Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks

(1)

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

ARDIANSYAH

100803044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2015

(2)

MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ARDIANSYAH

100803044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2015

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks

Kategori : Skripsi

Nama : Ardiansyah

Nomor Induk Mahasiswa : 100803044

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, April 2015

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Sawaluddin, M.IT Dr. Mardiningsih, M.Si NIP. 19591231 199802 1 001 NIP. 19630405 198811 2 001

Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP 19620901 198803 1 002

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2015

ARDIANSYAH 1008003044

(5)

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis kepada Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas rahmat dan karuniaNya, dan yang telah memberi kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Analisis Perubahan Bentuk Umum Permukaan Kuadrat Menjadi Bentuk Standar dengan Menggunakan Diagonalisasi Matriks. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga kepada Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.

Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ummi Syahniar, Bapak Syahrani, Kakanda Rika Rosary, Kakanda Tri Suci Juli Yati, serta Adinda Haryati Ifani, Dede Febrina, dan Tria Susenita atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.

Teruntuk Shohib dan shohibiyah seperjuangan (Syahrial, Andi, Abdul, Abdullah, Fadhil, Adam, Riki, Syaipul, Asrul, Mbak Mul, Elsa, Sanah, Fika, Ami, Irma, Zati, Fitri, Ida, Siska dan lainnya), keluarga UKMI Al Falak, keluarga BKB Adzkia, sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM3, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan

(6)

penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.

Medan, April 2015 Penulis

(7)

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

ABSTRAK

Perubahan bentuk pada permukaan kuadrat adalah perubahan bentuk umum persamaan dengan bentuk

2 2

2 _by _cz _dxy_exz _fyz_gx_hy_iz _j 

di mana a,b,c,d,e,f tidak semua bernilai nol dan a,b,c,d,e, f,g,h,i,jℝ

disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x,y,z atau disebut juga permukaan kuadrat, menjadi salah satu bentuk standar yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik atau paraboloid hiperbolik yang ekuivalen terhadap bentuk umum tersebut. Diagonalisasi matriks adalah salah satu metode yang dipakai untuk mengubah dan mengidentifikasikan bentuk standar suatu permukaan kuadrat. Kemudian software MAPLE akan memberikan visualisasi perubahan grafiknya.

Kata Kunci: perubahan bentuk, bentuk standar, ekuivalen, diagonalisasi matriks, visualisasi

(8)

ANALYSIS OF CHANGE FORM ON QUADRIC SURFACES USING MATRIX DIAGONALIZATION

ABSTRACT

Change form on quadric surfaces is changing of general form equation which form

2 2

2 _by _cz _dxy_exz _fyz_gx_hy_iz _j 

where a,b,c,d,e,f are not all zero and a,b,c,d,e,f,g,h,i, jℝ called quadratic equation in the variables x,y,z or called quadric surfaces, be one of the standart forms are ellipsoid, eliptic cone, hyperboloid of one sheet, hyperboloid of two sheet, elliptic paraboloid or hyperbolic paraboloid which equivalent to general form. Matrix diagonalization is one method used to changing and identity the standart form of a quadric surface. Then MAPLE software will give graph change visualization.

Key words: change form, standart form, equivalently, matrix diagonalization, visualization

(9)

vii DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR SINGKATAN x

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Tinjauan Pustaka 4

1.7 Metodologi Penelitian 7

1.8 Diagram Konsep 8

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Transpose , Invers dan Determinan Matriks 9 2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen 10 2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam 12 2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal 13

2.4.1 Basis Ortonormal 13

2.4.2 Matriks Ortogonal 17

2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat 18

2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen 20 2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi Ortogonal 22 BAB 3 BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT

3.1 Elipsoid 33

3.2 Kerucut Eliptik 35

3.3 Hiperboloid Satu Lembar 37

3.4 Hiperboloid Dua Lembar 40

3.5 Paraboloid Eliptik 42

3.6 Paraboloid Hiperbolik 45

BAB 4 PERUBAHAN BENTUK PADA PERMUKAAN KUADRAT

4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi 49 4.2 Permukaan Kuadrat yang Dirotasi 52 4.3 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi dan Dirotasi 63

(10)

viii BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 69

5.2 Saran 69

(11)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman Gambar

1.1 Enam bentuk standar permukaan kuadrat 2

1.2 Irisan kerucut 5

1.3 Lingkaran 6

1.4 Elips 6

1.5 Hiperbola 6

1.6 Parabola 7

3.1 Elipsoid: ₂ 1

2 2 2 2 2

  

C z B

y A x

3.2 Elipsoid: 4x2 y29z2 36 35

3.3 Kerucut eliptik: ₂

2 2 2 2 2

C z B

y A

x _ _

36 3.4 Kerucut eliptik: 2x2 8y2 9z2 0 37 3.5 Hiperboloid satu lembar: ₂ 1

2 2 2 2 2

  

C z B

y A x

39 3.6 Hiperboloid satu lembar: 6x2 3y2 2z2 18 40 3.7 Hiperboloid dua lembar: ₂ 1

2 2 2 2 2

   

C z B

y A x

41 3.8 Hiperboloid dua lembar: 2x2 3y2z2 12 42 3.9 Paraboloid eliptik : z

B y A x

  ₂2

2 2

43 3.10 Paraboloid eliptik: x2 16y2 4z0 44 3.11 Paraboloid hiperbolik: z

B y A

x _ _

2 2 2 2

46 3.12 Paraboloid hiperbolik: 2x2 2y2 z0 47 4.1 Grafik yang dirotasikan dan ditranslasikan 48 4.2 Hiperboloid dua lembar: 3x23y2 z2 42x1440 51 4.3 Paraboloid hiperbolik: 7x2 3y2 126x72yz1350 52 4.4 Hiperboloid satu lembar: 5x211y22z2 16xy20xz4yz36 58 4.5 Elipsoid: 4x24y2 4z24xy4xz4yz320 63 4.6 Kerucut eliptik:

15 2 20 50 2 20 40

10 25

(12)

DAFTAR SINGKATAN

ℝ : Himpunan bilangan riil x : Suatu vektor

x : Suatu variabel a : Suatu konstanta

A : Suatu Matriks

[aij] : Matriks dengan entri-entrinya T

A : Transpose matriks A

k : Suatu skalar I : Matriks identitas



A : Invers matriks A

M : Minor baris ke-i dan kolom ke-j ij

C : Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j A : Determinan matriks A

<u,v> : Hasil kali dalam V : Ruang hasil kali dalam ||u|| : Vektor norm

S : Himpunan vektor yang ortogonal n

R : Himpunan vektor yang berimensi-n i

 : Suatu nilai eigen ~ : Ekuivalensi

(13)

ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS

ABSTRAK

Perubahan bentuk pada permukaan kuadrat adalah perubahan bentuk umum persamaan dengan bentuk

2 2

2 _by _cz _dxy_exz _fyz_gx_hy_iz _j 

di mana a,b,c,d,e,f tidak semua bernilai nol dan a,b,c,d,e, f,g,h,i,jℝ

Kata Kunci: perubahan bentuk, bentuk standar, ekuivalen, diagonalisasi matriks, visualisasi

(14)

ANALYSIS OF CHANGE FORM ON QUADRIC SURFACES USING MATRIX DIAGONALIZATION

ABSTRACT

Change form on quadric surfaces is changing of general form equation which form

2 2

2 _by _cz _dxy_exz _fyz_gx_hy_iz _j 

Key words: change form, standart form, equivalently, matrix diagonalization, visualization

(15)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam membahas permasalahan-permasalahan statistika dan fisika sering dijumpai analisa-analisa masalah yang menyangkut fungsi-fungsi non linier, misalnya mengenai bentuk-bentuk kuadrat. Bentuk kuadrat yang bisa digambarkan pada ruang tiga dimensi adalah permukaan kuadrat.

