BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Logika Fuzzy 2.1.1 Pengertian Logika Fuzzy - Perbandingan Metode Fuzzy Dengan Regresi Linear Berganda Dalam Peramalan Jumlah Produksi (Studi Kasus: Produksi Kelapa Sawit di PT. Perkebunan Nusantara III (PERSERO) Medan Tahun 2011-2
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Logika Fuzzy
2.1.1 Pengertian Logika Fuzzy
Suatu kata/istilah dikatakan fuzzy (kabur) apabila kata/istilah tersebut tidak dapat didefenisikan secara tegas, dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas apakah suatu objek tertentu memiliki sifat/ciri yang diungkapkan oleh kata/istilah tersebut. Sehingga objek itu akan disebut dengan himpunan kabur (fuzzy). Oleh karena itu butuh penegasan terhadap himpunan tersebut (Frans Susilo, SJ, 2006).
Dalam kehidupan sehari-hari, dapat dijumpai banyak gejala kekaburan. Ambil suatu contoh, dalam suatu kelas seorang guru menyuruh muridnya yang mempunyai sepeda untuk mengangkat tangannya. Maka dengan seketika kelas itu terbagi menjadi dua kelompok (himpunan) dengan tegas, yaitu kelompok murid yang mengangkat tangannya (yaitu mereka yang memiliki sepeda) dan kelompok murid yang tidak mengangkat tangannya (yaitu mereka yang tidak mempunyai sepeda). Tetapi jika guru tersebut menyuruh para muridnya yang pandai untuk mengangkat tangannya, maka akan timbul keragu-raguan apakah mereka termasuk kelompok yang pandai atau tidak. Batas antara “punya sepeda” dengan “tidak punya sepeda” adalah jelas dan tegas, tetapi tidak demikian halnya antara “pandai” dan “tidak pandai”. Dengan perkataan lain himpunan para murid yang pandai dan tidak pandai seakan-akan dibatasi secara tidak tegas atau kabur. Masih banyak contoh kata lainnya dalam kehidupan sehari-hari yang mengandung keidaktegasan semacam itu, seperti misalnya: cantik, muda, tinggi, kotor, dingin, cepat dan sebagainya. Maka diperlukan suatu bahasa keilmuan baru yang mampu menangkap ketidaktegasan/kekaburan istilah bahasa sehari-hari yang memadai (Frans Susilo, SJ, 2006).
Bahasa semacam itulah yang diciptakan oleh Lotfi Asker Zadeh, seorang guru besar dari Universitas California, Amerika Serikat pada awal tahun 1965. Beliau memodifikasi teori himpunan yang lazim digunakan menjadi teori antara lain algoritma kontrol, diagnosa medis, sistem pendukung keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu pengetahuan (Setiadji, 2009).
Logika fuzzy adalah suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang
input ke dalam suatu ruang output. Pada saat ini logika fuzzy sudah banyak
diterapkan di berbagai bidang baik di dunia industri maupun penelitian.Contohnya manajer pergudangan mengatakan kepada manajer produksi seberapa banyak persediaan barang pada akhir minggu ini, kemudian menajer produksi akan menetapkan jumlah barang yang harus diproduksi esok hari. Dengan menggunakan teori himpunan fuzzy logika bahasa dapat diwakili oleh sebuah daerah yang mempunyai jangkauan tertentu yang menunjukkan derajat keanggotaannya (Sri Kusumadewi, 2002).
2.1.2 Variabel Fuzzy
Variabel dalam himpunan fuzzy dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu variabel lingustik dan variabel numerik (Sri Kusumadewi, 2002). Untuk dapat membedakannya dapat dilihat contohnya pada kurva berikut :
µ[x] MUDA SETENGAH BAYA TUA
25
35
45
55
65 umur
Gambar 2.1 Kurva himpunan fuzzy : kelompok umur (Sri Kusumadewi, 2002)Himpunan fuzzy yang dibuat terlihat tumpang tindih dan tiap-tiap himpunan fuzzy dapat disebut sebagai nilai linguistik yang bersesuaian dalam group yang berbeda, yang dalam hal ini adalah MUDA, SETENGAH BAYA, dan TUA. Sedangkan untuk angka yang merupakan umur dalam tahun, disebut sebagai nilai numerik.
