Perbandingan Grafik Pengendali Grand Median dan Cumulative Sum pada Variabel Berat Shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas ARTIKEL
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERBANDINGAN GRAFIK PENGENDALI GRAND MEDIAN
DAN CUSUM PADA VARIABEL BERAT SHUTTLECOCK
DI CV MARJOKO KOMPAS DAN DOMAS
Nurul Musdalifah, Sri Sulistijowati Handajani, Etik Zukhronah
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Persaingan antar perusahaan sejenis menyebabkan perusahaan harus mampu menjamin kualitas produksi agar tidak mengalami kebangkrutan. Untuk menjamin
kualitas produksi maka dilakukan pengontrolan produksi menggunakan pengendalian kualitas statistik yaitu grafik pengendali. Grafik pengendali yang biasa digunakan
untuk data berdistribusi normal adalah grafik pengendali Shewhart. Namun data produksi seringkali tidak berdistribusi normal dan mengalami pergeseran rata-rata yang
kecil. Grafik pengendali grand median merupakan grafik untuk data tidak berdistribusi normal sedangkan grafik pengendali CUSUM merupakan grafik yang sensitif
dalam mendeteksi pergeseran rata-rata yang kecil. Kedua grafik pengendali diterapkan pada data berat shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas. Untuk dapat
membandingkan kedua grafik pengendali, dibangkitkan data sesuai distribusi sebenarnya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi nilai pengali standar deviasi
grafik grand median dan CUSUM. Simulasi dilakukan untuk menghasilkan Average
Run Length (ARL) sebesar 370. Grafik pengendali grand median mendeteksi 10 titik
yang tidak terkendali sedangkan grafik pengendali CUSUM mendeteksi 1 titik tidak
terkendali. Dari banyaknya titik tidak terkendali dapat disimpulkan grafik pengendali grand median lebih baik digunakan karena lebih banyak mendeteksi titik tidak
terkendali daripada grafik pengendali CUSUM.
Kata Kunci: grafik pengendali grand median, grafik pengendali CUSUM, ARL.
1. Pendahuluan
Pasar bebas menyebabkan transaksi perdagangan antar wilayah di berbagai
belahan dunia dapat dilakukan secara mudah dan cepat. Hal tersebut menyebabkan banyak perusahaan sejenis dapat memasarkan produknya pada wilayah
yang sama sehingga menimbulkan persaingan antar perusahaan sejenis. Jaminan
kualitas produksi merupakan suatu cara agar perusahaan mampu bersaing dengan perusahaan sejenis. Upaya untuk menjaga dan meningkatkan kualitas dari
produk yang dihasilkan dapat dilakukan dengan pengendalian kualitas proses secara statistik (Ramadhani [6]).
Suatu alat yang digunakan dalam pengendalian kualitas secara statistik
pada proses produksi adalah grafik pengendali. Grafik pengendali digunakan
untuk menentukan apakah proses terkendali atau tidak terkendali melalui batas
pengendali atas atau Upper Control Limit (UCL) dan batas pengendali bawah
atau Lower Control Limit (LCL). Apabila terdapat suatu titik terletak di luar
commit to user
batas pengendali atau grafik membentuk pola tak random dapat dikatakan bahwa
grafik tidak terkendali (Montgomery [5]).
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
Grafik pengendali yang biasa digunakan adalah grafik pengendali Shewhart
(¯
x) dengan asumsi yang harus dipenuhi yaitu variabel random berdistribusi normal. Pada karakteristik kualitas produksi seringkali ditemukan data tidak menyebar sesuai distribusi normal atau dapat dikatakan data tidak berdistribusi
normal. Oleh karena itu digunakan pendekatan dengan grafik pengendali nonparametrik yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal yaitu grafik pengendali
grand median. Grafik pengendali grand median menggunakan pengamatan yang
nilainya melebihi nilai grand median (Altukife [1]).
Data produksi juga seringkali mengalami pergeseran rata-rata yang kecil.
Oleh karena itu digunakan grafik pengendali CUSUM yang sensitif dalam mendeteksi terjadinya pergeseran rata-rata yang kecil. Perbandingan kedua grafik
dilakukan untuk mengetahui grafik pengendali yang lebih sensitif dalam mendeteksi pergeseran proses kecil pada data yang tidak berdistribusi normal. Data
yang digunakan adalah data berat shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas.
2. Grafik Pengendali GRAND MEDIAN
Grand median merupakan statistik yang digunakan untuk mengukur pusat
dari m sampel pengamatan yang berukuran n (Altukife [1]). Grand median didefinisikan sebagai e diperoleh dengan mencari median dari kombinasi total N ,
dimana N adalah m sampel yang masing-masing berukuran n. Struktur data
sampel selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Struktur Data Sampel
1
x1.1
x2.1
..
.
2
x1.2
x2.2
..
.
···
···
···
..
.
n
x1.n
x2.n
..
