PP Limit Fungsi Aljabar
MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
MATERI POKOK
LIMIT FUNGSI
Kelas XI Semester 2
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Standar
Kompetensi :
Menggunakan konsep
limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Kompetensi
Dasar
Menghitung limit fungsi
aljabar sederhana di
suatu titik
Menggunakan sifat limit
fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi
aljabar.
SILABUS
INDIKATOR :
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik
melalui grafik dan perhitungan nilai-nilai
disekitar titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak
berhingga melalui grafik dan perhitungan
3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik.
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan
dalam perhitungan limit.
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari
limit fungsi.
6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan
menggunakan sifat-sifat limit
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran
Siswa :
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di
suatu titik terhingga menggunakan
grafik.
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di
suatu titik terhingga melalui
perhitungan nilai-nilai disekitar titik.
Dapat menjelaskan arti limit fugsi tak
terhingga melalui grafik;
Dapat menghitung limit fungsi
aljabar dan di satu titik;
Dapat menjelaskan arti bentuk tak
tentu dari limit fungsi.
Dapat menggunakan sifat limit fungsi
untuk menghitung bentuk tak tentu
limit fungsi aljabar.
PETA KONSEP
Pengetahuan
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Aljabar
Sifat-sifat
Limit Fungsi
MATERI
POKOK
Amati arah terbang dua ekor
burung menuju sangkar dari arah
yang berbeda.
y=
f(x)
Jika kita aplikasikan dalam bentuk
matematis (kalkulus) maka:
L
X
x
=c
Dituli limf(x) = L
x®c
s:
Tiang sangkar sebagai garis x =
c;
Jejak terbang burung identik
dengan grafk fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin
dekat ke sangkar atau mendekati
c;
Ketinggian burung pada saat tiba
dalam sangkar misalkan L;
Perhatikan grafk di
bawah ini
Sebuah limit didefnisikan secara
formal sebagai berikut:
Bila f adalah fungsi yang
terdefnisikan pada sebuah interval
terbuka yang mengandung titik c
(dengan kemungkinan
pengecualian pada titik c) dan L
adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk
setiap
terdapa
yang untuk
t
semua x
dimana
berlaku
,
Y
f(
x)
1. Pengertian Limit Fungsi
disatu titik melalui grafk
L
0
Kita akan menghitung limit suatu
fungsi f(x) di saat x mendekati
suatu bilangan
f( x ) tertentu c, di
ditulis: lim
x c
X
c
Nilai c tersebut didekati dari
sebelah kiri maupun sebelah
kanan.
Seberapa dekat?
Jika x mendekati c baik dari kiri
maupun dari kanan maka f(x)
akan semakin mendekati L. Jadi,
kita peroleh:
limf(x) = L Û lim- f(x) = Ldanlim+ f(x) = L
x® c
x®c
x®c
Untuk memperjelas
permasalahan ini perhatikan
grafk fungsi f(x) di kolom sebelah
kiri.
Grafk
fungsiY
2. Pengertian Limit Fungsi di
satu titik melalui
perhitungan nilai-nilai
disekitar
titik
Contoh
1:
x2 - 9
Tentukan nilai lim
dari
x® 3 x - 3
x2 - 9
f(x) =
x-3
Penyelesaian:
6
x2 - 9
Fungsif(x) =
-3
terdefnisi xpada
tidak
0
0
x = 3, karena diperoleh bentuk
(tak tentu).
0
3
X
Ambil beberapa nilai x yang
dari
mendekati
3 dari
kirix mendekati
maupun3 dari
x mendekati 3 dari
kiri
kanan
kanan.
x
2,
5
2,9
9
2,99
9
..
.
3
..
.
3,00
1
3,0
1
3,5
f(
x)
5,
5
5,9
9
5,99
9
..
.
6
..
.
6,00
1
6,0
1
6,5
f(x) mendekati 6
f(x) mendekati 6
Dengan cara
aljabar dapat
diselesaikan :
x2 - 9
(x + 3)(x - 3)
= lim
lim
x® 3 x - 3 x® 3
x-3
= lim(x + 3) = 6
x® 3
Grafk
fungsi
Y
x2 + 9
f(x) =
x-3
3. Pengertian Limit Fungsi di
tak berhingga melalui grafk
dan perhitungan
Contoh 2:
x2 + 9
Tentukan nilai lim
dari
x® 3 x - 3
4
0
2
0
0
2
-20
-40
4
x=3
Asimtot
Tegak
X
Penyelesaian:2
Fungsi f(x) x 9 tidak terdefnisi pada
x 3
x=3, karena diperoleh
bentuk 18
0
Lakukanpendekatanseperti padacontoh1.
x mendekati 3 dari
kanan
x 2
2,99
2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4
1806,0
f(x) 13 1794,01 17994 ... ? ... 18006
25
1
f(x) mendekati
f(x) mendekati bilangan
bilangan positif
negatif yang sangat kecil
yang sangat besar
x mendekati 3 dari kiri
Grafk
fungsi
Y
Dari gambar grafk nampak
bahwa jika x mendekati 3 dari
kiri maka f(x) akan mendekati
bilangan negatif
2 tak hingga.
x +9
= -¥
limx ®3 x - 3
x2 + 9
f(x) =
x-3
4
0
2
0
0
2
4
X
Sebaliknya jika x mendekati 3
dari kanan maka f(x) akan
mendekati bilangan positif tak
2
x
hingga. lim +9 = +¥
+
x ®3 x - 3
Karena
x2 +9
limx ®3 x - 3
-20
x2 +9
¹ lim+
x ®3 x - 3
maka nilai dari:
-40
x=3
Asimtot
Tegak
x2 +9
lim
tidakada
®
x 3 x -3
(
-1
.0
0 (
0, 0. -1
00 (00 00
00 -0100 .0
( 0 ,0;. 00
-011 0-0
;
(
-1 0 ,00)000 01; 0 , 0 )
0, 0 0; 01 1; )- 01 - )
)
-∞
(
( 0, 10
(0, 10 01 0 ;
0(, 1000 00 )
0,( 0100 .100 ;
0 00 )0
0, 10.00 1.0)0 ;
00 001 0
00 0.)0 ;
01 00
) ;
Y
0
1. Pengertian Limit Fungsi di
tak berhingga melalui grafk
dan perhitungan
1
Bagaimana dengan
lim
x® ¥ x
+
X∞
?
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif
tanpa batas (+∞) dan negatif
tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan
grafk.
Kita peroleh
nilai:
1
lim = 0
x® ¥ x
x mendekati bilangan negatif yang sangat
besar
x mendekati bilangan positif yang
sangat besar
10.00
1.000.00
x - ∞ ... 1.000.00
-10.000-1.000 -100 100 1.000
100.000
... + ∞
100.000
0
0
0
0,000
0,00000
limf(x)
Flowchart untuk
menghitungStart
nilai:
x®c
Substitusi x = c
Bentu
k tak
tentu?
