TUGAS AKHIR MODUL 4daf image marked

NAMA

: NOVIYANTI, S.Pd

USSERNAME : 18130318010017
MATEMATIKA UNTAN KELAS A

TUGAS AKHIR MODUL 4
Kerjakan semua soal berikut dengan cermat.
1. Jika diberikan busur lingkaran (lihat gambar di bawah). Berikan penjelasan anda, bagaimana
cara menentukan letak titik pusat lingkarannya.

Penyelesaian:
Cara menentukan letak titik pusat lingkaan :
a. Lukis sembarang talibusur AB pada busur

b. Dengan menggunakan jangka, lukislah dua buah lingkaran kongruen dengan titik pusat A
dan B serta berjari-jari sama dengan tali busur AB.

c. Tentukan titik potong dari kedua lingkaran misal titik P dan Titik Q. Tarik garis dari
kedua titik potong tersebut.

d. Hapus kedua lingkaran yang berpusat pada titik A dan B, kemudian ulangi langkah
pertama dengan menggambarkan tali busur sembarang, misal tali busur CD

e. Lukislah dua buah lingkaran kongruen dengan titik pusat C dan D serta berjari-jari sama
dengan tali busur CD.

f. Tentukan titik potong dari kedua lingkaran misal titik R dan Titik S. Tarik garis dari
kedua titik potong tersebut.

g. Diperoleh perpotongan dari kedua garis yang telah dibentuk yang dimisalkan dengan titik
O . Titik potong tersebut merupakan titik Pusat Lingkaran dari sebuah busur.

2. Diberikan tiga buah garis, yaitu :

´
´
AB=5
, BC=6
,

´
dan AC=3
.
a) Dapatkah ketiga garis tersebut membentuk
sebuah segitiga? Berikan alasan anda.
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema Pertidaksamaan Segitiga yang menyatakan bahwa hasil
penjumlahan dari dua sisi sebuah segitiga pasti lebih besar dari sisi ketiganya yaitu
misalnya panjang suatu segitiga adalah a, b dan c maka berlaku :
a+ b>c

b+ c> a
a+ c> b
Berdasarkan pertidaksamaan segitiga

´ BC>
´ AC
´ yaitu 5+6> 3
AB+

´ + AC>
´ AB
´ yaitu 6+3> 5
BC
´ AC
´ > BC
´ yaitu 5+3> 6
AB+
Jadi ketiga garis tersebut dapat membentuk sebuah segitiga
b) Jelaskan cara melukiskan segitiga tersebut:
Penyelesaian:
Untuk melukis segitiga yang memiliki panjang sisi tertentu, lakukan langkah-langkah
berikut.
1) Misalkan kita akan melukis segitiga dengan ukuran sisi-sisinya 5 cm, 6 cm, dan 3 cm.
Pertama, lukislah sisi yang menjadi alas segitiga. Ukuran dari sisi alas ini dapat kita
pilih sembarang dari ukuran sisi-sisi segitiga yang ditentukan. Misalkan kita pilih 5
cm sebagai panjang dari sisi alas segitiga.

2) Ambil jangka dan aturlah jari-jari jangka tersebut sehingga panjangnya sama dengan
panjang sisi segitiga lainnya. Misalkan kita atur jangka tersebut sehingga jari-jarinya

sama dengan 6 cm. Setelah itu buatlah busur lingkaran dengan pusat di ujung sisi alas
segitiga yaitu dititik B.

3) Lakukan kembali langkah 2 tetapi dengan panjang sisi lainnya, yaitu 3 cm, dan pusat
busur lingkaran terletak di ujung yang lain dari sisi alas segitiga yaitu titik A. Dari
langkah ini kita mendapat titik perpotongan dua busur lingkaran yang terbentuk yaitu
titik C

4) Hubungkanlah titik C yang merupakan perpotongan dua busur lingkaran dengan titiktitik ujung dari sisi alas segitiga yaitu titik A dan titik B selanjutnya maka
terbentuklah suatu segitiga dengan ukuran panjang sisi sesuai dengan yang diinginkan

c) Tuliskan sudut terbesar dan sudut terkecilnya.
Penyelesaian :
Sudut terbesar dari segitiga ABC adalah sudut A (karena menghadap sisi yang paling

´
panjang yaitu BC=6
cm)
Sudut terbesar dari segitiga ABC adalah sudut B (karena menghadap sisi yang paling

