Buku Ajar Ekonometrika FP Anwar

  BUKU AJAR EKONOMETRIKA Oleh: ANWAR ANAS ZAINI SUPARMIN SRI SUPARTININGSIH JURUSAN SOSIAL EKONOMI PERTANIAN FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS MATARAM OKTOBER 2015

DAFTAR ISI

  Halaman

  Kata Sambutan Dekan ………………………………………………….. ii Kata Pengantar …………………………………………………………… iii Daftar Isi …………………………………………………………………… iv Pendahuluan ..………………………………………………………,,,,,,,,,

  3 Regresi Linier Sederhana …….…………………………………………..

  10 Regresi Linier Berganda ……….…………………………………………

  20 Asumsi Klasik ……………………………………………………………... 28 Pengujian Asumsi Klasik …………………………………………………

  32 Regresi dengan Variabel Dummy ……………………………………….

  40 Model Regresi Logistik (Logit Model) …….……………………………..

  49 Regresi Multinomial Logit …………………………………………………

  56 Model Persamaan Simultan ………………………………………………

  64 Daftar Pustaka ……………………………………………………………..

  82

BAB I. PENDAHULUAN Teori ekonomi mencoba mendefinisikan hubungan-hubungan antara

  berbagai variabel ekonomi dalam bentuk matematis. Tujuannya untuk membantu memahami fenomena ekonomi dalam dunia nyata. Teori-teori tersebut harus diuji dengan data empiris dari dunia nyata. Jika data empiris membenarkan hubungan yang dimaksudkan oleh teori, maka teori tersebut dapat diterima, kalau tidak maka teori tersebut harus ditolak.

  Untuk memberikan suatu pedoman yang lebih baik bagi keperluan perumusan kebijakan ekonomi, maka perlu diketahui hubungan-hubungan kuantitatif antara variabel-variabel ekonomi. Umpamanya, jika investasi ditingkatkan 15%, berapa besar penghasilan nasional diperkirakan akan meningkat sebagai akibat kenaikan investasi tersebut. Ukuran-ukuran kuantitatif diperoleh dari data yang diambil dalam dunia nyata. Jika suatu teori cocok dengan data aktual, maka teori tersebut dapat diterima sebagai teori yang sahih (valid).Jika teori itu tidak sesuai dengan perilaku yang diamati, maka teori itu harus ditolak, atau dimodifikasi berdasarkan bukti data empiris.

  Bidang ilmu yang melakukan evaluasi teori-teori ekonomi secara kuantitatif disebut ilmu ekonometrika. Ekonometrika adalah suatu ilmu yang mengkombinasikan teori ekonomi dan statistika ekonomi, dengan tujuan menyelidiki dukungan empiris dari hukum skematis yang dibangun oleh teori ekonomi. Dengan memanfaatkan ilmu ekonomi, matematika dan statistika, ekonometri membuat hukum-hukum ekonomi tertentu menjadi nyata.

  Ilmu Ekonometrika didefinisikan sebagai ilmu sosial yang menerapkan peralatan teori ekonomi, matematika, dan statistika inferensi untuk menganalisis fenomena ekonomi.

  Ilmu ekonometrika juga didefinisikan sebagai suatu analisis kuantitatif dari fenomena ekonomi nyata berdasarkan perkembangan teori dan pengamatan yang dikaitkan metode-metode inferensi yang sesuai.

  Ekonometrika adalah suatu hasil pandangan yang lebih jauh mengenai peranan ekonomi yang berisikan penggunaan statistika matematika pada data ekonomi secara empirik menunjang pada model yang dibentuknya melalui matematika ekonomi untuk mendapatkan hasil numerik.

  Dalam arti sempit, ekonometrika adalah pengukuran aktivitas ekonomi (economic measurement).

  Ilmu ekonometrika dibedakan menjadi dua cabang yaitu ekonometrika teoritis dan ekonometrika terapan. Ekonometrika teoritis berkaitan dengan pengembangan metode yang tepat untuk mengukur hubungan-hubungan ekonomi yang digambarkan oleh model ekonometrika. Metode ini dapat diklasifikasikan ke dalam dua kelompok, yaitu :

  1. Metode atau teknik persamaan tunggal, diterapkan untuk satu hubungan atau satu persamaan.

  2. Metode atau teknik persamaan simultan diterapkan untuk seluruh persamaan dalam model secara simultan. Model simultan adalah model yang mengandung lebih dari satu persamaan.