.
xm.1 xm.2 · · ·
xm.n
Grafik pengendali grand median merupakan grafik pengendali yang menggunakan pengamatan yang nilainya melebihi grand median. Diasumsikan O1i
adalah jumlah pengamatan yang nilainya melebihi e pada sampel ke-i dan O2i
adalah jumlah pengamatan yang nilainya kurang dari atau sama dengan e pada
sampel ke-i. Peluang terjadinya kejadian O1i dan O2i adalah 0.5. Dengan demikian distribusi O1i untuk i = 1, 2, 3, ...m adalah binomial(n, 1/2). Rata-rata dan
variansi distribusi binomial yaitu
n
µ = to user
commit
2
n
2
σ =
.
4
2
(2.1)
(2.2)
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
Batas pengendali grafik pengendali grand median didefinisikan sebagai
√
LCL = µ − D σ 2
(2.3)
CL = µ
√
U CL = µ + D σ 2
(2.4)
dengan D adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan nilai probabilitas kesalahan tipe I (Altukife [1]). Persamaan (2.1) dan (2.2) disubstitusikan ke persamaan (2.3) dan (2.4) menghasilkan batas pengendali grafik
pengendali grand median sebagai berikut.
√
n
n
LCL =
−D
2
4
n
CL =
2
√
n
n
+D
.
U CL =
2
4
(2.5)
(2.6)
3. Grafik Pengendali CUSUM
Grafik pengendali CUSUM menghimpun semua informasi dari sampel pertama sampai sampel terakhir. Misalkan sampel-sampel berukuran n ≥ 1 dikum-
pulkan dan x¯i adalah rata-rata sampel ke i, µ0 adalah target dari rata-rata proses.
Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan menjadi µ1 > µ0 , maka terjadi pergeseran positif pada nilai CUSUM Ci . Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan
menjadi µ1 < µ0 , maka terjadi pergeseran negatif pada nilai CUSUM Ci . Besar
pergeseran proses didefiniskan dengan
δ=
µ1 − µ0
.
σ
Titik-titik pengamatan grafik pengendali CUSUM dapat dibentuk menggunakan tabular CUSUM didefinisikan Koshti [4] sebagai berikut.
[
]
Ci + = maks 0, x¯i − (µ0 + K) + Ci−1 +
[
]
Ci − = maks 0, (µ0 − K) − x¯i + Ci−1 −
(3.1)
(3.2)
dengan nilai awal C0 + dan C0 − bernilai 0. Sedangkan K adalah nilai referensi
yang didefinisikan sebagai
δ
|µ1 − µ0 |
K= σ=
2
2
dengan δ merupakan besar pergeseran yang akan disidik. Grafik pengendali CUSUM merupakan grafik pengendali yang baik digunakan dalam mendeteksi percommit to user
geseran rata-rata yang kecil. Biasanya pergeseran rata-rata yang kecil adalah
sekitar kurang dari 1.5σ (Ferdinant [3]). Batas pengendali CUSUM didefinisikan
3
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
sebagai
LCL = −hσ
(3.3)
U CL = hσ
(3.4)
dengan h adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan nilai
Average Run Lenght (ARL) yang diharapkan (Montgomery [5]).
4. Average Run Length (ARL)
Average Run Lenght (ARL) adalah rata-rata banyaknya sampel yang harus
diamati sampai ditemukan tanda tidak terkendali yang pertama. ARL dihitung
dari rata-rata simulasi run length. Run length didefinisikan sebagai jumlah sampel
yang diperlukan sampai ditemukan sampel yang keluar dari batas pengendali.
Secara umum persamaan untuk menghitung ARL adalah
1
1
= ,
ARL =
P r(menolak H0 |H0 benar)
α
(4.1)
dengan α adalah probabilitas kesalahan tipe I yaitu probabilitas mengatakan
grafik tidak terkendali padahal sebenarnya grafik terkendali (Montgomery [5]).
Teknik pendekatan untuk menghitung ARL adalah menggunakan pendekatan Siegmund untuk satu sisi Ci + dan Ci − yang didefinisikan Montgomery [5]
sebagai
ARL =
{
exp(−2∆b)+2∆b−1
2∆2
; untuk ∆ ̸= 0
b2
; untuk ∆ = 0
(4.2)
dengan
∆ = δ − k untuk Ci+ dan ∆ = −δ − k untuk Ci− ,
b = h + 1.166,
k=
K
.
σ
Untuk ARL dua sisi dapat dituliskan
1
1
1
=
+
.
+
ARL
ARL
ARL−
Perbandingan kedua grafik pengendali dapat dilakukan apabila kedua grafik
pengendali memiliki nilai ARL yang sama. Nilai ARL diperoleh dengan menetapkan nilai α. Simulasi nilai pengali standar deviasi (D dan h) dilakukan untuk
menghasilkan nilai ARL yang diharapkan. Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data sesuai distribusi data pengamatan.
5. Uji Distribusi Data
Salah satu uji distribusi data yang dapat digunakan adalah menggunakan
commit to user
statistik uji Anderson-Darling. Menurut Fallo [2], langkah uji hipotesis dengan
statistik uji Anderson-Darling diuraikan sebagai berikut.
