Dimensi Tiga dimensi gua potro (2)
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri merupakan salah satu cabang dari matematika yang memuat
konsep mengenai titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang beserta sifatsifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungannya antara satu dengan yang lain.
Selain itu, pada konteks kehidupan sehari-hari, hal-hal yang terkait dengan
geometri pun seringkali dijumpai oleh siswa, misalnya melalui bentuk papan
tulis, atap rumah, jendela, pintu, danbenda lainnya yang mengandung unsur
dari geometri.
Salah satu topik dalam geometri yang dipelajari oleh siswa di jenjang
Sekolah Menengah Atas (SMA) adalah mengenai dimensi tiga. Materi
dimensi tiga yang diajarkan tersebut meliputi konsep kedudukan titik, garis,
dan bidang dalam ruang dimensi tiga; jarak dari titik ke garis dan jarak dari
titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga; serta besar sudut antara garis dan
bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga?
2. Bagaimana menentuka kedudukan titik ke garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga?
3. Bagimana menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua
bidang dalam ruang dimensi tiga?
C. Tujuan Penulisan
Untuk menjawab segala permasalahan yang ada pada rumusan
masalah dan mengaplikasikannya dalam bentuk soal.
TEORI DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG)
1. Unsur-unsur Bangun Ruang
Beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang, antara
lain:
1. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah suatu tempat untuk menggambar.
2. Bidang Frontal
Bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar. Bidang ABFE dan
DCHG adalah frontal.Keistimewaan bidang frontal adalah ukuran dan
bentuk sama dengan bentuk dan ukuran sebenarnya.
3. Garis frontal
Garis yang terletak pada bidang frontal. Contoh garis frontal AE, BF, CG,
DH, AB, EF, GH, dan CD.
4. Garis ortogonal
Garis yang tegak lurus pada bidang frontal misalnya AD, BC, EH, dan FG.
5. Sudut surut (sudut menyisi)
Sudut dalam gambar ruang yang besarnya ditentukan oleh garis frontal
horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Pada gambar di
atas sudut surutnya ∠BAD dan ∠FEH. Sudut - sudut itu sebenarnya 90°,
tetapi dalam gambar ruang dilukis kurang dari 90° atau lebih dari 90°..
6. Perbandingan Ortogonal (perbandingan proyeksi)
Perbandingan antara panjang garis ortogonal yang digambar dengan
panjang garis ortogonal yang sebenarnya..
Misal panjang AD yang digambar 3 cm sedangkan panjang AD yang
sebenarnya 6 cm maka :
7. Irisan Suatu Bidang Dengan Bangun Ruang
Irisan antara bidang dan bangun ruang merupakan bangun datar yang
dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang sisi dari
bangun ruang yang bersangkutan serta membagi dua bangun ruang itu.
Ada 2 cara untuk menggambar bangun ruang yaitu :
a) Sumbu afinitas
b) Titik potong diagonal irisan
2. Ruang Dimensi Tiga
1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
a. Titik
Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki
ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi.
Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..
b. Garis
Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai
ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya
memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu..
c. Bidang
Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran
panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..
d. Aksioma Garis dan Bidang
Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam
sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..
1. Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat
dibuat sebuah garis lurus
2. Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik
persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang
3. Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat
sebuah bidang
Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk
menentukan sebuah bidang :
1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak
segaris
2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik
terletak di luar garis)
3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan
4. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar
2. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
a. Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat
dilalui oleh garis
b. Titik di Luar Garis
Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak
dapat dilalui oleh garis
c. Titik Terletak pada Bidang
Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat
dilalui oleh bidang α
d. Titik di Luar Bidang
Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak
dapat dilalui oleh bidang α
3. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
a. Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak
pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik
persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan
pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan
berimpit
b. Dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada
sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
c. Dua garis bersilangan
Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak
sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
d. Aksioma Dua Garis Sejajar
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya
dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Dalil tentang dua garis sejajar :
a. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis
c, maka garis a sejajar dengan garis c..
b. Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar
garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c
terletak pada sebuah bidang.
c. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang,
maka garis a juga menembus bidang.
4. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
a. Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu
sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
b. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak
memiliki satupun titik persekutuan.
c. Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis
tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik
persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus.
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :
1.
Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk
-
2.
rusuk EF, EH, FG, dan GH
Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah
3.
rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang
α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang
1. Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α,
maka garis g sejajar dengan bidang α
2. Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β,
maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar
terhadap garis g
3. Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang
α, maka garis g sejajar terhadap bidang α
4. Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar
terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta
akan sejajar dengan garis g.
Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
1. Buat bidang β melalui garis g
2. Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)
3. Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah
titik T
5. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain
a. Dua bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak
pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β.
b. Dua Bidang Sejajar
Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak
memiliki satupun titik persekutuan.
c. Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu
tepat
memiliki
tepat
sebuah
garis
persekutuan.
d. Tiga Bidang Berpotongan
Jika tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis
persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis
persekutuan itu adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik..
6. Jarak dari Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang
a. Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ
b. Jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik P dan garis q ditentukan dengan cara menarik
garis dari titik P tegak lurus garis q, maka garis PP' adalah jarak
antara titik P dan garis q, kemudian untuk memudahkan
penghitungan kita buat bentuk segitiga.
Apabila segitiga yang terjadi berbentuk segitiga sebarang maka
penyelesaiannya bisa kita gunakan aturan cosinus, aturan sinus,
atau perbandingan sudut trigonometri yang berelasi.
c. Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α adalah panjang ruas garis PP',
dengan P' merupakan proyeksi titk P pada bidang α.
7. Jarak dari Garis ke Garis, Garis ke Bidang, dan Bidang ke
Bidang
a.
Jarak dua garis bersilangan
Jarak garis BC dan AH adalah garis AB
Pada gambar diatas mencari jarak antara garis BE dan CF,
kemudian dibuat bidang yang dilalui oleh kedua garis tadi,
jarak dua bidang yang sejajar itu merupakan jarak antara garis
BE dengan CF ( garis PQ )
b.
Jarak dua garis sejajar
Pada gambar di atas mencari jarak antara 2 garis yang sejajar
yaitu EH dengan BC, karena kedua garis itu sejajar maka
dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis itu, jarak
c.
kedua garis itu adalah garis BE atau CH.
Jarak garis dan bidang yang sejajar
Gambar diatas, mencari jarak dari garis AE ke bidang DBFH
yang sejajar, dibuat bidang yang melalui garis AE dimana
bidang tersebut juga memotong tegak lurus bidang DBFH,
dari garis persekutuan antara dua bidang ditarik garis tegak
lurus AE.
d. Jarak dua bidang yang sejajar
Jarak antara bidang α dan β yang sejajar dalah jarak sebarang
titik A pada bidang α dan A' pada bidang β, dimana A' adalah
proyeksi titik A pada bidang β
A = sebarang
titik
pada
bidang α
A' = proyeksi
titik A pada
bidang β
AA' = jarak
antara bidang
&alpha dan beta.
3. Menghitung Sudut Ruang
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Dua garis dikatakan berpotongan,maka dua garis tersebut berada dalam
bidang yang sama. Maka menentukan sudut dua garis yang berpotongan
sama seperti menentukan sudut berpotongan pada bidang datar.
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Dua garis dikatakan bersilangan, maka dua garis tersebut berada dalam
bidang yang berlainan. Maka menentukan sudut dua garis yang
bersilangan dengan cara menggeser salah satu garis atau keduanya
sehingga keduanya terletak pada bidang yang sama.
Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut antara dua garis
bersilangan
yang
dimaksud.
Gambar di atas cara menentukan besar sudut antara dua garis yang
bersilangan DE dan HF
3. Sudut antara garis dan bidang
Jika suatu garis tidak tegak lurus pada bidang, maka sudut antara garis dan
bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis dan proyeksi garis
tersebut
pada
bidang.
P'Q =
proyeksi garis PQ
pada
bidang
4. Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis yang berpotongan, garis - garis itu tegak lurus terhadap
garis
Gambar
potong
antara
kedua
diatas
bidang TBA dengan bidang
bidang
menunjukkan
tersebut.
sudut
antara
ABC
Latihan
Soal
dan
Pembahasannya
1. Lukislah suatu bidang α yang melalui titk - titik A,B, dan C
Penyelesaian:
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S
merupakan proyeksi titik C pada AFH maka jarak titik A ke titik S
adalah…
Penyelesaian:
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan luas permukaannya adalah
216 dm² . Jarak diagonal ruang BH dan diagonal sisi AC adalah…
Penyelesaian:
Jarak garis BH dengan garis AC sama dengan yz lihat gambar di bawah
ini :
4. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonal ruangnya
12√3 cm. Jarak bidang CFH dan bidang BDE adalah…
Penyelesaian:
Lihat gambar di atas jarak kedua bidang sama dengan jarak titik x dan y
(xy)..