  Bidang ilmu ekonometrika teoritis juga menerangkan asumsi-asumsi dari berbagai metode, sifat-sifat, dan apa yang akan terjadi dengan sifat-sifat itu bila satu atau lebih asumsi-asumsi tidak dipenuhi (dilanggar).

  Ekonometrika terapan menggambarkan nilai praktis dari penelitian ekonometrika. Jadi mencakup penerapan (aplikasi) teknik-teknik ekonometrika yang dikembangkan dalam ekonometrika teoritis, pada berbagai bidang teori ekonomi untuk keperluan pengujian atau pembuktian teori dan peramalan.

  Dewasa ini semakin banyak studi empiris dalam bidang permintaan dan penawaran pasar, fungsi produksi, fungsi biaya, fungsi konsumsi dan investasi, yang dilaksanakan melalui ekonometrika. Penerapan ekonometrika telah memungkinkan studi-studi tersebut mencapai hasil-hasil numerik yang sangat berguna bagi pada perencana.

  Berdasarkan hubungan-hubungan pada teori ekonomi itu prosedur atau tahapan ekonometrika meliputi langkah-langkah sebagai berikut :

  1. Merumuskan persamaan matematis yang menggambarkan hubungan antara berbagai variabel ekonomi, seperti yang diterangkan oleh teori ekonomi (spesifikasi).

  2. Merancang metode dan prosedur berdasarkan teori statistika, untuk mendapatkan sampel yang mewakili dunia nyata.

  3. Menyusun metode estimasi parameter hubungan-hubungan yang dilukiskan pada langkah pertama (penaksiran).

  4. Menyusun metode statistika untuk keperluan pengujian validitas teori, dengan menggunakan parameter-parameter yang telah didapat pada langkah ketiga (verifikasi).

  5. Mengembangkan metode peramalan ekonomi ataupun implikasi kebijakan berdasarkan parameter-parameter yang telah ditaksir (aplikasi atau

  penerapan).

  Jadi, prinsipnya ekonometrika membantu dalam mencapai tiga tujuan pokok, yaitu : a. Membuktikan atau menguji validitas teori-teori ekonomi (verifikasi).

  b. Menghasilkan taksiran-taksiran numerik bagi koefisien-koefisien hubungan ekonomi yang selanjutnya bisa digunakan untuk keperluan kebijakan ekonomi (penaksiran).

  c. Meramalkan nilai besaran-besaran ekonomi di masa yang akan datang dengan derajat probabilitas tertentu (peramalan).

  Metodologi Ekonometrika

  Teori Konsumsi Keynesian, dasar hukum psikologi ….. adalah bahwa orang-orang (laki-laki dan perempuan) dalam mempergunakan pendapatannya secara rata-rata, meningkatnya konsumsi mereka disebabkan oleh meningkat- nya pendapatan, tetapi peningkatan konsumsi tersebut tidak mencakup seluruh peningkatan pendapatan. Secara ringkas Postulat Keynes tersebut menyajikan

  

marginal propensity to consume (MPC) yaitu tingkat perubahan konsumsi

  untuk perubahan pendapatan sebesar satu unit, yang nilainya berkisar antara nol dan satu. Untuk menguji hal tersebut maka ahli Ekonometrika harus mengikuti proses berikut:

a. Spesifikasi Model Ekonometrika

  Walaupun Postulat Keynes memberikan hubungan yang positif antara hubungan kedua peubah tersebut. Ahli Ekonomi Matematika merumuskan bentuk hubungan fungsi konsumsi sebagai : Y = A + B X ; dimana Y = pengeluaran konsumsi dan X = pendapatan, asumsinya deterministik (pasti).

  Tetapi dalam peubah ekonomi hubungan-hubungan tersebut pada umumnya tidak pasti. Selain pendapatan masih ada peubah lain yang juga berpengaruh terhadap pengeluaran konsumsi, seperti tanggungan, umur, dan lain-lain.

  Untuk menanggulangi ketidakpastian hubungan tersebut, ahli Ekonometrika memodifikasi fungsi konsumsi menjadi: Y = A + B X + u ; u = galat

  b. Estimasi

  Setelah menspesifikasikan model ekonometrika, selanjutnya menduga atau mengestimasi (nilai-nilai numerik) parameter-parameter model dari data yang tersedia. Estimasi ini akan memberikan arti empirik bagi teori ekonomi. Jika dari suatu penelitian fungsi konsumsi Keynesian diperoleh B=0,80 nilai ini tidak hanya menunjukan suatu estimat numerik MPC, tapi juga menunjang hipotesis Keynes bahwa MPC selalu lebih kecil dari satu.

  c. Verifikasi (pengujian)

  Setelah mengestimasi parameter, selanjutnya menguji apakah kriteria yang dianalisis memenuhi harapan menurut teori. Misalnya dari teori, MPC diharapkan oleh Keynes bernilai positif dan lebih kecil dari satu. Hasil penelitian diperoleh MPC = 0,9, walaupun secara numerik memenuhi nilai yang kurang dari satu, tapi haruslah diyakinkan benar-benar kurang dari satu, untuk itu perlu pengujian hipotesis.