Ya
Lakukan
penyederhanaa
n
Lanjutkan
Hitung
Ya
Bagi dengan
pangkat
tertinggi
Hasil
Hasil
Selesai
Selesai
x® ¥
Start
Rasion
al?
Tida
k
lim f(x)
Flowchart untuk
menghitung nilai:
Tida
k
Rasionalkan/
kalikan akar
sekawan
kemudian bagi
pangkat
tertinggi
Keterangan
lim f
Bentuk tak
X ®c
tentu
adalah
(x
:0
)
ata ∞ – ∞
0
u
Penyelesaiannya :
0
0
difaktorkan atau dikalikan
akar sekawan agar
diperoleh pecahan yang
sederhana.
∞ –∞
Menyederhanakan
pecahan dengan
menyamakan penyebut
lebih dahulu.
Bentuk tak
tentu
adalah :
lim f
x® ∞ (x)
g
(x)
∞
∞
ata ∞ – ∞
u
Penyelesaiannya :
Langsung diselesaikan
dengan cara dibagi x
pangkat tertinggi kemudian
substitusikan
dikalikan akar sekawan
0 disederhanakan
0 kemudian dibagi oleh
pangkat tertinggi
Perhatikan contoh
∞
∞
a) Lakukan
pemfaktoran
x3 - 1
(x - 1)(x2 + x +1)
= lim
lim
x ®1 x - 1
x ®1
(x - 1)
= limx2 + x +1
Contoh 4:
Tentukan nilai dari:
a
)
b
)
x ®1
2
x3 - 1
lim
x ®1 x - 1
x
lim
x® 02 - 4 - x
3x2 + 4x - 1
c) lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3
d lim(x - x2 + 4x)
x® ¥
)
Penyelesaia
n:
Untuk soal (a) dan (b) jika
dilakukan substitusi akan
diperoleh
bentuk tak tentu
Sehing
ga,
0
0
=1 +1+1 = 3
x3 - 1
\ lim
=3
x ®1 x - 1
Kalikan
akar
b) Rasionalkan
+ 4-x
x
x
2sekawan
bentuk akar
= lim
´
lim
x® 02 - 4 - x x® 02 - 4 - x 2+ 4 - x
x(2+ 4 - x)
= lim
x ® 0 4 + 2 4 - x - 2 4 - x - (4 - x)
x(2 + 4 - x)
x(2 + 4 - x)
= lim
= lim
x® 0 4 - 4 + x
x® 0
x
= lim2 + 4 - x = 2 + 4 - 0 = 4
x® 0
x
\ lim
=4
x ® 02 - 4 - x
3x2 + 4x - 1 adalah fungsi
c) lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3 Mengapa
rasional.
?
Karena fungsi rasional maka
(x2)
langsung bagi pangkat
tertinggi
3x2 + 4x - 1
3x + 4x - 1
x2
x2 x2
=
lim 2
lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3 x ® ¥ 2x2 - x2 + 32
x
x
x
2
= lim
3 + 4x - x12
3
x® ¥ 2 - 1
x + x2
=
3+ 0 - 0 3
=
2 - 0+ 0 2
3x2 + 4x - 1 3
\ lim 2
=
x ® ¥ 2x - x + 3
2
Lanjut
d lim(x - x2 + 4x) bukan fungsi
Mengapa
®¥
rasional.
) x
?
Jawab :Karena berupa fungsi bentuk
Akar.
lim(x - x2 + 4x) = L
®¥
x
Kalikan akar
sekawan
x + x2 + 4x
= lim(x - x + 4x)´
x® ¥
x + x2 + 4x
2
- 4x
x2 - (x2 + 4x)
= lim
=
lim
x ® ¥ x + x2 + 4x
x ® ¥ x + x2 + 4x
- 4xx
-4
=
lim
2
x ® ¥ x + x + 4x x ® ¥ 1 + 1 + 4
x
2
2
x
= lim
x
Penyelesaian :
Rasionalkan dengan cara
kalikan akar sekawan,
selanjutnya bagi pangkat
tertinggi.
Lanjut
=
x
-4
= -2
+
+
1 1 0
\ lim(x - x2 + 4x) = - 2
x® ¥
Andaikan n bilangan bulat
positif,
k konstanta, f dan g adalah
fungsi yang mempunyai limit
di c,
limmaka:
k k
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
x
c
;
lim
g
(
x
)
0
lim
x
c
x
c
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
limf(x) f(c)
limn f(x) n limf(x)
x c
lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)
x c
x c
lim f(x)g(x) limf(x)limg(x)
x c
x c
limkf(x) k limf(x)
x c
x c
n
n
lim(f(x)) (limf(x))
x c
x c
x c
x c
x
c
x c
x c
x c
diman
; utk n
limf(x) 0
a:
genap
x c
Kita lihat contoh
penerapannya!
Contoh 5:
Tentukan nilai dari:
a lim(7x - 4)
x ®1
)
æx2 + 3x - 2ö
÷
b limç
ç
÷
2
®
x 2è 2x +1 ø
)
lim(f(x) ± g(x)) = limf(x) ± limg(x)
x® c
ma
e
r
Teo
Penyelesaia
n:
a lim(7x - 4)= lim7x - lim4
®
x ®1
x ®1
) x 1
= 7limx - lim4
x ®1
= 7(1) - 4
=3
x ®1
ma
e
r
Teo
x® c
limkf(x) = klimf(x)
x® c
x® c
x® c
2
lim
(
x
æx + 3x - 2ö x ® 2 + 3x - 2)
÷
=
b limç
ç
÷
2
2
x ® 2è 2x +1 ø
+1
lim
2
x
)
®
x 2
limf(x)
f(x)ö x ® c
Teorema limæ
ç
÷=
2
limx2 + lim3x - lim2
= x® 2
x® 2
x® 2
lim(2x2 +1)
x® 2
limx2 + lim3x - lim2
= x® 2
x® 2
2
lim2x + lim1
x® 2
22 + 3(2) - 2
=
2(2)2 +1
=
x® 2
4+6 - 2
8
=
8 +1
3
x®2
x ® cèg(x)ø
;limg(x) ¹ 0
limg(x) x ® c
x®c
Teorema lim(f(x) ± g(x)) = limf(x) ± limg(x)
x® c
x® c
x® c
Teorema limn f(x) = n limf(x)
x® c
x® c
“Klik untuk
memilih soal”
x2 - 9
1. lim
=....
®
x 3 x +3
-9
-6
x2 - 9
(x +3)(x - 3)
= lim
lim
x ® - 3 x +3 x ® - 1
x +3
0
= lim (x - 3)
6
= -3 -3
¥
= -6
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® - 1
x2 - 9
\ lim
= -6
x ® - 1 x +3
x2 + x - 6
=....