4
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(1) Hipotesis
H0 : Data produksi berat shuttlecock berdistribusi tertentu.
H1 : Data produksi berat shuttlecock tidak berdistribusi tertentu.
(2) Taraf signifikasi
α =0.05.
(3) Daerah kritis (DK)
DK = {A∗ |A∗ > Aα }. H0 ditolak apabila A∗ ∈ DK.
(4) Statistik uji
AD = −N −
dengan
N
∑
(2i − 1)
i=1
N
[lnF (Zt + ln(1 − F (ZN +1−t ))],
AD : statistik uji Anderson-Darling,
N : banyak pengamatan,
Zt : data yang telah distandardisasi,
F (Zt ) : nilai fungsi distribusi kumulatif normal baku di Zt .
Uji untuk data berdistribusi normal menggunakan modifikasi statistik uji
AD dituliskan sebagai
0.75 0.25
+ 2 ).
N
N
Uji distribusi yang memiliki nilai AD paling kecil mengindikasikan bahwa distriA∗ = AD(1 +
busi tersebut paling tepat mendasari proses (Wibawati [7]).
6. Metode Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data primer variabel berat
shuttlecock dari produsen shuttlecock CV Marjoko Kompas dan Domas di Kabupaten Sukoharjo. Data yang diambil sebanyak 50 sampel, dengan setiap sampel
berukuran 20.
Sebelum menerapkan kedua grafik pengendali, terlebih dahulu ditentukan
nilai pengali standar deviasi D dan h. Nilai pengali tersebut dipilih untuk menghasilkan ARL yang diharapkan. Langkah-langkah dalam menentukan nilai D
dinyatakan sebagai berikut.
(1) Membangkitkan data sesuai distribusi data yang sebenarnya sebanyak
1000, kemudian menghitung grand median.
(2) Menentukan sembarang nilai D kemudian dibuat batas pengendali.
(3) Membangkitkan data dengan distribusi yang sesuai dengan data sebenarnya dengan ukuran sampel 20, kemudian menghitung statistik O1i yaitu
commit to user
banyaknya observasi yang melebihi grand median.
(4) Statistik O1i diplotkan pada batas pengendali tersebut.
5
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(5) Jika nilai O1i berada dalam grafik pengendali maka kembali lagi langkah 3
dan jika berada di luar batas pengendali maka dicatat sebagai Run Length
(RL).
(6) Langkah ke (3) sampai langkah ke (5) diulangi sebanyak 1000 kali.
(7) Menghitung ARL dengan menjumlahkan nilai RL keseluruhan kemudian
dibagi 1000.
Sedangkan langkah-langkah untuk menentukan nilai h grafik pengendali CUSUM
dinyatakan sebagai berikut.
(1) Menentukan besar pergeseran proses.
(2) Memberikan nilai awal h dan menghitung ARL grafik pengendali CUSUM.
(3) Mengulangi langkah (1) dan (2) sampai diperoleh ARL yang diharapkan.
Selanjutnya adalah menerapkan kedua grafik pengendali pada data pengamatan. Langkah-langkahnya sebagai berikut.
(1) Menerapkan grafik pengendali grand median.
(a) Menentukan grand median kemudian mencari pengamatan pada setiap sampel yang nilainya melebihi grand median.
(b) Banyaknya pengamatan yang nilainya melebihi grand median pada setiap sampel diplotkan pada batas pengendali grafik pengendali
grand median.
(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas pengendali.
(2) Menerapkan grafik pengendali CUSUM.
(a) Menentukan besarnya pergeseran proses dan pengali standar deviasi.
(b) Menghitung nilai tabular CUSUM untuk Ci+ dan Ci− sebagai titik
pengamatan grafik pengendali CUSUM.
(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas pengendali.
(3) Membandingkan kedua grafik pengendali.
7. Hasil dan Pembahasan
Menguji data merupakan hal yang harus dilakukan untuk mengetahui data
pengamatan mengikuti suatu bentuk distribusi tertentu. Langkah-langkah uji
hipotesis menggunakan statistik uji AD dituliskan sebagai berikut.
(1) Hipotesis
commit to user
H0 : Data produksi berat shuttlecock berdistribusi normal.
H1 : Data produksi berat shuttlecock tidak berdistribusi normal.
6
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(2) Taraf signifikasi
α =0.05.
(3) Daerah kritis (DK)
DK = {A∗ |A∗ > Aα = A0.05 = 0.752}. H0 ditolak apabila A∗ ∈ DK.
(4) Statistik uji
A∗ = AD(1 +
0.75 0.25
+ 2)
N
N
Pada Tabel 2 diperoleh nilai AD untuk beberapa distribusi sehingga dapat
diperoleh statistik uji A∗ bernilai 1.068.
(5) Kesimpulan
Karena A∗ sebesar 1.068 ∈ DK, H0 ditolak artinya data produksi berat
shuttlecock tidak berdistribusi normal.