  Bentuk Fungsional Model Regresi

  1. Model Elastisitas (Log Linier atau Double Log) Yi = Bo Xi

  B1

  e

  ui

  Model ini merupakan bentuk model regresi dua variabel yang linier dalam parameter tetapi tidak linier dalam variabel. Bentuk tersebut dapat diubah menjadi :

  Ln Yi = ln Bo + B1 ln Xi + ui dimana ln = logaritma natural, atau

  e log ...... dengan e = 2,7182818.

  Model ini akan linier dalam parameter Bo dan B1, serta linier pula dalam ln variabelnya (Y dan X).

  2. Model Semilog Misalkan model yang dihadapi adalah : Ln Yi = Ao + A1 Xi + ui ...................................... (1) atau

  Yi = Bo + B1 ln Xi + ui ...................................... (2) Kedua model tersebut dinamakan model semilog, karena hanya terdapat bentuk log dalam salah satu ruas persamaan saja.

  Dalam model (1) bisa ditunjukkan, bahwa koefisien A1 merupakan ukuran perubahan proporsional Y yang relatif konstan dari perubahan- perubahan nilai X yang diketahui, yaitu :

  A1 = Perubahan Relatif Y / Perubahan Absolut X

  Dengan demikian jika hasil observasi data dapat kita ketahui perubahan absolut X dan perubahan Y yang merupakan persentase, maka model tersebut cocok untuk dipergunakan.

  Model-model ini kebanyakan dipergunakan dalam “growth models” (model untuk kurva pertumbuhan) dari waktu ke waktu, seperti dalam bidang penelitian ekspor, impor, tenaga kerja, produktivitas tenaga kerja, dan lain-lain.

  Seperti halnya model (1), maka dalam model (2) koefisien B1 dapat ditentukan menurut :

  B1 = Perubahan Absolut Y / Perubahan Relatif X

  Jadi, koefisien B1 merupakan ukuran perubahan Y yang mutlak dari perubahan-perubahan nilai X yang proporsional (persentase).

  Dengan demikian jika hasil observasi data dapat kita ketahui perubahan absolut Y dan perubahan X yang merupakan persentase, maka model tersebut cocok untuk dipergunakan.

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA Dalam kehidupan sehari-hari sering kali ingin diketahui hubungan antar

  peubah, misalnya hubungan antara: prestasi belajar dengan IQ, tingkat pendidikan ibu dengan gizi balita, dan sebagainya. Umumnya suatu peubah bersifat mempengaruhi peubah yang lainnya. Peubah yang mempengaruhi disebut peubah bebas sedangkan yang dipengaruhi disebut sebagai peubah tak bebas atau peubah terikat.

  Secara kuantitatif hubungan antara peubah bebas dan peubah terikat dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematik, sehingga dapat diduga nilai suatu peubah terikat bila diketahui nilai peubah bebasnya. Persamaan matematik yang menggambarkan hubungan antara peubah bebas dan terikat sering disebut persamaan regresi.

  Persamaan regresi dapat terdiri dari satu atau lebih peubah bebas dan satu peubah terikat. Persamaan yang terdiri dari satu peubah bebas dan satu peubah terikat disebut persamaan regresi sederhana, sedangkan yang terdiri dari satu peubah terikat dan beberapa peubah bebas disebut persamaan regresi berganda. Regresi dapat dipisahkan menjadi regresi linear dan regresi non linear.

  Misalkan kita mempunyai sejumlah data berpasangan {(x i , y i ), i = 1, 2, 3, . . ., n} data itu dapat diplotkan atau digambarkan pada bidang Kartesius yang disebut sebagai diagram pencar atau diagram hambur. Dari diagram pencar dapat diperkirakan hubungan antara peubah-peubah itu apakah mempunyai hubungan linear atau tidak linear.

  Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggam- barkan hubungan antara satu peubah bebas (X) dan satu peubah tak bebas (Y), dimana hubungan keduanya dapat digambarkan sebagai suatu garis lurus. Hubungan kedua peubah tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:

  Y i =  + 

  1 X +  i ............... _i

  Y = Peubah tak bebas, X = Peubah bebas,  = intersep/perpotongan dengan sumbu tegak,  = Kemiringan/gradien,  error yang saling bebas dan

  1 i

  2 menyebar normal N(0, ) i = 1, 2, …, n.

