Suku banyak semester 1 iain (1)
MakalahAljabarElementer
Suku Banyak (Polinom)
Teorema Sisa
DisusunOleh:
FajriAlfiansyah
261222870
Suryana
261324582
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) AR RANIRY
DARUSSALAM-BANDA ACEH
2014
1
Kata Pengantar
Puji syukur kepada Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan makalah ini dapat
diselesaikan.
Tugas ini penulis susun sebagai penuntasan kewajiban dalam pelaksanaan
tugas mata kuliah Aljabar Elmenter dengan judul Suku Banyak (Polinom):
“Teorema Sisa”.
Terima kasih kami, tersampaikan kepada Ibu dosen mata kuliah Aljabar
Elementer yang telah membimbing dan memberikan arahan di perkuliahan demi
lancarnyatugasini.
Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi
tugas mata kuliah Metode numerik
Darussalam, 16 Des 2014
2
Pendahuluan
A. LatarBelakang
Guru/Dosen menuntut Mahasiswa untuk mempelajari fungsi konstan,
fungsi linear, dan fungsi kuadrat serta selanjutnya akan dipelajari fungsi pangkat
tiga, empat dan seterusnya yang disebut fungsi suku banyak, serta pembagian
suku banyak. Makalah ini akan membahas materi untuk mendukung tercapainya
tujuan pembelajaran dalam hal mengupas materi Polinom dengan mendiskusikan
bersama melalui hasil makalah ini nantinya.
B. RumusananMasalah
Rumusan masalah yang penulis rumuskan berdasarkan latar belakang
berkaitan dengan Topik yang diangkat, adalah sebagai berikut :
1. Algoritma Pembagian Suku Banyak
2. Derajat Polinom Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Algoritma Pembagian
3. Sisa Polinom Oleh Bentuk Linear & Kuadrat Dengan Teorema Sisa
3
Bab I
Algoritma Pembagian Suku Banyak
A. Pengertian Suku Banyak (Polinom)
Bentuk Umum :
a x + an−1 an−1 x n−1 +a n−2 x n−2+ a1 x +a 0
Dengan ketentuan n bilangan cacah yang merupakan pangkat tertinggi
dari
x
dan a0 ≠ 0 disebut suku banyak dalam
an , an−1 ,
dari
xn ,
x n−1 ,
an−2
a1
...,
x n−2 , ...
x
x
berderajat n .
berturut-turut disebut koefisien-koefisien
sedangkan
a0
disebut suku tetap.1
Contoh :
4 x 3−5 x 2 +2 x +3 , ini disebut suku banyak dalama
a.
x
berderajat 3
x
berderajat 5
dengan :
3
-
Koefisien
x
-
Koefisien
x 2 adalah -5
-
Koefisien
x
-
Suku tetapnya adalah 3
adalah 3
adalah 2
5
4
2
3 x +2 x −8 x +4 , ini disebut suku banyak dalam
b.
dengan :
-
Koefisien
x 5 adalah 3
-
Koefisien
x
4
adalah 2
-
Koefisien
x
3
adalah 0
-
Koefisien
x
2
adalah -8
-
Koefisien
x adalah 0
-
Suku tetapnya adalah 4
1 Sunardi.Matematika IPA(PT. Bumi Aksara :2004 ). Hal 154
4
Selanjutnya perlu diingat, kadangkala peubah (variabel) dari suku banyak
tidak tunggal tetapi terdiri atas beberapa peubah.
Contoh :
4
x 3+ x 2 y −3 x +2 xy + y 2+ 4 , merupakan suku banyak dalam dua peubah
a.
(peubah
x dan
y ). Suku banyak ini berderajat 3 dalam
x
dan
y .
berdeajat 4 dalam
3
3
3
a +b + c −2 ab+ ac−bc+1 , merupakan suku banyak dalam tiga
b.
peubah (peubah
a ,
b , dan c). Suku banyak ini berderajat 3 pada
setiap peubah.
B. Operasi Pada Suku Banyak
Pada operasi suku banyak, jika berpedoman pada satu buku tertentu maka
akan kita dapati ada tiga cara pengoperasian di antaranya : “Penjumlahan Suku
Banyak, Pengurangan Suku Banyak, dan Perkalian Suku Banyak”. Namun di
dalam buku lain ada disebutkan satu cara lagi operasi suku banyak yaitu
“Kesamaan Suku Banyak”.2
1. Penjumlahan Suku Banyak Dan Pengurangan
Dua buah suku banyak dapat dijumlahkan dengan cara menjumlahkan
suku-suku yang berderajat sama. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing
merupakan suku banyak berderajat m dan n, maka f(x) ±
g(x) adalah suku
banyak maksimum m atau n.
Contoh :
a. Diketahui
Hitunglah
: f(x) = 8 x 4−3 x 2 +5 x +7
dan g(x) = 2 x 3−5 .
: hasil dari penjumlahan
f (x)+¿ g(x) dan pengurangan
f ( x)−¿ g(x)
Jawab
:
f ( x)+¿ g(x)
= ( 8 x 4−3 x 2 +5 x+7 ) +(2 x 3−5)
= 8 x 4 +2 x3 −3 x 2 +5 x+ 2
f ( x)−¿ g(x)
= ( 8 x 4−3 x 2 +5 x+7 )−(2 x 3 −5)
2 Sekolah.LKS Matematika
5
= 8 x 4−2 x 3−3 x 2+5 x +12
b. Diketahui
:
f(x)
3
=
2
2 x −4 x +7 x+ 8
dan
g(x)
=
5 x3 +3 x 2−2 x−6
Hitunglah
: hasil dari penjumlahan f ( x)+¿ g(x)
Jawab
:
= ( 2 x3 −4 x 2 +7 x+ 8 ) +(5 x 3 +3 x 2−2 x −6)
f ( x)+¿ g(x)
= 2 x 3 +5 x 3−4 x2 +3 x 2+ 7 x −2 x +8−6
= 7 x3 −x 2+5 x +2
c. Diketahui
:
f(x)
=
4
3
2
3 x −5 x + 2 x −x +1
dan
g(x)
=
2 x 4 −2 x3 + x−3 .
