Analisis dan Eksplorasi Data 2015 2016

Analisis Deret Waktu*
Wahyu Dwi Lesmono, S.Si

Mungkin Terakhir

Pengertian Deret Waktu
Deret waktu merupakan rangkaian data
yang diukur berdasarkan waktu dengan
selang interval yang sama. Dalam hal ini,
variabel waktu selalu ada dalam analisis
deret waktu.
Dalam analisa statistik, data dengan
variabel waktu selalu dikaitkan dengan
peramalan suatu objek yang dihasilkan pada
waktu yang akan mendatang.

Peramalan
Peramalan (forecast) merupakan suatu
usaha untuk melakukan prediksi suatu
objek tertentu di masa yang akan
mendatang berdasarkan fakta-fakta

yang diperoleh sebelumnya.

Jenis-Jenis Peramalan
1. Peramalan Kualitatif
Peramalan yang didasari pada fakta subjek dan
objek yang ada pada masa lalu.
Contoh: pemilihan keputusan, survey pasar,
identifikasi seseorang, jajak pendapat.
2. Peramalan Kuantitatif
Peramalan yang didasari pada fakta nilai yang telah
ada pada masa lalu.
Contoh: kurs uang, cuaca esok hari, rencana
anggaran biaya produksi, jumlah produksi.

Pola Data Deret Waktu

Lag dan Lead
Lag merupakan waktu permulaan suatu data
yang dimulai pada sebelum waktu tertentu. Lead
merupakan waktu permulaan suatu data yang

dimulai pada setelah waktu tertentu. Contoh:
Wakt
u

Xt
(Lag/Lead
ke-0)

Xt-1
(Lag ke1)

Xt-2
(Lag
ke-2)

1

10

2

12

10

3

24

12

10

4

31

24

12

5

10

31

6

8

10

Xt-3
Xt+1
(Lag ke- (Lead ke3)
1)

Xt+2
(Lead ke2)

12

24

24

31

31

10

10

10

8

24

12

8

31

24

Differencing
Differencing merupakan pembeda atau
selisih antara waktu yang satu dengan
waktu yang lainnya. Contoh:
Waktu
1
2
3
4
5

Xt
10
12
32
19
8

ΔXt
 
2
20
-13
-11

Δ2Xt
 
 
22
7
-24

Δ3Xt
 
 
 
9
-4

Nilai ΔX2 dihitung dengan ca
X2 – X1 = 12 – 10 = 2
Niali Δ2X3 dihitung dengan c
X3 – X1 = 32 – 10 = 22

Differencing digunakan agar pola data
menjadi stasioner pada nilai rata-rata.

Stasioneritas
Stasioneritas merupakan kondisi pola pergerakan antar observasi atau
waktu yang stabil, tidak mengalami kenaikan maupun penurunan yang
cukup signifikan. Pola data dikatakan stasioner apabila pola

pergerakan antar observasi atau waktu stabil pada nilai tengah (ratarata) dan ragam.
Apabila pola data tidak stasioner pada rata-rata, maka
penanggulangan dapat dilakukan dengan cara differencing. Jika
pola data tidak stasioner pada ragam, maka penanggulangan
dapat dilakukan dengan cara transformasi variabel ke fungsi
yang lain (pada umumnya menggunakan fungsi logaritma natural).
Pengujian stasioneritas dapat dilakukan dengan menggunakan unit
root test apabila peninjauan secara grafik kurang meyakinkan. Metode
unit root test diantaranya Uji Augmented Dickey-Fuller, Uji PhillipsPerron, Uji Canova-Hansen, Uji KPSS (Untuk differencing nonseasonal),
Uji OCB (Untuk differencing seasonal), dan lain-lain.

Pola Data Stasioner pada Deret
Waktu

a.
b.
c.
d.