BAB II
APLIKASI DIMENSI TIGA DAN PENERAPANNYA
Pendahuluan
Ketika kamu di SMP tentu pernah belajar bangun-bangun ruang antara
lain luas dan volume bangun ruang. Pada materi ini kamu akan
mempelajari jarak dalam ruang, antara lain: jarak antara dua titik, jarak
antara titik dan garis dan jarak antara titik dengan bidang. Untuk itu kalian
harus membangun persepsi tentang ruang, sebab ilustrasi atau gambar
dalam ruang tidak dapat dinyatakan dengan sebenarnya, karena adanya
kemiringan bidang yang memuat titik atau garis yang dimaksud. Banyak
sekali manfaat dari pengetahuan tentang jarak ini dalam kehidupan seharihari terutama yang berhubungan dengan bidang teknik bangunan.
Jika ada dua buah bola, apa yang dimaksud jarak antara keduanya?
Apakah
jarak
antara
kedua
pusatnya?
Atau
lainnya?
Bagaimana pula menentukan jarak antara dua bagian gedung yang satu
dengan lainnya agar dapat ditentukan misalnya kebutuhan kabel untuk
keperluan tertentu?
Bagaimana menentukan jarak antara kabel jaringan arus kuat yang
melintasi bangunan-bangunan agar medan listrik tidak mengganggu
penghuninya
maupun
alat-alat
elektronik
di
dalamnya?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas perlu dipahami pengertian
dan cara menentukan jarak antara dua benda. Jika kita membicarakan
jarak sering kita dihadapkan pada dua benda. Untuk itulah pembahasan
jarak dalam ruang dilakukan idealisasi dan penyederhanaan agar sifat-sifat
umumnya mudah dipahami.
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri merupakan salah satu cabang dari matematika yang memuat
konsep mengenai titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang beserta sifatsifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungannya antara satu dengan yang lain.
Selain itu, pada konteks kehidupan sehari-hari, hal-hal yang terkait dengan
geometri pun seringkali dijumpai oleh siswa, misalnya melalui bentuk papan
tulis, atap rumah, jendela, pintu, danbenda lainnya yang mengandung unsur
dari geometri.
Salah satu topik dalam geometri yang dipelajari oleh siswa di jenjang
Sekolah Menengah Atas (SMA) adalah mengenai dimensi tiga. Materi
dimensi tiga yang diajarkan tersebut meliputi konsep kedudukan titik, garis,
dan bidang dalam ruang dimensi tiga; jarak dari titik ke garis dan jarak dari
titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga; serta besar sudut antara garis dan
bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga?
2. Bagaimana menentuka kedudukan titik ke garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga?
3. Bagimana menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua
bidang dalam ruang dimensi tiga?
C. Tujuan Penulisan
Untuk menjawab segala permasalahan yang ada pada rumusan
masalah dan mengaplikasikannya dalam bentuk soal.
TEORI DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG)
1. Unsur-unsur Bangun Ruang
Beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang, antara
lain:
1. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah suatu tempat untuk menggambar.
2. Bidang Frontal
Bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar. Bidang ABFE dan
DCHG adalah frontal.Keistimewaan bidang frontal adalah ukuran dan
bentuk sama dengan bentuk dan ukuran sebenarnya.
3. Garis frontal
Garis yang terletak pada bidang frontal. Contoh garis frontal AE, BF, CG,
DH, AB, EF, GH, dan CD.
4. Garis ortogonal
Garis yang tegak lurus pada bidang frontal misalnya AD, BC, EH, dan FG.
5. Sudut surut (sudut menyisi)
Sudut dalam gambar ruang yang besarnya ditentukan oleh garis frontal
horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Pada gambar di
atas sudut surutnya ∠BAD dan ∠FEH. Sudut - sudut itu sebenarnya 90°,
tetapi dalam gambar ruang dilukis kurang dari 90° atau lebih dari 90°..