Hasil statistik uji AD pada beberapa distribusi ditunjukkan pada Tabel 2.
Uji distribusi yang memenuhi nilai AD paling kecil adalah distribusi Weibull 3
parameter. Selanjutnya dilakukan uji hipotesis untuk data berdistribusi Weibull 3
parameter. Uji hipotesis menggunakan H0 data berdistribusi Weibull 3 parameter
diperoleh nilai statistik uji A∗ = 0.648 < A0.05 = 2.492. Karena A∗ ̸∈ DK, H0
tidak ditolak yang artinya data pengamatan berdistribusi Weibull 3 parameter.
Tabel 2. Hasil Statistik Uji Anderson-Darling
Distribusi
AD p − value
Normal
1.067
0.008
Lognormal
0.762
0.047
Exponential 442.195
< 0.003
2-p Exp
176.951 < 0.0010
Weibull
17.243
< 0.001
3-p Weibull 0.648
0.068
Distribusi
AD p − value
Smallest EV 18.927
< 0.001
Largest EV
5.705
< 0.001
Gamma
0.857
0.028
Logistic
1.384
< 0.005
Loglogistic
1.237
< 0.005
Uji distribusi data dilakukan untuk membangkitkan data sesuai distribusi
sebenarnya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi pengali standar
deviasi yang menghasilkan ARL sebesar 370. Hasilnya diperoleh nilai D sebesar
2.71 melalui persamaan (4.1) dan nilai h sebesar 4.87 melalui persamaan (4.2).
Banyaknya pengamatan yang melebihi grand median (O1i ) merupakan titik-titik
pengamatan grafik pengendali grand median. Melalui persamaan (2.5) dan (2.6)
diperoleh LCL sebesar 3.9043 dan UCL sebesar 16.0597.
Titik-titik pengamatan grafik pengendali CUSUM diperoleh melalui nilai
tabular CUSUM menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2). Melalui persamaan
(3.3) dan (3.4) diperoleh LCL sebesar −0.2922 dan UCL sebesar 0.2922. Gracommit to user
fik pengendali grand median dan CUSUM dapat dilihat pada Gambar 1(a) dan
Gambar 1(b).
7
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
UCL
UCL
LCL
LCL
(a)
(b)
Gambar 1. Grafik Pengendali (a)Grand Median dan (b)CUSUM
Gambar 1(a) menunjukkan grafik pengendali grand median dengan LCL
sebesar 3.94 dan UCL sebesar 16.06 mendeteksi 10 titik yang berada di luar batas pengendali, sedangkan Gambar 1(b) menunjukkan grafik pengendali CUSUM
dengan LCL sebesar −0.2922 dan UCL sebesar 0.2922 mendeteksi 1 titik yang
tidak terkendali. Titik pengamatan yang berada di luar batas pengendali LCL
dan UCL pada grafik grand median adalah sampel ke 11, 24, 27, 29, 30, 31, 38,
39, 41, dan 45, sedangkan pada grafik pengendali CUSUM adalah sampel ke 18.
8. Kesimpulan
Simulasi pengali standar deviasi yang menghasilkan ARL sebesar 370 diperoleh nilai D sebesar 2.71 dan h sebesar 4.87 untuk mendapatkan LCL dan
UCL kedua grafik pengendali. Dari banyaknya titik yang tidak terkendali dapat
disimpulkan bahwa grafik pengendali grand median lebih baik digunakan untuk
data berat shuttlecock berdistribusi Weibull 3 parameter dibandingkan grafik pengendali CUSUM karena mendeteksi lebih banyak titik tidak terkendali.
Daftar Pustaka
1. Altukife, F.S., A New Nonparametric Control Chart Based on Observations Exceeding The
Grand Median, Pakistan Journal of Statistic 19 (2003), no. 3, 343–351.
2. Fallo, J.O., Setiawan, dan Susanto, B., Perbandingan Uji Berdasarkan Anderson-Darling,
Cramer, dan Liliefors, Prosiding Seminar Nasional Matematika, UNNES, Semarang, 2013.
3. Ferdinant, P.F., Pengendalian Kualitas Proses dengan Peta Kendali CUSUM dan EWMA,
Prosiding Seminar Nasional Industrial Services (SNIS) III, UNTIRTA, Banten, 2013.
4. Koshti, V.V., Cumulative Sum Control Chart, International Journal of Phisics And Mathematical Sciences 1(1) (2011), 28–32.
5. Montgomery, D.C., Introduction to Statistical Quality Control, 6th ed., John Willey and
Sons, Washington, 2009.
6. Ramadhani, G.S., Analisis Pengendalian Kualitas Menggunakan Diagram Kendali Demerit,
Skripsi, FMIPA Universitas Diponegoro, Semarang, 2014.
