BAB 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat fixs

BAB 2
PERSAMAAN , PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. Bentuk umum persamaan kuadrat
2.

2
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax  bx  c  0 ; a �0
Menyelesaikan persamaan kuadrat
Basic concept :
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, antara
lain :
 Memfaktorkan
1
 ax  p   ax  q 
ax2  bx  c  0
diuraikan menjadi a
dengan p +

 x  x1   x  x2   0
q = b dan pq = ac atau bentuk

Maka diperoleh :
p
q
x1   dan x 2  
a
a
Contoh :
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini
memfaktorkan !
1)
x2 – 9 = 0
2x 2  x  1  0
2)



dengan

cara

Jawab:
1). x2  9  0
� (x  3)(x  3)  0
� x  3 �x  3
2). 2x 2  x  1  0
� (2x  1)(x  1)  0
� (2x  1)  0 �(x  1)  0
1
� x   �x  1
2
Melengkapkan kuadrat sempurna
Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x – 3)2 merupakan
beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.
2
Bentuk x  2x  7 dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut :
x 2  2x  7 � (x 2  2x  1)  1  7
� (x  1)2  8

20

2
memuat bentuk kuadrat sempurna (x  1) . Proses mengubah
bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu
dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh:
2
Selesaikan persamaan kuadrat x  3x  2  0 dengan cara



melengkapkan kuadrat sempurna !
Jawab :
x2  3x  2  0
� x 2  3x  2
2
9
� 3�
��
x  � 2   cari separonya 
4

� 2�
2
� 3� 8 9
��
x  �  
4 4
� 2�
2
1
� 3� 1
� 3�
��
x  � � �
x  � �
4
� 2� 4
� 2�
1 3
� x  �  maka x  2 �x  1
2 2

Rumus abc
Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan
2
kuadrat ax  bx  c  0 dengan menggunakan rumus kuadrat

atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat diperoleh dengan
proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan
2
kuadrat ax  bx  c  0 . Prosesnya sebagai berikut :
ax2  bx  c  0
�2 b
b2 � � b2 �
�2 b �
� a�
x  x � c  0
� a�
x  x  2 � � �
c0
a
4a � � 4a �

� a �
�
2
2
2
2
� b� b
� b� b
� a�
x  �  c  0 � a �
x  �  c
� 2a 2� 4a
� 2a2� 4a
2
1
� b � b  4ac
� b�
��
x  �
��

x  � � b2  4ac
2
2a
4a
2a
2a
�
�
�
�
b 1
� x   � b2  4ac
2a 2a
b � b2  4ac
�x
2a
Urai
an di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat. Misalkan a, b,

21

c bilangan real dan a �0 maka akar-akar persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0 ditentukan oleh :
x12 

b � b2  4ac
2a

Contoh:

3.

2
Selesaikan persamaan kuadrat x  3x  2  0 dengan rumus
a,b,c !
Jawab :
x 2  3x  2  0 maka a = 1, b = 3, c = 2
3 � 32  4.1.2
� x12 
2.1

3 � 1
� x12 
2
� x  2 atau x  1
Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat
2
Penyelesaian persamaan kuadrat ax  bx  c  0 dengan (a �0)

b � b2  4ac
2a
adalah
. Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan
2
oleh nilai dari b – 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.
2
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax  bx  c  0 , ditentukan oleh
x12 

2
nilai Diskriminannya (D) yaitu D = b  4ac


D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda

D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama

D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayal)
Metode supertrik :
Jika menemui tanda < atau �maka pilih di jawaban : …< x atau � maka pilih di jawaban : x ….

4.

Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
Basic concept :
Jika diketahui akar – akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c adalah x1
dan x2, diperoleh beberapa rumus, yaitu :

22

 1  x1  x 2  
 2  x1 .x2 

c
a

b
a
D

 3 x1  x2 
a
 4  x12  x22   x1  x2   x1  x 2 
2
 5 x12  x 22   x1  x 2   2x1x 2
3
 6  x13  x23   x 1  x 2   3x 1 x2  x1  x 2 
3
 7  x13  x23   x1  x 2   3x 1 x 2  x1  x 2 
a
a a x  x 
 8   1 2

5.

x1 x 2
x 1 .x 2
Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya
2
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax  bx  c  0 telah diketahui,
maka persamaaan kuadrat baru dengan akar – akar x1 dan x2 dapat
2
dinyatakan dalam bentuk: x  (x1  x2 )x  x1 x 2  0

2.
a.

b.

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Bentuk
baku
pertidaksamaan kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 jenis,
yaitu:
 1 ax2  bx  c  0
 2  ax2  bx  c �0
 3 ax2  bx  c  0
 4  ax2  bx  c �0
dengan a, b, c bilangan real dan a �0.
pertidaksamaan kuadrat
Contoh 1 :
Himpunan penyelesaiannya
x 2  3x  4  0 adalah…

Penyelesaian
dari

pertidaksamaan

Jawab :
Cari pembuat nol :
x2  3x  4  0
 x  4   x  1
x  4 �x  1
Dengan garis bilangan tersaji sebagai berikut :

23

kuadrat

Sehingga himpunan penyelesaiannya : HP  {x| 1  x  4,x �R} (selang
terbuka/bolong karena tidak memuat tanda sama dengan)
Contoh 2 :
2
Himpunan penyelesaiannya dari x  3x  4 �0 adalah…
Jawab :
Dengan cara mencari pembuat nol pada contoh 1, diperoleh garis
bilangan :

Sehingga himpunan penyelesaiannya : HP  {x| 1 �x �4,x �R}
(selang tertutup karena memuat tanda sama dengan)
Contoh 3 :
2
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x  3x  4  0 adalah…
Jawab :
Dengan cara mencari pembuat nol pada contoh 1, diperoleh garis
bilangan :

Sehingga himpunan penyelesaiannya : HP  {x|x  1 atau x  4,x �R}
(selang terbuka/bolong karena tidak memuat tanda sama dengan).
Contoh 4 :
2
Himpunan penyelesaiannya dari x  3x  4 �0 adalah…
Jawab:
Dengan langkah awal mencari pembuat nol pada contoh 1, diperoleh
garis bilangan :

Sehingga himpunan penyelesaiannya : HP  {x|x �1 atau x �4,x �R}
(selang tertutup karena memuat tanda sama dengan).

24

c.

Bentuk

–

bentuk

pertidaksamaan rasional
Perhatikan beberapa contoh berikut !
Contoh 1:
2

Tentukan penyelesaian dari
Jawab :

x −x
>0
x+2

!

Harga nol pembilang
Harga nol penyebut
2
x x 0
x(x  1)  0
x 2 0
x1  0 �x 2  1
x  2
Jadi penyelesaiannya adalah - 2 0
D 0
� b2  4ac  0
2
�  p  2   4.p.  p  4   0
2
� p  4p  4  4p2  16p  0
� 5p2  12p  4  0
�  5p  2   p  2   0
2
 p  atau p  2
5
Jawaban:B
UN 2012
Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 2m – 4 = 0 tidak mempunyai akar – akar
real. Batas – batas nilai m yang memenuhi adalah…
m �2 atau m �10
A.
m � 10 atau m � 2
B.
m  2 atau m  10
C.
2  m  10
D.
10  m � 2
E.
Pembahasan :
Metode supertrik :

27

4.

5.

Tidak mempunyai akar – akar real : D < 0, artinya pilih KECIL < x < BESAR
(jadi pilihan A,B,C jelas salah)
D 0
� b2  4ac  0
2
�  m  2   4.1.  2m  4   0
� m2  4m  4  8m  16  0
� m2  12m  20  0
�  m  10   m  2   0
 2  m  10
Jawaban:D
UN 2012
Persamaan kuadrat 2x2 – 2(p – 4)x + p = 0 mempunyai dua akar real
berbeda. Batas – batas nilai p yang memenuhi adalah…
p �2 atau p �8
A.
p  2 atau p  8
B.
p   8 atau p  2
C.
2 �p �8
D.
 8 �p � 2
E.
Pembahasan :
Metode supertrik :
Akar – akar real berbeda : D > 0 artinya pilih KECIL ATAU BESAR (pilihan D
dan E jelas salah)
D 0
� b2  4ac  0
2
�  2p  8   4.2.p  0
2
� 4p  32p  64  8p  0
� 4p2  40p  64  0
� p2  10p  16  0
�  p  8  p  2  0
 p  2 atau p  8
Jawaban:B
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x 2 + (t + 3)x + t – 1 memotong garis y = – 4 di
dua titik yang berlainan. Batas – batas nilai t adalah…
1  t  3
A.
3  t  1
B.
3  t   1
C.
t  3 atau t  1
D.

28

t � 1 atau t �3
E.
Pembahasan :
Memotong : D > 0
y = y sehingga diperoleh :
x 2   t  3  x  t 1   4
x2   t  3 x  t  3  0
D 0
� b2  4ac  0
2
�  t  3   4.1.  t  3   0
2
� t  6t  9  4t  12  0
� t2  2t  3  0
�  t  3  t 1  0
� t  3 atau t  1
Jawaban:D

PAKET SOAL LATIHAN
1.

2.

3.

4.

Jika x1= - 3 dan x2 = 2 merupakan akar – akar dari x 2 + ax + b = 0, maka
nilai a dan b berturut – turut adalah…
A. 1 dan – 6
D. 1 dan 6
B. – 1 dan 6
E. 6 dan 1
C. – 1 dan – 6
Jika diskriminan persamaan x2 + kx + (k + 3) = 0 adalah nol, maka nilai k
adalah…
A. – 2 atau 6
D. – 3 atau 4
B. 5 atau 1
E. 4 atau 2
C. – 6 atau 2
Jika persamaan ax2 – 6x + 8 = 0 mempunyai akar – akar x 1 dan x2 dengan
x1 + x2 = 3, maka x1 . x2 adalah…
A. – 16
D. 4
B. – 4
E. 16
C. 2
Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat 4x2 – 3x + 6 = 0,
2
2
  ...
x
x2
maka nilai 1

29

5.