´ = 3 cm)
pendek yaitu AC

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=

1
1
di titik (1, 2 )
x +1
2

Penyelesaian :
Jika terdapat kurva y=f ( x ) disinggung oleh sebuah garis di titik ( x 1 , y 1 ) maka gradien garis
'
singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m=f (x 1). Sementara itu x 1 dan y 1 memiliki

hubungan y 1=f (x 1)

Sehingga

dengan y – y 1=m( x – x 1) .

persamaan

garis

singgungnya

bisa

dinyatakan

 Menentukan Gradien kurva y=

1
x +1
2

y= ( x 2 +1 )

−1

m= y ' =−1 ( x 2 +1 ) . 2 x
−2

¿−2 x ( x 2+1 )

−2

Untuk x=1 maka m=−2 x

(

1
2
( x +1 )

m=−2 (1)

(

2

)

1
2
( 1 +1 )

2

)

1
m=−2 4

( )

m=

−1
2

1
−1
 Persamaan Garis Singgung yang melalui Titik (1, 2 ) dan m= 2
y – y 1=m( x – x 1)
⇔
1 −1
❑ y – 2 = 2 ( x – 1)
⇔

❑ 2 y – 1=−1 ( x – 1)
⇔

❑ 2 y – 1=−x +1
⇔

❑ x +2 y=2
Jadi persamaan garis singgung pada kurva y=

Berikut gambar kurva/grafik nya

1
1
di titik (1, 2 ) adalah x +2 y =2
x +1
2

4. Tunjukkan bahwa persamaan x 2+ y 2−2 x +6 y =−6 merupakan sebuah lingkaran, dan
tentukan titik pusat serta jari-jarinya.
Penyelesaian :
Bentuk umum dari persamaan

x 2+ y 2−2 x +6 y =−6 merupakan sebuah lingkaran

dikarenakan:
 Peubah x dan peubah y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dan
y nya (suku xy).
 Koefisien x2 sama dengan koefisien y2
Selain itu untuk memastikan apakah persamaan tersebut merupakan sebuah lingkaran dapat

diubah menjadi bentuk baku sbb:
x 2+ y 2−2 x +6 y =−6
⇔

❑ x 2−2 x+ y 2+ 6 y=−6
⇔

❑ ( x−1 ) 2−1+ ( y +3 ) 2−9=−6
⇔

❑ ( x−1 ) 2+ ( y +3 )2−10=−6
⇔

❑ ( x−1 ) 2+ ( y +3 )2=4
⇔

❑ ( x−1 ) 2+ ( y +3 )2=22 (Bentuk Persamaan Lingkaran)
Jadi jelaslah bahwa persamaan x 2+ y 2−2 x +6 y =−6 merupakan sebuah lingkaran dengan
Pusat Lingkaran adalah (2,-3) dengan jari-jari = 2

Berikut gambar grafiknya

5. Tentukan persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya :
(a). Terhadap titik (± 3,0) adalah 10
Penyelesaian :
Titik Pertama (-3,0)
Titik Kedua (3,0)
Menggunakan rumus jarak untuk memenuhi kondisi yang ditentukan yakni d 1 +d 2=10
d 1= √ ¿ ¿ ¿
2

2

⇔

2

d 2= √ ( x−3 ) + ( y−0 ) ❑ d 2= √ ( x−3 ) + y
karena d 1 +d 2=10 maka diperoleh

√ ( x +3 )2 + y 2 + √ ( x−3 )2 + y 2=10
⇔

❑ √ ( x+ 3 )2 + y 2=10−√ ( x −3 ) 2+ y2
⇔

2

2

❑ ( √ ( x +3 ) 2+ y 2) =( 10−√ ( x−3 )2 + y 2 )

2

⇔

❑ ( x +3 ) 2+ y 2=100−20 √ ( x−3 ) 2+ y 2+ ( x−3 )2 + y 2
⇔

❑ x 2 +6 x+ 9+ y 2=100−20 √ ( x−3 )2 + y 2 + x 2−6 x+ 9+ y 2
⇔

❑ 6 x +6 x−100=−20 √ ( x−3 )2 + y 2
⇔

(kedua ruas dibagi 4)