7. Wibawati, Mashuri. M dan Qadari, Diagram Kontrol Nonparametrik Mann Whitney Untuk
Target, Skripsi, Institut Teknologi Surabaya, Surabaya, 2007.
commit to user
8
2016
digilib.uns.ac.id
PERBANDINGAN GRAFIK PENGENDALI GRAND MEDIAN
DAN CUSUM PADA VARIABEL BERAT SHUTTLECOCK
DI CV MARJOKO KOMPAS DAN DOMAS
Nurul Musdalifah, Sri Sulistijowati Handajani, Etik Zukhronah
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Persaingan antar perusahaan sejenis menyebabkan perusahaan harus mampu menjamin kualitas produksi agar tidak mengalami kebangkrutan. Untuk menjamin
kualitas produksi maka dilakukan pengontrolan produksi menggunakan pengendalian kualitas statistik yaitu grafik pengendali. Grafik pengendali yang biasa digunakan
untuk data berdistribusi normal adalah grafik pengendali Shewhart. Namun data produksi seringkali tidak berdistribusi normal dan mengalami pergeseran rata-rata yang
kecil. Grafik pengendali grand median merupakan grafik untuk data tidak berdistribusi normal sedangkan grafik pengendali CUSUM merupakan grafik yang sensitif
dalam mendeteksi pergeseran rata-rata yang kecil. Kedua grafik pengendali diterapkan pada data berat shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas. Untuk dapat
membandingkan kedua grafik pengendali, dibangkitkan data sesuai distribusi sebenarnya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi nilai pengali standar deviasi
grafik grand median dan CUSUM. Simulasi dilakukan untuk menghasilkan Average
Run Length (ARL) sebesar 370. Grafik pengendali grand median mendeteksi 10 titik
yang tidak terkendali sedangkan grafik pengendali CUSUM mendeteksi 1 titik tidak
terkendali. Dari banyaknya titik tidak terkendali dapat disimpulkan grafik pengendali grand median lebih baik digunakan karena lebih banyak mendeteksi titik tidak
terkendali daripada grafik pengendali CUSUM.
Kata Kunci: grafik pengendali grand median, grafik pengendali CUSUM, ARL.
1. Pendahuluan
Pasar bebas menyebabkan transaksi perdagangan antar wilayah di berbagai
belahan dunia dapat dilakukan secara mudah dan cepat. Hal tersebut menyebabkan banyak perusahaan sejenis dapat memasarkan produknya pada wilayah
yang sama sehingga menimbulkan persaingan antar perusahaan sejenis. Jaminan
kualitas produksi merupakan suatu cara agar perusahaan mampu bersaing dengan perusahaan sejenis. Upaya untuk menjaga dan meningkatkan kualitas dari
produk yang dihasilkan dapat dilakukan dengan pengendalian kualitas proses secara statistik (Ramadhani [6]).
Suatu alat yang digunakan dalam pengendalian kualitas secara statistik
pada proses produksi adalah grafik pengendali. Grafik pengendali digunakan
untuk menentukan apakah proses terkendali atau tidak terkendali melalui batas
pengendali atas atau Upper Control Limit (UCL) dan batas pengendali bawah
atau Lower Control Limit (LCL). Apabila terdapat suatu titik terletak di luar
commit to user
batas pengendali atau grafik membentuk pola tak random dapat dikatakan bahwa
grafik tidak terkendali (Montgomery [5]).
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
Grafik pengendali yang biasa digunakan adalah grafik pengendali Shewhart
(¯
x) dengan asumsi yang harus dipenuhi yaitu variabel random berdistribusi normal. Pada karakteristik kualitas produksi seringkali ditemukan data tidak menyebar sesuai distribusi normal atau dapat dikatakan data tidak berdistribusi
normal. Oleh karena itu digunakan pendekatan dengan grafik pengendali nonparametrik yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal yaitu grafik pengendali
grand median. Grafik pengendali grand median menggunakan pengamatan yang
nilainya melebihi nilai grand median (Altukife [1]).
Data produksi juga seringkali mengalami pergeseran rata-rata yang kecil.
Oleh karena itu digunakan grafik pengendali CUSUM yang sensitif dalam mendeteksi terjadinya pergeseran rata-rata yang kecil. Perbandingan kedua grafik
dilakukan untuk mengetahui grafik pengendali yang lebih sensitif dalam mendeteksi pergeseran proses kecil pada data yang tidak berdistribusi normal. Data
yang digunakan adalah data berat shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas.
2. Grafik Pengendali GRAND MEDIAN
Grand median merupakan statistik yang digunakan untuk mengukur pusat
dari m sampel pengamatan yang berukuran n (Altukife [1]). Grand median didefinisikan sebagai e diperoleh dengan mencari median dari kombinasi total N ,
dimana N adalah m sampel yang masing-masing berukuran n. Struktur data
sampel selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Struktur Data Sampel
1
x1.1
x2.1
..
.
2
x1.2
x2.2
..
.
···
···
···
..
.
n
x1.n
x2.n
..
