Statistik kapita yang bener docx
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha
Esa, karena atas berkat rahmat-Nya kami dapat menyelasaikan
tugas Matematika teyang berjudul “Statitika” ini dengan tepat
waktu.
Dalam pembuatan makalah ini, kami sadar bahwa masih
banyak kurang dalam materi, dan tata bahasa. Untuk itu kami
mengharapkan saran dan kritikan yang membangun dari ibu
dosen pengampuh kapita selekta menengah.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat dan dapat
memanbah wawasan kita tentang Statistika terima kasih.
Palembang, November 2017
Kelompok 2
BAB 1
STATISTIKA
A. Pengertian Statistika
Istilah statistik digunakan
untuk
menggambarkan
sekumpulan data yang telah disusun kedalam daftar atau
diagram. Ilmu tentangstatistik dinamakan statistika, yaitu ilmu
pengetahuan tentang
metode
pengumpulan,
pengolahan,
penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data penelitian.
Bagian
statistika
pengolahan,
yang
dan
meliputi
penafsiran
metode
pengumpulan,
secara deskriptif(uraian)
dinamakan statistika deskriptif, sedangkan metode penarikan
kesimpulan dinamakan statistika inferensi. Penelitian dapat
dilakukan terhadap sejumlah objek secara keseluruhan, yang
disebut populasi atau hanya sebagian objek disebut sampel.
B. Penyajian Data
a) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Diagram merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data
berupa angka yang biasanya berasal dari tabel-tabelyang telah
di buat. Beberapa diagram yang akan kita pelajari antara lain
sebagai berikut :
1. Diagram Batang
Dalam
penyajian
data
dengan
diagram
batang,
data
disajikan dalam bentuk batang yang berbentuk pesegi
panjang yang digambarkan vertikal atau horizontal dengan
lebar yang sama.
2. Diagram Garis
Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang
menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke
waktu.
3. Diagram Lingkaran
Diagram
lingkaran
digunakan
untuk
menunjukkan
perbandingan antar item data dengan cara membagi
lingkaran dalam juring-juring lingkaran dengan sudut pusat
yang sesuai dengan perbandingan tersebut
Berikut adalah contoh penyajian dalam bentuk diagram batang, diagram
garis, diagram lingkaran dan diagram gambar.
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa :
37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Diagram Batang
Diagram Garis
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran dalam satuan derjat (o)
b) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Data dapat kita sajikan dalam bentuk tabel atau daftar. Jika
data yang akan kita sajikan cukup besar, maka data tersebut
harus dikelompokkan, kemudian disusun dalam bentuk tabel
yang disebut daftar sebaran frekuensi atau daftar distribusi
frekuensi.
Contohnya adalah :
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa :
37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Data tersebut jika disusun dalam bentuk Tabel/Diagram menjadi sebagai
berikut.
Tabel
NO SEPATU
FREKUENSI
(x)
(f)
36
1
37
3
38
1
39
2
40
0
41
1
42
2
C. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a.
Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n ≥ 30) lebih tepat disajikan dalam
tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun
dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah
sebagai berikut.
Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus
"Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus
merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar
adalah batas atas interval kelas terakhir.
Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai
dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan
banyak turus.
Contoh soal:
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang.
Data
hasil
penelitian
itu
(dalam
kg)
diberikan
berikut
ini:
48
32
46
27
43
46
25
41
40
58
16
36
21
42
47
55
60
58
46
44
63
66
28
56
50
21
53
39
Sajikan
Jawab :
56
data
55
tersebut
25
74
ke
dalam
43
tabel
37
51
distribusi
frekuensi.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi
bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan
membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data
dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data
seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20/80 = 1/4,
sedangkan
frekuensi
relatifnya
adalah
1/4
×
100%
=
25%.
Dari uraian tersebut, dapatkah nyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah
nyatakan rumus frekuensi relatif.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud
dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas
kelas);
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah
kelas).
Contoh soal:
Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah
a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif "kurang dari";
c. frekuensi kumulatif "lebih dari".
Jawab :
c.
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya
seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk
pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas.
Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang
dapat ditulis sebagai berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap
puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup"
maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing
ditambah satu kelas.