Anton dan Rorres (2005) menyebutkan, sebuah persamaan dengan bentuk 0

2 2

2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

j iz hy gx fyz exz dxy cz by

ax (1.1)

di mana a,b,c,d,e, f tidak semua bernilai nol dan a,b,c,d,e,f,g,h,i, jℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x,y dan z atau disebut juga permukaan kuadrat;

Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks









2 2

            

               

   

j z y x i h g z y x

c f

f b d

e d

a z y x

atau

xTAx + Kx + j =0 di mana

          

z y x

     

    

c f

f b d

e d a A

2 2

, K 



g h i



Grafik persamaan kuadratik dalam x,y dan z disebut kuadrat (quadric) atau permukaan kuadrat (quadric surface). Persamaan paling sederhana untuk permukaan kuadrat terbentuk apabila permukaan itu diletakkan pada posisi

(16)

standar tertentu relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.1 memperlihatkan enam bentuk standar permukaan kuadrat.

Elipsoid Kerucut Eliptik

2 2 2 2 2 2

  

C z B

y A x

2 2 2 2 2 2

C z B

y A x

 

Hiperboloid Satu Lembar Hiperboloid Dua Lembar

2 2 2 2 2 2

  

C z B

y A x

2 2 2 2 2 2

   

C z B

y A x

Paraboloid Eliptik Paraboloid Hiperbolik

z B

y A x

  2₂

2 2

z B

y A x

  2₂

2 2

Gambar 1.1. Enam bentuk standar permukaan kuadrat

Pada penyederhanaan permukaan kuadrat, berkaitan dengan matriks-matriks diagonal guna menyederhanakan matriks-matriks menjadi matriks-matriks diagonal yang

(17)

lebih sederhana, apabila dikembalikan pada hasil perkalian matriks-matriksnya terdapat perubahan pada persamaannya. Yaitu, perubahan persamaan dari bentuk umum ke bentuk standar kemudian membuat persamaan yang lebih mudah untuk diselesaikan. Permasalahan ini disebut diagonalisasi matriks simetris pada permukaan kuadrat.

1.2 Perumusan Masalah

Bentuk umum permukaan kuadrat belum tentu dapat langsung diketahui nama grafiknya. Bentuk umum permukaan kuadrat dapat disajikan menjadi matriks dan diagonalisasi matriks dapat digunakan untuk menyederhanakan masalah permukaan kuadrat menjadi bentuk yang lebih sederhana yaitu bentuk standar. Masalah dalam penelitian ini adalah:

(i). Bagaimanakah langkah-langkah untuk mengubah bentuk umum permukaan kuadrat menjadi bentuk standar.

(ii). Apakah permukaan kuadrat dapat diklasifikasikan

(iii). Apakah bentuk standar yang dihasilkan analisis sesuai dengan visualisasinya menggunakan Maple.

1.3 Batasan Masalah

Untuk membuat permasalahan lebih terarah dan mencegah meluasnya permasalahan, maka dilakukan pembatasan-pembatasan antara lain:

(i). Penelitian ini terbatas hanya pada analisis perubahan bentuk kuadrat di dalam x, y dan z atau yang disebut permukaan kuadrat dari bentuk umum ke bentuk standar.

(ii). Nilai eigen yang digunakan adalah bilangan riil. (iii). Basis pada operasi elementer adalah bilangan bulat. (iv). Perubahan bentuk oleh translasi dan rotasi.

1.4 Tujuan Penelitian

(18)

(i). Menganalisa atau menentukan langkah-langkah perubahan bentuk umum permukaan kuadrat menjadi bentuk standar dengan menggunakan diagonalisasi matriks.

(ii). Mengklasifikasikan suatu permukaan kuadrat sesuai dengan cirinya. (iii). Mensketsa hasil gambar bentuk standar permukaan kuadrat secara manual. (iv). Memplot gambar grafik permukaan kuadrat dan melihat kesesuaian hasil

transformasinya.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

(i). Membantu penulis dalam menerapkan ilmu dan pengetahuan yang didapat selama masa perkuliahan ke dalam dunia nyata.

(ii). Penggunaan diagonalisasi matriks diharapkan dapat membantu setiap permasalahan penyederhanaan bentuk kuadrat dengan 3 variabel yang sering muncul pada permasalahan statistika dan fisika juga pada bidang ilmu lainnya.

(iii). Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika dan ilmu terapan lainnya, terlebih bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.

1.6 Tinjauan Pustaka

Anton dan Rorres (2005) menuliskan bentuk kuadrat dalam x₁,x₂,...,x_n pada notasi matriks dapat ditulis

xTAx



x₁ x₂  x_n



           

x x x

 2 1

dengan matriks A berordo nn.

(19)

0 2

2     

f ey dx cxy by

ax (1.2)

di mana a, b dan c adalah adalah tidak semua nol dan a,b,c,d,e,f ℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam x dan y atau disebut juga irisan kerucut.

Persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu









2 2

        

         

 

f y x e d y x b c

c a y x atau

xTAx + Kx + f =0 di mana

f _

     

y x

, _

  

  

b c

c a A

2 2

, K 



d e



Grafik- grafik persamaan kuadratik dalam x dan y dinamakan irisan kerucut (conic section). Bentuk irisan kerucut yang diperoleh adalah berupa elips, lingkaran, parabola atau hiperbola. Persamaan paling sederhana untuk irisan kerucut terbentuk apabila grafiknya itu diletakkan pada posisistandar tertentu yang relatif terhadap sumbu- sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.2 memperlihatkan empat irisan kerucut dasar beserta persamaan- persamaannya ketika grafik- grafik tersebut berada pada posisi standarnya.