Hitunglah
: hasil dari pengurangan f ( x)−¿ g(x)
Jawab
:
f ( x)−¿ g(x)
= ( 3 x 4−5 x 3+ 2 x 2−x +1 ¿−(2 x 4 −2 x3 + x−3)
= 3 x 4−2 x 4−5 x 3 +2 x 3 +2 x 2−x−x+ 1+ 3
= 5 x 4−3 x 3+ 4 x 2−2 x+ 4
2. Perkalian Suku Banyak
Dua buah suku banyak dpat dikalikan dengan cara mengalikan suku demi
suku. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing merupakan suku banyak berderajat
m dan n. maka f(x) g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n).
Contoh :
a. Diketahui : f(x) = 3 x3 +2 x 2−5 dan g(x) = 2 x −3 .
Hitunglah : hasil dari perkalian f(x) . g(x)
Jawaba
3x
: f(x) . g(x) = (¿ ¿ 3+2 x 2−5 )(2 x−3)
¿
= 6 x 4−9 x 3 +4 x3 −10 x +15
= 6 x 4−5 x 3−10 x +15
b. Diketahui : f(x) = 2 x 3−4 x +5 dan g(x) =
Hitunglah : hasil dari perkalian f(x) . g(x)
6
2
x +4 .
2x
Jawaban : f(x) . g(x) = (¿¿ 3−4 x +5)(x 2+ 4)
¿
= 2 x 5 +8 x 3−4 x 3−16 x+5 x 2 +20
= 2 x 5 + 4 x3 +5 x 2−16 x +20
3. Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak f(x) dikatakan sama dengan suku banyak g(x) ditulis f(x) =
g(x) jika dua suku banyak tersebut memiliki nilai yang sama untuk x
∈ R.
Misal,
f(x) = an x n+ an−1 xn−1 +¿ ...... a2 x 2+ a1+ a0
g(x) = bn x n+ bn−1 x n−1 +¿ ...... b2 x 2+b 1 x +b 0
f(x) = g(x) jika an =bn , an−1=bn−1 , .... a0 =b0
contoh :
2
Diketahui : f(x) =
p x +qx−3
dan g(x) 3 ( x−1 )( x +1 ) .
Hitunglah : nilai p + q dari kesamaan f(x) = g(x).
Jawaban :
f(x) = g(x)
⟺ p x 2 +qx−3=3 ( x−1 ) (x +1)
p x 2 +qx−3=3(x 2−1)
2
2
p x +qx−3=3 x −3
Dari persamaan di atas diperoleh bahwa p=3
dan q=0 . Jadi
p+q=3+0=3 .
C. Nilai suku banyak
Suku banyak dalam x
sering dituliskan f(x). Jika nilai
x
diganti
dengan bilangan tetap k, f(k) disebut nilai suku banyak.3
Cara meghitung nilai suku banyak dapat dilakukan dengan beberapa cara,
antara lain :
1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung)
2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)
3.... Ibid 157
7
Berikut penulis akan menjelaskan tentang penggunaan kedua metode di
atas, sebagai berikut :
1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung)
Nilai
suku banyak f(x) untuk
memasukkan nilai
banyakf(x) untuk
n
an k + an−1 k
n−1
k
x=k
dapat diperoleh dengan cara
x
pada suku banyak f(x). Suku
ke dalam variabel
x=k ( k
bilangan real) adalah sebagai berikut :
2
+ an−2 k +… a1 k +a 0 .
Contoh :
Diketahui : f(x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1
Tentukan : f(x)untuk
x=2 !
Jawaban :
Nilai f(x)
= 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1 untuk
f(2)
= 6 ( 2 )3−7 ( 2 )2−9 (2 )+1
x=2 adalah...
= 6 ( 8 ) −7 ( 4 )−18+1
= 48−28−19
= 3
2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)
3
Perhatikan suku banyak berderajat 3 berikut : f(x) =
maka nilai suku banyak untuk
2
a x + b x + cx+ d
adalah f(k) = a k 3 +b k 2+ ck +d . Atau
x=k
dapat ditulis :
f(k)
=
( a k 2 +bk + c ¿ k + d
=
[ (ak +b) k + c ¿+ d
Proses tersebut dibalik dan dapat disajikan dengan bagan atau skema sebagai
berikut :
k
a
a
3
b
c
d
ak
a k 2 +bk
a k 3 +b k 2+ ck
2
ak +b
a k +bk + c
2
a k +b k + ck +d
Contoh metode Horner :
8
Diketahui : f(x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1
Tentukan nilai f(x) untuk ¿ 2 !
Jawab :
6
2
6
−7
−9
1
12
10
2
5
1
3
Jadi, nilai dari (x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1 untuk
x=2 adalah f(2) = 3.