Contoh soal:
Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di
Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah histogram dan poligon
frekuensinya.
Jawab :
d.
Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau
frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi
yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai
kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya
disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
Contoh soal:
Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif
"kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.
a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85?
c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih dari 40?
Jawab :
D. Ukuran Pemusatan Data
Nilai statistim yang dapat menggambarkan keadaansuatu
data antara lainadalah Mean (rataan hitung), Modus, dan Median
dengan menyatakan ukuran pemusatan data.
a) Ukuran Pemusatan Data untuk Tunggal.
Mean
Mean merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata –
rata dari kelompok tersebut. Rata – rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan
data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu
yang ada pada kelompok tersebut.
Rumus mean data tunggal :
contoh soal mean data tunggal :
data :
4
7
2
3
Rumus mean data kelompok :
2
7
7
9
4
Keterangan :
fi
: frekuensi untuk nilai untuk Xi yang bersesuaian.
X0
: tanda kelas dengan nilai sandi ci = 0.
Tanda kelas yang lebih besar dari X0 berturut-turut mempunyai harga +1, +2, dst dan
Sebaliknya-1,-2,dst.
contoh soal mean data kelompok :
Diketahui data tinggi badan sekelompok siswa sebagai berikut.
Tinggi
Badan
Frekuensi
131 – 140
2
141 – 150
5
151 – 160
13
161 – 170
12
171 – 180
9
181 – 190
4
Hitunglah rerata (mean) data tersebut.
Rata-rata
= (2(135,5) + 5(145,5) + 13(155,5) + 12(165,5) +9(175,5) + 4(185,5)) / (2 + 5 + 13 + 12 + 9
+ 4)
= (271 + 727,5 + 2021,5 + 1986 + 1579,5 + 724 ) / (2 + 5 + 13 + 12 + 9 + 4)
= 7327,5 / 45
= 162,83
Median
Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai
tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai
yang terbesar, atau sebaliknya. Jika ukuran data ganjil, maka median (Me) merupakan
data paling tengah setelah data diurutkan menurut nilainya, tetapi jika ukuran data
genap, maka median adalah rata-rata dua data tengah setelah diurutkan. Pada data
tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai
terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yag telah diurutkan itu
merupakan nilai median.
Rumus mencari median :
Keterangan :
Lo
= tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,
Me
= nilai median,
N
= banyaknya data,
Fk
= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,
f0
= frekuensi kelas yang memuat median,
c
= panjang intreval kelas
contoh soal median data tunggal median :
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
data terurut : 2 2 3 4 4 7 7 7 9
contoh soal median data kelompok :
Kelas
Frekuensi
F Kumulatif
15-19
5
5
20-24
7
12
25-29
10
22
30-34
15
37
35-39
13
50
40-44
8
58
45-49
3
60
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan
suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi
Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16
Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
Modus
Modus merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai
yang sedang populer (yang sdang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul
dalam kelompok tesebut.
Rumus mencari modus :
Keterangan :
L
= batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas modus
d1
= selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas yang mendahuluinya (sebelumnya).
= selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas berikutnya
d2
i
= interval kelas/panjang kelas.
contoh soal modus data tunggal :
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
modus dari data tersebut adalah : 7
contoh soal modus data kelompok :
Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya?
Batas Kelas
Frekuensi
19,5-24,5
100
24,5-30,5
120
30,5-35,5
70
35,5-40,5
150
40,5-45,5
90
45,5-50,5
80
50,5-55,5
30
Interval Kelas (c) = 5
Batas Bawah Kelas modus = 35,5
fo = 150
f1 = 70
f2 = 90
jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36
D. Ukuran Letak Data
Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat
bagian yang sama. Kuartil dialmbangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu
kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).
1. Kuartil untuk Data Tunggal
Keterangan
Q1
n = banyaknya data
=
kuartike
Contoh Soal Kuartil Data Tunggal
Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9,
Jawab :
Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10
n = 17
:
ke-i
2. Kuartil untuk data Bergolong (Berkelompok)
Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok
Keterangan :
Qi
= kuartil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas kuartil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f
= frekuensi kelas kuartil
Contoh Soal Kuartil Data Bergolong
Tentukan Qi dari data berikut:
Jawab :
Desil
Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar.
Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yairu D1 , D2 , D3, ….,…,…,D9.
1. Desil untuk data tunggal
Keterangan :
Di = desilk e-i
n = banyaknya data
Contoh Soal Desil Data Tunggal
Tentukan desil ke-8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6,.
Jawab:
n = 16
data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9.
2. Desil untuk data Bergolong ( berkelompok)
Menentukan letak desil untuk data berkelompok
Keterangan :
D1
= desil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas kuartil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f
= frekuensi kelas kuartil
Contoh Soal Desil Data Bergolong
Tentukan nilai D6 dari data berikut
Jawab:
Jadi, nilai D6 adalah 21,9
Persentil
Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi serratus bagian sama besar.
Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis persentil ada 99, yaitu P 1, P2, P3 …
P99.
1. Data tunggal
Keterangan :
Pi
= pesentil ke-i
n
= banyaknya data
Contoh Soal Persentil Data Tunggal
Tentukan persentil ke-65 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.
Jawab:
n = 15
data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9.
Jadi, nilai persentil ke-65 adalah 7,4.
2. Data bergolong (Berkelompok)
Menetukan letak persentil untuk data berkelompok
Keterangan :
Pi
= persentil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas persentil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
f
= frekuensi kelas persentil
Contoh Soal Persentil Data Berkelompok
Tentukan P30 dari data berikut
Jawab:
E. Ukuran Penyebaran Data
Dalam pengukuran statistika terdpat pula Ukuran Penyebaran data. Ukuran
penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data
menyebar dari rata-rata. Terdapat ukuran penyebaran data yang akan kita pelajari
pada artikel ini, yaitu Jangkauan (range), Simpangan rata-rata, Ragam (variasi), dan
Simpangan Baku. namun, sebelum anda mempelajari postingan ini, sebaiknya anda
baca dulu materi sebelumnya tentang pengertian Statistika, Ukuran Pemusatan data
Dan Ukuran Letak Data.
Penjelasan dan uraian lengkapnya akan dijelaskan pada penjelasan di bawah ini.
Jangkauan (Range)
Jangkauan merupakan selisih data terbesar dan data terkecil. Jangkauan
sering dilambangkan dengan R.
1. Jangkauan Data
R = xmaks – xmin
Keterangan:
R
= jangkauan
Xmaks = data terbesar
Xmin = data terkecil
Contoh Soal Jangkauan Data
Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.
Jawab :
R = xmaks – xmin
= 10-2 = 8
Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8.
2. Jangkauan interkuartil
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.
H = Q3 – Q1
Keterangan :
H
= jangkauan interkuartil
Q3
= kuartil ketiga
Q1
= kuartil pertama
3. Simpangan kuartil ( jangkauan semi interkuartil)
Singan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama.
Sk = ½ Q3 – Q1
Keterangan :
Sk
= simpangan kuartil
Q3
= kuartil ketiga
Q1
= kuartil pertama
Simpangan Rata- Rata
Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari selisih
setiap data dengan nilai mean atau rataan hitungnya. Simpangan ratarata sering dilambangkan dengan SR.
1. Data Tunggal
Keterangan :
SR
= simpangan rata-rata
Xi
= data ke-i
X
= rataan hitung
n
= banyak data
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data tunggal
Tentukan simpangan rata-rata dari data 4,6,8,5,4,9,5,7.
Jawab :
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,5
2. Data Bergolong (Berkelompok)
Keterangan :
SR
= simpangan rata-rata
Xi
= data ke-i
X
= rataan hitung
fi
= frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data Berkelompok
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:
Data
f
41-45
6
46-50
3
51-55
5
56-60
8
61-65
8
Jawab:
Data
f
xi
fixi
|xi-x|
Fi|xi-x|
41-45
6
43
258
11,5
69
46-50
3
48
114
6,5
19,5
51-55
5
53
265
1,5
7,5
56-60
8
58
464
3,5
28
61-65
8
63
504
8,5
68
Jumlah
30
1.635
165
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,5.
Varian (ragam)
Ragam atau variasi adlah nilai yang menunjukkan besarnya
penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau variasi dilambangkan
dengan s2.