Gambar 1.2. Irisan kerucut

(20)

Berikut adalah empat bentuk persamaan dari irisan kerucut, yaitu

Gambar 1.3. Lingkaran

Gambar 1.4. Elips

Gambar 1.5. Hiperbola

0 , ; 1

2 2 2 2

 

 a b b

x a y

x y

(0, a)

(a, 0) (-a, 0)

(0, -a)

0 ; 1

2 2 2 2

 

 a

a y a x

b a a

y b

x _ _ _ _

0 ; 1

2 2 2 2

x y

(0, b)

(a, 0) (-a, 0)

(0, -b)

(0, a)

(0, -a)

x b a y x

b a y a

b b

y a

x _ _ _ _

0 ; 1

2 2 2 2

x y

(0, b)

(a, 0) (-a, 0)

(0, -b)

x y

0 , ; 1

2 2 2 2

 

 a b b

y a x

(0, a) (0, -a)

x a b y x

a b y

(21)

Gambar 1.6. Parabola

1.7 Metodologi Penelitian

Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan dan membaca informasi-informasi serta literatur yang berkaitan.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

(i). Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang berhubungan dengan topik yang diteliti.

(ii). Mencari beberapa persoalan umum permukaan kuadrat yang berbeda dengan koefisien- koefisien yang memberi ciri suatu permukaan kuadrat tertentu.

(iii). Menentukan matriks yang bersesuaian pada masing- masing persoalan. (iv). Mendiagonalkan matriks yang asosiatif dari matriks yang dihasilkan dengan

menggunakan diagonalisasi matriks simetris.

(v). Mensketsa grafik dari bentuk standar yang telah disederhanakan.

(vi). Memplot grafik dari bentuk umum permukaan kuadrat pada software sederhana Maple guna memastikan hasil analisis sesuai dengan visualisasinya.

(vii). Menyimpulkan hasil analisis perubahan sesuai dengan perubahannya. 2

kx y 

k<0 y

ky x

k>0 y

k<0 y

x k>0

(22)

1.8 Diagram Konsep

Berikut adalah diagram konsep perubahan bentuk permukaan kuadrat menggunakan diagonalisasi matriks:

Persamaan Visualisasi Grafik

Bentuk Umum Permukaan Kuadrat

Membuat Matriks yang Bersesuaian dalam

bentuk 0   Kx j x

A xT  

Mencari Nilai Eigen dan Mencari Matriks

Pendiagonal

Bentuk Standar Permukaan Kuadrat

Plot Persamaan Bentuk Umum Permukaan

Kuadrat

Grafik Permukaan Kudrat

(23)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Transpose, Invers dan Determinan Matriks

Definisi 2.1.1 Apabila terdapat suatu matriks A[a_ij] berordo mn, maka transpose dari matriks A adalah AT berordo nm yang dihasilkan dengan mempertukarkan baris dan kolom matriks A; yaitu, kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Beberapa sifat matriks transpose: (i). _A_B T _AT _BT

) (

(ii). (AT)T  A

(iii). k(AT)(kAT), k suatu skalar. (iv). (AB)T BTAT

Definisi 2.1.2 Suatu matriks A disebut simetris apabila transpose matriks A

sama dengan matriks A atau matriks A simetris bila A AT. Contoh 2.1

     

    

 

6 0 4

0 7 2

4 2 1

A dan

     

    

 

6 0 4

0 7 2

4 2 1

A disebut matriks simetris, A AT.

Definisi 2.1.3 Misalkan A adalah matriks bujursangkar, jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian hingga AB BAI, maka A disebut invertibel (dapat dibalik) dan B disebut sebagai invers dari A, ditulis A1.

(24)

Contoh 2.2 Misal

   

  

 

3 1

5 2

A dan _

     

2 1

5 3 B maka

AB _

               

  

 

1 0

0 1 2 1

5 3 3 1

5 2

BA _

         

  

 

     

1 0

0 1 3 1

5 2 2 1

5 3

Definisi 2.1.4 Jika A adalah matriks bujursangkar, maka minor dari entri a _ij dinyatakan sebagai M _ij dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Nilai

ij j i

M 

1)

( dinyatakan sebagai C _ij dan disebut sebagai kofaktor dari entri a . _ij Determinan dapat dinotasikan A a₁₁C₁₁a₁₂C₁₂ ...a₁_nC₁_n.

Contoh 2.3 Misalkan

     

  

 



8 4 1

6 5 2

4 1 3 A

Determinan dari matriks A adalah

A =

4 1

5 2 ) 4 ( 8 1

6 2 1 8 4

6 5 3

13 13 12 12 11

11C a C a C    

46 12 10 48 ) 3 ( 4 ) 10 ( 1 ) 16 (

3       

2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen

Definisi 2.2.1 Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika semua bentuk konstantanya adalah0; yaitu, sistem ini memiliki bentuk

(25)

0 ...

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

 

 

 

 

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

   

0 ...

2 2 1

1  m   mn n 

m x a x a x

Setiap sistem persamaan linier homogen adalah konsisten karena semua sistem memiliki solusi x₁ 0, x₂ 0, ... , x_n 0. Solusi ini disebut solusi trivial; jika terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial.

Contoh 2.4 Suatu sistem persamaan linier sebagai berikut

1 2

2x  x − x₃ + x₅= 0

 − x₂+ 2x₃− 3x₄ + x₅= 0

x + x₂− 2x₃ − x₅= 0

x + x₄ + x₅= 0 Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

      

    

 



0 1

1 1 0 0

0 1 0 2 1 1

0 1

3 2 1 1

0 1

0 1 2 2

   

Dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris, kita memperoleh

      

    

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 1 1

   

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

x + x₂ + x₅= 0

x + x₅= 0

x = 0 Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama diperoleh

5 2

1 x x

x  

3 x

(26)

4 

x Jadi, solusi umumnya adalah

t s

x₁  , x₂ s, x₃t, x₄ 0, x₅ t Perhatikan bahwa solusi trivial diperoleh bila st0.

2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam

Definisi 2.3.1 Hasil kali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor real V

adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u,v> dengan sepasang vektor u dan v di dalam V sedemikan hingga aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor u, v dan w di dalam V dan semua bilangan skalar

k .

(i). < u, v > = < v, u > (Aksioma kesimetrian) (ii). < u + v, w > = < u, w >+< v, w > (Aksioma penjumlahan) (iii). < ku, v > = k< u, v > (Aksioma homogenitas) (iv). < v, v > ≥ 0 (Aksioma positivitas)

dan< v, v > = 0 jika dan hanya jika v0.

Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real (real inner product space).

Definisi 2.3.2 Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (norm) atau panjang (length) sebuah vektor u di dalam V dinotasikan dengan ||u|| dan didefinisikan sebagai

||u|| = < u, u >1/2

Jarak (distance) antara dua buah titik (vektor) u dan v dinotasikan dengan d(u, v) dan didefinisikan sebagai

d(u, v) = || u - v ||

Contoh 2.5 Misalkan u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah vektor-vektor pada R2.