D. Identik Atau Kesamaan Suku Banyak (Diberi Notasi ≡ )
Dua bangun al jabar yang sama untuk setiap harga x, tetaapi ditulis dalam
bentuk berbeda disebut identik.4
Jika terdapat dua polinom dalam x identik, setiap koefisien dari x yang
bersesuaian pangkatnya adalah sama. Penjelasan lanjut perhatikan contoh berikut :
Hitunglah nilai a, b, c, dan d jika :
x 2−8 x 3+15 x−20 ≡ x 4+ ( a+b )+ 2b−c ¿ x+ d
Jawab :
Koefisien
x 4 :1=1
Koefisien
x :−8=a → a=−8
Koefisien
x :0=a+b=−a=8
Koefisien
x :15=2 b−c → c=2 b−15=1
Koefisien
x :−20=d → d=−20
3
2
0
E. Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak sama halnya dengan pembagian bilangan real,
operasi pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan banyak cara misalnya
dengan cara Horner. Namun dibutuhkan ketelitian dan kecermatan yang extra
kritis dalam proses pengerjaannya. Lebih jelasnya penulis akan mengurai
pembahasanya dengan lengkap, sehingga bisa dipelajari dengan seksama.
4 Sunardi.Matematika IPA(PT. Bumi Aksara :2004 ). Hal 159
9
Sebagai langkah awal agar lebih mudah dipahami penulis akan
memberikan contoh kecil mengingatkan kembali pembaca pada konsep
pembagian bersusun bilangan real.
Perhatikan pembagian bilangan berikut !
4
7
30
28
2
Dari contoh pembagian bilangan real yang di atas, kita dapat mencermati
dengan melihat apa yang nantinya akan menunjukkan kesamaan pada pembagian
suku banyak. Pembagian dari contoh di atas ini menunjukkan:
30 merupakan bilangan yang dibagi → f(x)
7 merupakan bilangan pembagi → g(x)
4 merupakan bilangan hasil bagi → H ( x)
2 merupakan bilangan sisa bagi. → S(x)
Pada pembagian bilangan di atas, kita dapat menuliskan bahwa ; 30 = (7 x 4) +2,
artinya dapat ditulis, f(x) = H(x)g(x) + S(x). Pola pembagian ini dapat diterapkan
diterapkan untuk pembagian suku banyak.
Contoh
: Tentukan hasil bagi dan sisanya ( 2 x 3−x 2 +3 x−5 ¿ : ( x−2 ) !
Jawab
:
2 x 2 +3 x+ 9
x−2
3
2
2 x −x +3 x−5
2 x 3−4 x 2
2
3 x +3 x
3 x2 −6 x
10
9 x−5
9 x−18
13
Pada pembagian di atas, tampak bahwa :
2 x 3−x 2 +3 x−5=( x−2 ) ( 2 x 2 +3 x+ 9 ) +13
Jadi, hasil bagi = 2 x 2 +3 x+ 9 dan sisanya = 13.
Bab II
Derajat Polinom Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Algoritma Pembagian
A. Pembagian Suku Banyak Dengan ( x−k ¿ Menggunakan Cara Horner.
Cara kerja pembagian ini sama halnya dengan pembagian yang dijelaskan
di bab sebelumnya, hanya saja di bab ini kita mencoba memisalkan
3
2
a x + b x + cx+ d , akan kita coba bagi dengan ( x−k ¿ ,
diperlihatkan dibawah ini.
a x 2+ ( ak +b ) x +a k 2 +bk + c
x−k
3
2
a x + b x + cx+ d
a x 2−ak x 2
(ak +b) x 2
cx
+
( ak +b ) x 2−( ak +bk ) x
( a k 2 +bk + c ¿ x +d
3
2
a k +b k +ck
)
( a k 2+ bk+ c ) x −¿
11
seperti yang
3
2
a k +b k + ck +d
Pembagian tersebut menunjukkan :
f(x)
= a x 3+ b x2 + cx+ d
g(x)
=
= a x 2+ ( ak +b ) x +a k 2 +bk + c
H (x )
S(x)
x−k
=
a k 3 +b k 2+ ck +d
perhitungan yang di dapat dengan hasil subtitusi ini akan penulis coba
bandingkan dengan hasil perbandingan metode horner di bawah ini, coba di
perhatikan dengan baik !
k
a
a
b
c
d
ak
a k 2 +bk
a k 3 +b k 2+ ck
2
a k +b
2
a k +bk + c
3
2
a k +b k + ck +d
Pada baris paling bawah menunjukkan bahwa “ nilai paling kanan” merupakan
sisa pembagian (S) dan “nilai di sebelah kirinya” menunjukkan koefisieenkoefisien hasil bagi.
Dari uraian kedua metode pembagian di atas, dapat disusun persamaan ysng
menghubungkan f(x) dengan ( x−k ¿ , H(x), dan S sebagai berikut : f(x) =(
x−k ¿ . H ( x ) + S .
Berikut sebuah contoh untuk melengkapi penjelasan :
a. Tentukan hasil bagi dan sisanya pada suku banyak ( 2 x 3−5 x 2 +3 x−1 ) :
(x−3)
b. Tulislah hasil nya dalam bentuk persamaan : yang di bagi = (pembagi
× hasil bagi) + sisa.
Penyelesaian dengan cara horner :
12
3
2
3
−1
6
3
18
1
6
17 → sisa 17
-5
a. Jadi, hasil baginya = 2 x 2 +x +6 dan sisanya =17
b. Sehingga diperokeh persamaan :
3
2
2 x −5 x +3 x−1=( x−3) ( 2 x 2 + x +6+17 ¿
B. Pembagian Suku Banyak Dengan (ax +b)
b
Karena ax +b=a( x + )
a
maka untuk membagi banyak f(x) dengan
ax +b ) dapat dilakukan pembagian dengan
¿
( x + ba )
lebih dulu menggunakan
cara Horner, misalkan diperoleh sisa = S dan hasil bagi = H(x) maka terdapat
persamaan :5
f(x)
=
( x + ba ) . H ( x ) +S
1
b
⇔ f(x)
= a ( x+ a ) . H ( x ) + S
⇔ f(x)
= (ax +b) .