2. lim
®
x 2 x-2
2
3
x2 + x - 6
(x - 2)(x + 3)
=
lim
lim
x®2 x - 2
x® 2
x-2
4
= lim(x + 3)
5
= 2+ 3
6
=5
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® 2
x2 + x - 6
\ lim
=5
x® 2 x - 2
x2 -16
=....
3. lim
x® 4 x - 4
3
x2 -16
x2 - 16 x - 4 Rasional
= lim
´
lim
x® 4 x - 4 x® 4 x - 4
x - 4 kan
bentuk
2
(x - 16) x - 4 akar
= lim
x® 4
x-4
(x + 4)(x - 4) x - 4
= lim
x® 4
x-4
4
= lim(x + 4) x - 4
-4
-3
0
x® 4
= (4 + 4) 4 - 4
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
= 8×0 = 0
x2 - 16
\ lim
=0
x®4 x - 4
1+ x - 1 - x
=....
4. lim
x® 0
x
-3
-2
-1
0
1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
1+ x - 1 - x
=....Kalikan akar
lim
x® 0
x
sekawan
1+ x - 1 - x 1+ x + 1 - x
= lim
´
x® 0
x
1+ x + 1 - x
(1 + x) - (1 - x)
x ® 0 x( 1 + x + 1 - x)
2x
= lim
x ® 0 x( 1 + x + 1 - x)
2
2
=
= =1
1+ 0 + 1 - 0 2
= lim
\ lim
x®0
1+ x - 1 - x
=1
x
5. lim
h® 0
x +h - x
=....
h
1
2 x
1
3
x
2
3
x
2 x
2x
x +h - x
=....Kalikan akar
lim
h® 0
h
sekawan
x +h - x x +h + x
= lim
´
h® 0
h
x +h + x
(x + h) - x
h
= lim
= lim
h® 0h( x + h + x) h® 0h( x + h + x)
= lim
h® 0
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
=
1
x +h+ x
1
1
1
=
=
x+ 0 + x
x+ x 2 x
\ lim
h® 0
x +h - x 1
=
h
2 x
6.
lim 3 x® 0
3
9–
=
2x
x
3
2
1
3
0
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
lim 3 -
9–2x
x
x® 0
3lim
=
= ...
9–2x
x
lim (9 - ( 9–2x
=x® 0
x (3+ )) 9–2x)
x® 0
0
\
0
=
9–2x
9–2x
x (3+ 9–2x)
2
lim
=x®
3 +
3 +
2x
lim
=x®
Kalikan akar
sekawan
(3+ 9–2x)
2
(3+
\
9–0 )
=
2
6
=
1
3
7.
2
lim x2 – 7x + =
X → 16
x + 4x –
…
– 75
–
4
5
6
0
1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim x2 – 7x + =
X → 16
x + 4x –
…
5 (x – ( x –
lim
=x®
1
6)
(x + (1)x –
1)
5)
(x –
lim
= x ® 1 6)
(x +
5)
–5
(1 –
=
= 6)
6
(1 +
5)
2
\ lim x – 7x = – 5
2
X→ 1+
x 6
+ 4x – 5 6
2
3x –
, maka
2
2x
2x –
8. Jika f(x)
=
lim f(x) 3x
=
X→0
…
-1
–2
3
–1
3
0
2
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim 3x –
2
X → 0 2x
2x –
3x
=
…
x (3x –
lim
=X → 0 2)
x (2x –
3)
(3x –
lim
=X → 0 2)
(2x –
3)
(0 –
=2)
= 2
(0 –
3)
3
2
3x –
\ lim
= 2
2
X → 0 2x
2x –
3
3x
9. lim x
x® 3
– 1
-
2x +
= ...
2
3
9–x
8
– 1
9
1
3
1
2
2
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
lim x - 2x +
= ...
2
3
Kalikan akar
x® 3
9–x
sekawan
2x + x + 2x +
= lim x 23
x® 3
x+ 3
9–x
2x +
2
3
x
- (2x +
= lim
2
x® 3
( + 2x + )
(9 – x3)
x –33
)2 - 2x
x
lim
=
2
x® 3
( + 2x + )
- (x – 9)
3
x
= lim (x + (x – 3)
x® 3
1) + 3) (x( + 2x + )
- (x
3
x
– 3)
= lim (x +
x® 3
1) +(3)
+ 2x + )
- (x
3
x
= lim (3 +
1) +(3)+
x® 3
- (3
3
–
1
4
=
=
9
-6.
6
6 + 3)
æ1 - 2
= ..
li
2
10 x® 1ç
èx–1 x –1
m
..
.
0
1
2
1
11
2
2
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
æ1 - 2
= ..
li ç
2
®
x 1èx–1 x –1
m
..
1 (x +
2
= li æ
ç
1)– (x
x ® 1 è(x
(x – (x +
m
1) (x +1)
– 1) 1) 1)
= li æ
ç
x ® 1 è(x – (x
m
1) +1)
1
= li æ
ç
x ® 1 è (x
m
+1)
1
=
= li
1
x ® 1 (1
m
+1)
2
1
2
\ li æ
- 2
=
ç
®
x 1èx–1 x –1 1
m
2
3x4 - 2x3 + 6
=....
1. lim 3 2
x® ¥ x + x - x + 2
-3
-2
-1
0
3x4 - 2x3 + 6
=....
lim 3 2
®
¥
x
x + x - x+ 2
3x4
x4
6
4
= lim 3 2 x x
x ® ¥ x4 + x4 - x4 + 24
x
x
x
x
¥
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
3
= lim 1
- 2x4 +
3 - 2x + x64
x ® ¥ x + 12
x
=
Bagi pangkat
tertinggi
-
1 + 2
x3 x4
3 - 0+ 0
3
= =¥
0+ 0 - 0+ 0 0
3x4 - 2x3 + 6
\ lim 3 2
= ¥(tidakada)
x® ¥ x + x - x + 2
2. lim( x2 + 3x - x) =....
x® ¥
2
3
3
2
4
3
7
3
7
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim( x
x® ¥
= lim(
Kalikan akar
+ 3x - x) =.... sekawan
x2 + 3x + x
2
x + 3x - x) ´ 2
x + 3x + x
x2 + 3x - x2
3x
= lim
=
lim
x ® ¥ x2 + 3x + x
x ® ¥ x2 + 3x + x
x® ¥
= lim
3x
x
x2 + 3x + x
x2 x2 x
= lim
3
1+ 3x +1
x® ¥
x® ¥
Bagi pangkat
tertinggi
=
3
3
=
1 + 0 +1 2
\ lim( x2 + 3x - x) =
x® ¥
3
2
3. lim( x2 - 4x - x2 + 2x) =....
x® ¥
lim( x2 - 4x - x2 + 2x) =....
x® ¥
-6
-4
-3
-2
-1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x2 - 4x + x2 +2x
= lim( x - 4x - x +2x)´
x® ¥
x2 - 4x + x2 +2x
Kalikan akar
(x2 - 4x) - (x2 + 2x)
sekawan
= lim
x ® ¥ x2 - 4x + x2 + 2x
- 6x
= lim
x ® ¥ x2 - 4x + x2 + 2x
2
= lim
x® ¥
x2
x2
2
-
- 6x
x
Bagi pangkat
2
4x + x + 2x
tertinggi
2
2
2
x
x
x
-6
= lim
x® ¥ 1 - 4 + 1+ 2
x
x
-6
-6
=
=
= -3
1 - 0 + 1+ 0 2
Ingin tahu Ya
jawabannya?