.
xm.1 xm.2 · · ·
xm.n
Grafik pengendali grand median merupakan grafik pengendali yang menggunakan pengamatan yang nilainya melebihi grand median. Diasumsikan O1i
adalah jumlah pengamatan yang nilainya melebihi e pada sampel ke-i dan O2i
adalah jumlah pengamatan yang nilainya kurang dari atau sama dengan e pada
sampel ke-i. Peluang terjadinya kejadian O1i dan O2i adalah 0.5. Dengan demikian distribusi O1i untuk i = 1, 2, 3, ...m adalah binomial(n, 1/2). Rata-rata dan
variansi distribusi binomial yaitu
n
µ = to user
commit
2
n
2
σ =
.
4
2
(2.1)
(2.2)
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
Batas pengendali grafik pengendali grand median didefinisikan sebagai
√
LCL = µ − D σ 2
(2.3)
CL = µ
√
U CL = µ + D σ 2
(2.4)
dengan D adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan nilai probabilitas kesalahan tipe I (Altukife [1]). Persamaan (2.1) dan (2.2) disubstitusikan ke persamaan (2.3) dan (2.4) menghasilkan batas pengendali grafik
pengendali grand median sebagai berikut.
√
n
n
LCL =
−D
2
4
n
CL =
2
√
n
n
+D
.
U CL =
2
4
(2.5)
(2.6)
3. Grafik Pengendali CUSUM
Grafik pengendali CUSUM menghimpun semua informasi dari sampel pertama sampai sampel terakhir. Misalkan sampel-sampel berukuran n ≥ 1 dikum-
pulkan dan x¯i adalah rata-rata sampel ke i, µ0 adalah target dari rata-rata proses.
Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan menjadi µ1 > µ0 , maka terjadi pergeseran positif pada nilai CUSUM Ci . Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan
menjadi µ1 < µ0 , maka terjadi pergeseran negatif pada nilai CUSUM Ci . Besar
pergeseran proses didefiniskan dengan
δ=
µ1 − µ0
.
σ
Titik-titik pengamatan grafik pengendali CUSUM dapat dibentuk menggunakan tabular CUSUM didefinisikan Koshti [4] sebagai berikut.
[
]
Ci + = maks 0, x¯i − (µ0 + K) + Ci−1 +
[
]
Ci − = maks 0, (µ0 − K) − x¯i + Ci−1 −
(3.1)
(3.2)
dengan nilai awal C0 + dan C0 − bernilai 0. Sedangkan K adalah nilai referensi
yang didefinisikan sebagai
δ
|µ1 − µ0 |
K= σ=
2
2
dengan δ merupakan besar pergeseran yang akan disidik. Grafik pengendali CUSUM merupakan grafik pengendali yang baik digunakan dalam mendeteksi percommit to user
geseran rata-rata yang kecil. Biasanya pergeseran rata-rata yang kecil adalah
sekitar kurang dari 1.5σ (Ferdinant [3]). Batas pengendali CUSUM didefinisikan
3
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
sebagai
LCL = −hσ
(3.3)
U CL = hσ
(3.4)
dengan h adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan nilai
Average Run Lenght (ARL) yang diharapkan (Montgomery [5]).
4. Average Run Length (ARL)
Average Run Lenght (ARL) adalah rata-rata banyaknya sampel yang harus
diamati sampai ditemukan tanda tidak terkendali yang pertama. ARL dihitung
dari rata-rata simulasi run length. Run length didefinisikan sebagai jumlah sampel
yang diperlukan sampai ditemukan sampel yang keluar dari batas pengendali.
Secara umum persamaan untuk menghitung ARL adalah
1
1
= ,
ARL =
P r(menolak H0 |H0 benar)
α
(4.1)
dengan α adalah probabilitas kesalahan tipe I yaitu probabilitas mengatakan
grafik tidak terkendali padahal sebenarnya grafik terkendali (Montgomery [5]).
Teknik pendekatan untuk menghitung ARL adalah menggunakan pendekatan Siegmund untuk satu sisi Ci + dan Ci − yang didefinisikan Montgomery [5]
sebagai
ARL =
{
exp(−2∆b)+2∆b−1
2∆2
; untuk ∆ ̸= 0
b2
; untuk ∆ = 0
(4.2)
dengan
∆ = δ − k untuk Ci+ dan ∆ = −δ − k untuk Ci− ,
b = h + 1.166,
k=
K
.
σ
Untuk ARL dua sisi dapat dituliskan
1
1
1
=
+
.
+
ARL
ARL
ARL−
Perbandingan kedua grafik pengendali dapat dilakukan apabila kedua grafik
pengendali memiliki nilai ARL yang sama. Nilai ARL diperoleh dengan menetapkan nilai α. Simulasi nilai pengali standar deviasi (D dan h) dilakukan untuk
menghasilkan nilai ARL yang diharapkan. Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data sesuai distribusi data pengamatan.
5. Uji Distribusi Data
Salah satu uji distribusi data yang dapat digunakan adalah menggunakan
commit to user
statistik uji Anderson-Darling. Menurut Fallo [2], langkah uji hipotesis dengan
statistik uji Anderson-Darling diuraikan sebagai berikut.
4
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(1) Hipotesis
H0 : Data produksi berat shuttlecock berdistribusi tertentu.
H1 : Data produksi berat shuttlecock tidak berdistribusi tertentu.
(2) Taraf signifikasi
α =0.05.
(3) Daerah kritis (DK)
DK = {A∗ |A∗ > Aα }. H0 ditolak apabila A∗ ∈ DK.
(4) Statistik uji
AD = −N −
dengan
N
∑
(2i − 1)
i=1
N
[lnF (Zt + ln(1 − F (ZN +1−t ))],
AD : statistik uji Anderson-Darling,
N : banyak pengamatan,
Zt : data yang telah distandardisasi,
F (Zt ) : nilai fungsi distribusi kumulatif normal baku di Zt .
Uji untuk data berdistribusi normal menggunakan modifikasi statistik uji
AD dituliskan sebagai
0.75 0.25
+ 2 ).
N
N
Uji distribusi yang memiliki nilai AD paling kecil mengindikasikan bahwa distriA∗ = AD(1 +
busi tersebut paling tepat mendasari proses (Wibawati [7]).
6. Metode Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data primer variabel berat
shuttlecock dari produsen shuttlecock CV Marjoko Kompas dan Domas di Kabupaten Sukoharjo. Data yang diambil sebanyak 50 sampel, dengan setiap sampel
berukuran 20.
Sebelum menerapkan kedua grafik pengendali, terlebih dahulu ditentukan
nilai pengali standar deviasi D dan h. Nilai pengali tersebut dipilih untuk menghasilkan ARL yang diharapkan. Langkah-langkah dalam menentukan nilai D
dinyatakan sebagai berikut.
(1) Membangkitkan data sesuai distribusi data yang sebenarnya sebanyak
1000, kemudian menghitung grand median.
(2) Menentukan sembarang nilai D kemudian dibuat batas pengendali.
(3) Membangkitkan data dengan distribusi yang sesuai dengan data sebenarnya dengan ukuran sampel 20, kemudian menghitung statistik O1i yaitu
commit to user
banyaknya observasi yang melebihi grand median.
(4) Statistik O1i diplotkan pada batas pengendali tersebut.
5
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(5) Jika nilai O1i berada dalam grafik pengendali maka kembali lagi langkah 3
dan jika berada di luar batas pengendali maka dicatat sebagai Run Length
(RL).
(6) Langkah ke (3) sampai langkah ke (5) diulangi sebanyak 1000 kali.
(7) Menghitung ARL dengan menjumlahkan nilai RL keseluruhan kemudian
dibagi 1000.
Sedangkan langkah-langkah untuk menentukan nilai h grafik pengendali CUSUM
dinyatakan sebagai berikut.
(1) Menentukan besar pergeseran proses.
(2) Memberikan nilai awal h dan menghitung ARL grafik pengendali CUSUM.
(3) Mengulangi langkah (1) dan (2) sampai diperoleh ARL yang diharapkan.
Selanjutnya adalah menerapkan kedua grafik pengendali pada data pengamatan. Langkah-langkahnya sebagai berikut.
(1) Menerapkan grafik pengendali grand median.
(a) Menentukan grand median kemudian mencari pengamatan pada setiap sampel yang nilainya melebihi grand median.
(b) Banyaknya pengamatan yang nilainya melebihi grand median pada setiap sampel diplotkan pada batas pengendali grafik pengendali
grand median.
(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas pengendali.
(2) Menerapkan grafik pengendali CUSUM.
(a) Menentukan besarnya pergeseran proses dan pengali standar deviasi.
(b) Menghitung nilai tabular CUSUM untuk Ci+ dan Ci− sebagai titik
pengamatan grafik pengendali CUSUM.
(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas pengendali.
(3) Membandingkan kedua grafik pengendali.
7. Hasil dan Pembahasan
Menguji data merupakan hal yang harus dilakukan untuk mengetahui data
pengamatan mengikuti suatu bentuk distribusi tertentu. Langkah-langkah uji
hipotesis menggunakan statistik uji AD dituliskan sebagai berikut.
(1) Hipotesis
commit to user
H0 : Data produksi berat shuttlecock berdistribusi normal.
H1 : Data produksi berat shuttlecock tidak berdistribusi normal.
6
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
(2) Taraf signifikasi
α =0.05.
(3) Daerah kritis (DK)
DK = {A∗ |A∗ > Aα = A0.05 = 0.752}. H0 ditolak apabila A∗ ∈ DK.
(4) Statistik uji
A∗ = AD(1 +
0.75 0.25
+ 2)
N
N
Pada Tabel 2 diperoleh nilai AD untuk beberapa distribusi sehingga dapat
diperoleh statistik uji A∗ bernilai 1.068.
(5) Kesimpulan
Karena A∗ sebesar 1.068 ∈ DK, H0 ditolak artinya data produksi berat
shuttlecock tidak berdistribusi normal.
Hasil statistik uji AD pada beberapa distribusi ditunjukkan pada Tabel 2.