1. Variasi untuk data tunggal
Keterangan :
s2
= variasi
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
n
= banyak data
2. Variasi untuk data bergolong (berkelompok)
Keterangan :
s2
= variasi
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
fi
= frekuensi data ke-i
Simpangan baku
Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar merupakan akar
dari jumlah kuadrat diviasi dibagi banyaknya data. Simpangan baku sering
dilambangkan dengan s.
1. Simpangan baku untuk data tunggal
Keterangan :
S
= simpangan baku
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
n
= banyak data
2. Simpangan baku untuk data bergolong (berkelompok)
Keterangan :
s
= simpangan baku
xi
x
fi
= data ke –i
= rataan hitung
= frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Baku
Tentukan variari dan simpangan baku dari data : 4,6,8,7,9,8.
Data
f
41-45
6
46-50
3
51-50
5
56-60
8
61-65
8
Jawab :
Data
f
xi
fixi
(xi-x)2
fi(xi-x)2
41-45
6
43
258
132.25
93.5
46-50
3
48
144
42.25
126.75
51-50
5
53
265
2.25
11.25
56-60
8
58
464
12.25
98
61-65
8
63
504
72.25
578
Jumlah
30
1.635
676
Jadi, variasinya = 22,53 dan simpangan bakunya = 4,75.
DAFTAR PUSTAKA
Ayu,dhea.2013,”Ukuran Penyebaran Data”, (online),
http://dheaayuwikuningtyas.blogspot.com/2013/10/quartilrange-deviasi-dan-varians.html, (diakses pada 8 november
2017).
Blogspot. Com, 2014, “Statistika”’(online),
http://belajar-soalmatematika.blogspot.com/2014/01/statistika-matematikaukuran-penyebaran.html, (diakses pada 8 november 2017).
Suprijanto,H.Sigit. 2006. Matematika. Jakarta: Yudhistira.
Study, Matematika .2013,”Statistika”, (online),
http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/144statistika-data-ragam-dan-simpangan-baku-html,
pada 8 november 2017).
(diakses
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha
Esa, karena atas berkat rahmat-Nya kami dapat menyelasaikan
tugas Matematika teyang berjudul “Statitika” ini dengan tepat
waktu.
Dalam pembuatan makalah ini, kami sadar bahwa masih
banyak kurang dalam materi, dan tata bahasa. Untuk itu kami
mengharapkan saran dan kritikan yang membangun dari ibu
dosen pengampuh kapita selekta menengah.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat dan dapat
memanbah wawasan kita tentang Statistika terima kasih.
Palembang, November 2017
Kelompok 2
BAB 1
STATISTIKA
A. Pengertian Statistika
Istilah statistik digunakan
untuk
menggambarkan
sekumpulan data yang telah disusun kedalam daftar atau
diagram. Ilmu tentangstatistik dinamakan statistika, yaitu ilmu
pengetahuan tentang
metode
pengumpulan,
pengolahan,
penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data penelitian.
Bagian
statistika
pengolahan,
yang
dan
meliputi
penafsiran
metode
pengumpulan,
secara deskriptif(uraian)
dinamakan statistika deskriptif, sedangkan metode penarikan
kesimpulan dinamakan statistika inferensi. Penelitian dapat
dilakukan terhadap sejumlah objek secara keseluruhan, yang
disebut populasi atau hanya sebagian objek disebut sampel.
B. Penyajian Data
a) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Diagram merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data
berupa angka yang biasanya berasal dari tabel-tabelyang telah
di buat. Beberapa diagram yang akan kita pelajari antara lain
sebagai berikut :
1. Diagram Batang
Dalam
penyajian
data
dengan
diagram
batang,
data
disajikan dalam bentuk batang yang berbentuk pesegi
panjang yang digambarkan vertikal atau horizontal dengan
lebar yang sama.
2. Diagram Garis
Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang
menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke
waktu.
3. Diagram Lingkaran
Diagram
lingkaran
digunakan
untuk
menunjukkan
perbandingan antar item data dengan cara membagi
lingkaran dalam juring-juring lingkaran dengan sudut pusat
yang sesuai dengan perbandingan tersebut
Berikut adalah contoh penyajian dalam bentuk diagram batang, diagram
garis, diagram lingkaran dan diagram gambar.