H (x)
+S
a
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa f(x) dibagi (ax +b) ,
H (x)
a
baginya adalah
dengan
( x + ba )
hasil
dan sisanya S yang nilainya sama dengan pembagian
.
Adapun bentuk soal yang didapat, misalnya tentukan hasil bagi dan
sisanya pada pembagian suku banyak 2 x 3−x 2−1 dengan 2 x +3
Dari yang diketahui :
5... ibid 164
13
!
f(x)
= 2 x 3−x 2−1
3
g(x) = 2 x +3 = 2(x+ 2 ¿
sehingga dapat digunakan pembagian dengan (x+
3
¿ dengan menggunakan
2
cara Horner seperti berikut.
−3
2
2
2
−1
0
−1
−3
6
−9
6
−10
-4
Jadi sisanya, S = -10 dan hasilnya
H ( x ) 2 x 2−4 x+6
=
=x 2−2 x +3 , sehingga
2
2
3
2
2
diperoleh persamaan : 2 x −x −1=( 2 x +3 ) ( x 2 x +3 ) −1
Bab III
Sisa Polinom Oleh Bentuk Linear & Kuadrat Dengan Teorema Sisa
A. Pengertian Teorema Sisa
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ( x−k ¿
maka hasil baginya
adalah suatu suku banyak yang lain H(x) dan sisanya S akan merupakan suatu
konstanta yang tidak memuat variabel x. Hubungan suku banyak f(x) dengan
pembagi ( x−k ¿ , hasil bagi H(x) dan sisa S adalah f(x) = ( x−k ¿
H(x) + S
yang benar untuk semua x.6 Hubungan antara sisa S dengan f(k) dinyatakan dalam
sebuah teorema yang dikenal dengan Teorema Sisa seperti berikut :
1. Teorema Pertama : “Jika suku banyak f(x) berderajat n di bagi (
x−k ¿
maka sisanya S = f (k ) , maka teorema ini dikenal sebagai teorema sisa.
Bukti :
f(x) = ( x−k ¿ H(x) + S
karena persamaan ini berlaku untuk setiap x
diganti k
f(k)
akan diperoleh :
= ( k −k ¿ H(k) + S
6Enmul.bab 5 teorema sisa(pdf : 2010) hal 6
14
bilangan real, maka
x
⇔ f(x) = ( 0 ¿ H(k) + S
⇔ f(x) = 0 + S
⇔ f(x) = S
f (k )
Jadi terbukti bahwa S =
Contoh :
3
Tentukanlah sisa jika
- Cara 1
1
−2
0
- 3
−2
1
-
x+ 2
dibagi
x −3 x+5
-2
5
4
−2
1
3 → jadi sisa 3
Cara 2
= x 3−3 x+5
f(x)
⇔ f(-2) = (−2)3−3 (−2)+5
⇔ f(-2) = −8+6+5
⇔ f(-2) = 3
Jadi, dari
x 3−3 x+5
dibagi
x+ 2 S =
f (−2) = 3
2. Teorema kedua.
Jika suku banyak dibagi
f (x)
berderajat dibagi
( −ba )
(ax +b) , maka sisanya S=f +
n
dibagi dibagi
.7
Bukti :
Subsitusikan
x=
−b
a
kepersamaan
diperoleh :
( ) [( )
−b
−b
f
=
+b
a
a
]
.
H
( −ba )
+S
a
7...ibid 172
15
f ( x )=(ax +b) .
H (x)
+S
a
f
f
( )
−b
=[ −b+b ] .
a
(−ba )=¿
H
( −ba )
+S
a
S
( −ba )
Jadi, dari penjabaran rumus di atas maka terbukti bahwa S=f +
.
Contoh :
f ( x )=6 x 3 + x 2+1
Tentukan sisa pembagian suku banyak
dibagi dengan
2 x −3 .
-
Penyelesaian Cara 1
3 3 3 2
+
+1
2
2
()()
3
3
¿ 6 ( ) + ( ) +1
2
2
¿f
Sisanya
3
-
2
¿
81 9
+ +1
4 4
¿
94
1
=23
4
2
Penyelesian Cara 2
3
2
6
1
1
0
1
9
15
22
-2
1
3
2 x −3 adalah
= 23
1
2
2
dan hasil baginya
6 x +10 x+15
.
2
16
1
23 2
f ( x )=6 x 3 + x 2+1
Jadi sisa pembagian suku banyak
1
2
dibagi dengan
3. Teorema ketiga
Jika suku banyak
f (x)
berderajat
n dibagi ( x−3 ¿( x−b),
sisanya,
S=
( x−a )
( x−b )
f ( b )+
f (a) .
a−b
( x−b )
Atau dengan cara Horner :
a.
…
…
S1
…
b.
…
…
S2
…
Sisanya = S 2 ( x−a ) + S1
Contoh :
Carilah sisanya apabila 2 x 4 −3 x 2−x+ 2 dibagi oleh
Jawab :
Cara 1
f ( x )=2 x 4−3 x 2−x +2
x
+1), maka
g ( x ) =x −x−2=(x−2)¿
2
S=
( x−2 )
( x+ 1 )
f (−1 ) +
f ( 2)
(−1−2)
( 2+1 )
=
( x−2 ) ( x +1 )
2+
20
(−3)
( 2+1 )
17
2
x −x−2 !
maka
=
18 x +24
3
= 6 x+ 8
Cara 2
2
1
2
0
-3
-1
2
4
8
10
18
2
4
5
9
20 = S 1
2
4
5
9
-2
-2
-3
2
3
6 = S2
2
Jadi, sisa dari 2 x 4 −3 x 2−x+ 2 dibagi oleh
S = 6 ( x−2 ) +20=6 x−12+12+ 20=6 x +8 .