  Dalam kenyataan seringkali kita tidak dapat mengamati seluruh anggota populasi, sehingga hanya mengambil sampel misalkan sampel itu berukuran n dan ditulis sebagai {(x i , y i ), i = 1, 2, 3, . . ., n}. Persamaan yang diperoleh adalah dugaan dari persamaan (12.1) dan dapat dituliskan sebagai:

  Yˆ = b + b _i

  X

  1 i

  b adalah penduga untuk  , dan b

  1 adalah penduga untuk  1 .

  Untuk peubah bebas x nilai pengamatan y tidak selalu tepat berada

  i i

  ~

  Y Yˆ

  pada garis =  +  _{i i i}

1 X (garis regresi populasi) atau = b + b

  1 Xi (garis regresi sampel).

  Y

  Yˆ

  y i = b + b _i

  1 X i

  e i

  X Terdapat simpangan sebesar e (untuk sampel) atau (untuk populasi),

  i ε i

  sehingga : ~

  Yˆ Y

  Y i = + e i atau Y i = ε _{i i i} + atau Y = b + b X + e (model regresi sampel)

  i 1 i i

  Y i = +  +

  1 X (model regresi populasi) _{i ε i}

  Anggapan/asumsi dalam analisis regresi linear sederhana dengan model Y + = +  X adalah:.

  i o 1 i ε i

  1) merupakan galat acak yang menyebar normal dengan E( ) = 0 dan

  ε i ₂ ε i

  Var( ε ) = σ untuk semua i _{i 2} 2) Y menyebar normal dengan E(Y )=  + 

  X dan Var(Y ) = σ untuk semua i i i o 1 i i

  Pendugaan Parameter dan β β

  1 Untuk menduga nilai parameter  dan  terdapat bermacam-macam

  1

  metode, misalnya metode kuadrat terkecil (least square method), metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method), metode kuadrat terkecil terboboti (weighted least square method), dsb.

  Disini metode yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil, karena mudah dikerjakan secara manual. Prinsip dasar metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat simpangan atau Jumlah Kuadrat Galat

  2

  2 ˆ

  (JKG) = e = Y  Y

  ( ) i i i

    1  i i

1 Dengan menggunakan bantuan pelajaran kalkulus, diperoleh nilai dugaan

  parameter regresi sebagai berikut:

  _{n n n n 2} n n n n

  X Y 

  X Y Y _{i i i i i i i i i} X 

  X X Y        _{i  1 i  1 i  1 i  1 i  1 i  1 i  1}

b 

b  _{n n 2}

₁

_{n n 2 2   2}   n

  X _{i i} X n

  X X

    i i      

    _{i 1 i 1}   i  ^{1 i  1}

      Dengan demikian dapat diperoleh hubungan;

  1 b  Y  b _{i 1 i} X   Y b X ₁

      n Contoh 1.

  Diketahui data percobaan Subjek i

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9 x i 1,5 1,8 2,4 3,0 3,5 3,9 4,4 4,8 5,0 y i 4,8 5,7 7,0 8,3 10,9 12,4 13,1 13,6 15,3

  Tentukan persamaan regresi dugaan

  Jawab :

  Dengan menggunakan kalkulator dapat dengan mudah dihitung _{9 9 9} X = 30,3 Y = 91,1 _{i i i i}

  X Y = 345,09    _{i  9 1 i  2 1 i  1} X Y

  X = 115,11 = 3,3667 = 10,1222 _i  _{i  1}

  (9)(345, 09)  (30, 3)(91,1)

  b 2, 9303 ₁  

  (9)(115,11)  30, 3

  b = 10,1222 – (2,9303)(3,3667) = 0,2568 o

  ˆ Y

  Jadi persamaan regresi dugaan = 0,26 + 2,93X

  Pengujian terhadap Model Regresi

  Proses selanjutnya setelah melakukan pendugaan parameter model regresi sederhana adalah pengujian terhadap model regresi apakah signifikan atau tidak, yang dapat dilakukan dengan dua cara yaitu ANAVA dengan uji F dan uji parsial dengan uji t.

  Uji bagi 

     

  Keterangan

    



        

    

  1 =0 lawan 

        

    

  Total n1 JKT

    

    

      

  X X n

  

X Y

Y n

Y n

      ^{2 2 2 1 2 2 2 2} ₂ ^{i i i i i i i i i i i i} _i JKT Y nY JKG Y b Y b

  H o ditolak jika F hit > F tabel , yang berarti model regresi signifikan atau ada hubungan liner anatara X dan Y.