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa :
37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Diagram Batang
Diagram Garis
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran dalam satuan derjat (o)
b) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Data dapat kita sajikan dalam bentuk tabel atau daftar. Jika
data yang akan kita sajikan cukup besar, maka data tersebut
harus dikelompokkan, kemudian disusun dalam bentuk tabel
yang disebut daftar sebaran frekuensi atau daftar distribusi
frekuensi.
Contohnya adalah :
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa :
37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Data tersebut jika disusun dalam bentuk Tabel/Diagram menjadi sebagai
berikut.
Tabel
NO SEPATU
FREKUENSI
(x)
(f)
36
1
37
3
38
1
39
2
40
0
41
1
42
2
C. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram,
Poligon Frekuensi, dan Ogive
a.
Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n ≥ 30) lebih tepat disajikan dalam
tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun
dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah
sebagai berikut.
Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus
"Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus
merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar
adalah batas atas interval kelas terakhir.
Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai
dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan
banyak turus.
Contoh soal:
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang.
Data
hasil
penelitian
itu
(dalam
kg)
diberikan
berikut
ini:
48
32
46
27
43
46
25
41
40
58
16
36
21
42
47
55
60
58
46
44
63
66
28
56
50
21
53
39
Sajikan
Jawab :
56
data
55
tersebut
25
74
ke
dalam
43
tabel
37
51
distribusi
frekuensi.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi
bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan
membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data
dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data
seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20/80 = 1/4,
sedangkan
frekuensi
relatifnya
adalah
1/4
×
100%
=
25%.
Dari uraian tersebut, dapatkah nyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah
nyatakan rumus frekuensi relatif.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud
dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas
kelas);
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah
kelas).
Contoh soal:
Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah
a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif "kurang dari";
c. frekuensi kumulatif "lebih dari".
Jawab :
c.
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya
seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk
pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas.
Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang
dapat ditulis sebagai berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap
puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup"
maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing
ditambah satu kelas.
Contoh soal:
Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di
Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah histogram dan poligon
frekuensinya.
Jawab :
d.
Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau
frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi
yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai
kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya
disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
Contoh soal:
Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif
"kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.
a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85?
c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih dari 40?
Jawab :
D. Ukuran Pemusatan Data
Nilai statistim yang dapat menggambarkan keadaansuatu
data antara lainadalah Mean (rataan hitung), Modus, dan Median
dengan menyatakan ukuran pemusatan data.
a) Ukuran Pemusatan Data untuk Tunggal.
Mean
Mean merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata –
rata dari kelompok tersebut. Rata – rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan
data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu
yang ada pada kelompok tersebut.
Rumus mean data tunggal :
contoh soal mean data tunggal :
data :
4
7
2
3
Rumus mean data kelompok :
2
7
7
9
4
Keterangan :
fi
: frekuensi untuk nilai untuk Xi yang bersesuaian.
X0
: tanda kelas dengan nilai sandi ci = 0.
Tanda kelas yang lebih besar dari X0 berturut-turut mempunyai harga +1, +2, dst dan
Sebaliknya-1,-2,dst.
contoh soal mean data kelompok :
Diketahui data tinggi badan sekelompok siswa sebagai berikut.
Tinggi
Badan
Frekuensi
131 – 140
2
141 – 150
5
151 – 160
13
161 – 170
12
171 – 180
9
181 – 190
4
Hitunglah rerata (mean) data tersebut.
Rata-rata
= (2(135,5) + 5(145,5) + 13(155,5) + 12(165,5) +9(175,5) + 4(185,5)) / (2 + 5 + 13 + 12 + 9
+ 4)
= (271 + 727,5 + 2021,5 + 1986 + 1579,5 + 724 ) / (2 + 5 + 13 + 12 + 9 + 4)
= 7327,5 / 45
= 162,83
Median
Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai
tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai
yang terbesar, atau sebaliknya. Jika ukuran data ganjil, maka median (Me) merupakan
data paling tengah setelah data diurutkan menurut nilainya, tetapi jika ukuran data
genap, maka median adalah rata-rata dua data tengah setelah diurutkan. Pada data
tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai
terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yag telah diurutkan itu
merupakan nilai median.