Hasil kali dalam Euclidean berbobot

<u, v> = 3u1v1 + 2u2v2

(27)

13 (i). Aksioma kesimetrian;

< u, v > = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = < v, u >

yang membuktikan terpenuhinya aksioma pertama. (ii). Aksioma penjumlahan;

Jika w = (w1, w2), maka

< u+v, w > = 3(u1 + v1)w1 + 2(u2 + v2)w2

= (3u1w1 + 2u2w2) + (3v1w1 + 2v2w2)

= <u, w> + <v, w> yang membuktikan terpenuhinya aksioma kedua. (iii). Aksioma homogenitas;

Selanjutnya,

< ku, v > = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2 = k(3u1v1 + 2u2v2) = k< u, v > yang membuktikan terpenuhinya aksioma ketiga.

(iv). Aksioma positivitas; Akhirnya,

<v, v> = 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v22

Jelaslah, <v, v> = 3v12 + 2v22 ≥ 0. Lebih jauh lagi, <v, v> = 3v12 + 2v22 = 0

jika dan hanya jika v1 = v2. Dengan demikian, semua aksioma memenuhi

syarat.

2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal

2.4.1 Basis Ortonormal

Definisi 2.4.1 Himpunan S = {u1,u2,...,uk}pada Rn adalah himpunan ortogonal jika<ui, uj> = 0, untuk setiap i  j.

Definisi 2.4.2 Himpunan S = {u1,u2,...,uk}pada Rn adalah ortonormaljika : (i). S adalah ortogonal

(28)

Contoh 2.6 Himpunan S = {u1, u2}, dengan u1= [0, 1, 0] dan u2= [1, 0, 1] adalah

ortogonal, karena :

<u1, u2> = 0(1) + 1(0) + 0(1) = 0

Karena ||u1|| = 1 dan ||u2|| = 2 maka S bukan himpunan ortonormal.

Dengan menormalisasikan masing-masing vektor dari S, diperoleh : v1 = u1/|| u1|| = 1[0, 1, 0] = [0, 1, 0], v2 = u2/|| u2|| =

2 1

[1, 0, 1] = _ _

2 1 , 0 , 2 1

{v1, v2}adalah himpunan yang ortonormal, karena :

(i). <u1, u2> 0

2 1 . 0 0 . 1 2 1 .

0   



(ii). ||v1|| = 1 dan ||v2|| = 1

Teorema 2.4.1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor taknol pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier.

Bukti. Asumsikan bahwa

k1v1 + k2v2 +...+ knvn = 0

Akan ditunjukkan bahwa S = {v1, v2, ..., vn} adalah bebas linier, yakni dengan membuktikan k₁ k₂ ...k_n 0.

Untuk setiap vi dalam S, berdasarkan asumsi diperoleh

< k1v1 + k2v2 +...+ knvn, vi > = <0, vi > = 0 atau secara ekuivalen

k1< v1,vi> + k2< v2,vi> +...+ kn< vn,vi> = 0

Dari ortogonalitas S kita memperoleh <vj,vi> = 0 untuk ji, sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

ki < vi,vi>k_i v_i,v_i 0

Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol <vi,vi> ≠ 0 berdasarkan aksioma positivitas untuk hasil kali dalam. Dengan demikian, k_i 0. Karena indeks i adalah sebarang, kita memperoleh

0 ...

1 k  kn 

(29)

Teorema 2.4.2 Misalkan {v1, v2,..., vn} adalah basis ortonormal pada Rn dan misal u sembarang vektor pada Rn maka memenuhi :

u = <u,v1> v1 + <u,v2> v2 +...+ <u,vn> vn dengan<u,v1>adalah koefisien dari vi .

Bukti. Misalkan S = {v1, v2,..., vn} adalah basis ortonormal pada Rn dan misal u sembarang vektor pada Rn, maka memenuhi :

u = k1v1 + k2v2 +...+ knvn

dengan k₁,k₂,...,k_n adalah skalar. Karena S adalah ortonormal maka ortogonal sedemikian hingga <vi, vj> = 0 untuk i j. Selebihnya, jika S adalah ortonormal, maka setiap vektor v_i pada S adalah vektor satuan, yaitu <vi, vi> = ||vi||2 = 1. Misal

i memenuhi 1in, maka :

<vi, u> = <vi, k1v1 + k2v2 +...+ knvn >

= k1<vi, v1> + k2<vi, v2> +...+ ki<vi, vi> +...+ kn<vi, vn> 0

. ... 1 . ... 0 . 0

. ₂

1 k ki kn

k     

 k_i

Jadi terbukti koefisien dari v_i adalah i i

k  <vi, u> = vi.u= u.vi Contoh 2.7 Misalkan

v1 = [0, 1, 0], v2 =

  



5 3 , 0 , 5 4

, v3 =

  



5 4 , 0 , 5 3

Maka V = {v1, v2, v3} adalah basis ortonormal untuk R3.

Akan diperlihatkan bahwa u = [1, 1, 1] adalah kombinasi linier vektor-vektor V . Sesuai teorema 2.4.2 didapatkan :

<u,v1> = 1; <u,v2>

5 1 

 ; <u,v3>

5 7  dan

u = <u,v1> v1 + <u,v2> v2 + <u,v3> v3

[1, 1, 1] = 1 [0, 1, 0] + 

    

5 1

  



5 3 , 0 , 5 4

+ 

    

5 7

  



5 4 , 0 , 5 3

= [0, 1, 0] +

  

 _

25 3 , 0 , 25

  



25 28 , 0 , 25 21

(30)

Teorema 2.4.3 (Proses Gram-Schmidt) Setiap ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga memiliki sebuah basis ortonormal.

Bukti. Misalkan V adalah suatu ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga sebarang dan misalkan {u1,u2,...,un} adalah basis sebarang untuk V . Akan ditunjukkan bahwa V memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektor-vektor di dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah basis ortonormal untuk V . Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah basis ortogonal {v1,v2,...,vn} untuk V .

Langkah 1. Misalkan

v1 = u1 / || u1 ||

Langkah 2. Terdapat sebuah vektor v2 yang ortogonal terhadap v1 dengan

menghitung komponen v1 yang direntang oleh v1. v1 = (u2 – <u2, v1>v1) / || u2 – <u2, v1>v1 ||

Langkah 3. Selanjutnya

v3 = (u3– <u3, v1>v1– <u3, v2>v2) / || u3– <u3, v1>v1– <u3, v2>v2 ||

dan seterusnya sampai vn. Setelah langkah ke-n akan diperoleh himpunan vektor-vektor ortogonal {v1,v2,...,vn}. Karena V berdimensi n dan setiap himpunan ortogonal bersifat bebas linier, maka himpunan {v1,v2,...,vn} adalah sebuah basis ortogonal bagi V.

