Persamaan Aljabar vs Transendental

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q   Acuan q  

  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

  n   Chapter 4 dan 5, hlm. 117-170.

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Persamaan Aljabar vs Transendental q   Persamaan aljabar (algebraic equations)

  fungsi y = f(x) dinamakan fungsi aljabar apabila fungsi tsb dapat dinyatakan

  q  

  dalam bentuk: ₁

  n n − ...

• =

  f y f y f y f _{1 1} n n

  − f adalah polinomial orde i dalam x q   i polinomial merupakan fungsi aljabar yang umumnya dituliskan sbb. q   _n f x a a x ... a x _n = + + +

  ( ) ^{1 n}

  koefisien a adalah konstanta

  q   i http://istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Aljabar vs Transendental q   Contoh persamaan aljabar q   Fungsi transendental adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar

• − =

  ( ) ( ) ^{6 3 2 2}

  7

  5 5 .

  7 37 .

  2

  1 x x x x f x x x f

• − =

  ( ) ( ) ( )

  1 ln sin ₂ − = = − =

  − x x f x x f x e x f ^x http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q   Contoh q  

  Ingin diketahui kedalaman aliran (h) pada saluran bertampang persegi pada suatu debit tertentu (Q)

  q  

  Persamaan

  2 ^{1 3 2}

  1 _{o h}

  S R n

  V A h b

  V A Q

  = = =

  A b h

  A: luas tampang aliran = b h R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S o

  : kemiringan memanjang saluran

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Akar Persamaan q   Penyelesaian

  variabel yang sudah diketahui

  q  

  diubah menjadi konstanta (Q, n,

  S ) e

  A h

  q  

  fungsi h dan konstanta

  b

  sehingga persamaan dalam h

  q   A: luas tampang aliran = b h

  saja

  R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S : kemiringan garis energi e

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Akar Persamaan q   Prosedur _{2 3}

  1 b h _{1 2} Suku-suku persamaan dikelompokkan ( )

  q   Q b h S

  = _{2 3 o}

  n

  sehingga sedapat mungkin konstanta b 2 h _{1 2 5 3}

• dipisahkan dari variabel

  ( )

  S b h _{o ( )} Q

  3

  = _{2 3} Jika Q = 50 m /s, b = 20 m, n = 0.03, dan

  q   n b

  2 h

• S = 0.001

  ( )

  o _{5 3} Q n b h ( )

  Persamaan diselesaikan untuk mendapatkan

  q   _{1 2} = _{2 3} S b _{o ( ) +} 2 h kedalaman aliran h _{5 3} 20 h

  Bagaimanakah caranya?

  q   ( )

  47 . 434 = _{2 3}

  20 2 h

  ( )

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q   Metode “coba-dan-ralat” (trial and error) q  

  Mencoba suatu nilai h = h

  1 q  

  Mengontrol apakah nilai h tersebut memenuhi persamaan

  q  

  Jika tidak, mencoba nilai lain h = h

  2 q   Dst.

q   Cara tersebut sangat sederhana dan tidak efisien

q   Perlu cara yang lebih sistematik

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id}

Akar Persamaan

q   Metode Pendekatan Berurutan q   Metode Bisection

q   Metode Newton-Raphson

q   Metode Secant

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Pendekatan Berurutan q   Prosedur

  Bentuk persamaan diubah menjadi

  q   _{5 3}

  20

  ( ) h = f(h) h

  47 . 434 = _{2 3}

• 20

  2 Dicoba nilai h awal untuk dimasukkan ke

  q   ( ) _{5 3} h _{2 3} dalam fungsi tsb.

  20

  20

  2 =

• 47 . 434

  ( ) ( ) h h

  Nilai h yang diperoleh dimasukkan ke dalam

  q   _{3 5}

  1 _{2 3} fungsi lagi 47 . 434

  20

  2 =

• 20

  ( ) h [ h ]

  Langkah kedua dan ketiga tsb diulang-ulang

  q  

  sampai perubahan h kecil

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Pendekatan Berurutan _{3 5}

  1 Q n ⎡ ^{2 3 ⎤} h

  20 2 h = _{1 2} ( ) iterasi (i) h h ∆h

• i i+1

  ⎢ ⎥ b S _o

  ⎣ ⎦ 2 1.805965 -0.19404 q   Iterasi dilakukan

  1.805965 1.794227 -0.01174

  1

  dengan nilai awal

  1.794227 1.793513 -0.00071

  2 h = 2 m

  1.793513 1.79347 -4.3E-05

  3 q   Metode ini belum

  1.79347 1.793467 -2.6E-06

  4

  tentu berhasil menemukan akar

  1.793467 1.793467 -1.6E-07

  5

  persamaan

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Bisection q   Prosedur

  Persamaan dibentuk menyadi f(h) = 0 q   _{5 3} Dicoba dua h awal (h dan h ) yang memberikan q  

  20

  1 ( ) h

  47 . 434 =

  f(h) berlawanan tanda ^{2 3}

  20

  2

  ( ) h

• (+ dan –)
_{5 3} Diambil h di tengah-tengah kedua h tsb.

  20

  q  

  2 ( ) h

  47 . 434 − _{2 3} =

  Dicari f(h ) q  

  20

  2

  2 ( ) h

• Jika kesalahan masih besar, ulangi langkah di

  q   atas untuk h dan salah satu dari h sebelumnya

  2 yang memberikan f(h) berlawanan tanda Hentikan hitungan jika perubahan h sudah kecil q  

• _{⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛} ! ! ! " ! ! ! # $

  2 1.5 -11.6204

  )/2 dipilih dari f(h i−1

  ₋₁ dan h _i dalam (h _i

  = 1 m dan h ₁ = 2 m _{q   h} i−1

  11 1.793945 0.019809 1.793457 -0.00049 ^q Nilai awal: h

  3 1.75 -1.78829 1.875 0.125 4 1.875 3.414127 1.8125 -0.0625 5 1.8125 0.790084 1.78125 -0.03125 6 1.78125 -0.50489 1.796875 0.015625 7 1.796875 0.141163 1.789063 -0.00781 8 1.789063 -0.18222 1.792969 0.003906 9 1.792969 -0.02062 1.794922 0.001953 10 1.794922 0.060249 1.793945 -0.00098

  0.25

  1.75

  1 2 8.794679 1.5 -0.5

  1 -28.6654

  (h _i-1 +h _i )/2 ∆h

  h f S Q n h h _o iterasi, i h _i f(h _i )

  20 _{2 1 3 2} ^{3 5} = −

  20

  2

  ( ) ( )

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection

• h _i

  ) dan f(h _i ) yang berbeda tanda (positif dan negatif)

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Bisection q   Kelemahan f(h) misal h dan h masing-masing q   l u adalah nilai h yang berurutan f(h ) u sedemikian hingga f(h ).f(h ) < 0 l u dan h < h l u dalam memilih h baru (h ) yang q   r merupakan jumlah separuh h dan l h = (h +h )/2 h , nilai f(h ) maupun f(h ) tidak r l u u l u dipertimbangkan jika f(h ) lebih dekat ke nol q   l h l daripada f(h ), akar persamaan u

  H mestinya lebih dekat ke h l h h r u daripada ke h u f(h ) l

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Bisection f(h) q   Metode bisection dapat diperbaiki q   pemilihan h pada suatu langkah r f(h ) u iterasi tidak selalu berada di tengah antara h dan h namun l u dengan pemberian bobot q   cara perbaikan memanfaatkan metode grafis, yaitu dengan h r menarik garis lurus antara h dan h l u h l q   h adalah titik potong garis lurus r

  H h u tsb dengan sumbu H f(h ) f h f h l h − h

  ( ) l ( ) u ( ) _{l u} h = h − f h

  = _{r u u} ( )

  h h h h http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection q   Metode bisection yang diperbaiki dg cara ini dikenal sbg the false-position method q   PR q  

  Ulangi hitungan metode bisection pada kasus mencari kedalaman aliran di saluran tsb dengan memakai metode bisection yang diperbaiki

  A b h

  A: luas tampang aliran = b h R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S o