Rumus mencari median :
Keterangan :
Lo
= tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,
Me
= nilai median,
N
= banyaknya data,
Fk
= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,
f0
= frekuensi kelas yang memuat median,
c
= panjang intreval kelas
contoh soal median data tunggal median :
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
data terurut : 2 2 3 4 4 7 7 7 9
contoh soal median data kelompok :
Kelas
Frekuensi
F Kumulatif
15-19
5
5
20-24
7
12
25-29
10
22
30-34
15
37
35-39
13
50
40-44
8
58
45-49
3
60
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan
suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi
Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16
Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
Modus
Modus merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai
yang sedang populer (yang sdang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul
dalam kelompok tesebut.
Rumus mencari modus :
Keterangan :
L
= batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas modus
d1
= selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas yang mendahuluinya (sebelumnya).
= selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas berikutnya
d2
i
= interval kelas/panjang kelas.
contoh soal modus data tunggal :
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
modus dari data tersebut adalah : 7
contoh soal modus data kelompok :
Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya?
Batas Kelas
Frekuensi
19,5-24,5
100
24,5-30,5
120
30,5-35,5
70
35,5-40,5
150
40,5-45,5
90
45,5-50,5
80
50,5-55,5
30
Interval Kelas (c) = 5
Batas Bawah Kelas modus = 35,5
fo = 150
f1 = 70
f2 = 90
jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36
D. Ukuran Letak Data
Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat
bagian yang sama. Kuartil dialmbangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu
kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).
1. Kuartil untuk Data Tunggal
Keterangan
Q1
n = banyaknya data
=
kuartike
Contoh Soal Kuartil Data Tunggal
Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9,
Jawab :
Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10
n = 17
:
ke-i
2. Kuartil untuk data Bergolong (Berkelompok)
Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok
Keterangan :
Qi
= kuartil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas kuartil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f
= frekuensi kelas kuartil
Contoh Soal Kuartil Data Bergolong
Tentukan Qi dari data berikut:
Jawab :
Desil
Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar.
Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yairu D1 , D2 , D3, ….,…,…,D9.
1. Desil untuk data tunggal
Keterangan :
Di = desilk e-i
n = banyaknya data
Contoh Soal Desil Data Tunggal
Tentukan desil ke-8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6,.
Jawab:
n = 16
data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9.
2. Desil untuk data Bergolong ( berkelompok)
Menentukan letak desil untuk data berkelompok
Keterangan :
D1
= desil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas kuartil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f
= frekuensi kelas kuartil
Contoh Soal Desil Data Bergolong
Tentukan nilai D6 dari data berikut
Jawab:
Jadi, nilai D6 adalah 21,9
Persentil
Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi serratus bagian sama besar.
Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis persentil ada 99, yaitu P 1, P2, P3 …
P99.
1. Data tunggal
Keterangan :
Pi
= pesentil ke-i
n
= banyaknya data
Contoh Soal Persentil Data Tunggal
Tentukan persentil ke-65 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.
Jawab:
n = 15
data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9.
Jadi, nilai persentil ke-65 adalah 7,4.
2. Data bergolong (Berkelompok)
Menetukan letak persentil untuk data berkelompok
Keterangan :
Pi
= persentil ke-i
Tb
= tepi bawah kelas persentil
p
= panjang kelas
n
= banyak data
F
= frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
f
= frekuensi kelas persentil
Contoh Soal Persentil Data Berkelompok
Tentukan P30 dari data berikut
Jawab:
E. Ukuran Penyebaran Data
Dalam pengukuran statistika terdpat pula Ukuran Penyebaran data. Ukuran
penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data
menyebar dari rata-rata. Terdapat ukuran penyebaran data yang akan kita pelajari
pada artikel ini, yaitu Jangkauan (range), Simpangan rata-rata, Ragam (variasi), dan
Simpangan Baku. namun, sebelum anda mempelajari postingan ini, sebaiknya anda
baca dulu materi sebelumnya tentang pengertian Statistika, Ukuran Pemusatan data
Dan Ukuran Letak Data.
Penjelasan dan uraian lengkapnya akan dijelaskan pada penjelasan di bawah ini.