Uji distribusi yang memenuhi nilai AD paling kecil adalah distribusi Weibull 3
parameter. Selanjutnya dilakukan uji hipotesis untuk data berdistribusi Weibull 3
parameter. Uji hipotesis menggunakan H0 data berdistribusi Weibull 3 parameter
diperoleh nilai statistik uji A∗ = 0.648 < A0.05 = 2.492. Karena A∗ ̸∈ DK, H0
tidak ditolak yang artinya data pengamatan berdistribusi Weibull 3 parameter.
Tabel 2. Hasil Statistik Uji Anderson-Darling
Distribusi
AD p − value
Normal
1.067
0.008
Lognormal
0.762
0.047
Exponential 442.195
< 0.003
2-p Exp
176.951 < 0.0010
Weibull
17.243
< 0.001
3-p Weibull 0.648
0.068
Distribusi
AD p − value
Smallest EV 18.927
< 0.001
Largest EV
5.705
< 0.001
Gamma
0.857
0.028
Logistic
1.384
< 0.005
Loglogistic
1.237
< 0.005
Uji distribusi data dilakukan untuk membangkitkan data sesuai distribusi
sebenarnya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi pengali standar
deviasi yang menghasilkan ARL sebesar 370. Hasilnya diperoleh nilai D sebesar
2.71 melalui persamaan (4.1) dan nilai h sebesar 4.87 melalui persamaan (4.2).
Banyaknya pengamatan yang melebihi grand median (O1i ) merupakan titik-titik
pengamatan grafik pengendali grand median. Melalui persamaan (2.5) dan (2.6)
diperoleh LCL sebesar 3.9043 dan UCL sebesar 16.0597.
Titik-titik pengamatan grafik pengendali CUSUM diperoleh melalui nilai
tabular CUSUM menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2). Melalui persamaan
(3.3) dan (3.4) diperoleh LCL sebesar −0.2922 dan UCL sebesar 0.2922. Gracommit to user
fik pengendali grand median dan CUSUM dapat dilihat pada Gambar 1(a) dan
Gambar 1(b).
7
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Perbandingan Grafik Pengendali ...
N. Musdalifah, S. S. Handajani, E. Zukhronah
UCL
UCL
LCL
LCL
(a)
(b)
Gambar 1. Grafik Pengendali (a)Grand Median dan (b)CUSUM
Gambar 1(a) menunjukkan grafik pengendali grand median dengan LCL
sebesar 3.94 dan UCL sebesar 16.06 mendeteksi 10 titik yang berada di luar batas pengendali, sedangkan Gambar 1(b) menunjukkan grafik pengendali CUSUM
dengan LCL sebesar −0.2922 dan UCL sebesar 0.2922 mendeteksi 1 titik yang
tidak terkendali. Titik pengamatan yang berada di luar batas pengendali LCL
dan UCL pada grafik grand median adalah sampel ke 11, 24, 27, 29, 30, 31, 38,
39, 41, dan 45, sedangkan pada grafik pengendali CUSUM adalah sampel ke 18.
8. Kesimpulan
Simulasi pengali standar deviasi yang menghasilkan ARL sebesar 370 diperoleh nilai D sebesar 2.71 dan h sebesar 4.87 untuk mendapatkan LCL dan
UCL kedua grafik pengendali. Dari banyaknya titik yang tidak terkendali dapat
disimpulkan bahwa grafik pengendali grand median lebih baik digunakan untuk
data berat shuttlecock berdistribusi Weibull 3 parameter dibandingkan grafik pengendali CUSUM karena mendeteksi lebih banyak titik tidak terkendali.
Daftar Pustaka
1. Altukife, F.S., A New Nonparametric Control Chart Based on Observations Exceeding The
Grand Median, Pakistan Journal of Statistic 19 (2003), no. 3, 343–351.
2. Fallo, J.O., Setiawan, dan Susanto, B., Perbandingan Uji Berdasarkan Anderson-Darling,
Cramer, dan Liliefors, Prosiding Seminar Nasional Matematika, UNNES, Semarang, 2013.
3. Ferdinant, P.F., Pengendalian Kualitas Proses dengan Peta Kendali CUSUM dan EWMA,
Prosiding Seminar Nasional Industrial Services (SNIS) III, UNTIRTA, Banten, 2013.
4. Koshti, V.V., Cumulative Sum Control Chart, International Journal of Phisics And Mathematical Sciences 1(1) (2011), 28–32.
5. Montgomery, D.C., Introduction to Statistical Quality Control, 6th ed., John Willey and
Sons, Washington, 2009.
6. Ramadhani, G.S., Analisis Pengendalian Kualitas Menggunakan Diagram Kendali Demerit,
Skripsi, FMIPA Universitas Diponegoro, Semarang, 2014.
7. Wibawati, Mashuri. M dan Qadari, Diagram Kontrol Nonparametrik Mann Whitney Untuk
Target, Skripsi, Institut Teknologi Surabaya, Surabaya, 2007.
commit to user
8
2016