Persamaan Aljabar vs Transendental
http://istiarto.staff.ugm.ac.id http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Acuan q
Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
n Chapter 4 dan 5, hlm. 117-170.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Aljabar vs Transendental q Persamaan aljabar (algebraic equations)
fungsi y = f(x) dinamakan fungsi aljabar apabila fungsi tsb dapat dinyatakan
q
dalam bentuk: 1
n n − ...
- =
f y f y f y f 1 1 n n
− f adalah polinomial orde i dalam x q i polinomial merupakan fungsi aljabar yang umumnya dituliskan sbb. q n f x a a x ... a x n = + + +
( ) 1 n
koefisien a adalah konstanta
q i http://istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Aljabar vs Transendental q Contoh persamaan aljabar q Fungsi transendental adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar
- − =
( ) ( ) 6 3 2 2
7
5 5 .
7 37 .
2
1 x x x x f x x x f
- − =
( ) ( ) ( )
1 ln sin 2 − = = − =
− x x f x x f x e x f x http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Contoh q
Ingin diketahui kedalaman aliran (h) pada saluran bertampang persegi pada suatu debit tertentu (Q)
q
Persamaan
2 1 3 2
1 o h
S R n
V A h b
V A Q
= = =
A b h
A: luas tampang aliran = b h R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S o
: kemiringan memanjang saluran
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Penyelesaian
variabel yang sudah diketahui
q
diubah menjadi konstanta (Q, n,
S ) e
A h
q
fungsi h dan konstanta
b
sehingga persamaan dalam h
q A: luas tampang aliran = b h
saja
R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S : kemiringan garis energi e
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Prosedur 2 3
1 b h 1 2 Suku-suku persamaan dikelompokkan ( )
q Q b h S
= 2 3 o
n
sehingga sedapat mungkin konstanta b 2 h 1 2 5 3
- dipisahkan dari variabel
( )
S b h o ( ) Q
3
= 2 3 Jika Q = 50 m /s, b = 20 m, n = 0.03, dan
q n b
2 h
- S = 0.001
( )
o 5 3 Q n b h ( )
Persamaan diselesaikan untuk mendapatkan
q 1 2 = 2 3 S b o ( ) + 2 h kedalaman aliran h 5 3 20 h
Bagaimanakah caranya?
q ( )
47 . 434 = 2 3
20 2 h
( )
Mencoba suatu nilai h = h
1 q
Mengontrol apakah nilai h tersebut memenuhi persamaan
q
Jika tidak, mencoba nilai lain h = h
2 q Dst.
q Cara tersebut sangat sederhana dan tidak efisien
q Perlu cara yang lebih sistematikhttp://istiarto.staff.ugm.ac.id
Akar Persamaan
q Metode Pendekatan Berurutan q Metode Bisectionq Metode Newton-Raphson
q Metode Secanthttp://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Pendekatan Berurutan q Prosedur
Bentuk persamaan diubah menjadi
q 5 3
20
( ) h = f(h) h
47 . 434 = 2 3
- 20
2 Dicoba nilai h awal untuk dimasukkan ke
q ( ) 5 3 h 2 3 dalam fungsi tsb.
20
20
2 =
- 47 . 434
( ) ( ) h h
Nilai h yang diperoleh dimasukkan ke dalam
q 3 5
1 2 3 fungsi lagi 47 . 434
20
2 =
- 20
( ) h [ h ]
Langkah kedua dan ketiga tsb diulang-ulang
q
sampai perubahan h kecil
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Pendekatan Berurutan 3 5
1 Q n ⎡ 2 3 ⎤ h
20 2 h = 1 2 ( ) iterasi (i) h h ∆h
- i i+1
⎢ ⎥ b S o
⎣ ⎦ 2 1.805965 -0.19404 q Iterasi dilakukan
1.805965 1.794227 -0.01174
1
dengan nilai awal
1.794227 1.793513 -0.00071
2 h = 2 m
1.793513 1.79347 -4.3E-05
3 q Metode ini belum
1.79347 1.793467 -2.6E-06
4
tentu berhasil menemukan akar
1.793467 1.793467 -1.6E-07
5
persamaan
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection q Prosedur
Persamaan dibentuk menyadi f(h) = 0 q 5 3 Dicoba dua h awal (h dan h ) yang memberikan q
20
1 ( ) h
47 . 434 =
f(h) berlawanan tanda 2 3
20
2
( ) h
- (+ dan –) 5 3 Diambil h di tengah-tengah kedua h tsb.
