BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Transpose, Invers dan Determinan Matriks Definisi 2.1.1 Apabila terdapat suatu matriks - Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Transpose, Invers dan Determinan Matriks

m n

Definisi 2.1.1 Apabila terdapat suatu matriks A  [ a ] berordo  , maka

_T _ij

A n m

transpose dari matriks adalah A berordo  yang dihasilkan dengan _T

mempertukarkan baris dan kolom matriks ; yaitu, kolom pertama dari A adalah _T

baris pertama dari A, kolom kedua dari A adalah baris kedua dari , dan seterusnya.

Beberapa sifat matriks transpose: _{T T T} (i). ( A  ) B  A  B _{T T}

(ii). ( A )  A _{T T} (iii). k ( A )  ( kA ) , k suatu skalar. _{T T T} (iv). ( AB )  B A

A A

Definisi 2.1.2

Suatu matriks disebut simetris apabila transpose matriks _T

A A sama dengan matriks atau matriks simetris bila A  A .

Contoh 2.1 1 

4 1 

4     _T     A  

7 dan A  

7     

6  

4 6      _T A disebut matriks simetris, A  A .

Definisi 2.1.3 Misalkan adalah matriks bujursangkar, jika terdapat matriks B

AB  BA 

I A

yang ukurannya sama sedemikian hingga , maka disebut

 ¹ A invertibel (dapat dibalik) dan B disebut sebagai invers dari , ditulis A .

Contoh 2.2 Misal

2 

5    

A  dan B 

    

2     maka



1      

AB   

      

1      



1      

BA   

     

1 2 

1      

Definisi 2.1.4 Jika adalah matriks bujursangkar, maka minor dari entri a

_ij

dinyatakan sebagai M dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks _ij

A .

yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari Nilai _{i j}

 M

(  ) 1 dinyatakan sebagai C dan disebut sebagai kofaktor dari entri a . _{ij ij} _ij

A Determinan dapat dinotasikan  a C  a C  ...  a C . ₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁₂ ₁ _{n n} ₁ Contoh 2.3 Misalkan 3 1 

4    

A 

6   

8    A

Determinan dari matriks adalah

5 A = a C  a C  a C  ₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁₂ ₁₃ ₁₃ 3  1  (  4 )

       3 ( 16 ) 1 ( 10 ) 4 ( 3 )

2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen

Definisi 2.2.1 Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika semua bentuk

konstantanya adalah 0; yaitu, sistem ini memiliki bentuk

a x  a x  ...  a x  ₁₁ ₁ ₁₂ ₂ ₁ _{n n}

a x  a x  ...  a x 

₂₁ ₁ ₂₂ ₂ _{2 n n}

   

a x  a x  ...  a x 

_{m m mn n} ₁ ₁ ₂ ₂ Setiap sistem persamaan linier homogen adalah konsisten karena semua sistem x x

memiliki solusi  ,  , ... , x  . Solusi ini disebut solusi trivial; jika ₁ ₂ _n terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial.

Contoh 2.4 Suatu sistem persamaan linier sebagai berikut

2 x  ₁ 2 x x x = 0 _{2 −} ₃ ₅

x x

2x 3x + + x = 0  − ₁ ₂ _{3 −} ₄ ₅ ₁ + x x 2x x = 0 _{2 −} _{3 −} ₅ ₃ ₄ + + x x x = 0 ₅ Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah



2 2 

 

 



 1 

1 2 

 

 

1 1  2  1 

 



 

Dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris, kita memperoleh

1 1 

 

 

1 1 

 

 1  

 



 

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah ₁ ₂ + + x x x = 0 ₅ ₃ + x x = 0 ₅

x ₄ = 0

Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama diperoleh

x   x  x

₁ ₂ ₅ x   x ₃ ₅

x  ₄ Jadi, solusi umumnya adalah x   s  t x  s x  ₁ , , x   t , , x  t ₂ ₃ ₄ ₅ s Perhatikan bahwa solusi trivial diperoleh bila  t  .