  α(1,n2)

  X Y

  1

  1

  0 melalui ANAVA Hipotesis

  H : 

  1 =0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)

  H

  1 : 

   0 (Ada hubungan linear antara X dan Y) Tabel 1. Anava untuk pengujian pada model regresi linear sederhana

  =KTR/KTG F

  Sumber Keragaman db JK KT Fhit Ftabel

  Regresi Galat

  1 n2 JKR JKG

  KTR = JKR/1 KTG =JKG/

  (n  2) F

  hit

  X Y

JKR JKT JKG

   0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)

  1

  : 

  1

  = 0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y) H

  1

  H : 

  0 melalui uji t Hipotesis

  =0 lawan  Statistik uji adalah : dengan Kriteria keputusan :

  1

  1. Uji bagi 

  1

  H ditolak jika | t

  X X n

   

  X

  = 3,3667

  Y

  = 10, 1222 b = 0,2568 b

  1 = 2,9303   ^{1 1 hit} b t s b

  

      ^{2 1 2} ₂ ⁱ _i

  KTG s b

   

  = 115,11 ^{9 2} ₁

      ^hit b t s b

  

      ^{2 2 2} ₂

  1 _{i i}

  

X

s b KTG n

  X X n

       

       

      

  1036, 65 _{i i} Y 

  

  hit

  α/2(n2) Perhitungan untuk uji hipotesis menggunakan data Contoh 1.

  | > t

  α/2(n2)

  2. Uji bagi  =0 lawan  0 melalui uji t Hipotesis

  H :  = 0 H

  1 :   0

  Statistik uji adalah : dengan Kriteria keputusan :

  H ditolak jika | t

  hit

  | > t

  Dari perhitungan sebelumnya telah diperoleh: _{9 1 i i}

  X 

  X 

  

  = 30,3 ⁹ _{1 i i}

  Y 

  

  = 91,1 ⁹ _{1 i i i}

  X Y 

  

  = 345,09 _{9 2}

  1 ^{i i}

    Dengan demikian diperoleh:

2 JKT = 1036,65  9. (10,1222) = 114,52

  JKG = 1036,65  (0,2568) 91,1 – (2,9303) 345,09 = 2,0383 JKR = 945,55 –2,0383 = 112,4813 Tabel anava untuk data tersebut disajikan dalam Tabel 2.

  Tabel 2. Anava untuk data pada Contoh 1

  Sumber db JK KT Fhit Ftabel Keragaman

  Regresi 1 112,4813 KTR=112,4813 F hit =386,2885 F 0,05(1,7) =5,59

  Galat 7 2,0383 KTG=0,2911 Total 8 114,52

  Berdasarkan hasil pada Tabel 2 diperoleh nilai F hitung lebih besar daripada nilai F tabel, sehingga H ditolak. Jadi ada hubungan linear antara variabel X dan Y. Untuk uji parsial perlu dihitung terlebih dahulu nilai _{2 0, 2911}

  s b   0, 0222   ¹

  dan 115,11 (30, 3)(30, 3) / 9

   ₂   ₂ 1 3, 3667

  s b  0, 2911   0,284  

    9 115,11 (30, 3)(30, 3) / 9   

  Jadi untuk uji signifikansi koefisien 

  1

  2, 9303 t =  19, 685

  hit

  0,149 sedangkan untuk uji signifikansi konstanta diperoleh

  t

  26

  11

  88 64 121  x = 26 y = 40 xy = 232 x² =158 y² = 346 n = 5 bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + bX

  b n x y x y n x x ^{i i i i n i i n i n} _{i i} ⁿ _{i i} ⁿ

       

       

     

      

            ^{1 1 1 2} _{1 1} ² b 

      

    

    ( ) ( )

  ( ) ( ) . ... 5 232

  40 5 158 26 1160 1040

  70 49 100 1996

  790 676 120 114 1 05263 ₂

  = 1,053

  a y n b x n ^{i i n i i n}

   

      _{1 1}

    a   

     

       

  40

  5 1 05263

  26

  5 8 1 05263 5 2 . 8 5 4736 2 5263 ... . ... . . ... . .... = 2,530

  8

  10

  hit

  2

  = 0, 2568

  0, 483 0, 532

   Karena t tabel adalah t

  0,025;7

  = 2,365 maka H ditolak untuk uji koefisien 

  1

  dan H diterima untuk uji signifikansi konstanta.