18
2
x −x−2 adalah :
Suku Banyak (Polinom)
Teorema Sisa
DisusunOleh:
FajriAlfiansyah
261222870
Suryana
261324582
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) AR RANIRY
DARUSSALAM-BANDA ACEH
2014
1
Kata Pengantar
Puji syukur kepada Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan makalah ini dapat
diselesaikan.
Tugas ini penulis susun sebagai penuntasan kewajiban dalam pelaksanaan
tugas mata kuliah Aljabar Elmenter dengan judul Suku Banyak (Polinom):
“Teorema Sisa”.
Terima kasih kami, tersampaikan kepada Ibu dosen mata kuliah Aljabar
Elementer yang telah membimbing dan memberikan arahan di perkuliahan demi
lancarnyatugasini.
Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi
tugas mata kuliah Metode numerik
Darussalam, 16 Des 2014
2
Pendahuluan
A. LatarBelakang
Guru/Dosen menuntut Mahasiswa untuk mempelajari fungsi konstan,
fungsi linear, dan fungsi kuadrat serta selanjutnya akan dipelajari fungsi pangkat
tiga, empat dan seterusnya yang disebut fungsi suku banyak, serta pembagian
suku banyak. Makalah ini akan membahas materi untuk mendukung tercapainya
tujuan pembelajaran dalam hal mengupas materi Polinom dengan mendiskusikan
bersama melalui hasil makalah ini nantinya.
B. RumusananMasalah
Rumusan masalah yang penulis rumuskan berdasarkan latar belakang
berkaitan dengan Topik yang diangkat, adalah sebagai berikut :
1. Algoritma Pembagian Suku Banyak
2. Derajat Polinom Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Algoritma Pembagian
3. Sisa Polinom Oleh Bentuk Linear & Kuadrat Dengan Teorema Sisa
3
Bab I
Algoritma Pembagian Suku Banyak
A. Pengertian Suku Banyak (Polinom)
Bentuk Umum :
a x + an−1 an−1 x n−1 +a n−2 x n−2+ a1 x +a 0
Dengan ketentuan n bilangan cacah yang merupakan pangkat tertinggi
dari
x
dan a0 ≠ 0 disebut suku banyak dalam
an , an−1 ,
dari
xn ,
x n−1 ,
an−2
a1
...,
x n−2 , ...
x
x
berderajat n .
berturut-turut disebut koefisien-koefisien
sedangkan
a0
disebut suku tetap.1
Contoh :
4 x 3−5 x 2 +2 x +3 , ini disebut suku banyak dalama
a.
x
berderajat 3
x
berderajat 5
dengan :
3
-
Koefisien
x
-
Koefisien
x 2 adalah -5
-
Koefisien
x
-
Suku tetapnya adalah 3
adalah 3
adalah 2
5
4
2
3 x +2 x −8 x +4 , ini disebut suku banyak dalam
b.
dengan :
-
Koefisien
x 5 adalah 3
-
Koefisien
x
4
adalah 2
-
Koefisien
x
3
adalah 0
-
Koefisien
x
2
adalah -8
-
Koefisien
x adalah 0
-
Suku tetapnya adalah 4
1 Sunardi.Matematika IPA(PT. Bumi Aksara :2004 ). Hal 154
4
Selanjutnya perlu diingat, kadangkala peubah (variabel) dari suku banyak
tidak tunggal tetapi terdiri atas beberapa peubah.
Contoh :
4
x 3+ x 2 y −3 x +2 xy + y 2+ 4 , merupakan suku banyak dalam dua peubah
a.
(peubah
x dan
y ). Suku banyak ini berderajat 3 dalam
x
dan
y .
berdeajat 4 dalam
3
3
3
a +b + c −2 ab+ ac−bc+1 , merupakan suku banyak dalam tiga
b.
peubah (peubah
a ,
b , dan c). Suku banyak ini berderajat 3 pada
setiap peubah.
B. Operasi Pada Suku Banyak
Pada operasi suku banyak, jika berpedoman pada satu buku tertentu maka
akan kita dapati ada tiga cara pengoperasian di antaranya : “Penjumlahan Suku
Banyak, Pengurangan Suku Banyak, dan Perkalian Suku Banyak”. Namun di
dalam buku lain ada disebutkan satu cara lagi operasi suku banyak yaitu
“Kesamaan Suku Banyak”.2
1. Penjumlahan Suku Banyak Dan Pengurangan
Dua buah suku banyak dapat dijumlahkan dengan cara menjumlahkan
suku-suku yang berderajat sama. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing
merupakan suku banyak berderajat m dan n, maka f(x) ±
g(x) adalah suku
banyak maksimum m atau n.
Contoh :
a. Diketahui
Hitunglah
: f(x) = 8 x 4−3 x 2 +5 x +7
dan g(x) = 2 x 3−5 .
: hasil dari penjumlahan
f (x)+¿ g(x) dan pengurangan
f ( x)−¿ g(x)
Jawab
:
f ( x)+¿ g(x)
= ( 8 x 4−3 x 2 +5 x+7 ) +(2 x 3−5)
= 8 x 4 +2 x3 −3 x 2 +5 x+ 2
f ( x)−¿ g(x)
= ( 8 x 4−3 x 2 +5 x+7 )−(2 x 3 −5)
2 Sekolah.LKS Matematika
5
= 8 x 4−2 x 3−3 x 2+5 x +12
b. Diketahui
:
f(x)
3
=
2
2 x −4 x +7 x+ 8
dan
g(x)
=
5 x3 +3 x 2−2 x−6
Hitunglah
: hasil dari penjumlahan f ( x)+¿ g(x)
Jawab
:
= ( 2 x3 −4 x 2 +7 x+ 8 ) +(5 x 3 +3 x 2−2 x −6)
f ( x)+¿ g(x)
= 2 x 3 +5 x 3−4 x2 +3 x 2+ 7 x −2 x +8−6
= 7 x3 −x 2+5 x +2
c. Diketahui
:
f(x)
=
4
3
2
3 x −5 x + 2 x −x +1
dan
g(x)
=
2 x 4 −2 x3 + x−3 .