2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam

V Definisi 2.3.1 Hasil kali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor real

adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u,v> dengan

sepasang vektor u dan v di dalam sedemikan hingga aksioma-aksioma berikut

ini terpenuhi bagi semua vektor u, v dan w di dalam dan semua bilangan skalar k .

(i).

(Aksioma kesimetrian) < u, v > = < v, u > (ii).

(Aksioma penjumlahan) = < u, w > + < v, w > (iii).

(Aksioma homogenitas) < ku, v > = k< u, v > (iv).

(Aksioma positivitas) < v, v > ≥ 0

 v  . dan < v, v > = 0 jika dan hanya jika

Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real (real inner product space).

V Definisi 2.3.2 Jika adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (norm)

atau panjang (length) sebuah vektor u di dalam dinotasikan dengan ||u|| dan didefinisikan sebagai

1/2

||u|| = < u, u > Jarak (distance) antara dua buah titik (vektor) u dan v dinotasikan dengan d(u, v) dan didefinisikan sebagai

(u, v) = || u - v || ₂ Contoh 2.5 Misalkan u = (u

1 , u 2 ) dan v = (v 1 , v 2 ) adalah vektor-vektor pada R .

Hasil kali dalam Euclidean berbobot <u, v> = 3u

1 v

1 + 2u 2 v

(i).

Aksioma kesimetrian;

v v u u

< u, v > = 3u

1 1 + 2u

2 = 3v

1 1 + 2v

2 2 = < v, u > yang membuktikan terpenuhinya aksioma pertama.

(ii).

Aksioma penjumlahan; Jika w = (w

1 , w 2 ), maka

= 3(u

1 + v

1 )w 1 + 2(u 2 + v 2 )w

= (3u

1 w 1 + 2u 2 w 2 ) + (3v 1 w 1 + 2v 2 w 2 )

= <u, w> + <v, w> yang membuktikan terpenuhinya aksioma kedua. (iii).

Aksioma homogenitas; Selanjutnya, _{2 v v} ₂

< ku, v > = 3(ku

1 )v 1 + 2(ku 2 )v = k(3u

1 1 + 2u

) = k< u, v > yang membuktikan terpenuhinya aksioma ketiga. (iv).

Aksioma positivitas; Akhirnya,

2 1 v 1 2 v

<v, v> = 3v + 2v = 3v + 2v

2 Jelaslah, <v, v> = 3v 1 + 2v

2 1 + 2v 2 = 0

≥ 0. Lebih jauh lagi, <v, v> = 3v jika dan hanya jika v

1 = v 2 . Dengan demikian, semua aksioma memenuhi syarat.

2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal

2.4.1 Basis Ortonormal

_n Definisi 2.4.1 k _{i j}

Himpunan S = {u

1 , u 2 , ..., u } pada R adalah himpunan ortogonal jika = 0, untuk setiap i  j . _n Definisi 2.4.2 Himpunan S = {u 1 , u 2 , ..., u k } pada R adalah ortonormal jika : (i).

S adalah ortogonal _{i i} (ii).

|| = 1, untuk setiap . Setiap vektor dalam S adalah vektor satuan, yaitu ||u

Contoh 2.6 Himpunan S = {u 1 , u

2 }, dengan u

1 = [0, 1, 0] dan u 2 = [1, 0, 1] adalah

ortogonal, karena : <u

1 , u 2 > = 0(1) + 1(0) + 0(1) = 0

Karena ||u

1 || = 1 dan ||u 2 || = 2 maka S bukan himpunan ortonormal.

Dengan menormalisasikan masing-masing vektor dari S , diperoleh :

1  1 1  v 1 = u 1 /|| u 1 || = 1[0, 1, 0] = [0, 1, 0], v 2 = u 2 /|| u 2 || = [1, 0, 1] = , ,

2  

1 , v 2 }adalah himpunan yang ortonormal, karena :

1 (i). 1 , u 2 >  .  1 .  . 

2 (ii). 1 || = 1 dan ||v 2 || = 1

||v

Teorema 2.4.1 n

Jika S = {v

1 , v 2 , ..., v } adalah suatu himpunan ortogonal vektor- vektor taknol pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier.