\ lim( x2 - 4x - x2 + 2x) = - 3
x® ¥
4. limx( x2 +1 - x) =....
x® ¥
1
2
limx( x2 +1 - x) =.... Kalikan akar
x® ¥
sekawan
x2 +1 + x
2
= limx( x +1 - x)´
x® ¥
x2 +1 + x
x
x(x2 +1 - x2)
= lim
= lim
x ® ¥ x2 +1 + x
x® ¥
x2 +1 + x
2
= lim
0
1
4
1
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® ¥
= lim
x® ¥
x
x
Bagi pangkat
+ 12 + xx tertinggi
x
x
x2
2
1
1
1
=
=
1+ 0 +1 2
1+ x12 +1
\ limx( x2 +1 - x) =
x® ¥
1
2
æ 3x - 2x ö =
5. limç
÷ ....
®
¥
x
èx - 1 x +1ø
1
2
3
9
¥
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
æ 3x - 2x ö =
limç
÷ ....
x ® ¥èx - 1 x +1ø
3x(x +1) - 2x(x - 1)
= lim
x® ¥
(x - 1)(x +1)
3x2 + 3x - 2x2 + 2x
= lim
x® ¥
x2 - 1 2
x + 5x
2
2
x2 + 5x =
= lim 2
lim x2 x
x ® ¥ x2 - 12
x® ¥ x - 1
1 + 5x
= lim 1
x® ¥ 1 - 2
x
x
=
1+ 0
=1
1- 0
3x 2x ö
\ limæ
ç
÷ =1
®
¥
x
èx - 1 x +1ø
x
Bagi pangkat
tertinggi
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
x® c
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
æ 2 - 2x + 3ö =
1a limç
÷ ....
x ® 2è 3x +1
ø
x
.
2 ö
æ2x + 3ö
= limæ
ç
÷ limç
÷
x ® 2è 3x +1ø x ® 2è x ø
lim2
=
x® 2
lim2x + 3
- x® 2
lim3x +1
limx
x® 2
x® 2
2
2(2) + 3
=
+
3(2) 1
2
2 7 45
= - =7 2 14
2
2x + 3ö 45
\ limæ
ç
÷= x ® 2è 3x +1
x ø 14
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
1b lim(x + 4)(2x - 5) =....
x® 5
.
= lim(x + 4)×lim(2x - 5)
x® 5
x® 5
x®5
= (limx + lim4)×(lim2x - lim5)
x®5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= 9×5
= 45
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x®5
= (5 + 4)×(2×5 - 5)
x® c
x® c
x®5
\ lim(x + 4)(2x - 5) = 45
x®5
x®5
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
Bukt
i:
2a lim f2(x) + g2(x) =....
x® c
.
= limf2(x) + limg2(x)
x® 5
x®c
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= [limf(x)]2 + [limg(x)]2
x®c
x®c
= 32 + [ - 1]2
x® c
= 9 +1
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
= 10
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x® c
(terbu
kti)
\ lim f2(x) + g2(x) = 10
x®c
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
x® c
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
Bukt
i:
2b lim[f(x) + (x - c)g(x)] =....
x®c
.
= limf(x) + lim(x - c)×limg(x)
x® c
x® c
= 3 + (c - c)×( - 1)
= 3 + 0×( - 1)
(terbu
kti)
\ lim[f(x) + (x - c)g(x)] = 3
=3
x®c
x® c
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
Bukt
i:
2c lim3 g(x)[f(x) + 3] =....
x® c
.
= lim3 g(x)×lim[f(x) + 3]
x® c
= 3 limg(x)×élimf(x) + lim3ù
ê
ëx ® c
û
x® c
x® c ú
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= 3 - 1×[3 + 3]
x® c
= - 1×[6]
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
= -6
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x® c
(terbu
kti)
\ lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x®c
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka
kecepatan sesaat pada t = 4
adalah: 2
[(4 + h) + 2] - [42 + 2]
= lim
h® 0
h
[16+ 8h+ h2 + 2] - [16+ 2]
= lim
h® 0
h
h2 + 8h+18 -18
= lim
h® 0
h
2
h + 8h
h(h+ 8)
= lim
= lim
h® 0
h® 0
h
h
= lim(h+ 8) = 8
h® 0
Jadi, kecepatan sesaat
benda adalah: 8 m/detik
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Total untung: L(t)=1500t2.
Maka keuntungan marjinal
untuk t = 52adalah: 2
[1500(5 + h) ] - [1500(5) ]
= lim
h® 0
h
[1500(25+10h+ h2)] - [1500(25)]
= lim
h® 0
h
[37500+15000h+1500h2] - [37500]
= lim
h® 0
h
1500h2 +15000h
= lim
h® 0
h
h(1500h+15000)
= lim
h® 0
h
= lim(1500h+15000) =15000
h® 0
Jadi, keuntungan marjinal
perusahaan: 15000 dollar/tahun.
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t.
Maka laju pertumbuhan tumor
untuk t = 10 adalah:
[0,1(10+h)2 - 0,05(10+h)] - [0,1(10)2 - 0,05(10)]
= lim
h® 0
h
[0,1(100+20h+ h2 ) - 0,5 - 0,05h] - [0,1(100) - 0,5]
= lim
h® 0
h
10+ 2h+ 0,1h2 - 0,5 - 0,05h - 10+ 0,5
= lim
h® 0
h
0,1h2 +1,95h
h(0,1h+1,95)
= lim
= lim
h® 0
h® 0
h
h
= lim(0,1h+1,95) = 0,1(0) +1,95=1,95
h® 0
Jadi, laju pertumbuhan tumor
adalah:
1,95 gram/minggu.
Anda yakin ingin
keluar?
Terima kasih!
MATEMATIKA
MATERI POKOK
LIMIT FUNGSI
Kelas XI Semester 2
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Standar
Kompetensi :
Menggunakan konsep
limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Kompetensi
Dasar
Menghitung limit fungsi
aljabar sederhana di
suatu titik
Menggunakan sifat limit
fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi
aljabar.
SILABUS
INDIKATOR :
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik
melalui grafik dan perhitungan nilai-nilai
disekitar titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak
berhingga melalui grafik dan perhitungan
3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik.