Hitunglah
: hasil dari pengurangan f ( x)−¿ g(x)
Jawab
:
f ( x)−¿ g(x)
= ( 3 x 4−5 x 3+ 2 x 2−x +1 ¿−(2 x 4 −2 x3 + x−3)
= 3 x 4−2 x 4−5 x 3 +2 x 3 +2 x 2−x−x+ 1+ 3
= 5 x 4−3 x 3+ 4 x 2−2 x+ 4
2. Perkalian Suku Banyak
Dua buah suku banyak dpat dikalikan dengan cara mengalikan suku demi
suku. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing merupakan suku banyak berderajat
m dan n. maka f(x) g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n).
Contoh :
a. Diketahui : f(x) = 3 x3 +2 x 2−5 dan g(x) = 2 x −3 .
Hitunglah : hasil dari perkalian f(x) . g(x)
Jawaba
3x
: f(x) . g(x) = (¿ ¿ 3+2 x 2−5 )(2 x−3)
¿
= 6 x 4−9 x 3 +4 x3 −10 x +15
= 6 x 4−5 x 3−10 x +15
b. Diketahui : f(x) = 2 x 3−4 x +5 dan g(x) =
Hitunglah : hasil dari perkalian f(x) . g(x)
6
2
x +4 .
2x
Jawaban : f(x) . g(x) = (¿¿ 3−4 x +5)(x 2+ 4)
¿
= 2 x 5 +8 x 3−4 x 3−16 x+5 x 2 +20
= 2 x 5 + 4 x3 +5 x 2−16 x +20
3. Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak f(x) dikatakan sama dengan suku banyak g(x) ditulis f(x) =
g(x) jika dua suku banyak tersebut memiliki nilai yang sama untuk x
∈ R.
Misal,
f(x) = an x n+ an−1 xn−1 +¿ ...... a2 x 2+ a1+ a0
g(x) = bn x n+ bn−1 x n−1 +¿ ...... b2 x 2+b 1 x +b 0
f(x) = g(x) jika an =bn , an−1=bn−1 , .... a0 =b0
contoh :
2
Diketahui : f(x) =
p x +qx−3
dan g(x) 3 ( x−1 )( x +1 ) .
Hitunglah : nilai p + q dari kesamaan f(x) = g(x).
Jawaban :
f(x) = g(x)
⟺ p x 2 +qx−3=3 ( x−1 ) (x +1)
p x 2 +qx−3=3(x 2−1)
2
2
p x +qx−3=3 x −3
Dari persamaan di atas diperoleh bahwa p=3
dan q=0 . Jadi
p+q=3+0=3 .
C. Nilai suku banyak
Suku banyak dalam x
sering dituliskan f(x). Jika nilai
x
diganti
dengan bilangan tetap k, f(k) disebut nilai suku banyak.3
Cara meghitung nilai suku banyak dapat dilakukan dengan beberapa cara,
antara lain :
1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung)
2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)
3.... Ibid 157
7
Berikut penulis akan menjelaskan tentang penggunaan kedua metode di
atas, sebagai berikut :
1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung)
Nilai
suku banyak f(x) untuk
memasukkan nilai
banyakf(x) untuk
n
an k + an−1 k
n−1
k
x=k
dapat diperoleh dengan cara
x
pada suku banyak f(x). Suku
ke dalam variabel
x=k ( k
bilangan real) adalah sebagai berikut :
2
+ an−2 k +… a1 k +a 0 .
Contoh :
Diketahui : f(x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1
Tentukan : f(x)untuk
x=2 !
Jawaban :
Nilai f(x)
= 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1 untuk
f(2)
= 6 ( 2 )3−7 ( 2 )2−9 (2 )+1
x=2 adalah...
= 6 ( 8 ) −7 ( 4 )−18+1
= 48−28−19
= 3
2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)
3
Perhatikan suku banyak berderajat 3 berikut : f(x) =
maka nilai suku banyak untuk
2
a x + b x + cx+ d
adalah f(k) = a k 3 +b k 2+ ck +d . Atau
x=k
dapat ditulis :
f(k)
=
( a k 2 +bk + c ¿ k + d
=
[ (ak +b) k + c ¿+ d
Proses tersebut dibalik dan dapat disajikan dengan bagan atau skema sebagai
berikut :
k
a
a
3
b
c
d
ak
a k 2 +bk
a k 3 +b k 2+ ck
2
ak +b
a k +bk + c
2
a k +b k + ck +d
Contoh metode Horner :
8
Diketahui : f(x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1
Tentukan nilai f(x) untuk ¿ 2 !
Jawab :
6
2
6
−7
−9
1
12
10
2
5
1
3
Jadi, nilai dari (x) = 6 x 3−7 x 2−9 x+ 1 untuk
x=2 adalah f(2) = 3.