Contoh 2.8 Diberikan 3

R beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis

u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1) u3 = (0, 0, 1)

menjadi basis yang ortonormal. Vektor v1 yang ortonormal

v1 = u1 / ||u1||

 

  

  

3 1 , 3 1 , 3 1 1 , 1 , 1 3 1

Vektor v2 yang ortonormal

v1 = (u2 – <u2, v1>v1) / || u2 – <u2, v1>v1 || u2– <u2, v1>v1

 

 

 

  

3 1 , 3 1 , 3

2 3

1 , 3 1 , 3 1 3 2 1 , 1 , 0

(31)

17 maka

v1 = (u2– <u2, v1>v1) / || u2– <u2, v1>v1 ||   

    

 

6 1 , 6 1 , 6

2 3

1 , 3 1 , 3

2 6 3

Vektor v3 yang ortonormal

v3 = (u3 – <u3, v1>v1 – <u3, v2>v2) / || u3 – <u3, v1>v1 – <u3, v2>v2 || u3– <u3, v1>v1– <u3, v2>v2





    

6 1 , 6 1 , 6 2 6 1 3 1 , 3 1 , 3 1 3 1 1 , 0 , 0

  

  

2 1 , 2 1 , 0

maka

v3 = (u3 – <u3, v1>v1 – <u3, v2>v2) / || u3 – <u3, v1>v1 – <u3, v2>v2 || 

 

     

  

2 1 , 2 1 , 0 2 1 , 2 1 , 0 2

Jadi, v1   

 

3 1 , 3 1 , 3 1

, v2   

 

6 1 , 6 1 , 6 2

, v3  

2 1 , 2 1 , 0

Membentuk basis ortonormal untuk R3.

2.4.2. Matriks Ortogonal

Definisi 2.4.3 Matriks Aberordo nn adalah matriks ortogonal jika kolom-kolom dari matriks A adalah himpunan vektor kolom yang ortonormal.

Definisi 2.4.4 Sebuah matriks bujursangkar A yang memiliki sifat T

A A1 

disebut sebagai matriks ortogonal.

Teorema 2.6.4 Jika matiks A adalah matiks ortogonal, maka A 1.

Bukti. MatriksAortogonal jika dan hanya jika

  A AT

A A A AT  1

I A AT 

(32)

kemudian

I A AT 



A AT



 

Contoh 2.9 Vektor-vektor u = [1, 0, 0], v = _  _ 5 1 , 5 2 ,

0 _dan_w₌

  



5 2 , 5 1 , 0

adalah vektor-vektor ortonormal. Sedemikian hingga matriks :

     

   

 

5 2 5 1 0

5 1 5 2 0

0 0

1 A

Adalah ortogonal, maka didapatkan :

     

   

 

 

5 2 5 1 0

5 1 5 2 0

0 0

1 T

A A

     

   

      

   

 

5 2 5 1 0

5 1 5 2 0

0 0

5 2 5 1 0

5 1 5 2 0

0 0

1 A AT

     

    

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat

Sebelumnya akan didefinisikan suatu operasi elementer pada matriks.

Definisi 2.5.1 Operasi elementer pada matriks A adalah:

(i). Penukaran tempat antara dua baris atau dua kolom, yakni baris ke-i dengan baris ke-j atau kolom ke-i dengan kolom ke-j.

(33)

19 (iii). Menambah baris ke-i dengan � kali baris ke-j atau menambah kolom ke-i

dengan konstanta�kali kolom ke-j.

Definisi 2.5.2 Dua matriks A dan B yang berordo sama dikatakan ekuivalen bila salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks yang lain dengan menggunakan operasi elementer. Atau dengan kata lain, dua matriks A dan B yang berordo sama disebut ekuivalen jika B = PAQ untuk suatu matriks P dan Q yang tak singular atau matriks elementer.

Untuk relasi ekuivalensi ini diberikan simbol ‘ ~ ‘. A~ B memiliki arti A

ekuivalen dengan B. Relasi ekuivalen, yaitu : (i). A~ A untuk setiap matriks A

(ii). A~B maka B ~ A

(iii). A~B dan B~C maka A~C

Contoh 2.10            1 2 3 3 1 2 3 2 1 A            1 0 0 1 1 0 3 2 1 B maka 3 2 1 3 1 2 4 1 3 1 ~ 8 4 0 3 3 0 3 2 1 3 2 ~ 1 2 3 3 1 2 3 2 1 b b b b b b A                              B b b                       1 0 0 1 1 0 3 2 1 ~ 2 1 0 1 1 0 3 2 1 2 3

ditulis A~B. Di mana b₁ yaitu baris ke-1, b₂ yaitu baris ke-2 dan b₃ yaitu baris ke-3.

Definisi 2.5.3 Dua bentuk kuadrat xTAx dan yTBy disebut ekuivalen jika dan hanya jika terdapat matriks tak singular P yang memenuhi x = Py dan

AP P

(34)

xTAx = (Py)TA(Py) = yTPT A Py = yT (PTAP) y= yTBy

2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

Definisi 2.8.1 Misalkan A adalah sebuah matriks nn. Skalar  disebut nilai eigen dari A ketika sebuah vektor x sedemikian hingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian terhadap λ. Vektor eigen A terhadap λ yang didapat merupakan vektor tak nol di dalam ruang solusi pada sistem linier. Ruang solusi ini disebut ruang eigen yang tersusun atas basis ruang eigen. Dari persamaan Ax = λx didapatkan:

λx –Ax = (λI–A) x 2 0

2 1

2 22

1 12

  

  



 

                   

    

 



 



 

 

n nn n

n n

x x x

a a

 



 



 



Sistem persamaan homogen di atas mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya jika IA 0. Penguraian determinan ini akan menghasilkan suatu polinomial P

 

 berderajat n yang biasa disebut sebagai persamaan karakteristik. Metode pencarian akarnya dapat dicari dengan pemfaktoran, rumus ABC (jika persamaan kuadrat) dan pembagian sintetis (aturan horner).

Contoh 2.11

     

    

4 2 2

2 4 2

2 2 4 A

Karena





     

   

 



  

 

  

4 2

2 4 2

2 2

 

 I A

(35)

21 0 4 2 2 2 4 2 2 2 4                I A

Dijabarkan sebagai berikut



4



3(2)3(2)3(2)2



4



(2)2



4



(2)2



4



0



3122 4864



8812



4



0 0 48 12 16 64 48 12 2

3       



0 32 36 12 2

3    





2

 

2 8



0 Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks A adalah  2 dan  8.

Untuk  2, maka:

                     2 2 2 2 2 2 2 2 2

2I A dan misal x

           z y x

adalah penyelesaian tak trivial dari



2I A



x = 0, yaitu:                                         0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 3 1 2 1       b b b b b

Persamaan tunggal yang didapat adalah xyz0. Misalkan zt, y s dan t

s z y

x    .

sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  2 adalah x                                              1 0 1 0 1 1 t s t s t s z y x maka           0 1 1 dan           1 0 1

(36)



 .