- Jika kesalahan masih besar, ulangi langkah di
- ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ! ! ! " ! ! ! # $
- h i
- q
20
q
2 ( ) h
47 . 434 − 2 3 =
Dicari f(h ) q
20
2
2 ( ) h
q atas untuk h dan salah satu dari h sebelumnya
2 yang memberikan f(h) berlawanan tanda Hentikan hitungan jika perubahan h sudah kecil q
2 1.5 -11.6204
)/2 dipilih dari f(h i−1
−1 dan h i dalam (h i
= 1 m dan h 1 = 2 m q h i−1
11 1.793945 0.019809 1.793457 -0.00049 q Nilai awal: h
3 1.75 -1.78829 1.875 0.125 4 1.875 3.414127 1.8125 -0.0625 5 1.8125 0.790084 1.78125 -0.03125 6 1.78125 -0.50489 1.796875 0.015625 7 1.796875 0.141163 1.789063 -0.00781 8 1.789063 -0.18222 1.792969 0.003906 9 1.792969 -0.02062 1.794922 0.001953 10 1.794922 0.060249 1.793945 -0.00098
0.25
1.75
1 2 8.794679 1.5 -0.5
1 -28.6654
(h i-1 +h i )/2 ∆h
h f S Q n h h o iterasi, i h i f(h i )
20 2 1 3 2 3 5 = −
20
2
( ) ( )
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection
) dan f(h i ) yang berbeda tanda (positif dan negatif)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection q Kelemahan f(h) misal h dan h masing-masing q l u adalah nilai h yang berurutan f(h ) u sedemikian hingga f(h ).f(h ) < 0 l u dan h < h l u dalam memilih h baru (h ) yang q r merupakan jumlah separuh h dan l h = (h +h )/2 h , nilai f(h ) maupun f(h ) tidak r l u u l u dipertimbangkan jika f(h ) lebih dekat ke nol q l h l daripada f(h ), akar persamaan u
H mestinya lebih dekat ke h l h h r u daripada ke h u f(h ) l
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection f(h) q Metode bisection dapat diperbaiki q pemilihan h pada suatu langkah r f(h ) u iterasi tidak selalu berada di tengah antara h dan h namun l u dengan pemberian bobot q cara perbaikan memanfaatkan metode grafis, yaitu dengan h r menarik garis lurus antara h dan h l u h l q h adalah titik potong garis lurus r
H h u tsb dengan sumbu H f(h ) f h f h l h − h
( ) l ( ) u ( ) l u h = h − f h
= r u u ( )
h h h h http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Bisection q Metode bisection yang diperbaiki dg cara ini dikenal sbg the false-position method q PR q
Ulangi hitungan metode bisection pada kasus mencari kedalaman aliran di saluran tsb dengan memakai metode bisection yang diperbaiki
A b h
A: luas tampang aliran = b h R: radius hidraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2h n: koefisien kekasaran saluran Manning S o
: kemiringan memanjang saluran Metode Newton-Raphson http://istiarto.staff.ugm.ac.id f(h) q Jika h adalah h awal, maka i
perpanjang garis singgung pada kurva
q f(h ) i
melalui titik [h ,f(h )]
i i
gradien = f'(h )
i
titik potong garis singgu tsb dengan
q