  : kemiringan memanjang saluran Metode Newton-Raphson _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} f(h) q   Jika h adalah h awal, maka i

  perpanjang garis singgung pada kurva

  q   f(h ) i

  melalui titik [h ,f(h )]

  i i

  gradien = f'(h )

  i

  titik potong garis singgu tsb dengan

  q  

  absis merupakan nilai hi+1 sebagai

  ( ) f h i

  ʹ′

  ( ) = f h i

  pendekatan akar persamaan yang lebih

  −

  h h ₊

  i i

  1

  baik daripada h

  i

  Kemungkinan ditemui f(h) tidak dapat

  q   H

  di-diferensial-kan

  h h i i+1

  ( ) f h i ⁺

  − =

  h h i

  1 i

  ʹ′

  ( ) f h Metode Newton-Raphson _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} q   Prosedur

  Persamaan dibentuk menjadi f(h) = 0 q   _{5 3}

  20

  ( ) h

  Dicari diferensial f(h), yaitu f'(h) q  

  47 . 434 _{2 3} − =

  20

  2

• q  

  ( ) Dicoba h h

  i

  $ ! ! ! # ! ! ! "

  ⎛ ⎞ Dicari h dengan persamaan: q  

  ⎜ ⎟ i+1 f h

  ⎝ ⎠ _{2 3 5 3}

  5

  20

  2

  20

  h = h – f(h )/f'(h ) ( ) ( ) h h i+1 i i i

  20

  2 ʹ′

  = −

  ( ) ( ) ( ) f h ^{2 3 5 3}

  3

  3

  20

  2

  20

  2

  ( ) ( ) h h

  Hitungan dihentikan jika perubahan h kecil q   atau tidak berarti Hitungan mungkin divergen q   http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Newton-Raphson iterasi, i h i

f(h

i

  ) f'(h i

  ) h i+1

  ∆h 1 -28.6654 30.14372 1.950959 0.950959

  1 1.950959 6.663065 43.19649 1.796709 -0.15425 2 1.796709 0.134273 41.4373 1.793468 -0.00324 3 1.793468

  6.18E-05 41.39915 1.793467 -1.5E-06 4 1.793467

  5 1.793467 41.39913 1.793467 Metode Secant _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} f(h) q   Kelemahan Metode Newton-Raphson

  Kemungkinan f'(h) tidak ada atau sulit

  q   f(h ) i

  diperoleh gradien = f'(h )

  i q   Metode secant

  Gradien, f'(h), dihitung dengan

  q   f(h ) i  −1

  pendekatan, yaitu kemiringan garis yang menghubungkan dua titik

  H h h

  − −

  i ( ) ( ) i−1 f h − f h h − h i 1 i i 1 i

  ʹ′ = = −

  ( ) ( ) ⁺ f h h h f h i i 1 i i

  − −

  ( ) ( ) h − h f h − f h i 1 i i

1 i http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Secant iterasi, i h i

f(h

i

  ) f'(h i

  ) h i+1

  ∆h 1 -28.6654

  1 2 8.794679 37.46011 1.765226 -0.23477 2 1.765226 -1.16445 42.41998 1.792676 0.027451 3 1.792676 -0.03274 41.22745 1.79347 0.000794 4 1.79347 0.000133 41.39449 1.793467 -3.2E-06

  5 1.793467 -1.5E-08 41.39915 1.793467

  3.61E-10 q  

  Nilai awal:

  h = 1 m dan h

  1

  = 2 m

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Akar Persamaan q   Latihan 1:

  Cari kedalaman air pada aliran di dalam saluran trapesium dengan kemiringan

  q  

  talud 1:1, lebar dasar saluran b = 20 m, kemiringan memanjang 0.001,

  3 koefisien kekasaran n = 0.025, dan debit Q = 50 m /s.

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Akar Persamaan q   Latihan 2:

  Cari lokasi sumur pengambilan jika diketahui terjadi penurunan muka air pada

  q  

  dua sumur, yaitu z = 2.0 m dan z = 1.8 m, permeabilitas tanah, p = 0.0005

  1

  

2

  m/s dari data hasil pencatatan data lain: tebal akuifer Y = 20 m, debit

  q  

  pemompaan pada sumur lain yg dipompa Q = 22.3 liter/detik, jarak antara 2 sumur yg diukur L = 10 m. Sumur yg dipompa sebaris dengan sumur yg diukur. Persamaan:

  q  

  2

  2

  π − d

  p d d i = Y − z i

  ( )

  2

  r jarak ke sumur yang dipompa r r ( )

  ln

  2

  1

  24