D. Identik Atau Kesamaan Suku Banyak (Diberi Notasi ≡ )
Dua bangun al jabar yang sama untuk setiap harga x, tetaapi ditulis dalam
bentuk berbeda disebut identik.4
Jika terdapat dua polinom dalam x identik, setiap koefisien dari x yang
bersesuaian pangkatnya adalah sama. Penjelasan lanjut perhatikan contoh berikut :
Hitunglah nilai a, b, c, dan d jika :
x 2−8 x 3+15 x−20 ≡ x 4+ ( a+b )+ 2b−c ¿ x+ d
Jawab :
Koefisien
x 4 :1=1
Koefisien
x :−8=a → a=−8
Koefisien
x :0=a+b=−a=8
Koefisien
x :15=2 b−c → c=2 b−15=1
Koefisien
x :−20=d → d=−20
3
2
0
E. Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak sama halnya dengan pembagian bilangan real,
operasi pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan banyak cara misalnya
dengan cara Horner. Namun dibutuhkan ketelitian dan kecermatan yang extra
kritis dalam proses pengerjaannya. Lebih jelasnya penulis akan mengurai
pembahasanya dengan lengkap, sehingga bisa dipelajari dengan seksama.
4 Sunardi.Matematika IPA(PT. Bumi Aksara :2004 ). Hal 159
9
Sebagai langkah awal agar lebih mudah dipahami penulis akan
memberikan contoh kecil mengingatkan kembali pembaca pada konsep
pembagian bersusun bilangan real.
Perhatikan pembagian bilangan berikut !
4
7
30
28
2
Dari contoh pembagian bilangan real yang di atas, kita dapat mencermati
dengan melihat apa yang nantinya akan menunjukkan kesamaan pada pembagian
suku banyak. Pembagian dari contoh di atas ini menunjukkan:
30 merupakan bilangan yang dibagi → f(x)
7 merupakan bilangan pembagi → g(x)
4 merupakan bilangan hasil bagi → H ( x)
2 merupakan bilangan sisa bagi. → S(x)
Pada pembagian bilangan di atas, kita dapat menuliskan bahwa ; 30 = (7 x 4) +2,
artinya dapat ditulis, f(x) = H(x)g(x) + S(x). Pola pembagian ini dapat diterapkan
diterapkan untuk pembagian suku banyak.
Contoh
: Tentukan hasil bagi dan sisanya ( 2 x 3−x 2 +3 x−5 ¿ : ( x−2 ) !
Jawab
:
2 x 2 +3 x+ 9
x−2
3
2
2 x −x +3 x−5
2 x 3−4 x 2
2
3 x +3 x
3 x2 −6 x
10
9 x−5
9 x−18
13
Pada pembagian di atas, tampak bahwa :
2 x 3−x 2 +3 x−5=( x−2 ) ( 2 x 2 +3 x+ 9 ) +13
Jadi, hasil bagi = 2 x 2 +3 x+ 9 dan sisanya = 13.
Bab II
Derajat Polinom Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Algoritma Pembagian
A. Pembagian Suku Banyak Dengan ( x−k ¿ Menggunakan Cara Horner.
Cara kerja pembagian ini sama halnya dengan pembagian yang dijelaskan
di bab sebelumnya, hanya saja di bab ini kita mencoba memisalkan
3
2
a x + b x + cx+ d , akan kita coba bagi dengan ( x−k ¿ ,
diperlihatkan dibawah ini.
a x 2+ ( ak +b ) x +a k 2 +bk + c
x−k
3
2
a x + b x + cx+ d
a x 2−ak x 2
(ak +b) x 2
cx
+
( ak +b ) x 2−( ak +bk ) x
( a k 2 +bk + c ¿ x +d
3
2
a k +b k +ck
)
( a k 2+ bk+ c ) x −¿
11
seperti yang
3
2
a k +b k + ck +d
Pembagian tersebut menunjukkan :
f(x)
= a x 3+ b x2 + cx+ d
g(x)
=
= a x 2+ ( ak +b ) x +a k 2 +bk + c
H (x )
S(x)
x−k
=
a k 3 +b k 2+ ck +d
perhitungan yang di dapat dengan hasil subtitusi ini akan penulis coba
bandingkan dengan hasil perbandingan metode horner di bawah ini, coba di
perhatikan dengan baik !
k
a
a
b
c
d
ak
a k 2 +bk
a k 3 +b k 2+ ck
2
a k +b
2
a k +bk + c
3
2
a k +b k + ck +d
Pada baris paling bawah menunjukkan bahwa “ nilai paling kanan” merupakan
sisa pembagian (S) dan “nilai di sebelah kirinya” menunjukkan koefisieenkoefisien hasil bagi.
Dari uraian kedua metode pembagian di atas, dapat disusun persamaan ysng
menghubungkan f(x) dengan ( x−k ¿ , H(x), dan S sebagai berikut : f(x) =(
x−k ¿ . H ( x ) + S .
Berikut sebuah contoh untuk melengkapi penjelasan :
a. Tentukan hasil bagi dan sisanya pada suku banyak ( 2 x 3−5 x 2 +3 x−1 ) :
(x−3)
b. Tulislah hasil nya dalam bentuk persamaan : yang di bagi = (pembagi
× hasil bagi) + sisa.
Penyelesaian dengan cara horner :
12
3
2
3
−1
6
3
18
1
6
17 → sisa 17
-5
a. Jadi, hasil baginya = 2 x 2 +x +6 dan sisanya =17
b. Sehingga diperokeh persamaan :
3
2
2 x −5 x +3 x−1=( x−3) ( 2 x 2 + x +6+17 ¿
B. Pembagian Suku Banyak Dengan (ax +b)
b
Karena ax +b=a( x + )
a
maka untuk membagi banyak f(x) dengan
ax +b ) dapat dilakukan pembagian dengan
¿
( x + ba )
lebih dulu menggunakan
cara Horner, misalkan diperoleh sisa = S dan hasil bagi = H(x) maka terdapat
persamaan :5
f(x)
=
( x + ba ) . H ( x ) +S
1
b
⇔ f(x)
= a ( x+ a ) . H ( x ) + S
⇔ f(x)
= (ax +b) .