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan
dalam perhitungan limit.
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari
limit fungsi.
6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan
menggunakan sifat-sifat limit
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran
Siswa :
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di
suatu titik terhingga menggunakan
grafik.
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di
suatu titik terhingga melalui
perhitungan nilai-nilai disekitar titik.
Dapat menjelaskan arti limit fugsi tak
terhingga melalui grafik;
Dapat menghitung limit fungsi
aljabar dan di satu titik;
Dapat menjelaskan arti bentuk tak
tentu dari limit fungsi.
Dapat menggunakan sifat limit fungsi
untuk menghitung bentuk tak tentu
limit fungsi aljabar.
PETA KONSEP
Pengetahuan
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Aljabar
Sifat-sifat
Limit Fungsi
MATERI
POKOK
Amati arah terbang dua ekor
burung menuju sangkar dari arah
yang berbeda.
y=
f(x)
Jika kita aplikasikan dalam bentuk
matematis (kalkulus) maka:
L
X
x
=c
Dituli limf(x) = L
x®c
s:
Tiang sangkar sebagai garis x =
c;
Jejak terbang burung identik
dengan grafk fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin
dekat ke sangkar atau mendekati
c;
Ketinggian burung pada saat tiba
dalam sangkar misalkan L;
Perhatikan grafk di
bawah ini
Sebuah limit didefnisikan secara
formal sebagai berikut:
Bila f adalah fungsi yang
terdefnisikan pada sebuah interval
terbuka yang mengandung titik c
(dengan kemungkinan
pengecualian pada titik c) dan L
adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk
setiap
terdapa
yang untuk
t
semua x
dimana
berlaku
,
Y
f(
x)
1. Pengertian Limit Fungsi
disatu titik melalui grafk
L
0
Kita akan menghitung limit suatu
fungsi f(x) di saat x mendekati
suatu bilangan
f( x ) tertentu c, di
ditulis: lim
x c
X
c
Nilai c tersebut didekati dari
sebelah kiri maupun sebelah
kanan.
Seberapa dekat?
Jika x mendekati c baik dari kiri
maupun dari kanan maka f(x)
akan semakin mendekati L. Jadi,
kita peroleh:
limf(x) = L Û lim- f(x) = Ldanlim+ f(x) = L
x® c
x®c
x®c
Untuk memperjelas
permasalahan ini perhatikan
grafk fungsi f(x) di kolom sebelah
kiri.
Grafk
fungsiY
2. Pengertian Limit Fungsi di
satu titik melalui
perhitungan nilai-nilai
disekitar
titik
Contoh
1:
x2 - 9
Tentukan nilai lim
dari
x® 3 x - 3
x2 - 9
f(x) =
x-3
Penyelesaian:
6
x2 - 9
Fungsif(x) =
-3
terdefnisi xpada
tidak
0
0
x = 3, karena diperoleh bentuk
(tak tentu).
0
3
X
Ambil beberapa nilai x yang
dari
mendekati
3 dari
kirix mendekati
maupun3 dari
x mendekati 3 dari
kiri
kanan
kanan.
x
2,
5
2,9
9
2,99
9
..
.
3
..
.
3,00
1
3,0
1
3,5
f(
x)
5,
5
5,9
9
5,99
9
..
.
6
..
.
6,00
1
6,0
1
6,5
f(x) mendekati 6
f(x) mendekati 6
Dengan cara
aljabar dapat
diselesaikan :
x2 - 9
(x + 3)(x - 3)
= lim
lim
x® 3 x - 3 x® 3
x-3
= lim(x + 3) = 6
x® 3
Grafk
fungsi
Y
x2 + 9
f(x) =
x-3
3. Pengertian Limit Fungsi di
tak berhingga melalui grafk
dan perhitungan
Contoh 2:
x2 + 9
Tentukan nilai lim
dari
x® 3 x - 3
4
0
2
0
0
2
-20
-40
4
x=3
Asimtot
Tegak
X
Penyelesaian:2
Fungsi f(x) x 9 tidak terdefnisi pada
x 3
x=3, karena diperoleh
bentuk 18
0
Lakukanpendekatanseperti padacontoh1.
x mendekati 3 dari
kanan
x 2
2,99
2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4
1806,0
f(x) 13 1794,01 17994 ... ? ... 18006
25
1
f(x) mendekati
f(x) mendekati bilangan
bilangan positif
negatif yang sangat kecil
yang sangat besar
x mendekati 3 dari kiri
Grafk
fungsi
Y
Dari gambar grafk nampak
bahwa jika x mendekati 3 dari
kiri maka f(x) akan mendekati
bilangan negatif
2 tak hingga.
x +9
= -¥
limx ®3 x - 3
x2 + 9
f(x) =
x-3
4
0
2
0
0
2
4
X
Sebaliknya jika x mendekati 3
dari kanan maka f(x) akan
mendekati bilangan positif tak
2
x
hingga. lim +9 = +¥
+
x ®3 x - 3
Karena
x2 +9
limx ®3 x - 3
-20
x2 +9
¹ lim+
x ®3 x - 3
maka nilai dari:
-40
x=3
Asimtot
Tegak
x2 +9
lim
tidakada
®
x 3 x -3
(
-1
.0
0 (
0, 0. -1
00 (00 00
00 -0100 .0
( 0 ,0;. 00
-011 0-0
;
(
-1 0 ,00)000 01; 0 , 0 )
0, 0 0; 01 1; )- 01 - )
)
-∞
(
( 0, 10
(0, 10 01 0 ;
0(, 1000 00 )
0,( 0100 .100 ;
0 00 )0
0, 10.00 1.0)0 ;
00 001 0
00 0.)0 ;
01 00
) ;
Y
0
1. Pengertian Limit Fungsi di
tak berhingga melalui grafk
dan perhitungan
1
Bagaimana dengan
lim
x® ¥ x
+
X∞
?
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif
tanpa batas (+∞) dan negatif
tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan
grafk.
Kita peroleh
nilai:
1
lim = 0
x® ¥ x
x mendekati bilangan negatif yang sangat
besar
x mendekati bilangan positif yang
sangat besar
10.00
1.000.00
x - ∞ ... 1.000.00
-10.000-1.000 -100 100 1.000
100.000
... + ∞
100.000
0
0
0
0,000
0,00000
limf(x)
Flowchart untuk
menghitungStart
nilai:
x®c
Substitusi x = c
Bentu
k tak
tentu?
Ya
Lakukan
penyederhanaa
n
Lanjutkan
Hitung
Ya
Bagi dengan
pangkat
tertinggi
Hasil
Hasil
Selesai
Selesai
x® ¥
Start
Rasion
al?