Bukti

. Asumsikan bahwa

k 1 v 1 + k 2 v 2 +...+ k n v n = 0

Akan ditunjukkan bahwa S = {v

1 , v 2 , ..., v n } adalah bebas linier, yakni dengan membuktikan k  k  ...  k  . _i ₁ ₂ _n

Untuk setiap v dalam S, berdasarkan asumsi diperoleh < k

1 v 1 + k 2 v 2 +...+ k n v n , v i > = < 0, v i

> = 0 atau secara ekuivalen _{i i n n i}

k 1 < v 1 ,v > + k 2 < v 2 ,v > +...+ k < v ,v > = 0 _{j i}

Dari ortogonalitas S kita memperoleh <v ,v > = 0 untuk j  i , sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

   k i < v i ,v i > k v , v _{i i i}

Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol <v i ,v i >

≠ 0 berdasarkan aksioma positivitas untuk hasil kali dalam. Dengan

demikian, k  . Karena indeks adalah sebarang, kita memperoleh _i k  k  ...  k  yang mengakibatkan S bebas linier. ₁ ₂ _n

_n n Teorema 2.4.2 Misalkan {v 1 , v 2 ,..., v } adalah basis ortonormal pada R dan _n

misal u sembarang vektor pada R maka memenuhi : _{n n}

u = <u,v 1 > v 1 + <u,v _{i .} 2 > v 2 +...+ <u,v > v

dengan <u,v

1 > adalah koefisien dari v _n Bukti. Misalkan S = {v 1 , v _n 2 ,..., v n } adalah basis ortonormal pada R dan misal u

sembarang vektor pada R , maka memenuhi :

u = k 1 v 1 + k

2 v

2 +...+ k n v n k , k ,..., k

dengan adalah skalar. Karena S adalah ortonormal maka ortogonal ₁ _{2 n} _{i j} sedemikian hingga <v , v > = 0 untuk i  j . Selebihnya, jika S adalah ortonormal, 

2 v i i i

maka setiap vektor pada S adalah vektor satuan, yaitu <v , v > = ||v || = 1. Misal _i

1  i  n memenuhi , maka : _{i i n n} <v , u> = <v , k

1 v 1 + k

2 v

2 +...+ k v >

= k

1 <v i , v 1 > + k 2 <v i , v 2 > +...+ k i <v i , v i > +...+ k n <v i , v n >  k .  k .  ...  k .

1  ...  k . k ₁ _{2 i n i}  

Jadi terbukti koefisien dari adalah _i

k  i i i

_{i i} <v , u> = v .u = u.v Contoh 2.7 Misalkan

4   

v  1 = [0, 1, 0], v

2 = , , , v

3 = , ,

5     ₃ Maka V = {v

1 , v 2 , v 3 } adalah basis ortonormal untuk R .

V Akan diperlihatkan bahwa u = [1, 1, 1] adalah kombinasi linier vektor-vektor .

Sesuai teorema 2.4.2 didapatkan :

<u,v

1 > = 1; <u,v 2 >   ; <u,v 3 > 

dan

u = <u,v 1 > v 1 + <u,v 2 > v 2 + <u,v 3 > v

4      

  , , , + [1, 1, 1] = 1 [0, 1, 0] + ,

   

5        

   

= [0, 1, 0] + + , ,  , , = [1, 1, 1]

   

Teorema 2.4.3

(Proses Gram-Schmidt) Setiap ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga memiliki sebuah basis ortonormal.

Bukti . Misalkan V adalah suatu ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga

sebarang dan misalkan {u

1 ,u 2 ,...,u } adalah basis sebarang untuk . Akan

ditunjukkan bahwa V memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektor-vektor di dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah

basis ortonormal untuk . Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah

basis ortogonal {v

1 ,v 2 ,...,v n } untuk .