absis merupakan nilai hi+1 sebagai
( ) f h i
ʹ′
( ) = f h i
pendekatan akar persamaan yang lebih
−
h h +
i i
1
baik daripada h
i
Kemungkinan ditemui f(h) tidak dapat
q H
di-diferensial-kan
h h i i+1
( ) f h i +
− =
h h i
1 i
ʹ′
( ) f h Metode Newton-Raphson http://istiarto.staff.ugm.ac.id q Prosedur
Persamaan dibentuk menjadi f(h) = 0 q 5 3
20
( ) h
Dicari diferensial f(h), yaitu f'(h) q
47 . 434 2 3 − =
20
2
( ) Dicoba h h
i
$ ! ! ! # ! ! ! "
⎛ ⎞ Dicari h dengan persamaan: q
⎜ ⎟ i+1 f h
⎝ ⎠ 2 3 5 3
5
20
2
20
h = h – f(h )/f'(h ) ( ) ( ) h h i+1 i i i
20
2 ʹ′
= −
( ) ( ) ( ) f h 2 3 5 3
3
3
20
2
20
2
( ) ( ) h h
Hitungan dihentikan jika perubahan h kecil q atau tidak berarti Hitungan mungkin divergen q http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Newton-Raphson iterasi, i h i
f(h
i) f'(h i
) h i+1
∆h 1 -28.6654 30.14372 1.950959 0.950959
1 1.950959 6.663065 43.19649 1.796709 -0.15425 2 1.796709 0.134273 41.4373 1.793468 -0.00324 3 1.793468
6.18E-05 41.39915 1.793467 -1.5E-06 4 1.793467
5 1.793467 41.39913 1.793467 Metode Secant http://istiarto.staff.ugm.ac.id f(h) q Kelemahan Metode Newton-Raphson
Kemungkinan f'(h) tidak ada atau sulit
q f(h ) i
diperoleh gradien = f'(h )
i q Metode secant
Gradien, f'(h), dihitung dengan
q f(h ) i −1
pendekatan, yaitu kemiringan garis yang menghubungkan dua titik
H h h
− −
i ( ) ( ) i−1 f h − f h h − h i 1 i i 1 i
ʹ′ = = −
( ) ( ) + f h h h f h i i 1 i i
− −
( ) ( ) h − h f h − f h i 1 i i
1 i http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Secant iterasi, i h i
f(h
i
) f'(h i
) h i+1
∆h 1 -28.6654
1 2 8.794679 37.46011 1.765226 -0.23477 2 1.765226 -1.16445 42.41998 1.792676 0.027451 3 1.792676 -0.03274 41.22745 1.79347 0.000794 4 1.79347 0.000133 41.39449 1.793467 -3.2E-06
5 1.793467 -1.5E-08 41.39915 1.793467
3.61E-10 q
Nilai awal:
h = 1 m dan h
1
= 2 m
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Latihan 1:
Cari kedalaman air pada aliran di dalam saluran trapesium dengan kemiringan
q
talud 1:1, lebar dasar saluran b = 20 m, kemiringan memanjang 0.001,
3 koefisien kekasaran n = 0.025, dan debit Q = 50 m /s.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Akar Persamaan q Latihan 2:
Cari lokasi sumur pengambilan jika diketahui terjadi penurunan muka air pada
q
dua sumur, yaitu z = 2.0 m dan z = 1.8 m, permeabilitas tanah, p = 0.0005
1
2
m/s dari data hasil pencatatan data lain: tebal akuifer Y = 20 m, debit
q
pemompaan pada sumur lain yg dipompa Q = 22.3 liter/detik, jarak antara 2 sumur yg diukur L = 10 m. Sumur yg dipompa sebaris dengan sumur yg diukur. Persamaan:
q
2
2
π − d
p d d i = Y − z i
( )
2
r jarak ke sumur yang dipompa r r ( )
ln
2
1
24