2.1.3 Fungsi Keanggotaan
Ide mengenai “derajat keanggotaan” dalam suatu himpunan diperkenalkan oleh Profesor Zadeh pada tahun 1965 dalam karangan ilmiahnya “Fuzzy Sets”. Dalam karangan tersebut, Zadeh mendefinisikan himpunan kabur dengan menggunakan apa yang disebut fungsi keanggotaan (membership function), yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1] (Frans Susilo, SJ, 2006).
Fungsi keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik input data ke dalam nilai anggotanya yang memiliki interval antara 0 sampai 1 (Sri Kusumadewi, 2002). Misalkan kita akan membuat himpunan tinggi badan orang. Kata tinggi menunjukkan derajat seberapa besar orang dikatakan tinggi. Andaikan seseorang dikatakan tinggi jika memiliki tinggi badan di atas 165 cm, maka otomatis orang yang memiliki tinggi badan dibawah 165 cm dikatakan tidak tinggi. Kondisi digambarkan dalam kurva berikut ini :
1 tinggi keanggotaan
( tidak
) tinggi
Gambar 2.2 Kurva Fungsi Keanggotaan secara tegas
(Sri Kusumadewi, 2002)
Secara tegas dapat dikatakan bahwa orang yang memiliki tinggi badan di atas 165 cm dikatakan tinggi dengan nilai keanggotaan=1. Sebaliknya apabila seseorang memiliki tinggi beda atau kurang dari atau sama dengan 165 cm, maka secara tegas dikatakan tidak tinggi dengan fungsi keanggotaan = 0. Hal ini menjadi tidak adil, Karena untuk orang yang memiliki tinggi badan 165,1 cm dikatakan tinggi, sedangkan orang yang memiliki tinggi badan 165 cm dikatakan tidak tinggi. Dengan mnggunakan himpunan fuzzy, dapat dibuat suatu fungsi keangotaannya. Orang yang memiliki tinggi 160 cm sudah mendekati tinggi, artinya dia dikatakan tinggi dengan
=0,75. Sedangkan orang yang memiliki tinggi 130 cm misalnya, dia memang kurang tinggi, artinya dia dikatakan tinggi dengan =0,25. Kondisi tersebut dapat dilihat dalam kurva berikut :
1 tinggi mendekati tinggi derajat
( =0,75) keanggotaan
) tinggi (
=0,25) tidak tinggi
Gambar 2.3 Kurva Fungsi Keanggotaan dengan menggunakan konsep fuzzy (Sri Kusumadewi, 2002)Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy adalah rentang nilai-nilai. Masing- masing nilai mempunyai derajat keanggotaan antara 0 sampai dengan 1. Derajat kenggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang tertutup [0,1]. Dengan kata lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur
̃ dalam semesta X adalah pemetaan dari X ke selang [0,1] yaitu
∶ → [0,1]. Nilai fungsi
� �
�
( ) menyatakan derajat keanggotaan unsur x ∈ X dalam himpunan kabur ̃.
Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan angota himpunan kabur tersebut (Frans Susilo, SJ, 2006).
2.1.4 Representasi Kurva Linear Pada representasi linear, permukaan digambarkan sebagai suatu garis lurus.
Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas (Luh Made Yulyantar, 2011). Ada dua kemungkinan
fuzzy yang linear yaitu : a.
Representasi Kurva Linear Naik Yaitu kenaikan himpunan dimulai dari nilai domain yang memiliki nilai keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih tinggi.
Fungsi keanggotaan : x
≤ a x − a a
(x) = µ ≤ x ≤ b
A� b − a
x ≥ b
1
(2.1) Grafiknya adalah seperti berikut :
Gambar 2.4 Representasi Kurva Linear Naik (Sri Kusumadewi, 2002)b.
Representasi Kurva Linear Turun Yaitu garis lurus yang dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak turun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah. Fungsi keanggotaan :
1 x ≤ a
b − x a (x) =
µ ≤ x ≤ b
A� b − a
x ≥ b
(2.2) Grafiknya adalah :
Gambar 2.5 Representasi Kurva Linear Turun (Sri Kusumadewi, 2002)2.1.5 Representasi Kurva Segitiga
Adalah gabungan antara dua representasi linear (representasi linear naik dan representasi linear turun). Fungsi keanggotaan segitiga ditandai dengan tiga parameter {a,b,c}, yang akan menentukan koordinat x dari tiga sudut. Fungsi keanggotaan :
x−a
a ≤ x ≤ b
b−a c−x
(x) = b µ � ≤ x ≤ c
A� c−b
x ≤ a atau x ≥ c
(2.3) Grafiknya adalah :
Gambar 2.6 Representasi Kurva Segitiga (Sri Widodo, 2005)2.1.6 Operator Himpunan Fuzzy
Ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Nilai keanggotaan sebagai hasil dari operasi 2 himpunan sering dikenal dengan nama fire strength atau
α–predikat. Ada 3
operator dasar yang diciptakan oleh Zadeh (Luh Made Yulyantar, 2011), yaitu: 1.