Langkah 1. Misalkan

v 1 = u 1 / || u 1 ||

Langkah 2. Terdapat sebuah vektor v

2 yang ortogonal terhadap v 1 dengan

menghitung komponen v

1 yang direntang oleh v 1 . v 1 = (u

2 2 , v 1 >v 1 ) / || u

2 2 , v 1 >v 1 ||

– <u – <u Langkah 3. Selanjutnya

= (u – v – v ) / || u – v – v || dan seterusnya sampai v n . Setelah langkah ke-n akan diperoleh himpunan vektor- _n

vektor ortogonal {v

1 ,v 2 ,...,v }. Karena berdimensi n dan setiap himpunan _n

ortogonal bersifat bebas linier, maka himpunan {v

1 ,v 2 ,...,v } adalah sebuah basis ortogonal bagi V. ₃ Contoh 2.8 Diberikan R beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 1) u 3 = (0, 0, 1) menjadi basis yang ortonormal.

Vektor v

1 yang ortonormal

1 

1 1   

v 1 = u 1 / ||u 1 ||

1 , 1 , 1 , ,

 

3  

Vektor v

2 yang ortonormal v 1 = (u

2 2 , v 1 >v 1 ) / || u

2 2 , v 1 >v 1 ||

– <u – <u 2 

1 1  

1 1 

2 2 , v 1 >v 1  ,

1 , 1  , ,  , ,

– <u  

3     maka

1    

v 1 = (u

2 2 , v 1 >v 1 ) / || u

2 2 , v 1 >v 1 ||  , ,  , ,

– <u – <u

6    

Vektor v

3 yang ortonormal v 3 = (u 3 – v 1 – v 2 ) / || u 3 – v 1 – v 2 ||

1 1  1 

1 1  

u 3 – v 1 – v 2   , ,

1   , ,  , ,

6    



   , ,

 

maka

v 3 = (u

3 3 , v 1 >v

1 3 , v 2 >v 2 ) / || u

3 3 , v 1 >v

1 3 , v 2 >v 2 ||

– <u – <u – <u – <u

1  

 2   , ,    , ,

2    



1 1  

1 1 

1 1   , ,  , ,    , ,

Jadi, v

1 , v

2 , v

2       ₃ Membentuk basis ortonormal untuk R .

2.4.2. Matriks Ortogonal

A Definisi 2.4.3 Matriks berordo n  adalah matriks ortogonal jika kolom- n

A kolom dari matriks adalah himpunan vektor kolom yang ortonormal.

A Definisi 2.4.4

Sebuah matriks bujursangkar yang memiliki sifat _T

1

A  A

disebut sebagai matriks ortogonal.

A Teorema 2.6.4 Jika matiks adalah matiks ortogonal, maka A   1 .

A Bukti. Matriks ortogonal jika dan hanya jika

_{T }

₁ _{T 1}

A  A

A  A  A  A _T kemudian _T

A  A  _T

I A A  ₂

1 A 

1 A  

2 1 

1 2   

, ,  , ,

Contoh 2.9

Vektor-vektor u = [1, 0, 0], v = dan w =

5     adalah vektor-vektor ortonormal. Sedemikian hingga matriks :

 1    

5     

5  

Adalah ortogonal, maka didapatkan :

 1   ^{1 T}

     A A

5    

5   _T 

1  

1       

A A

5         

5      1   



1    

1  

2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat Sebelumnya akan didefinisikan suatu operasi elementer pada matriks.

Definisi 2.5.1 Operasi elementer pada matriks A adalah: (i).

Penukaran tempat antara dua baris atau dua kolom, yakni baris ke-i dengan baris ke-j atau kolom ke-i dengan kolom ke-j. (ii).

(iii).

    

   

B b b  



    

    

 

   

    

 

   

b b b b A b b







 

    

3 2 ~

dan y ^T

Dua bentuk kuadrat x ^T

Definisi 2.5.3

ke-3.

B A ~ . Di mana ₁ b yaitu baris ke-1, ₂ b yaitu baris ke-2 dan ₃ b yaitu baris

ditulis

1 ₂ ₃

Menambah baris ke-i dengan kali baris ke-j atau menambah kolom ke-i dengan konstanta kali kolom ke-j.

B A ~ dan



   

Contoh 2.10      

C A ~

C B ~ maka

~ (iii).