6.

3
1

A. 2
D. 2
B. 1
E. – 1
1
C. 2
Selisih akar – akar persamaan x 2 – mx + 24 = 0 adalah 5. Nilai m yang
mungkin adalah…
A. ± 11
D. ± 5
B. ± 9
E. ± 1
C. ± 7
Persamaan (x –a)2 + x + a = 0 mempunyai 2 akar nyata yang berlainan, jika
….
1
1
a
a
8
4
A.
D.

1
4
B.
E. a > 1
1
a
8
C.
7. Persamaan kuadrat x2 – 8x + k = 0 mempunyai perbandingan akar – akar
3 : 1. Nilai k adalah…
A. 16
D. 8
B. 12
E. – 8
C. 10
8. Agar persamaan 2mx2 + 4x + m – 1 = 0, mempunyai akar – akar real (nyata)
dan berbeda, maka nilai m yang memenuhi adalah…
A. m < – 1 atau m > 2
B. m < – 2 atau m > 1
C. 1 < m < 2
D. – 1 < m < 2
E. – 2 < m < 1
9. Hasil kali akar – akar persamaan kuadrat 2x 2 + (3p + 1)x – 7p + 1 = 0 adalah
– 3. Jumlah akar – akar persamaan kuadrat tersebut adalah…
A. 4
D. – 2
B. 2
E. – 4
C. – 1
10. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 mempunyai akar – akar x 1 dan x2.
Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 – 3 dan 2x2 – 3 adalah…
A. 2x2 + 9x + 8 = 0
D. 2x2 – 9x + 8 = 0
a

30

B. x 2 + 9x + 8 = 0
E. x2 + 9x – 8 = 0
2
C. x – 9x – 8 = 0
11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x 2 – 3x – 4 > 0
adalah…
A. x < - 1 atau x > 4
D. – 4 < x < - 1
B. x < - 1 atau x > - 4
E. x > - 1 atau x < - 4
C. – 1 < x < 4
x5
�0
x 8
12. Nilai x yang memenuhi
adalah…
A. x < -8 atau x ≥ 5
D. – 5 ≤ x < 8
B. - 8 < x ≤ 5
E. x ≤ - 8 atau x ≥ 5
C. x < - 12
x 2  5x  6
x 2  2x  3
13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
≤ 0 adalah…
A. x ≤ - 3 atau 1 < x ≤ 2
B. – 3 < x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3
C. 1 < x ≤ 2 atau x > 3
D. 1 < x ≤ 2 atau x ≥ 3
E. x < - 3 atau 1 < x ≤ 2 atau x ≥ 3
x2  x  2  x  6
14. Penyelesaian dari :
adalah…
A. – 6 < x ≤ 2
D. – 2 < x ≤ - 1 atau 2 ≤x < 4
B. – 4 < x < 2
E. – 4 < x ≤ - 2 atau – 1 ≤ x < 2
C. – 6 < x < - 1
15. Nilai yang memenuhi : |2x – 3| ≥ 5 adalah…
A. 1 ≤ x ≤ 4
D. x ≤ 1 atau x ≥ 4
B. 1 < x < 4
E. 3 ≤ x ≤ 5
C. x ≤ - 1 atau x ≥ 4
x 2
�2
x 3
16. Pertidaksamaan
akan bernilai benar jika…
A. – 4 ≤ x < - 3
D. – 8 ≤ x < -3
4

B. x ≤ - 8 atau x ≥ 3
E. – 8 ≤ x ≤ - 1

C. x ≤ - 4 atau x ≥ 3
17. Titik potong dengan sumbu Y dan titik puncak fungsi f(x) = –3x 2 + 6x – 5,
berturut – turut adalah…
A. (0, - 5) dan (- 2, 1)
D. (0, - 5) dan ( 1, - 2)

31

B. (0,5) dan (2,1)
E. (0,5) dan (1,2)
C. (0, - 5) dan (2, - 1)
18. Fungsi kuadrat y = 2x2 – 4x + 10 mempunyai titik…
A. Minimum yaitu (2,10)
B. Maksimum yaitu (2,10)
C. Minimum yaitu (1,8)
D. Maksimum yaitu (1,8)
E. Minimum yaitu ( - 1, 16)
19. Diketahui parabola y = (x – 3)2 – 25. Pernyataan di bawah ini benar,
kecuali…
A. Persamaan sumbu simetri x = 3
B. Nilai minimumnya y = – 25
C. Titik baliknya ( –25, 3)
D. Koordinat titik potong sumbu x adalah (8,0) dan (- 2,0)
E. Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, - 16)
20. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di titik (3,2) dan melalui titik
(2,4) adalah…
A. y = x2 – 6x – 2
D. y = 2x2 – 12x + 20
2
B. y = 2x + 6x – 68
E. y = 3x2 – 18x + 59
2
C. y = - 2x – 12x + 14

32