❑ 12 x−100=−20 √ ( x−3 )2 + y 2
⇔

❑ 3 x−25=−5 √ ( x−3 )2 + y 2
⇔

2

2 2

2

❑ ( 3 x−25 ) =(−5 √( x−3 ) + y )
⇔

❑ 9 x 2−150 x +625=25 ( ( x−3 ) 2+ y 2)
⇔

2

2

2

❑ 9 x −150 x +625=25 (x −6 x+ 9+ y )
⇔

❑ 9 x 2−150 x +625=25 x 2−150 x +225+25 y 2
⇔

❑ 16 x 2 +25 y 2=400
Jadi persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (-3,0) dan
titik (3, 0) adalah 10 yaitu 16 x 2+ 25 y 2 =400
(b) Terhadap titik ( 3,1 ) dan (9,1) adalah 10
Penyelesaian :
Titik Pertama (3,1)
Titik Kedua (9,1)
Menggunakan rumus jarak untuk memenuhi kondisi yang ditentukan yakni d 1 +d 2=10
d 1= √ (x−3)2+ ( y−1 )2
d 2= √ ( x−9 )2 + ( y−1 ) 2
karena d 1 +d 2=10 maka diperoleh

√(x−3)2 + ( y−1 ) 2+ √ ( x−9 )2 + ( y−1 )2=10
⇔

2

2

2

2

❑ √ ( x−9 ) + ( y−1 ) =10− √ (x−3) + ( y −1 )
⇔

2

2

❑ ( √ ( x−9 )2 + ( y−1 ) 2 ) =( 10−√ (x−3)2 + ( y−1 ) 2 )
⇔

❑ ( x−9 )2 + ( y−1 ) 2=100−20 √ ( x−3)2+ ( y −1 )2 +( x−3)2+ ( y −1 )2
⇔

2

2

2

2

2

2

❑ x −18 x +81+ y −2 y +1=100−20 √( x−3) + ( y −1 ) + x −6 x +9+ y −2 y +1

⇔

2

2

❑−18 x+ 6 x+ 81−9−100=−20 √ (x −3) + ( y−1 )
⇔

❑−12 x−28=−20 √( x−3)2+ ( y −1 )2
⇔

2

(kedua ruas dibagi -4)

2

❑ 3 x +7=5 √( x−3) + ( y −1 )
⇔

2

❑ ( 3 x+ 7 ) 2=( 5 √( x−3)2 + ( y−1 ) 2 )
⇔

❑ 9 x 2 +42 x+ 49=25(( x−3)2+ ( y−1 )2 )
⇔

2

2

2

❑ 9 x +42 x+ 49=25(x −6 x +9+ y −2 y +1)
⇔

❑ 9 x 2 +42 x+ 49=25 x 2−150 x +225+25 y 2−50 y +25
⇔

❑ 25 x 2−9 x 2−150 x−42 x +225+25 y 2−50 y +25−49
⇔

❑ 16 x 2 +25 y 2−192 x −50 y +201=0
⇔

❑ 16 x 2−192 x+576 +25 y 2−50 y+ 25−400=0
⇔

❑ 16 (x 2−12 x +36)+ 25( y 2−2 y +1)=400
⇔

❑ 16 ( x−6 )2 +25 ( y−1 ) 2=400
Jadi persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,1) dan
2
2
titik (9, 1) adalah 10 yaitu 16 ( x−6 ) +25 ( y −1 ) =400

(c) Buat Sketsa dari masing masing gambar persamaan (a) dan (b).
Penyelesaian :
Sketsa untuk gambar soal a)

Sketsa untuk gambar soal b)

'
6. Jika s= { ( x , y )| y=−x } dan t= {( x , y )| y=2 x −3. Tentukan sebuah persamaan untuk t =M s (t)

Penyelesaian :

s= {( x , y)| y=−x } sehingga pencerminan terhadap s akan menghasilkan :

(−10 −10 )( xy )=( xy '' )
= x'
(−x
− y) ( y ' )
x ' =− y dan y ' =−x
t ' =M s (t)
¿ M s ( y =2 x−3)
t ' ={(x ' , y ' )|−x ' =2 (− y' ) −3 }
t ' ={(x ' , y ' )|−x ' =−2 y ' −3 }
t ' ={(x ' , y ' )|2 y ' =x '−3 }
1
t ' = ( x ' , y' ) y '= ( x' −3)
2

{ |
}
1
t ={( x , y)| y = ( x−3) }
2
'

7. Pemetaan T dari suatu bidang ke Bidang, didefiniskan untuk semua titik P(x,y) sebagai
berikut :
(i) Jika x ≥ 0 maka T ( P ) =( x+1, y )
(ii) Jika x