~ maka A B

A (ii). B A

A A ~ untuk setiap matriks

ekuivalen dengan B . Relasi ekuivalen, yaitu : (i).

B A ~ memiliki arti

Untuk relasi ekuivalensi ini diberikan simbol ‘ ~ ‘.

salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks yang lain dengan menggunakan operasi elementer. Atau dengan kata lain, dua matriks A dan B yang berordo sama disebut ekuivalen jika B = PAQ untuk suatu matriks P dan Q yang tak singular atau matriks elementer.

Definisi 2.5.2 Dua matriks A dan B yang berordo sama dikatakan ekuivalen bila

3 ²

1 ~

maka

1 B

     

1 A     

disebut ekuivalen jika dan hanya jika terdapat matriks tak singular P yang memenuhi x = Py dan _T

T T T T T T T

x Ax = (Py) A (Py) = y P A Py = y (P AP ) y = y By

2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

A Definisi 2.8.1 Misalkan adalah sebuah matriks n  . Skalar  disebut nilai n

eigen dari ketika sebuah vektor x sedemikian hingga Ax =

λx. Vektor x disebut A

vektor eigen dari yang bersesuaian terhadap terhadap

λ. Vektor eigen λ yang didapat merupakan vektor tak nol di dalam ruang solusi pada sistem linier.

Ruang solusi ini disebut ruang eigen yang tersusun atas basis ruang eigen. Dari persamaan Ax =

λx didapatkan:

   

 a  a  a x  ¹¹ ¹² ^{1 n  } ^{1 }     

 a  a   a x

   ₂₁ ₂₂ _{2 n} ₂      

λx – Ax = (λI – A) x             

  a   a    a x _{n n nn n} ₁ ₂

   

Sistem persamaan homogen di atas mempunyai solusi tak trivial jika dan

 A 

hanya jika 

I . Penguraian determinan ini akan menghasilkan suatu polinomial P    berderajat n yang biasa disebut sebagai persamaan karakteristik.

Metode pencarian akarnya dapat dicari dengan pemfaktoran, rumus ABC (jika persamaan kuadrat) dan pembagian sintetis (aturan horner).

Contoh 2.11 

2 2    

2    

4  

Karena    



2 2   

    



2  

I A

2 

       2 2 

4   A

maka persamaan karakteristik matriks adalah

   

12 ² ³           

12 ² ³       

2 ²     

Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks

adalah  2  dan

 8  . Untuk  2  , maka:

 z y x

I dan misal x      

12 ² ³            

 

4       

    

 

I Dijabarkan sebagai berikut        

4 ) 2 ( 4 ) 2 (

4 ) ) 2 (

) 2 ( 2 (

4 ² ² ² ³ ³ ³               

   

   

2 A

Persamaan tunggal yang didapat adalah    z y x . Misalkan t z  ,

     

   

x      

 adalah

dan  t s z y x      . sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 2 

 s y

   b b b b b









2 ₂ ₃ ₁ ₂ ₁   

     

     

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan

   

   

dan

   

     

   

maka

1 t s t s t s z y x

     

I 

       

   

     

     

   

     

2 x = 0, yaitu:

adalah penyelesaian tak trivial dari   A

   

          

     

   

        

   

     

   

     

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

2 z y x

     

 2  . Untuk

8 A

4 ₃

₁

₃

₂

₁

  

 

   

   

     

   b b b b b b

1 ₃

₂

₃

₂

   b b b b b b

Persamaan yang didapat adalah   z x dan

A .

dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga AP P ^{1 } merupakan matriks diagonal. Matriks P disebut mendiagonalisasi matriks

Definisi 2.7.1 Sebuah matriks bujursangkar A

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan 8   .

   

     

maka

1 u u u u z y x

  z y . Misalkan



   

     









     

   

x      

sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  8  adalah

 u z x  .

dan

 , u z  u z y 

8 

I dan misal x      

      

   

     

     

   

     

8 x = 0, yaitu:

 

I 

adalah penyelesaian tak trivial dari

 z y x

   

       

   

     

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Transpose, Invers dan Determinan Matriks Definisi 2.1.1 Apabila terdapat suatu matriks - Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks