

  B B

   

  21

  22 B A

  di mana mempunyai ukuran n n untuk i, j = 1, 2. Jika dan _{ij ( i j )} × ≠

  11 A ≠ , maka pernyataan-pernyataan berikut ini berlaku :

  22 − 1 −

  1

  1. B dan B ada

  11

  22 −

1 −

  1

  1

  1 − −

  A A A A A A A A

  2. dan ada

  − − [

  11

  12

  22 21 ] [

  22

  21