Untuk  8, maka:

                  4 2 2 2 4 2 2 2 4

8I A dan misal x

           z y x

adalah penyelesaian tak trivial dari



8IA



x = 0, yaitu:                                      0 0 0 4 2 2 2 4 2 2 2 4 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                                 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 1 3 1 6 1 6 1 6 1 2 1 2 1 0 4 2 2 0 2 4 2 0 2 2 4 3 1 3 2 2 1       b b b b b b                 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 6 1 6 1 3 2 3 2 3 1    b b b b b b

Persamaan yang didapat adalah xz 0 dan yz0. Misalkan zu,

u z

y  dan xz u.

sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  8 adalah x                                  1 1 1 u u u u z y x maka           1 1 1

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan  8.

2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi secara Ortogonal

Definisi 2.7.1 Sebuah matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga P1AP merupakan matriks diagonal. Matriks P disebut mendiagonalisasi matriks A.

(37)

23 Teorema 2.7.1 Jika A adalah sebuah matriks nn, maka kedua pernyataan berikut adalah ekuivalen.

(i). A dapat didiagonalisasi

(ii). A memiliki n vektor eigen yang bebas linier.

Bukti. (i) (ii) Karena A diasumsikan dapat didiagonalisasi, maka terdapat sebuah matriks yang dapat dibalik

             nn n n n n p p p p p p p p p P        2 1 2 22 21 1 12 11

Sedemikian rupa sehingga P1AP adalah diagonal, misal P1AP D, di mana

             n D           0 0 0 0 0 0 2 1

Berdasarkan rumus P1AP D_bahwaAP  PD; jelasnya,

                                      nn n n n n n n n n nn n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p p p AP                                  2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 0 0 0 0 0 0 (2.1) Jika p1, p2,..., pn menotasikan vektor-vektor kolom dari matriks P, maka dari persamaan (2.1) urutan kolom-kolom matriks AP adalah λ1p1,λ2p2,...,λnpn. Akan tetapi, urutan kolom-kolom AP adalah Ap1, Ap2,..., Apn. Sehingga, kita memperoleh

Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, ... Apn = λnpn (2.2)

Karena P dapat dibalik, vektor-vektor kolomnya semua tak nol; sehingga, berdasarkan persamaan (2.2) ₁,₂,...,_n adalah nilai-nilai eigen dari A, dan p1, p2,..., pn adalah vektor-vektor eigen yang terkait. Karena P dapat dibalik dan memiliki invers, maka p1, p2,..., pn bebas linier. Jadi, A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

(38)

(ii) (i)

Misalkan A memiliki n vektor eigen p1, p2,..., pn yang bebas linier, dengan nilai-nilai eigen ₁,₂,...,_n yang terkait, dan misalkan

             nn n n n n p p p p p p p p p P        2 1 2 22 21 1 12 11

adalah sebuah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah p1, p2,..., pn. Berdasarkan perkalian matriks, vektor-vektor kolom dari matriks AP adalah

Ap1, Ap2,..., Apn Namun

Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, ... Apn = λnpn

sehingga PD p p p p p p p p p p p p p p p p p p AP n nn n n n n nn n n n n n n n                                                                         0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 (2.3)

di mana D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen ₁,₂,...,_n sebagai entri-entri diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom matriks P

bebas linier; sehingga, persamaan (2.3) dapat dinotasikan sebagai P1AP D

dengan demikian matriks A dapat didiagonalisasi.

Berdasarkan teorema 2.7.1 di atas didapatlah langkah-langkah untuk mendiagonalisasi sebuah matriks A berordo nn yang dapat didiagonalisasi, yaitu :

Langkah 1. Tentukan nilai-nilai eigen matriks A_.

Langkah 2. Tentukan n vektor eigen yang bebas linier dari matriks A, yaitu p1, p2,..., pn.

Langkah 3. Bentuk matriks P yang kolomnya adalah vektor-vektor dengan p1, p2,..., pn sebagai vektor-vektor kolomnya matriks.

(39)

 

₁, ₂,..., sebagai entri-entri diagonalnya secara berurutan, di mana

 adalah nilai eigen yang terkait dengan pi , untuk i1,2,...,n. Contoh 2.12              5 0 0 0 3 2 0 2 3 A Karena





               5 0 0 0 3 2 0 2 3    I A

maka persamaan karakteristik matriks A adalah



1



5



2 0



  

I A

Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks A adalah  5 dan  1. Untuk  5, maka:

            0 0 0 0 2 2 0 2 2

5I A dan misal x

           z y x

adalah penyelesaian tak trivial dari



5IA



x = 0, yaitu:

                               0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 1 2 1       b b b

Persamaan tunggal yang didapat adalah xy 0. Misalkan x s, y s dan

t z .

sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  5 adalah x                                               1 0 0 0 1 1 t s t s s z y x

(40)

maka p1             0 1 1

dan p2            1 0 0

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian

dengan  5. Untuk  1, maka:

               4 0 0 0 2 2 0 2 2 A

I dan misal x

           z y x

adalah penyelesaian tak trivial dari



8IA



x= 0, yaitu:

                                  0 0 0 4 0 0 0 2 2 0 2 2 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                            0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 2 1 0 4 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 3 1 2 1       b b b b

Persamaan yang didapat adalah xy0 dan z0. Misalkan xu, y xu

dan z0.

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  1 adalah x                                  0 1 1 0 u u u z y x

maka p3            0 1 1

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian denga 1. Sehingga {p1, p2, p3} adalah vektor bebas linier dan didapatkan :

            0 1 0 1 0 1 1 0 1 P

(41)

27                                                1 0 0 0 5 0 0 0 5 0 1 0 1 0 1 1 0 1 5 0 0 0 3 2 0 2 3 0 2 1 2 1 1 0 0 0 2 1 2 1 1 AP P

Contoh 2.13 Persamaan karakteristik dari matriks

         1 2 2 3 A

adalah





1 2 2 3 ₂           

I A

Jadi  1 adalah satu-satunya nilai eigen yang didapat. Vektor eigen yang bersesuaian dengan  1, misalkan

x _0

      y x

yang memenuhi



IA



x= 0

                     0 0 2 2 2 2 y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                  0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 2 0 2 2 1 2 1     b b b

Persamaan yang didapat adalah xy 0. Misalkan xs dan ys. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan  1 adalah

x _                     1 1 s s s y x

Karena merupakan ruang eigen yang berdimensi satu, maka A tidak mempunyai dua vektor eigen yang bebas linier, sehingga A tidak dapat didiagonalisasi.

Teorema 2.7.2 Jika v1,v2,...,vk adalah vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda ₁,₂,...,_k, maka {v1,v2,...,vk} adalah himpunan vektor bebas linier.