Tida
k
lim f(x)
Flowchart untuk
menghitung nilai:
Tida
k
Rasionalkan/
kalikan akar
sekawan
kemudian bagi
pangkat
tertinggi
Keterangan
lim f
Bentuk tak
X ®c
tentu
adalah
(x
:0
)
ata ∞ – ∞
0
u
Penyelesaiannya :
0
0
difaktorkan atau dikalikan
akar sekawan agar
diperoleh pecahan yang
sederhana.
∞ –∞
Menyederhanakan
pecahan dengan
menyamakan penyebut
lebih dahulu.
Bentuk tak
tentu
adalah :
lim f
x® ∞ (x)
g
(x)
∞
∞
ata ∞ – ∞
u
Penyelesaiannya :
Langsung diselesaikan
dengan cara dibagi x
pangkat tertinggi kemudian
substitusikan
dikalikan akar sekawan
0 disederhanakan
0 kemudian dibagi oleh
pangkat tertinggi
Perhatikan contoh
∞
∞
a) Lakukan
pemfaktoran
x3 - 1
(x - 1)(x2 + x +1)
= lim
lim
x ®1 x - 1
x ®1
(x - 1)
= limx2 + x +1
Contoh 4:
Tentukan nilai dari:
a
)
b
)
x ®1
2
x3 - 1
lim
x ®1 x - 1
x
lim
x® 02 - 4 - x
3x2 + 4x - 1
c) lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3
d lim(x - x2 + 4x)
x® ¥
)
Penyelesaia
n:
Untuk soal (a) dan (b) jika
dilakukan substitusi akan
diperoleh
bentuk tak tentu
Sehing
ga,
0
0
=1 +1+1 = 3
x3 - 1
\ lim
=3
x ®1 x - 1
Kalikan
akar
b) Rasionalkan
+ 4-x
x
x
2sekawan
bentuk akar
= lim
´
lim
x® 02 - 4 - x x® 02 - 4 - x 2+ 4 - x
x(2+ 4 - x)
= lim
x ® 0 4 + 2 4 - x - 2 4 - x - (4 - x)
x(2 + 4 - x)
x(2 + 4 - x)
= lim
= lim
x® 0 4 - 4 + x
x® 0
x
= lim2 + 4 - x = 2 + 4 - 0 = 4
x® 0
x
\ lim
=4
x ® 02 - 4 - x
3x2 + 4x - 1 adalah fungsi
c) lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3 Mengapa
rasional.
?
Karena fungsi rasional maka
(x2)
langsung bagi pangkat
tertinggi
3x2 + 4x - 1
3x + 4x - 1
x2
x2 x2
=
lim 2
lim 2
x ® ¥ 2x - x + 3 x ® ¥ 2x2 - x2 + 32
x
x
x
2
= lim
3 + 4x - x12
3
x® ¥ 2 - 1
x + x2
=
3+ 0 - 0 3
=
2 - 0+ 0 2
3x2 + 4x - 1 3
\ lim 2
=
x ® ¥ 2x - x + 3
2
Lanjut
d lim(x - x2 + 4x) bukan fungsi
Mengapa
®¥
rasional.
) x
?
Jawab :Karena berupa fungsi bentuk
Akar.
lim(x - x2 + 4x) = L
®¥
x
Kalikan akar
sekawan
x + x2 + 4x
= lim(x - x + 4x)´
x® ¥
x + x2 + 4x
2
- 4x
x2 - (x2 + 4x)
= lim
=
lim
x ® ¥ x + x2 + 4x
x ® ¥ x + x2 + 4x
- 4xx
-4
=
lim
2
x ® ¥ x + x + 4x x ® ¥ 1 + 1 + 4
x
2
2
x
= lim
x
Penyelesaian :
Rasionalkan dengan cara
kalikan akar sekawan,
selanjutnya bagi pangkat
tertinggi.
Lanjut
=
x
-4
= -2
+
+
1 1 0
\ lim(x - x2 + 4x) = - 2
x® ¥
Andaikan n bilangan bulat
positif,
k konstanta, f dan g adalah
fungsi yang mempunyai limit
di c,
limmaka:
k k
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
x
c
;
lim
g
(
x
)
0
lim
x
c
x
c
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
limf(x) f(c)
limn f(x) n limf(x)
x c
lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)
x c
x c
lim f(x)g(x) limf(x)limg(x)
x c
x c
limkf(x) k limf(x)
x c
x c
n
n
lim(f(x)) (limf(x))
x c
x c
x c
x c
x
c
x c
x c
x c
diman
; utk n
limf(x) 0
a:
genap
x c
Kita lihat contoh
penerapannya!
Contoh 5:
Tentukan nilai dari:
a lim(7x - 4)
x ®1
)
æx2 + 3x - 2ö
÷
b limç
ç
÷
2
®
x 2è 2x +1 ø
)
lim(f(x) ± g(x)) = limf(x) ± limg(x)
x® c
ma
e
r
Teo
Penyelesaia
n:
a lim(7x - 4)= lim7x - lim4
®
x ®1
x ®1
) x 1
= 7limx - lim4
x ®1
= 7(1) - 4
=3
x ®1
ma
e
r
Teo
x® c
limkf(x) = klimf(x)
x® c
x® c
x® c
2
lim
(
x
æx + 3x - 2ö x ® 2 + 3x - 2)
÷
=
b limç
ç
÷
2
2
x ® 2è 2x +1 ø
+1
lim
2
x
)
®
x 2
limf(x)
f(x)ö x ® c
Teorema limæ
ç
÷=
2
limx2 + lim3x - lim2
= x® 2
x® 2
x® 2
lim(2x2 +1)
x® 2
limx2 + lim3x - lim2
= x® 2
x® 2
2
lim2x + lim1
x® 2
22 + 3(2) - 2
=
2(2)2 +1
=
x® 2
4+6 - 2
8
=
8 +1
3
x®2
x ® cèg(x)ø
;limg(x) ¹ 0
limg(x) x ® c
x®c
Teorema lim(f(x) ± g(x)) = limf(x) ± limg(x)
x® c
x® c
x® c
Teorema limn f(x) = n limf(x)
x® c
x® c
“Klik untuk
memilih soal”
x2 - 9
1. lim
=....
®
x 3 x +3
-9
-6
x2 - 9
(x +3)(x - 3)
= lim
lim
x ® - 3 x +3 x ® - 1
x +3
0
= lim (x - 3)
6
= -3 -3
¥
= -6
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® - 1
x2 - 9
\ lim
= -6
x ® - 1 x +3
x2 + x - 6
=....
2. lim
®
x 2 x-2
2
3
x2 + x - 6
(x - 2)(x + 3)
=
lim
lim
x®2 x - 2
x® 2
x-2
4
= lim(x + 3)
5
= 2+ 3
6
=5
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® 2
x2 + x - 6
\ lim
=5
x® 2 x - 2
x2 -16
=....
3. lim
x® 4 x - 4
3
x2 -16
x2 - 16 x - 4 Rasional
= lim
´
lim
x® 4 x - 4 x® 4 x - 4
x - 4 kan
bentuk
2
(x - 16) x - 4 akar
= lim
x® 4
x-4
(x + 4)(x - 4) x - 4
= lim
x® 4
x-4
4
= lim(x + 4) x - 4
-4
-3
0
x® 4
= (4 + 4) 4 - 4
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
= 8×0 = 0
x2 - 16
\ lim
=0
x®4 x - 4
1+ x - 1 - x
=....
4. lim
x® 0
x
-3
-2
-1
0
1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
1+ x - 1 - x
=....Kalikan akar
lim
x® 0
x
sekawan
1+ x - 1 - x 1+ x + 1 - x
= lim
´
x® 0
x
1+ x + 1 - x
(1 + x) - (1 - x)
x ® 0 x( 1 + x + 1 - x)
2x
= lim
x ® 0 x( 1 + x + 1 - x)
2
2
=
= =1
1+ 0 + 1 - 0 2
= lim
\ lim
x®0
1+ x - 1 - x
=1
x
5. lim
h® 0
x +h - x
=....
h
1
2 x
1
3
x
2
3
x
2 x
2x
x +h - x
=....Kalikan akar
lim
h® 0
h
sekawan
x +h - x x +h + x
= lim
´
h® 0
h
x +h + x
(x + h) - x
h
= lim
= lim
h® 0h( x + h + x) h® 0h( x + h + x)
= lim
h® 0
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
=
1
x +h+ x
1
1
1
=
=
x+ 0 + x
x+ x 2 x
\ lim
h® 0
x +h - x 1
=
h
2 x
6.
lim 3 x® 0
3
9–
=
2x
x
3
2
1
3
0
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
lim 3 -
9–2x
x
x® 0
3lim
=
= ...
9–2x
x
lim (9 - ( 9–2x
=x® 0
x (3+ )) 9–2x)
x® 0
0
\
0
=
9–2x
9–2x
x (3+ 9–2x)
2
lim
=x®
3 +
3 +
2x
lim
=x®
Kalikan akar
sekawan
(3+ 9–2x)
2
(3+
\
9–0 )
=
2
6
=
1
3
7.
2
lim x2 – 7x + =
X → 16
x + 4x –
…
– 75
–
4
5
6
0
1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim x2 – 7x + =
X → 16
x + 4x –
…
5 (x – ( x –
lim
=x®
1
6)
(x + (1)x –
1)
5)
(x –
lim
= x ® 1 6)
(x +
5)
–5
(1 –
=
= 6)
6
(1 +
5)
2
\ lim x – 7x = – 5
2
X→ 1+
x 6
+ 4x – 5 6
2
3x –
, maka
2
2x
2x –
8. Jika f(x)
=
lim f(x) 3x
=
X→0
…
-1
–2
3
–1
3
0
2
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim 3x –
2
X → 0 2x
2x –
3x
=
…
x (3x –
lim
=X → 0 2)
x (2x –
3)
(3x –
lim
=X → 0 2)
(2x –
3)
(0 –
=2)
= 2
(0 –
3)
3
2
3x –
\ lim
= 2
2
X → 0 2x
2x –
3
3x
9. lim x
x® 3
– 1
-
2x +
= ...
2
3
9–x
8
– 1
9
1
3
1
2
2
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
lim x - 2x +
= ...
2
3
Kalikan akar
x® 3
9–x
sekawan
2x + x + 2x +
= lim x 23
x® 3
x+ 3
9–x
2x +
2
3
x
- (2x +
= lim
2
x® 3
( + 2x + )
(9 – x3)
x –33
)2 - 2x
x
lim
=
2
x® 3
( + 2x + )
- (x – 9)
3
x
= lim (x + (x – 3)
x® 3
1) + 3) (x( + 2x + )
- (x
3
x
– 3)
= lim (x +
x® 3
1) +(3)
+ 2x + )
- (x
3
x
= lim (3 +
1) +(3)+
x® 3
- (3
3
–
1
4
=
=
9
-6.
6
6 + 3)
æ1 - 2
= ..
li
2
10 x® 1ç
èx–1 x –1
m
..
.
0
1
2
1
11
2
2
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
æ1 - 2
= ..
li ç
2
®
x 1èx–1 x –1
m
..
1 (x +
2
= li æ
ç
1)– (x
x ® 1 è(x
(x – (x +
m
1) (x +1)
– 1) 1) 1)
= li æ
ç
x ® 1 è(x – (x
m
1) +1)
1
= li æ
ç
x ® 1 è (x
m
+1)
1
=
= li
1
x ® 1 (1
m
+1)
2
1
2
\ li æ
- 2
=
ç
®
x 1èx–1 x –1 1
m
2
3x4 - 2x3 + 6
=....
1. lim 3 2
x® ¥ x + x - x + 2
-3
-2
-1
0
3x4 - 2x3 + 6
=....
lim 3 2
®
¥
x
x + x - x+ 2
3x4
x4
6
4
= lim 3 2 x x
x ® ¥ x4 + x4 - x4 + 24
x
x
x
x
¥
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
3
= lim 1
- 2x4 +
3 - 2x + x64
x ® ¥ x + 12
x
=
Bagi pangkat
tertinggi
-
1 + 2
x3 x4
3 - 0+ 0
3
= =¥
0+ 0 - 0+ 0 0
3x4 - 2x3 + 6
\ lim 3 2
= ¥(tidakada)
x® ¥ x + x - x + 2
2. lim( x2 + 3x - x) =....
x® ¥
2
3
3
2
4
3
7
3
7
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
2
lim( x
x® ¥
= lim(
Kalikan akar
+ 3x - x) =.... sekawan
x2 + 3x + x
2
x + 3x - x) ´ 2
x + 3x + x
x2 + 3x - x2
3x
= lim
=
lim
x ® ¥ x2 + 3x + x
x ® ¥ x2 + 3x + x
x® ¥
= lim
3x
x
x2 + 3x + x
x2 x2 x
= lim
3
1+ 3x +1
x® ¥
x® ¥
Bagi pangkat
tertinggi
=
3
3
=
1 + 0 +1 2
\ lim( x2 + 3x - x) =
x® ¥
3
2
3. lim( x2 - 4x - x2 + 2x) =....
x® ¥
lim( x2 - 4x - x2 + 2x) =....
x® ¥
-6
-4
-3
-2
-1
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x2 - 4x + x2 +2x
= lim( x - 4x - x +2x)´
x® ¥
x2 - 4x + x2 +2x
Kalikan akar
(x2 - 4x) - (x2 + 2x)
sekawan
= lim
x ® ¥ x2 - 4x + x2 + 2x
- 6x
= lim
x ® ¥ x2 - 4x + x2 + 2x
2
= lim
x® ¥
x2
x2
2
-
- 6x
x
Bagi pangkat
2
4x + x + 2x
tertinggi
2
2
2
x
x
x
-6
= lim
x® ¥ 1 - 4 + 1+ 2
x
x
-6
-6
=
=
= -3
1 - 0 + 1+ 0 2
Ingin tahu Ya
jawabannya?