Operator AND Operator ini berhubungan dengan operasi interseksi pada himpunan. α– predikat sebagai hasil operasi dengan operator AND diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terkecil antar elemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan. Operator AND dilambangkan dan didefenisikan sebagai berikut :
µ ∩B = min(µ (X), µ (X))
A A B 2.
Operator OR Operator ini berhubungan dengan operasi union pada himpunan. α– predikat sebagai hasil operasi dengan operator OR diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terbesar antar elemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan. Operator OR dilambangkan dan didefenisikan sebagai berikut :
µ = max(µ (X), µ (Y))
AUB A B
3. Operator NOT
Opera tor ini berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan. α– predikat sebagai hasil operasi dengan operator NOT yang diperoleh dengan mengurangkan nilai keanggotaan elemen pada himpunan yang bersangkutan dari
1.
µ = 1-µ (X)
A’ A
2.1.7 Proposisi Fuzzy
Proposisi fuzzy adalah kalimat yang memuat predikat fuzzy, yaitu predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan fuzzy. Proposisi fuzzy yang mempunyai kebenaran tertentu disebut pernyataan fuzzy. Nilai kebenaran suatu pernyataan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu bilangan riil dalam rentang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran pernyataan fuzzy. Bentuk umum suatu proposisi fuzzy adalah:
X adalah A dengan X adalah suatu variabel linguistik dan A adalah predikat yang menggambarkan keadaan X. Bila à adalah himpunan fuzzy yang dikaitkan dengan nilai linguistik A, dan x adalah suatu elemen tertentu dalam semesta X darihimpunan fuzzy Ã, maka x memiliki derajat k (x ) dalam eanggotaan μ à himpunan fuzzy Ã. Derajat kebenaran pernyataan fuzzy “x adalah A” didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan x dalam himpunan fuzzy à (x ) (Frans
, yaitu μ Ã Susilo, 2009).
2.1.8 Implikasi Fuzzy
Jika 2 daerah fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana sebagai berikut: JIKA X adalah A MAKA Y adalah B transfer fungsi: y = f((X,A),B)
Maka sistem fuzzy dapat berjalan tanpa harus melalui komposisi dan dekomposisi
fuzzy . Nilai output dapat diestimasi secara langsung dari nilai keanggotaan yang
berhubungan dengan antesedennya (Sri Kusumadewi, 2002). Ada dua fungsi implikasi yang dapat digunakan, yaitu :
1. Min (minimum), fungsi ini akan memtong output himpunan fuzzy.
2. Dot (product), fungsi ini akan menskala output himpunan fuzzy.
2.1.9 Metode Penegasan (Defuzzifikasi)
Defuzzifikasi atau penegasan merupakan metode untuk memetakan nilai dari himpunan samar ke dalam nilai crisp. Input dari proses defuzifikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan
output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy dalam range tertentu. Masukan proses defuzzifikasi adalah himpunan samar.
Terdapat beberapa metode defuzzifikasi (Kusumadewi, 2002) antara lain : 1.
Metode Centroid (Composite Moment) Pada metode ini, penyelesaian crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat (z*) daerah samar.
Secara umum untuk semesta kontinu dirumuskan dalam persamaan :
z µ ( z ) dz ∫ z
∗
z = (untuk variabel kontinu) (2.4) µ ( z ) dz
∫ z n
µ
z ( z ) j j ∑ j = 1
∗
z = (untuk variabel diskrit) n (2.5)
µ ( z ) j
∑ j 1 =
2. Metode Bisector Pada metode ini, penyelesaian crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain samar yang memiliki nilai keanggotaan separo dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah samar.
3. Metode Mean of Maximum (MOM) Pada metode ini, penyelesaian crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata- rata domain samar yang memiliki nilai maksimum.
4. Metode Largest of Maximum (LOM) Pada metode ini, penyelesaian crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terbesar pada domain samar yang memiliki nilai maksimum.
5. Metode Smallest of Maximum (SOM) terkecil pada domain samar yang memiliki nilai maksimum.
2.1.10 Sistem Inferensi Fuzzy
Inferensi adalah proses penggabungan banyak aturan berdasarkan data yang tersedia. Terdapat beberapa model Sistem Inferensi Samar (Setiadji, 2009), antara lain : 1.
Model Fuzzy Mamdani 2. Model Fuzzy Sugeno (TSK) 3. Model Fuzzy Tsukamoto
Perbedaan antara ketiga sistem inferensi samar terdapat pada konsekuen dari aturan samar, agregasi dan prosedur defuzzifikasi.
2.1.11 Sistem Inferensi Fuzzy Mamdani
Metode Mamdani sering dikenal dengan nama Metode Min-Max. Metode ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1975 (Setiadji, 2009). Untuk metode ini, pada setiap aturan yang berbentuk implikasi (sebab-akibat) anteseden yang berbentuk konjungsi (AND) mempunyai nilai keanggotaan berbentuk minimum (min), sedangkan konsekuen gabungannya bersifat independen. Untuk mendapatkan output, diperlukan 4 tahapan (Luh Made Yulyantari, 2011), yaitu :
1. Pembentukan himpunan fuzzy.
Pada Metode Mamdani, baik variabel input maupun variabel output dibagi menjadi satu atau lebih himpunan fuzzy.
2. Aplikasi fungsi implikasi.
Pada Metode Mamdani, fungsi implikasi yang digunakan adalah Min. Secara umum, bentuk model metode fuzzy-Mamdani adalah :
JIKA a
1
adalah A
1 DAN … DAN a n
adalah A
n
MAKA b is B
1 n 1 n
skalar. Proposisi yang mengikuti JIKA disebut sebagai antecedent (yang mendahului), sedangkan proposisi yang mengikuti MAKA disebut sebagai konsekuen.
3 Komposisi Aturan.
Metode Max (Maximum) Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimum aturan, kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy, dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksikan konstribusi dari tiap-tiap proposisi. Secara umum dapat dituliskan:
] = min(1, µ
] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i
b. Metode Additive Pada metode ini,solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan penjumlahan terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:
µ
sf
[X
i
sf
[X
[X
i
]+ µ
kf
[X
i
]) (2.7)
i
kf
µ
i
sf
[X
i
] = max(µ
sf
[X
], µ
] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i µ
kf
Apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan kolerasi antar aturan. Ada 3 metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem Ada 3 metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy yaitu: a.
i
]) (2.6) dengan: µ
sf
[X
i
[X dengan: µ sf [X i ] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i µ [X ] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i
kf i
c. Metode Probabilistik OR (probor) Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:
product
µ [X ] = ( µ [X ]+ µ [X ]) - (µ [X ] * µ [X ])
sf i sf i kf i sf i kf i
dengan: µ [X ] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i
sf i
µ [X ] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i
kf i
4. Penegasan (defuzzifikasi) Pada metode mamdani ini akan digunakan metode Centroid (Composite Moment ) seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
2.2 Analisis Regresi Linear Berganda
2.2.1 Pengertian Regresi
Regresi pertama kali dipergunakan sebagai konsep statistika oleh Sir Francis Galton (1822 – 1911). Beliau memperkenalkan model peramalan, penaksiran, atau pendugaan, yang selanjutnya dinamakan regresi, sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi badan manusia. Galton melakukan suatu penelitian di mana penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya. Galton menunjukkan bahwa tinggi badan anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai tengah populasi. Dengan kata lain, anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat tinggi cenderung lebih pendek dari pada ayahnya, sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya, jadi seolah-seolah semua anak laki-laki yang tinggi dan anak laki-laki yang pendek bergerak menuju kerata-rata tinggi dari seluruh anak laki-laki yang menurut istilah
Galton disebut dengan “regression to mediocrity”. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa pada umumnya tinggi anak mengikuti tinggi orangtuanya (Sudjana, 1996).
Istilah “ regresi” pada mulanya bertujuan nutuk membuat perkiraan nilai satu variabel (tinggi badan anak) terhadap satu variabel yang lain (tinggi badan orang tua). Pada perkembangan selanjutnya analisis regresi dapat digunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut (Algafari, 2000).
Jadi prinsip dasar yang harus dipenuhi dalam membangun suatu persamaan regresi adalah bahwa antara suatu variabel tidak bebas (dependent
variable ) dengan variabel-variabel bebas (independent variable) lainnya memiliki
sifat hubungan sebab akibat (hubungan kausalitas), baik didasarkan pada teori, hasil penelitian sebelumnya, maupun yang didasarkan pada penjelasan logis tertentu (Algafari, 2000).
2.2.2 Analisis Regresi Linear
Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Untuk mengetahui pola perubahan nilai suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan untuk membuat perkiraan (prediction) nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya (Algafari, 2000).
Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel adalah analisis regresi. Analisis regresi (regression analisis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan garis lurus dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (Algafari, 2000). Analisis regresi merupakan teknik yang digunakan dalam persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Analisis regresi linier atau regresi garis lurus digunakan untuk: 1.
Menentukan hubungan fungsional antar variabel dependen dengan independen. Hubungan fungsional ini dapat disebut sebagai persamaan garis regresi yang berbentuk linier.
2. Meramalkan atau menduga nilai dari satu variabel dalam hubungannya regresinya.
Analisis regresi tediri dari dua bentuk yaitu : 1.
Analisis Regresi Linear Sederhana 2. Analisis Regresi Linear Berganda
Analisis regresi sederhana adalah bentuk regresi dengan model yang bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel, yakni variabel (terikat) dan variabel independent (bebas). Sedangkan analisis regresi
dependent
berganda adalah bentuk regresi dengan model yang memiliki hubungan antara satu variabel dependent dengan dua atau lebih variabel independent (Sudjana, 1996).
Variabel independent adalah variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lainnya, sedangkan variabel dependent adalah variabel yang nilainya tergantung dari variabel yang lainnya (Algafari, 2000).
Analisis regresi linear dipergunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan baik, atau untuk mengetahui bagaimana variasi dari beberapa variabel independen mempengaruhi variabel dependen dalam suatu fenomena yang komplek. Jika X , X , ..., X adalah variabel-variabel
k
1
2 independent dan Y adalah variabel dependent, maka terdapat hubungan fungsional antara X dan Y, dimana variasi dari X akan diiringi pula oleh variasi dari Y.
(Sujana, 1996). Jika dibuat secara matematis hubungan itu dapat dijabarkan sebagai berikut: Dimana : Y = f (X , X , ..., X , e) (2.9)
1 2 k
Y adalah variabel dependen (tak bebas) X adalah variabel independen (bebas) e adalah variabel residu (disturbace term)
2.2.3 Analisis Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana digunakan untuk memperkirakan hubungan antara dua variabel di mana hanya terdapat satu variabel/peubah bebas X dan satu peubah tak bebas Y (Drapper & Smith, 1992). Dalam bentuk persamaan, model regresi sederhana adalah :
Y = + + X (2.10)
i 1 i i
β β ε dimana : Y = variabel terikat/tak bebas (dependent)
i
X = variabel bebas (independent)
i
= jarak titik pangkal dengan titik potong garis regresi pada sumbu Y (intercept) = kemiringan (slope) garis regresi
1
= kesalahan (error)
i