Jangkauan (Range)
Jangkauan merupakan selisih data terbesar dan data terkecil. Jangkauan
sering dilambangkan dengan R.
1. Jangkauan Data
R = xmaks – xmin
Keterangan:
R
= jangkauan
Xmaks = data terbesar
Xmin = data terkecil
Contoh Soal Jangkauan Data
Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.
Jawab :
R = xmaks – xmin
= 10-2 = 8
Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8.
2. Jangkauan interkuartil
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.
H = Q3 – Q1
Keterangan :
H
= jangkauan interkuartil
Q3
= kuartil ketiga
Q1
= kuartil pertama
3. Simpangan kuartil ( jangkauan semi interkuartil)
Singan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama.
Sk = ½ Q3 – Q1
Keterangan :
Sk
= simpangan kuartil
Q3
= kuartil ketiga
Q1
= kuartil pertama
Simpangan Rata- Rata
Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari selisih
setiap data dengan nilai mean atau rataan hitungnya. Simpangan ratarata sering dilambangkan dengan SR.
1. Data Tunggal
Keterangan :
SR
= simpangan rata-rata
Xi
= data ke-i
X
= rataan hitung
n
= banyak data
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data tunggal
Tentukan simpangan rata-rata dari data 4,6,8,5,4,9,5,7.
Jawab :
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,5
2. Data Bergolong (Berkelompok)
Keterangan :
SR
= simpangan rata-rata
Xi
= data ke-i
X
= rataan hitung
fi
= frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data Berkelompok
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:
Data
f
41-45
6
46-50
3
51-55
5
56-60
8
61-65
8
Jawab:
Data
f
xi
fixi
|xi-x|
Fi|xi-x|
41-45
6
43
258
11,5
69
46-50
3
48
114
6,5
19,5
51-55
5
53
265
1,5
7,5
56-60
8
58
464
3,5
28
61-65
8
63
504
8,5
68
Jumlah
30
1.635
165
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,5.
Varian (ragam)
Ragam atau variasi adlah nilai yang menunjukkan besarnya
penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau variasi dilambangkan
dengan s2.
1. Variasi untuk data tunggal
Keterangan :
s2
= variasi
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
n
= banyak data
2. Variasi untuk data bergolong (berkelompok)
Keterangan :
s2
= variasi
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
fi
= frekuensi data ke-i
Simpangan baku
Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar merupakan akar
dari jumlah kuadrat diviasi dibagi banyaknya data. Simpangan baku sering
dilambangkan dengan s.
1. Simpangan baku untuk data tunggal
Keterangan :
S
= simpangan baku
xi
= data ke –i
x
= rataan hitung
n
= banyak data
2. Simpangan baku untuk data bergolong (berkelompok)
Keterangan :
s
= simpangan baku
xi
x
fi
= data ke –i
= rataan hitung
= frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Baku
Tentukan variari dan simpangan baku dari data : 4,6,8,7,9,8.
Data
f
41-45
6
46-50
3
51-50
5
56-60
8
61-65
8
Jawab :
Data
f
xi
fixi
(xi-x)2
fi(xi-x)2
41-45
6
43
258
132.25
93.5
46-50
3
48
144
42.25
126.75
51-50
5
53
265
2.25
11.25
56-60
8
58
464
12.25
98
61-65
8
63
504
72.25
578
Jumlah
30
1.635
676
Jadi, variasinya = 22,53 dan simpangan bakunya = 4,75.
DAFTAR PUSTAKA
Ayu,dhea.2013,”Ukuran Penyebaran Data”, (online),
http://dheaayuwikuningtyas.blogspot.com/2013/10/quartilrange-deviasi-dan-varians.html, (diakses pada 8 november
2017).
Blogspot. Com, 2014, “Statistika”’(online),
http://belajar-soalmatematika.blogspot.com/2014/01/statistika-matematikaukuran-penyebaran.html, (diakses pada 8 november 2017).
Suprijanto,H.Sigit. 2006. Matematika. Jakarta: Yudhistira.
Study, Matematika .2013,”Statistika”, (online),
http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/144statistika-data-ragam-dan-simpangan-baku-html,
pada 8 november 2017).
(diakses