(42)

nilai-nilai eigen yang berbeda ₁,₂,...,_k. Misalkan v1,v2,...,vk adalah tidak bebas linier agar didapatkan kontradiksinya. Agar disimpulkan v1,v2,...,vk bebas linier. Karena vektor eigen menurut definisi adalah tak nol, maka {v1} adalah bebas

linier. Misalkan r adalah bilangan bulat terbesar sehingga {v1,v2,...,vk} bebas linier. Karena diasumsikan bahwa {v1,v2,...,vk} tidak bebas linier, r memenuhi syarat 1rk. Selanjutnya, sesuai definisi r, {v1,v2,...,vr+1} tidak bebas linier.

Dengan demikian, skalar c₁,c₂,...,c_r_₁, tidak semuanya nol, sehingga

c1v1 + c2v2 +...+ cr+1vr+1 = 0 (2.4)

Dengan mengalikan kedua sisi pada (2.4) dengan matriks A dan menerapkan Av1 = λ1v1, Av2 = λ2v2, ..., Avr+1 = λ1vr+1

kita memperoleh

c1λ1v1 + c2λ2v2 +...+ cr+1λr+1vr+1 = 0 (2.5)

Dengan mengalikan kedua sisi (2.4) dengan _r_₁ dan mengurangkan persamaan yang diperoleh dari (2.5) menghasilkan

c1(λ1 – λr+1)v1 + c2(λ2 – λr+1)v2 +...+ cr (λr – λr+1)vr = 0

Karena {v1,v2,...,vr} merupakan himpunan bebas linier, persamaan ini mengakibatkan



₁ ₁



₂



₂ ₁



...



₁



1  r c  r  cr r r 

c      

dan karena ₁,₂,...,_r_₁ berbeda, maka diperoleh 0 ...

1 c  cr 

c (2.6)

Substitusi nilai-nilai ini pada (2.4) akan menghasilkan cr+1vr+1

Karena vektor eigen vr+1 tidak nol, maka

1 

 r

c (2.7)

Persamaan (2.6) dan (2.7) bertentangan dengan hal yang terjadi bahwa

1 2 1,c ,...,cr

c tidak semuanya nol. Jadi terbukti bahwa pengandaian salah dan {v1,v2,...,vk} bebas linier.

(43)

29 Contoh 2.14 Dari contoh 2.12 didapatkan matriks

     

     

0 1 0

1 0 1

1 0 1 P

di mana kolom-kolomnya adalah vektor eigen. Karena P 0 maka vektor- vektor kolomnya adalah vektor-vektor yang bebas linier.

Teorema 2.7.3 Jika sebuah matriks A berordo nn memiliki n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi.

Bukti. Jika v1,v2,...,vn adalah vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai-nilai eigen yang berbeda



₁,



₂,...,



_n, maka sesuai teorema 2.7.2, v1,v2,...,vn bebas linier. Jadi sesuai dengan teorema 2.7.1 maka A dapat didiagonalisasi.

Contoh 2.15 Misalkan sebuah matriks

     

   

 

8 17 4

1 0 0

0 1 0 A

memiliki tiga nilai eigen yang berbeda, ₁ 4,₂ 2 3 dan ₃ 2 3. Oleh karena itu, A dapat didiagonalisasi. Yakni :

     

   

 





3 2 0 0

0 3 2 0

0 0

AP P

Selanjutnya untuk menentukan matriks P dapat digunakan cara yang sesuai teorema 2.7.1.

Definisi 2.7.2 Matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P1AP PTAP diagonal. Matriks

P disebut mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Teorema 2.7.4 Jika A adalah matriks berordo nn, maka pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

(44)

(i). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal.

(ii). A memiliki sebuah himpunan vektor-vektor eigen yang ortonormal.

Bukti. (i)  (ii) Karena A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka terdapat sebuah matriks ortogonal P sedemikian hingga matriks P1APadalah diagonal. Sesuai teorema 2.7.1, n vektor kolom matriks P adalah vektor-vektor eigen matriks A. Karena P ortogonal, ortogonal vektor-vektor kolom ini adalah ortonormal, sehingga A memiliki n vektor eigen yang ortonormal.

(ii)  (i) Asumsikan bahwa A memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari n vektor eigen { p1,p2,...,pn }. Sebagaimana ditunjukkan dalam pembuktian pada teorema 2.7.1, matriks P dengan vektor-vektor eigen ini sebagai kolom-kolomnya akan mendiagonalisasi A. Karena vektor-vektor eigen ini ortonormal, maka P ortogonal sehingga akan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Teorema 2.7.5 Jika A adalah matriks yang dapat didiagonalisasi maka A adalah matiks simetris.

Bukti. Misalkan A_{dapat didiagonalisasi secara ortogonal, terdapat matriks} P

yang ortogonal sedemikian hingga :

AP P D 1 Jadi,



PDP

A atau, karena ortogonal, maka :

T PDP A sehingga



PDP



PD P PDP A

AT  T T  T T  T 

terbukti bahwa A_simetris.

Teorema 2.7.6 Jika A adalah matriks simetris, maka vektor-vektor yang berasal dari ruang eigen yang berbeda akan saling ortogonal.

(45)

Bukti. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor eigen yang terkait dengan dua nilai

eigen yang berbeda, yaitu ₁ dan ₂ dari matriks A. Akan ditunjukkan bahwa v1.v2 = 0. Pembuktian mengenai hal ini melibatkan suatu trik yang dimulai dengan

menyatakan Av1.v2. Dari sifat perkalian vektor dan sifat simetris matriks akan A

diperoleh

Av1.v2 = v1. ATv2 = v1. Av2 (2.8)

Tetapi v1 adalah sebuah vektor eigen matriks A yang berhubungan dengan ₁dan v2 adalah sebuah vektor eigen matriks A yang berhubungan dengan ₂, sehingga

persamaan (2.8) menghasilkan hubungan

λ1v1.v2 = v1.λ2v2

dapat dituliskan kembali sebagai

(λ1–λ2)v1.v2 = 0 (2.9)

Karena ₁₂ 0, karena ₁ dan ₂ diasumsikan berbeda. Oleh karena itu, dari persamaan (2.9) diperoleh v1.v2 = 0.

Akibat teorema 2.7.6 di atas, berikut langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk mendiagonalisasi matriks simetris yang ortogonal:

Langkah 1. Tentukan sebuah basis untuk setiap ruang eigen matriks A.

Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis berikut untuk memperoleh sebuah basis ortonormal pada setiap ruang eigen. Langkah 3. Bentuklah sebuah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang dibuat pada langkah 2; matriks ini secara ortogonal mendiagonalisasi A.