Parameter dan diduga dengan menggunakan garis regresi. Bentuk
1
persamaan garis regresi adalah sebagai berikut : �
i 1 i i
Y = b + b X + e (2.11)
Y � merupakan penduga titik bagi Y dimana : i
merupakan penduga titik bagi
b
merupakan penduga titik bagi
b
1
1 Pendugaan dilakukan dengan mengambil contoh acak berukuran n dari
suatu populasi. Hasil pengamatan berupa pasangan X dan Y sebagai berikut : (X ,Y ), (X Y ), …, (X ,Y )
1 1 2, 2 k k
Jika data berpasangan tersebut digambarkan pada sumbu koordinat siku-siku, maka diperoleh gambar sebagai berikut :
- e
- b
i
Y
ı
� b
X Gambar 2.8 Diagram Pencar, Garis Regresi dan Sisa
(Supranto, 2008)
Pada umumnya Y
tidak sama dengan Y �
e
i
,. Perbedaan antara dan dinyatakan dengan yang disebut dengan sisa (residual). Dalam hal ini: e
i
= Y
i
i
i
1 X i
(2.13)
i
Y Y �
i = b +b
1 X i
X Gambar 2.7 Diagram Pencar
(Supranto, 2008)
Dengan demikian diperoleh persamaan regresi linear sederhana sebagai berikut : Y
= b + b
� = b
1
X ii
(2.12) Y Y
i
Y
ı
- Y �
b
1
squares method ) (Drapper & Smith). Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara
untuk memperoleh dan b sebagai perkiraan , dengan meminimumkan
b
1 dan
1
β β
jumlah kuadrat sisa sebagai berikut: n n
2
2 S = = �)
� e �(Y − Y
i ı i=1 i=1 n
2
= -b -b X ) (2.14)
i 1 i
� (Y
i=1
Agar diperoleh nilai paling minimum maka dilakukan pendiferensialan terhadap b kemudian disamakan dengan nol, sebagai berikut :
n
∂S = 2 X )( = 0
�(Y − b − b −1)
i 1 i
∂b
i=1 n
X ) = 0 −2 �(Y − b − b
i 1 i i=1 n n
= 0 � Y − nb − b � X
i 1 i i=1 i=1 n n
= nb + b (2.15) � Y � X
i 1 i i=1 i=1
demikian juga halnya dengan b , maka :
1 n
∂S = 2 X )( ) = 0
�(Y − b − b −X
i 1 i i
∂b
1 i=1 n
X ) = 0 −2X �(Y − b − b
i i 1 i i=1 n n n
2 Y = 0
� X − b � X − b � X
i i i
1 i i=1 i=1 i−1 n n n
2 Y = b + b (2.16)
� X � X � X
i i i 1 i i=1 i=1 i−1 Apabila bentuk persamaan (2.15) dan (2.16) disederhanakan maka nilai koefisien b dan b
1 dapat diperoleh dengan rumus berikut yaitu : n n 2 n n
( )( ) )( ) Y
∑ Y ∑ X ∑ X − (∑ X
i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i i
b = (2.17)
n 2 n
2
n ) ∑ X − (∑ X
i i=1 i i=1
) )( ) (∑ − (∑ ∑
=1 =1 =1
= (2.18)
1
2
2
) ) (∑ − (∑
=1 =1
Untuk menentukan hubungan pengaruh perubahan variabel yang satu terhadap variabel yang lainnya, maka dibutuhkan peranan garis regresi. Selanjutnya, dari hubungan dua variabel ini dapat dikembangkan untuk permasalahan regresi berganda.
2.2.4 Analisis Regresi Linier Berganda
Untuk memperkirakan nilai variabel tak bebas Y, akan lebih baik apabila kita ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y. dengan demikian dimiliki hubungan antara satu variabel tidak bebas Y dengan beberapa variabel lain yang bebas X , X , X , ..., X . Untuk itulah digunakan
n
1
2
3
regresi linear berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi sederhana, simbol yang digunakan untuk variabel bebasnya adalah X. Dalam regresi berganda, persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas maka perlu menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut, dalam hal ini X , X ,
1
2 ..., X n (Sudjana, 1996).
Secara umum persamaan regresi berganda dapat ditulis sebagai berikut : Y =
X + + X + . . . + X (2.19)
i 1 1i 2 2i n ni i
- ε β β β β
(Untuk populasi) Y = b + b X + b X + . . . + b X (2.20)
i 1 1i 2 2i n ni + ε i
(Untuk sampel) dimana : i = 1, 2, . . , n b , b , b ,... , b = pendugaan atas , , ,... , .
n dan ε i
1 2 n dan ε
1 2 β β β β i Dalam penelitian ini, digunakan empat variabel yang terdiri dari satu variabel bebas Y dan tiga variabel X yaitu X , X dan X . Maka persamaan
3
1
2
regresi bergandanya adalah : Y = b + b X + b X + b X + e (2.21)
i 1 1i 2 2i 3 3i i
Sebagaimana halnya persamaan regresi linear sederhana yang sebelumnya, dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, dapat ditentukan nilai b , b
1 , b 2 , ...,
b dengan terlebih dahulu meminimumkan kuadrat sisanya, maka:
n n n
2
2 S = = �)
� e �(Y − Y
i ı i=1 i=1 n
2
=
X X
X X ) (2.22) �(Y − b − b − b − b − ⋯ − b
i 1 1i 2 2i 3 3i n ni i=1
Untuk penelitian ini yang menggunakan tiga variabel bebas X1, X2 dan X3 maka menentukan nilai b0, b1, b2 dab b3 yaitu:
n n
2
2 S = = �)
� e �(Y − Y
i ı i=1 i=1 n
2
=
X X X ) (2.23) �(Y − b − b − b − b
i 1 1i 2 2i 3 3i i=1
Agar diperoleh nilai paling minimum maka dilakukan pendiferensialan terhadap b , b , b dan b , masing-masing kemudian disamakan dengan nol,
1
2
3
sebagai berikut : untuk b :
n
∂S =
X X X ) = 0 −2 �(Y − b − b − b − b
i 1 1i 2 2i 3 3i
∂b
i=1 n n n n
= 0 � Y − nb − b � X − b � X − b � X
i 1 1i 2 2i 3 3i i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n
= nb + b b + b (2.24) � Y � X � X � X
- i
1 i 2 2i 3 i i=1 i=1 i=1 i=1 untuk b :
1 n
∂S = 2
X X X )( ) = 0 �(Y − b − b − b − b −X
i 1 1i 2 2i 3 3i 1i
∂b
1 i=1 n
X X X ) = 0 −2X �(Y − b − b − b − b
1i i 1 1i
2 2i
3 3i i=1 n n n n n2 Y
X = 0 � X − b � X − b � X − b � X − b � X
1i i 1i
1 2 1i 2i 3 3i 1i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b + b
X + b X (2.25) � X � X
� X � X � X
1i i 1i
1 2 1i 2i 3 1i 3i 1i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1
untuk b
2 : n
∂S )
= 2
X X X )( = 0 �(Y − b − b − b − b −X
i 1 1i 2 2i 3 3i 2i
∂b
1 i=1 n
X X X ) = 0 −2X �(Y − b − b − b − b
2i i 1 1i
2 2i
3 3i i=1 n n n n n2 Y
X X = 0 � X − b � X − b � X − b � X − b � X
2i i 2i 1 1i 2i 2 2i 3 2i 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b
X + b + b X (2.26) � X � X � X � X � X
2i i 2i 1 1i 2i 2 2i 3 2i 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1
Untuk b :
3 n
∂S )
= 2
X X X )( = 0 �(Y − b − b − b − b −X
i 1 1i 2 2i 3 3i 3i
∂b
3 i=1 n
X X X ) = 0 −2X �(Y − b − b − b − b
3i i 1 1i
2 2i
3 3i i=1 n n n n n2 Y
X X = 0 � X − b � X − b � X − b � X − b � X
3i i 3i 1 1i 3i 2 2i 3i 3 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b
X + b X + b (2.27) � X � X � X � X � X
3i i 3i 1 1i 3i 2 2i 3i 3 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 Dengan demikian diperolehlah empat buah persamaan untuk menentukan nilai b
0,
b
1 , b 2 dan b 3 yaitu: n n n n
= nb + b + b + b � Y � X � X � X
i 1 1i 2 2i 3 i i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b + b
X + b
X � X � X � X � X � X
1i i 1i 1 1i 2 1i 2i 3 1i 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b
X + b + b
X � X � X � X � X � X
2i i 2i 1 1i 2i 2 2i 3 2i 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1 n n n n n
2 Y = b + b
X + b X + b (2.28) � X � X � X � X � X
3i i 3i 1 1i 3i 2 2i 3i 3 3i i=1 i=1 i−1 i=1 i=1
2.3 Kesalahan Relatif
Kesalahan (error) didefenisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai hasil pengukuran, atau : Kesalahan = |nilai sebenarnya
− nilai pengukuran| Secara simbolik dinyatakan dengan :
t
| e = |x (2.29)
− x
s a
dengan : e merupakan kesalahan pengukuran
t
x nilai sebenarnya (true value)
s
x nilai pengukuran atau nilai pendekatan (aproksimasi)
a
Kesalahan relatif (relatif error) adalah ukuran kesalahan dalam kaitannya dengan pengukuran. Kesalahan relatif didefenisikan sebagai kesalahan yang dibagi dengan nilai sebenarnya atau secara simbolik dinyatakan dengan : x e
− x
s a t
e = � � = � � (2.30)
r
x x
s s
Dengan : e r = kesalahan relatif e = kesalahan pengukuran
t
x = nilai sebenarnya
s Kesalahan relatif juga dapat dilihat besar persentasenya dengan mengalikan dengan 100% (matematikanet.blogspot.com/2009/01/kesalahan.html?m=1).