6. Perbandingan Ortogonal (perbandingan proyeksi)
Perbandingan antara panjang garis ortogonal yang digambar dengan
panjang garis ortogonal yang sebenarnya..
Misal panjang AD yang digambar 3 cm sedangkan panjang AD yang
sebenarnya 6 cm maka :
7. Irisan Suatu Bidang Dengan Bangun Ruang
Irisan antara bidang dan bangun ruang merupakan bangun datar yang
dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang sisi dari
bangun ruang yang bersangkutan serta membagi dua bangun ruang itu.
Ada 2 cara untuk menggambar bangun ruang yaitu :
a) Sumbu afinitas
b) Titik potong diagonal irisan
2. Ruang Dimensi Tiga
1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
a. Titik
Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki
ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi.
Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..
b. Garis
Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai
ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya
memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu..
c. Bidang
Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran
panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..
d. Aksioma Garis dan Bidang
Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam
sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..
1. Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat
dibuat sebuah garis lurus
2. Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik
persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang
3. Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat
sebuah bidang
Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk
menentukan sebuah bidang :
1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak
segaris
2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik
terletak di luar garis)
3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan
4. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar
2. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
a. Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat
dilalui oleh garis
b. Titik di Luar Garis
Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak
dapat dilalui oleh garis
c. Titik Terletak pada Bidang
Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat
dilalui oleh bidang α
d. Titik di Luar Bidang
Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak
dapat dilalui oleh bidang α
3. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
a. Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak
pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik
persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan
pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan
berimpit
b. Dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada
sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
c. Dua garis bersilangan
Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak
sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
d. Aksioma Dua Garis Sejajar
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya
dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Dalil tentang dua garis sejajar :
a. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis
c, maka garis a sejajar dengan garis c..
b. Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar
garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c
terletak pada sebuah bidang.
c. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang,
maka garis a juga menembus bidang.
4. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
a. Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu
sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
b. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak
memiliki satupun titik persekutuan.
c. Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis
tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik
persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus.
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :
1.
Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk
-
2.
rusuk EF, EH, FG, dan GH
Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah
3.
rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang
α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang
1. Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α,
maka garis g sejajar dengan bidang α
2. Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β,
maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar
terhadap garis g
3. Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang
α, maka garis g sejajar terhadap bidang α
4. Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar
terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta
akan sejajar dengan garis g.
Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
1. Buat bidang β melalui garis g
2. Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)
3. Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah
titik T
5. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain
a. Dua bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak
pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β.
b. Dua Bidang Sejajar
Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak
memiliki satupun titik persekutuan.
c. Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu
tepat
memiliki
tepat
sebuah
garis
persekutuan.
d. Tiga Bidang Berpotongan
Jika tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis
persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis
persekutuan itu adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik..
6. Jarak dari Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang
a. Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ
b. Jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik P dan garis q ditentukan dengan cara menarik
garis dari titik P tegak lurus garis q, maka garis PP' adalah jarak
antara titik P dan garis q, kemudian untuk memudahkan
penghitungan kita buat bentuk segitiga.
Apabila segitiga yang terjadi berbentuk segitiga sebarang maka
penyelesaiannya bisa kita gunakan aturan cosinus, aturan sinus,
atau perbandingan sudut trigonometri yang berelasi.
c. Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α adalah panjang ruas garis PP',
dengan P' merupakan proyeksi titk P pada bidang α.
7. Jarak dari Garis ke Garis, Garis ke Bidang, dan Bidang ke
Bidang
a.
Jarak dua garis bersilangan
Jarak garis BC dan AH adalah garis AB
Pada gambar diatas mencari jarak antara garis BE dan CF,
kemudian dibuat bidang yang dilalui oleh kedua garis tadi,
jarak dua bidang yang sejajar itu merupakan jarak antara garis
BE dengan CF ( garis PQ )
b.
Jarak dua garis sejajar
Pada gambar di atas mencari jarak antara 2 garis yang sejajar
yaitu EH dengan BC, karena kedua garis itu sejajar maka
dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis itu, jarak
c.
kedua garis itu adalah garis BE atau CH.