  Contoh 2 :

  Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Gosok.

  Tahun Biaya Promosi X (Juta Rupiah)

  Volume Penjualan Y (Juta Liter) xy x² y²

  1992

  5

  7

  10

  4

  25 1993

  4

  6

  24

  16

  36 1994

  5

  8

  40

  25

  64 1995

  Y = a + b X  Y = 2,530 + 1,053X

   Peramalan dengan Persamaan Regresi Contoh 2: Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y

  (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut: Y = 2,530 + 1,053 X

  Perkirakan Volume penjualan jika, dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta? Jawab : Y = 2,530 + 1,053 X

  X = 10 Y = 2,53 + 1,053 (10) = 2,53 + 10,53 = 13,06 (ratusan juta liter) Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

  Korelasi Linier Sederhana

   Koefisien Korelasi (r): ukuran hubungan linier peubah X dan Y Nilai r berkisar antara (+1) sampai (-1) Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+) Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-) Jika nilai r mendekati +1 atau r mendekati -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi. Jika nilai r = +1 atau r = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna. Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier (dalam kasus r mendekati 0, anda dapat melanjutkan analisis ke regresi eksponensial).  Koefisien Determinasi Sampel (r²)

  Ukuran proporsi keragaman total nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai peubah X melalui hubungan linier. Penetapan & Interpretasi Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi _{n n n}

      n x y   x   y  _{i i i i}

     _{i  1 i }     _{1 i  1} r  _{n n n n 2 2}

      ₂     ₂    n x  x    n y  y   _{i i i i}

      _{i  1 i }     _{1 i  1 i }

₁

       

  2 r

  = r x r (dinyatakan dalam persen)

  Contoh 3 :

  Lihat Contoh 2, setelah mendapatkan persamaan Regresi Y = 2,530 + 1,053 X,

  2

  hitung koefisien korelasi (r) dan koefisien determinasi (r ). Gunakan data berikut (lihat Contoh 2)

  x = 26 y = 40 xy = 232 x² =158 y² = 346 _{n n n}    

  n x y  x y _{i i i i}        _{i  1 i }     _{1 i  1} r  _{n n n n 2 2}

      ₂     ₂  n x  x   n y  y  _{i i i i}    

      _{i 1 i}     _{1 i 1 i 1}    

         

  ( 5 232  )  ( 26  40 ) 1160 1040  120

  r    _{2 2}     114 130 

  790  676  1730 1600 

   5 158    (

  26 )  ( 5 346  )  ( 40 )

     

  120 120    0 9857 . ...

  12173 . ... 14820

  Nilai r = 0,9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi.

  2 ₂ r  0 9857 . ... = 0,97165....= 97,17 %

2 Nilai r = 97,17% menunjukkan bahwa 97,17% proporsi keragaman nilai peubah

  Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan linier, dan sisanya yaitu 2,83% dijelaskan oleh hal-hal lain.

BAB III. REGRESI LINIER BERGANDA Dalam regresi linier sederhana telah dipelajari analisis regresi yang

  terdiri atas dua variabel. Dalam pembicaraan tersebut di mana analisisnya terdiri atas sebuah variabel bebas X (independent variable) sering disebut variabel X atau prediktor, dan sebuah variabel tak bebas Y (dependent

  

variable) atau variabel Yatau variabel penjelaskan. Tentu dapat dengan

  mudah dimengerti bahwa, ada juga analisis regresi di mana terdapat lebih dari dua variabel, yaitu analisis regresi di mana terdapat satu variabel tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) atau analisis regresi di mana terdapat lebih dari satu variabel yang tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) yang disebut dengan analisis regresi berganda multivariate atau analisis ragam multivariat (multivariate multiple regression).

  Analisis regresi dengan satu variabel diterangkan atau variabel Y oleh lebih dari sebuah variabel yang lain atau variabel bebas X, maka analisis yang demikian ini dinamakan analisis regresi majemuk atau analisis regresi berganda atau analisis regresi darab.

  Sangatlah jelas bahwa dalam permasalahan ini, tidak cocok lagi memakai perkataan atau istilah garis regresi, karena fungsi linier yang terdiri dari tiga buah variabel, sudah tidak berbentuk grafik garis lagi, melainkan berbentuk bidang atau bentuk yang lain.

  Selanjutnya, jika variabel bebas lebih dari tiga buah, menyebabkan penggambaran grafiknya sangat sulit dan bukan berbentuk bidang atau ruang. Bentuknya dinamakan multi bidang atau berbidang banyak (hyper plane).