H (x)
+S
a
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa f(x) dibagi (ax +b) ,
H (x)
a
baginya adalah
dengan
( x + ba )
hasil
dan sisanya S yang nilainya sama dengan pembagian
.
Adapun bentuk soal yang didapat, misalnya tentukan hasil bagi dan
sisanya pada pembagian suku banyak 2 x 3−x 2−1 dengan 2 x +3
Dari yang diketahui :
5... ibid 164
13
!
f(x)
= 2 x 3−x 2−1
3
g(x) = 2 x +3 = 2(x+ 2 ¿
sehingga dapat digunakan pembagian dengan (x+
3
¿ dengan menggunakan
2
cara Horner seperti berikut.
−3
2
2
2
−1
0
−1
−3
6
−9
6
−10
-4
Jadi sisanya, S = -10 dan hasilnya
H ( x ) 2 x 2−4 x+6
=
=x 2−2 x +3 , sehingga
2
2
3
2
2
diperoleh persamaan : 2 x −x −1=( 2 x +3 ) ( x 2 x +3 ) −1
Bab III
Sisa Polinom Oleh Bentuk Linear & Kuadrat Dengan Teorema Sisa
A. Pengertian Teorema Sisa
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ( x−k ¿
maka hasil baginya
adalah suatu suku banyak yang lain H(x) dan sisanya S akan merupakan suatu
konstanta yang tidak memuat variabel x. Hubungan suku banyak f(x) dengan
pembagi ( x−k ¿ , hasil bagi H(x) dan sisa S adalah f(x) = ( x−k ¿
H(x) + S
yang benar untuk semua x.6 Hubungan antara sisa S dengan f(k) dinyatakan dalam
sebuah teorema yang dikenal dengan Teorema Sisa seperti berikut :
1. Teorema Pertama : “Jika suku banyak f(x) berderajat n di bagi (
x−k ¿
maka sisanya S = f (k ) , maka teorema ini dikenal sebagai teorema sisa.
Bukti :
f(x) = ( x−k ¿ H(x) + S
karena persamaan ini berlaku untuk setiap x
diganti k
f(k)
akan diperoleh :
= ( k −k ¿ H(k) + S
6Enmul.bab 5 teorema sisa(pdf : 2010) hal 6
14
bilangan real, maka
x
⇔ f(x) = ( 0 ¿ H(k) + S
⇔ f(x) = 0 + S
⇔ f(x) = S
f (k )
Jadi terbukti bahwa S =
Contoh :
3
Tentukanlah sisa jika
- Cara 1
1
−2
0
- 3
−2
1
-
x+ 2
dibagi
x −3 x+5
-2
5
4
−2
1
3 → jadi sisa 3
Cara 2
= x 3−3 x+5
f(x)
⇔ f(-2) = (−2)3−3 (−2)+5
⇔ f(-2) = −8+6+5
⇔ f(-2) = 3
Jadi, dari
x 3−3 x+5
dibagi
x+ 2 S =
f (−2) = 3
2. Teorema kedua.
Jika suku banyak dibagi
f (x)
berderajat dibagi
( −ba )
(ax +b) , maka sisanya S=f +
n
dibagi dibagi
.7
Bukti :
Subsitusikan
x=
−b
a
kepersamaan
diperoleh :
( ) [( )
−b
−b
f
=
+b
a
a
]
.
H
( −ba )
+S
a
7...ibid 172
15
f ( x )=(ax +b) .
H (x)
+S
a
f
f
( )
−b
=[ −b+b ] .
a
(−ba )=¿
H
( −ba )
+S
a
S
( −ba )
Jadi, dari penjabaran rumus di atas maka terbukti bahwa S=f +
.
Contoh :
f ( x )=6 x 3 + x 2+1
Tentukan sisa pembagian suku banyak
dibagi dengan
2 x −3 .
-
Penyelesaian Cara 1
3 3 3 2
+
+1
2
2
()()
3
3
¿ 6 ( ) + ( ) +1
2
2
¿f
Sisanya
3
-
2
¿
81 9
+ +1
4 4
¿
94
1
=23
4
2
Penyelesian Cara 2
3
2
6
1
1
0
1
9
15
22
-2
1
3
2 x −3 adalah
= 23
1
2
2
dan hasil baginya
6 x +10 x+15
.
2
16
1
23 2
f ( x )=6 x 3 + x 2+1
Jadi sisa pembagian suku banyak
1
2
dibagi dengan
3. Teorema ketiga
Jika suku banyak
f (x)
berderajat
n dibagi ( x−3 ¿( x−b),
sisanya,
S=
( x−a )
( x−b )
f ( b )+
f (a) .
a−b
( x−b )
Atau dengan cara Horner :
a.
…
…
S1
…
b.
…
…
S2
…
Sisanya = S 2 ( x−a ) + S1
Contoh :
Carilah sisanya apabila 2 x 4 −3 x 2−x+ 2 dibagi oleh
Jawab :
Cara 1
f ( x )=2 x 4−3 x 2−x +2
x
+1), maka
g ( x ) =x −x−2=(x−2)¿
2
S=
( x−2 )
( x+ 1 )
f (−1 ) +
f ( 2)
(−1−2)
( 2+1 )
=
( x−2 ) ( x +1 )
2+
20
(−3)
( 2+1 )
17
2
x −x−2 !
maka
=
18 x +24
3
= 6 x+ 8
Cara 2
2
1
2
0
-3
-1
2
4
8
10
18
2
4
5
9
20 = S 1
2
4
5
9
-2
-2
-3
2
3
6 = S2
2
Jadi, sisa dari 2 x 4 −3 x 2−x+ 2 dibagi oleh
S = 6 ( x−2 ) +20=6 x−12+12+ 20=6 x +8 .
18
2
x −x−2 adalah :