Untuk melihat rata-rata kesalahan relatif yang terjadi pada suatu data, maka dapat diperoleh dengan membagikan kesalahan relatif yang didapatkan dengan jumlah data yang ada. Secara simbolik dinyatakan dengan :
jumlah kesalahan relatif e r
Rata = (2.31)
− rata kesalahan relatif =
jumlah data n
2.4 Variabel
Variabel adalah konsep yang mempunyai bermacam-macam nilai. Dengan demikian, variabel adalah objek yang berbentuk apa saja yang ditentukan dengan tujuan untuk memperoleh informasi agar bisa ditarik suatu kesimpulan. Secara teori, defenisi variabel penelitian adalah merupakan suatu objek, atau sifat atau atribut atau nilai dari orang, atau kegiatan yang mempunyai bermacam-macam variasi antara satu dengan lainnya yang ditetapkan dengan tujuan untuk dipelajari dan ditarik kesimpula
Dalam penelitian ini data tentang variabel-variabel yang digunakan diperoleh dari PT. Perkebunan Nusantara III, Medan. Pertimbangan pemilihan perusahaan adalah karena perusahaan ini telah lama memproduksi kelapa sawit hingga saat ini. Sebagai sebuah perusahaan perkebunan PT. Perkebunan III selalu berusaha untuk meningkatkan produksi kelapa sawit dengan memperhatikan faktor-faktor yang dapat mempengaruhi pertambahannya. Adapun variabel yang digunakan antara lain : 1.
Pemupukan.
Pemupukan merupakan suatu kegiatan yang memberikan beberapa unsur hara kepada tanaman yang membutuhkannya didasarkan pada ukuran tanaman, pertumbuhan tanaman dan kesediaan unsur hara dalam tanah. Pemupukan merupakan salah satu faktor yang menentukan dari seluruh kegiatan pemeliharaan tanaman untuk mendapatkan pertumbuhan tanaman yang optimal, pada akhirnya memberikan produktivitas yang sesuai pada potensinya. Pemupukan pada dasarnya ditujukan untuk meningkatkan produksi, karena pupuk dianggap vitamin bagi tanah sehingga akan mempengaruhi hasil yang diperoleh. Penggunaan pupuk secara tepat dan teratur akan dapat mempertinggi hasil produksi baik secara kualitas maupun kuantitasnya. Adapun pupuk yang digunakan untuk pertumbuhan kelapa sawit (KIeserit, Dolomite) (Dinas Perkebunan Sumatera Utara, 2011).
2. Tenaga Kerja.
Faktor tenaga kerja memiliki peranan yang sangat penting sebagai pelaksana kegiatan produksi. Peranannya sangat ditentukan terutama oleh kualitas (mutu) disamping kuantitas (jumlah) yang tersedia. Dalam hal ini, yang
yang langsung berfungsi dan ikut serta
dikatakan tenaga kerja yaitu mereka
langsung dalam proses produksi kelapa sawit atau yang biasa disebut karyawan
kebun.3. Curah Hujan.
Tanaman kelapa sawit dapat tumbuh dengan baik pada suhu udara 27 C dengan suhu maksimum 33 C dan suhu minimum 22 C sepanjang tahun. Curah hujan rata-rata tahunan yang memungkinkan untuk pertumbuhan kelapa sawit adalah 1250-3000 mm yang merata sepanjang tahun, dan curah hujan optimal berkisar antara 1750-2500 mm. Kelapa sawit lebih toleran dengan curah hujan yang tinggi (misalnya>3000) dibandingkan dengan jenis tanaman lainnya, namun dalam kriteria klasifikasi kesesuaian lahan, nilai tersebut sudah menjadi faktor pembatas ringan. Curah hujan <1250 mm sudah merupakan faktor pembatas berat bagi pertumbuhan kelapa sawit.
4. Hasil produksi Produksi merupakan hasil akhir dari proses atau aktivitas ekonomi dengan memanfaatkan beberapa masukan atau input. Dengan pengertian ini dapat dipahami bahwa kegiatan produksi adalah mengkombinasi berbagai input atau masukan untuk menghasilkan output. Usaha meningkatkan produksi merupakan suatu pendekatan yang positif bagi peningkatan keuntungan serta pertumbuhan perusahaan. Dalam penelitian ini akan dilihat tentang produksi kelapa sawit. Standar beberapa faktor yang dinilai merupakan syarat tumbuh tanaman kelapa sawit adalah faktor alam dan faktor manusia. Faktor alam misalnya adalah kondisi iklim, bentuk wilayah dan kondisi tanah. Sedangkan unfuk faktor manusia adalah luas areal lahan, jumlah pemupukan, serta jumlah tenaga kerja.