  Grafik suatu fungsi akan berbentuk garis jika di dalam fungsi itu hanya terdapat dua macam variabel, yang koordinatnya berdemensi dua atau bidang. Sehingga dalam penggambaran grafik dari tiga macam variabel dapat memakai istilah bidang regresi atau grafiknya berdemensi tiga atau berdemensi ruang. Tetapi istilah inipun tidak dapat dipertahankan lagi secara bebas jika telah dipergunakan fungsi regresi yang terdiri dari empat macam atau lebih variabel yang dipergunakan. Sebagaimana halnya dalam analisis regresi linier sederhana (lihat Tenaya et al., 1985), maka di dalam analisis regresi berganda ini juga dapat dikenal adanya: 1). Analisis regresi linier berganda dan 2). Analisis regresi berganda kurvilinier atau analisis regresi berganda non linier. Perbedaan dari kedua analisis di atas antara analisis regresi linier berganda dengan analisis regresi berganda kurvilinier (non linier) didasarkan atas perbedaan pada variabel-variabel bebas (variabel X) yang menyusun- nya; atau di mana variabel Y yang berbentuk fungsi pangkat atau berpangkat tidak sama dengan satu.

  Untuk mempertegas masalah perbedaan antara analisismregresi linier berganda dengan analisis regresi berganda non linier, diberikan batasan dan contoh fungsinya seperti berikut:

  1). Analisis regresi linier berganda didefinisikan adalah analisis regresi yang variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan setiap variabel X maupun variabel Y hanya berpangkat satu (linier).

  2). Analisis regresi berganda non linier didefinisikan adalah sebagai analisis regresi di mana variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang- kurangnya dua variabel bebas X dan yang salah satu atau kedua macam variabel mempunyai pangkat tidak sama dengan satu. Atau regresi di mana variabel tak bebas Y dengan pangkat tidak sama dengan satu ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X.

  Regresi linear ganda adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan antara lebih dari satu peubah bebas (X) dan satu peubah tak bebas (Y). Hubungan peubah-peubah tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:

  Y     X   X    X   _{i 1 i 1 2 i 2 p }  _{1 i p ,  1 i}

  Y = Peubah tak bebas, X = Peubah bebas,  = intersep/perpotongan dengan sumbu tegak, 

  1 ,  2 , ....,  p1 = parameter model regresi,  i saling bebas dan

  2

  menyebar normal N(0, ), dimana i = 1, 2, …, n Persamaan regresi dugaannya adalah :

  ˆ

  Y  b  b X  b X   b _{i 1 i 1 2 i 2  p 1 i p ,}

  X

₁

 

  Hipotesis yang harus diuji dalam analisis regresi ganda adalah H :  =  = … =  = 0

  1 2 p-1

  H

  1 : Tidak semua i (i = 1, 2,…,p1) sama dengan nol Untuk mengestimasi atau menduga koefisien regresi b , b , b , ……., b

  o

  1 2 k

  digunakan persamaan berikut :

  nb  b ₁ X  b _{1 i 2} X  ...  b _{2 i k ki i} X  Y     ₂ b X b X b

  X X ... b

  X X

  X Y _{1 i}      _{1 1 i 2 1 i 2 i k 1 i ki 1 i i}     

  ………………… ₂

  b X  b _{2 i 1} X _{1 i} X  b _{2 i 2} X  ...  b _{2 i k}

  X _{2 i ki} X 

  X Y _{2 i i}      ₂ b X  b _{ki 1} X _{1 i ki} X  b ₂ X _{2 i ki k ki ki i} X  ...  b X 

  X Y     

  Untuk melakukan pendugaan parameter model regresi berganda dan menguji signifikansinya dapat dilakukan secara manual (metode eliminasi) atau dengan bantuan komputer.

  Contoh 1 :

  Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) mobil dihubungkan dengan

  X

  variabel biaya promosi ( dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya

1 X penambahan asesoris ( dalam ratusan ribu rupiah/unit).

  2

x x y x x x y x y x ² x ² y²

  1

  2

  1

  2

  

1

  2

  1

  2

  2

  3

  4

  6

  

8

  12

  4

  9

  16

  3

  4

  5

  12

  

15

  20

  9

  16

  25

  5

  6

  8

  30

  

40

  48

  25

  36

  64

  6

  8

  10

  48

  

60

  80

  36 64 100

  7

  9

  11

  63

  