Jarak garis dan bidang yang sejajar
Gambar diatas, mencari jarak dari garis AE ke bidang DBFH
yang sejajar, dibuat bidang yang melalui garis AE dimana
bidang tersebut juga memotong tegak lurus bidang DBFH,
dari garis persekutuan antara dua bidang ditarik garis tegak
lurus AE.
d. Jarak dua bidang yang sejajar
Jarak antara bidang α dan β yang sejajar dalah jarak sebarang
titik A pada bidang α dan A' pada bidang β, dimana A' adalah
proyeksi titik A pada bidang β
A = sebarang
titik
pada
bidang α
A' = proyeksi
titik A pada
bidang β
AA' = jarak
antara bidang
&alpha dan beta.
3. Menghitung Sudut Ruang
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Dua garis dikatakan berpotongan,maka dua garis tersebut berada dalam
bidang yang sama. Maka menentukan sudut dua garis yang berpotongan
sama seperti menentukan sudut berpotongan pada bidang datar.
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Dua garis dikatakan bersilangan, maka dua garis tersebut berada dalam
bidang yang berlainan. Maka menentukan sudut dua garis yang
bersilangan dengan cara menggeser salah satu garis atau keduanya
sehingga keduanya terletak pada bidang yang sama.
Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut antara dua garis
bersilangan
yang
dimaksud.
Gambar di atas cara menentukan besar sudut antara dua garis yang
bersilangan DE dan HF
3. Sudut antara garis dan bidang
Jika suatu garis tidak tegak lurus pada bidang, maka sudut antara garis dan
bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis dan proyeksi garis
tersebut
pada
bidang.
P'Q =
proyeksi garis PQ
pada
bidang
4. Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis yang berpotongan, garis - garis itu tegak lurus terhadap
garis
Gambar
potong
antara
kedua
diatas
bidang TBA dengan bidang
bidang
menunjukkan
tersebut.
sudut
antara
ABC
Latihan
Soal
dan
Pembahasannya
1. Lukislah suatu bidang α yang melalui titk - titik A,B, dan C
Penyelesaian:
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S
merupakan proyeksi titik C pada AFH maka jarak titik A ke titik S
adalah…
Penyelesaian:
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan luas permukaannya adalah
216 dm² . Jarak diagonal ruang BH dan diagonal sisi AC adalah…
Penyelesaian:
Jarak garis BH dengan garis AC sama dengan yz lihat gambar di bawah
ini :
4. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonal ruangnya
12√3 cm. Jarak bidang CFH dan bidang BDE adalah…
Penyelesaian:
Lihat gambar di atas jarak kedua bidang sama dengan jarak titik x dan y
(xy)..
BAB II
APLIKASI DIMENSI TIGA DAN PENERAPANNYA
Pendahuluan
Ketika kamu di SMP tentu pernah belajar bangun-bangun ruang antara
lain luas dan volume bangun ruang. Pada materi ini kamu akan
mempelajari jarak dalam ruang, antara lain: jarak antara dua titik, jarak
antara titik dan garis dan jarak antara titik dengan bidang. Untuk itu kalian
harus membangun persepsi tentang ruang, sebab ilustrasi atau gambar
dalam ruang tidak dapat dinyatakan dengan sebenarnya, karena adanya
kemiringan bidang yang memuat titik atau garis yang dimaksud. Banyak
sekali manfaat dari pengetahuan tentang jarak ini dalam kehidupan seharihari terutama yang berhubungan dengan bidang teknik bangunan.
Jika ada dua buah bola, apa yang dimaksud jarak antara keduanya?
Apakah
jarak
antara
kedua
pusatnya?
Atau
lainnya?
Bagaimana pula menentukan jarak antara dua bagian gedung yang satu
dengan lainnya agar dapat ditentukan misalnya kebutuhan kabel untuk
keperluan tertentu?
Bagaimana menentukan jarak antara kabel jaringan arus kuat yang
melintasi bangunan-bangunan agar medan listrik tidak mengganggu
penghuninya
maupun
alat-alat
elektronik
di
dalamnya?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas perlu dipahami pengertian
dan cara menentukan jarak antara dua benda. Jika kita membicarakan
jarak sering kita dihadapkan pada dua benda. Untuk itulah pembahasan
jarak dalam ruang dilakukan idealisasi dan penyederhanaan agar sifat-sifat
umumnya mudah dipahami.