\ lim( x2 - 4x - x2 + 2x) = - 3
x® ¥
4. limx( x2 +1 - x) =....
x® ¥
1
2
limx( x2 +1 - x) =.... Kalikan akar
x® ¥
sekawan
x2 +1 + x
2
= limx( x +1 - x)´
x® ¥
x2 +1 + x
x
x(x2 +1 - x2)
= lim
= lim
x ® ¥ x2 +1 + x
x® ¥
x2 +1 + x
2
= lim
0
1
4
1
3
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
x® ¥
= lim
x® ¥
x
x
Bagi pangkat
+ 12 + xx tertinggi
x
x
x2
2
1
1
1
=
=
1+ 0 +1 2
1+ x12 +1
\ limx( x2 +1 - x) =
x® ¥
1
2
æ 3x - 2x ö =
5. limç
÷ ....
®
¥
x
èx - 1 x +1ø
1
2
3
9
¥
Klik pada pilihan (a - e) untuk
memilih jawaban
æ 3x - 2x ö =
limç
÷ ....
x ® ¥èx - 1 x +1ø
3x(x +1) - 2x(x - 1)
= lim
x® ¥
(x - 1)(x +1)
3x2 + 3x - 2x2 + 2x
= lim
x® ¥
x2 - 1 2
x + 5x
2
2
x2 + 5x =
= lim 2
lim x2 x
x ® ¥ x2 - 12
x® ¥ x - 1
1 + 5x
= lim 1
x® ¥ 1 - 2
x
x
=
1+ 0
=1
1- 0
3x 2x ö
\ limæ
ç
÷ =1
®
¥
x
èx - 1 x +1ø
x
Bagi pangkat
tertinggi
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
x® c
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
æ 2 - 2x + 3ö =
1a limç
÷ ....
x ® 2è 3x +1
ø
x
.
2 ö
æ2x + 3ö
= limæ
ç
÷ limç
÷
x ® 2è 3x +1ø x ® 2è x ø
lim2
=
x® 2
lim2x + 3
- x® 2
lim3x +1
limx
x® 2
x® 2
2
2(2) + 3
=
+
3(2) 1
2
2 7 45
= - =7 2 14
2
2x + 3ö 45
\ limæ
ç
÷= x ® 2è 3x +1
x ø 14
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
1b lim(x + 4)(2x - 5) =....
x® 5
.
= lim(x + 4)×lim(2x - 5)
x® 5
x® 5
x®5
= (limx + lim4)×(lim2x - lim5)
x®5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= 9×5
= 45
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x®5
= (5 + 4)×(2×5 - 5)
x® c
x® c
x®5
\ lim(x + 4)(2x - 5) = 45
x®5
x®5
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
Bukt
i:
2a lim f2(x) + g2(x) =....
x® c
.
= limf2(x) + limg2(x)
x® 5
x®c
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= [limf(x)]2 + [limg(x)]2
x®c
x®c
= 32 + [ - 1]2
x® c
= 9 +1
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
= 10
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x® c
(terbu
kti)
\ lim f2(x) + g2(x) = 10
x®c
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
x® c
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
Bukt
i:
2b lim[f(x) + (x - c)g(x)] =....
x®c
.
= limf(x) + lim(x - c)×limg(x)
x® c
x® c
= 3 + (c - c)×( - 1)
= 3 + 0×( - 1)
(terbu
kti)
\ lim[f(x) + (x - c)g(x)] = 3
=3
x®c
x® c
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai
dari:æ 2
2x + 3ö
a. limç
÷
®
x 2è 3x +1
x ø
b. lim(x + 4)(2x - 5)
x® 5
Bukt
i:
2c lim3 g(x)[f(x) + 3] =....
x® c
.
= lim3 g(x)×lim[f(x) + 3]
x® c
= 3 limg(x)×élimf(x) + lim3ù
ê
ëx ® c
û
x® c
x® c ú
2. Jikalimf(x) = 3 da limg(x) = - 1
x® c
x® c
n
buktikan dengan teorema
limit bahwa:
a. lim f2(x)+ g2(x) = 10
= 3 - 1×[3 + 3]
x® c
= - 1×[6]
b. lim[f(x)+ (x - c)g(x)] = 3
= -6
x® c
c. lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x® c
x® c
(terbu
kti)
\ lim3 g(x)[f(x) + 3] = - 6
x®c
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka
kecepatan sesaat pada t = 4
adalah: 2
[(4 + h) + 2] - [42 + 2]
= lim
h® 0
h
[16+ 8h+ h2 + 2] - [16+ 2]
= lim
h® 0
h
h2 + 8h+18 -18
= lim
h® 0
h
2
h + 8h
h(h+ 8)
= lim
= lim
h® 0
h® 0
h
h
= lim(h+ 8) = 8
h® 0
Jadi, kecepatan sesaat
benda adalah: 8 m/detik
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Total untung: L(t)=1500t2.
Maka keuntungan marjinal
untuk t = 52adalah: 2
[1500(5 + h) ] - [1500(5) ]
= lim
h® 0
h
[1500(25+10h+ h2)] - [1500(25)]
= lim
h® 0
h
[37500+15000h+1500h2] - [37500]
= lim
h® 0
h
1500h2 +15000h
= lim
h® 0
h
h(1500h+15000)
= lim
h® 0
h
= lim(1500h+15000) =15000
h® 0
Jadi, keuntungan marjinal
perusahaan: 15000 dollar/tahun.
f(t + h) - f(t)
Gunakan
lim
h® 0
h
rumus:
untuk menyelesaikan
permasalahan
berikut.
1.Sebuah benda
bergerak
selama t detik menempuh
jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukanperusahaan
kecepatan dalam
sesaat
2.Sebuah
pada
4.
waktut t=tahun
memperoleh
keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan
marjinal)
t=
3.Berat
dalam gram
dari saat
suatu
5?
tumor yang membahayakan
pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam
minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t.
Maka laju pertumbuhan tumor
untuk t = 10 adalah:
[0,1(10+h)2 - 0,05(10+h)] - [0,1(10)2 - 0,05(10)]
= lim
h® 0
h
[0,1(100+20h+ h2 ) - 0,5 - 0,05h] - [0,1(100) - 0,5]
= lim
h® 0
h
10+ 2h+ 0,1h2 - 0,5 - 0,05h - 10+ 0,5
= lim
h® 0
h
0,1h2 +1,95h
h(0,1h+1,95)
= lim
= lim
h® 0
h® 0
h
h
= lim(0,1h+1,95) = 0,1(0) +1,95=1,95
h® 0
Jadi, laju pertumbuhan tumor
adalah:
1,95 gram/minggu.
Anda yakin ingin
keluar?
Terima kasih!