77

  99

  49 81 121

  8

  10

  12

  80 96 120 64 100 144 _{2 2 2} x y = x x y x x  ^{1 x y x x}

  = = = = = ₂ y

         _{1 2 1 2 1 2}  50 31 = 40 239 296 = 379 187 306

  = 470

  Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b

  2

  1 X 1 + b

  2 X n = 6

  x x y

  = 31 = 40 = 50

     _{1 2} x x x y ₂ = 239 x y = 296 = 379

    _{1 2}

^{1 }

_{2 2 2} x x y

  =187 =306 = 470

     _{1 2} Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal, _{n n n}

  (i) n a + b x  b x  y _{1 1 i 2 2 i i n n n n}    _{i  1 i  2 1 i  1}

  a + b b

  (ii) x x  x x  x y _{1 i 1 1 i 2 2 i 1 i 1 i i}

      _{i  n n n n 1 i  1 i  1 i  2}

₁

  (iii) a x + b x x  b x  x y _{2 i 1 2 i 1 i 2 2 i 2 i i}

      _{i  1 i  1 i  1 i }

₁

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:

  (i) + + 6a 31 b 40 b = 50

  1

  

2

• (ii) 31 a 187 b 239 b = 296

  1

  

2

1 306 b

• (iii) 40 a 239 b

  2 = 379

  Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)

• (ii) 31 a 187 b 239 b  6 +

  1 2 = 296

• (i) 6a 31 b 40 b = 50  31

  1

  2

  (ii) 189 a + + 1122 b 1434 b = 1776

  1

  2

• (i) 189 a + 961 b 1240 b = 1550

  1

  2

• (iv) 161b 194 b = 226

  1

  2 Kemudian 1 306 b

• (iii) 40 a 239 b

  2 = 379  6

  (i) + + 6a 31 b

  1 40 b 2 = 50  40 1 1836 b

• (iii) 240 a + 1434 b

  2 = 2274

• (i) 240 a + 1240 b 1600 b = 2000

  1

  2 Selanjutnya, eliminasi (b ) dan dapatkan nilai (b )

  1

  2 1 236 b

• (v) 194 b

  2 = 274  161

   194 (iv) 161 b +

  1 194 b 2 = 226

1 37996 b

• (v) 31234 b

  2 = 44114

• (iv) 31234 b 37636 b = 43844

  1

  2

  360 b

  2 = 270

  b

  2 = 0,75

  Dapatkan Nilai (b ) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga:

  1 1 236 b

• (v) 194 b

  2 = 274

  Perhatikan b

  2 = 0.75

• 194 b 236 (0,75) = 274

  1 1 177 = 274

• 194 b 194 b

  1 = 97

  b = 0,50

  1

  (i) 6a + 31 b +

  1 40 b 2 = 50

  Perhatikan b

  1 = 0,50 dan b 2 = 0,75

• 6a + 31 (0,50) 40 (0,75) = 50
• 6a 15,5 30 = 50

  6a = 4,5 a = 0,75 Sehingga Persamaan Regresi Berganda a + b

  1 X 1 + b

  2 X 2 dapat ditulis sebagai 0,75 + 0,50 X 1 + 0,75 X

  2 Uji F atau Analisis Keragaman atau Analisis Varians Regresi

  Dalam analisis keragaman yang merupakan uji F terhadap Ragam Regresi (KT Regresi atau Kuadrat Tengah Regresi) dengan memakai Ragam Galat (KT Galat = KT Residu).

  Dalam pengujian ini didasarkan pada pemecahan JK Total menjadi komponen-komponennya yaitu JK Regresi dan JK Galat Regresi, yang selanjutnya dijadikan Ragam Regresi dan Ragam Galat Regresi. Untuk memudahkan dalam uji F ini biasanya dibuatkan tabel Analisis Keragaman (Tabel Sidik Ragam Regresi atau Tabel Analisis Varians Regresi atau ANAVA Regresi atau ANOVA Regresi) yang komponen-komponennya seperti berikut.

  Tabel Anava untuk pengujian pada model regresi linear berganda

  Sumber db JK KT Fhit Ftabel Keragaman

  Regresi k JKR KTR=JKR/k F =KTR/KTG

  hit F α(k,nk-1)

  Galat JKG KTG=JKG/ nk-1 (n k- 1)

  Total JKT n1 H o ditolak jika F hit > F tabel , yang berarti model regresi signifikan atau ada hubungan liner anatara X dan Y.

  Korelasi Linier Berganda

   Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi

2 R

  y

  sebagai berikut .12  Sedangkan Koefisien Korelasi adalah akar positif Koefisien Determinasi atau

2 JKG

  2 ₂ R  

  1 r R y .

  12 y = y .12 dan ( n  1 ) s

  .12 _y