Contoh 2.16 Tentukan sebuah matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi

     

    

4 2 2

2 4 2

2 2 4 A

(46)



 



0 4

2 2

2 4 2

2 2 4

2 _ _

  

  

I A

Sehingga, nilai-nilai eigen dari Aadalah  2 dan  8. Dengan menggunakan pencarian basis, dapat ditunjukkan bahwa

u1           

0 1 1

dan u2

          

1 0 1

membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dangan  2. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt pada {u1,u2} akan menghasilkan vektor-vektor

eigen ortonormal seperti berikut:

     

    

0 2 1

2 1

dan v2

     

      

6 2

6 1

Ruang eigen yang terkait dengan  8 memiliki u3

          

1 1 1

sebagai sebuah basis. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt pada {u3} akan

menghasilkan

          

3 1

Akhirnya, dengan menggunakan v1, v2 dan v3 sebagai vektor-vektor kolom

diperoleh

     

   

  



3 1 6 2 0

3 1 6 1 2 1

3 1 6 1 2 1 P

(47)

BAB 3

BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT

Sebuah persamaan yang berbentuk

2 2

2         

j iz hy gx fyz exz dxy cz

by ax

di mana a,b,c,d,e,f tidak semua bernilai nol dan a,b,c,d,e,f,g,h,i,jℝ disebut persamaan kuadrat di dalam variabel x,y dan z atau disebut juga permukaan kuadrat. Titik- titik terletak pada permukaan grafiknya. Permukaan kuadrat diklasifikasikan ke dalam enam bentuk, yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik dan paraboloid hiperbolik.

Apabila suatu permukaan kuadrat dipotong oleh sebuah bidang datar, maka kurva perpotongannya disebut jejak irisan (trace) permukaan pada bidang datar. Perpotongan x, y dan z pada sebuah permukaan, masing- masing koordinat x,

y dan z dari titik- titik persimpangan dari suatu permukaan terletak pada sumbu masing- masing. Ketika diberikan sebuah persamaan dari suatu permukaan, misalkan potongan xk oleh bidang yz, jejak yang dihasilkan adalah salah satu dari grafik irisan kerucut. Begitu juga pada potongan yl_{oleh bidang}xz_dan

z _{oleh bidang} xy. Jejak- jejak yang ada dipakai untuk mensketsa grafik. Berikut bentuk-bentuk standar dan posisi standarnya pada grafik ruang tiga dimensi.

3.1 Elipsoid

Sebuah elipsoid memiliki persamaan dengan bentuk

2 2 2 2 2 2

  

C z B

y A x

(1)

Untuk  25, maka :             15 0 20 0 0 0 20 0 15

25I A dan misal x            z y x

adalah penyelesaian tak trivial dari



25IA



x = 0, yaitu:                                0 0 0 15 0 20 0 0 0 20 0 15 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut









                        0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 175 / 20 15 5 / ~ 0 15 0 20 0 0 0 0 0 20 0 15 2 1 3 1 3       b b b b b

Persamaan yang didapat adalah xz0 dan z0. Misalkan xz0, y s dan z0.

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 25 adalah

x                                  0 1 0 0 0 s s z y x

maka v2

           0 1 0

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan  25.

Basis v2dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :

Normalisasi v2 didapat p2 yang normal

p2 = v2/|| v2 ||

                      0 1 0 0 1 0 1 1

Untuk  30, maka :

            20 0 20 0 5 0 20 0 20

30I A dan misal x            z y x

(2)

66                                0 0 0 20 0 20 0 5 0 20 0 20 z y x

akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut

                     0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 5 / 20 / ~ 0 20 0 20 0 0 5 0 0 20 0 20 1 3 2 1       b b b b

Persamaan yang didapat adalah xz0 dan y0. Misalkan xzs, 0



y dan zs.

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 30 adalah

x                                  1 0 1 0 s s s z y x

maka v3

           1 0 1

adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan  30.

Basis v3dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :

Normalisasi v3 didapat p3 yang normal

p3 = v3/|| v3 ||

                      2 1 0 2 1 1 0 1 2 1

Aadalah diagonalisasi ortogonal oleh matriks

P = [p1 p2 p3]

          _  2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1

Karena P 1, transformasi koordinat ortogonal x = Px’ adalah sebuah rotasi. xTAx + Kx = (Px’)TA(Px’) + K(Px’) = x’T (PT_AP₎_x’ + _K₍_P_x’) = 15

(3)

                                     2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 AP PT            30 0 0 0 25 0 0 0 10 kemudian









2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 2 20 50 2 20 ' ' ' 30 0 0 0 25 0 0 0 10 ' ' '                                            z y x z y x z y x atau

 

' 25

 

' 30

 

' 40 ' 50 ' 15

10 2  2  2   

 x y z x y

 



' 4 '





 

' 2 '



 

' 15

10 2  2   2 

 x x y y z

 



' 4 ' 4





 

' 2 ' 1



 

' 15 40 25 0

10 2   2   2    

 x x y y z

atau



' 2





' 1



 

' 0

10  2  2 2 

 x y z

Mentranslasikan sumbu- sumbu koordinatnya dengan menggunakan persamaan- persamaan translasi

2 ' ' ' x

x , y'' y'1, z''z' menghasilkan

 

'' 25

 

'' 30

 

'' 0

10 2 2  2 

 x y z

atau

     

1 5 ' ' 6 ' ' 15 '

' 2 2 2

 

 y z

Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah Kerucut eliptik yang dirotasi oleh matriks P dan ditranslasi oleh (2, 1,0). Seperti pada Gambar 4.6. Perintah pada Command Window Maple untuk memplot grafiknya:

> with(plots):

(4)

f:=10*x^2+25*y^2+10*z^2-68 >

implicitplot3d(f,x=-4..4,y=-4..4,z=-4..4,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed);

Gambar 4.6. Kerucut eliptik:

15 2 20 50 2 20 40

10 25

(5)

KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Berasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan sebagai berikut :

(i). Untuk menganalisa atau menentukan langkah-langkah perubahan bentuk umum permukaan kuadrat menjadi bentuk standar dapat menggunakan diagonalisasi matriks seperti pada Bab 4.

(ii). Sebuah persamaan kuadrat dengan bentuk,

0 2

2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

j iz hy gx fyz exz dxy cz

by ax

adalah permukaan kuadrat yang diidentifikasi dan diklasifikasikan ke dalam enam jenis grafik yang standar, yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik dan paraboloid hiperbolik yang memiliki masing-masing ciri tertentu seperti pada Bab 3. (iii). Untuk mensketsa grafik standar suatu permukaan kuadrat dapat digunakan

jejak pada setiap bidang dan perpotongan pada setiap sumbu koordinat. Apabila persamaan memiliki x2 dan xatau y2 dan y atau z2 dan z sekaligus dapat diubah menjadi bentuk standar dengan menyempurnakan kuadratnya. Apabila persamaan memiliki suku xy, xz dan yz (yaitu, suku hasilkali silang) di dalam persamaannya dapat diubah menjadi bentuk standar dengan mencari matriks pendiagonal P.

(iv). SoftwareMaple hanya menunjukkan visualisasi grafik yang dicirikan sesuai dengan bentuk standar yang dihasilkan.

5.2 Saran

(6)

pada bidang-bidang ilmu lainnya yang dapat membantu pengembangan ilmu pengetahuan yang langsung bisa dipakai di kehidupan manusia.