Stasioner pada rata-rata dan ragam

Stasioner pada ragam namun tidak stasioner pada rata-rata
Stasioner pada rata-rata namun tidak stasioner pada ragam
Tidak stasioner pada rata-rata maupun ragam

Metode Peramalan
Kuantitatif
1. Data historis:
-Metode Naive
-Trend Analysis
-Semi Average
-Moving Average
-Single Exponential Smoothing
-Double Exponential Smoothing (Holt Method)
-Triple Exponential Smoothing (Holt-Winter Method)
-Dekomposisi
2. Kausalitas:
-Regresi
-Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)
-Model-Model Ekonometrika

Model ARIMA
Model ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) merupakan
metode peramalan kausal untuk memprediksikan data deret waktu yang
memiliki pola yang cukup kompleks. Peramalan dengan model ARIMA
hanya dapat digunakan untuk periode waktu yang pendek (Short Period)
tergantung data yang ada pada periode sebelumnya.
Dalam praktek statistik, peramalan dengan model ARIMA dikategorikan
sebagai pemodelan interatif. Sehingga lebih mudah digunakan dengan
cara komputasi karena pemodelan dengan ARIMA lebih sering bersifat
Trial and Error untuk mencari model yang terbaik dalam penggunaan
model ARIMA yang layak digunakan.
Model ARIMA dibagi menjadi 2:
1. Model ARIMA tanpa pengaruh musiman (Model ARIMA)
2. Model ARIMA dengan pengaruh musiman (Model SARIMA [Seasonal
ARIMA])

Model Umum ARIMA
Model Umum ARIMA didefinisikan sebagai notasi
backshift berikut:

ARIMA  p, d , q  :  p  B   d yt  c   q  B   t

dengan:

p  Autoregressive orde ke-p

d  Differencing ke-d
q  Moving Average orde ke-q

 p  Parameter Autoregressive ke-p
 q  Parameter Moving Average ke-q

B  Operator Backshift

yt  data aktual pada waktu ke-t

c  Konstanta/Intersep

 t  galat pada waktu ke-t

 p  B   1  1 B  L   p B p
d   1  B 

d

 q  B   1  1 B  L   q B q

Model Umum SARIMA
Model Umum SARIMA didefinisikan sebagai notasi
backshift berikut:

 

 

ARIMA  p, d , q   P, D, Q  s :  p  B   P B s  d  sD yt  c   q  B  Q B s  t

dengan:

P  Seasonal Autoregressive orde ke-P
D  Seasonal Differencing ke-D
Q  Seasonal Moving Average orde ke-Q
s  Seasonal Periode ke  s

 

 P B s  1  1 B s  L   P B Ps



 sD  1  B s

 



D

Q B s  1  1B s  L  1 B Qs
 P  Parameter Seasonal Autoregressive ke-P

Q  Parameter Seasonal Moving Average ke-Q

Penjabaran Struktur Backshift pada
Model ARIMA
Model ARIMA berdasarkan notasi fungsi backshift
dapat dijabarkan sebagai berikut:
 p  B   d yt  c   q  B   t

 1   B L   B   1  B  y  c   1  B L   B  
Model Autoregressive orde ke-1 atau
ARIMA(1,0,0) atau AR(1) dapat dijabarkan
sebagai berikut:   B  0 y  c    B  
p

1

d

q

p

t

1

1

t

0

q

t

 1  1B   1  B  yt  c   t
 1  1B  yt  c   t
0

yt  1 Byt  c   t
yt  1 yt 1  c   t
yt  c  1 yt 1   t

t

Contoh Penjabaran Strukstur
Backshift Model ARIMA
Model ARIMA(0,0,1) [MA(1)]:

0  B   yt  c  1  B   t
0

 1 B

0

yt  c   1  1 B   t

Model ARIMA(0,2,0):

0  B   2 yt  c   0  B   t

 1 B

2

yt  c   t

yt  c   t  1B t

 1  2B  B  y

yt  c   t  1 t 1

yt  2 Byt  B 2 yt  c   t

Model ARIMA(1,1,1):

yt  2 yt 1  yt  2  c   t

2

t

1  B  1 yt  c  1  B   t

 1  1B   1  B  yt  c   1  1B   t

 c  t

yt  c  2 yt 1  yt 2   t

1

 1 B  B   B  y
2

1

1

t

 c   t  1 B t

yt  Byt  1 Byt  1 B 2 yt  c   t  1 t 1
yt  yt 1  1 yt 1  1 yt  2  c   t  1 t 1
yt  c  yt 1  1 yt 1  1 yt  2   t  1 t 1

Bagaimana cara menjabarkan
struktur notasi backshift model
ARIMA ke model Regresi berikut?
a. ARIMA(2,1,2)
b. ARIMA(3,2,1)
c. ARIMA(1,2,3)
d. ARIMA(4,0,4)

Penjabaran Struktur Backshift pada
Model SARIMA
Model SARIMA berdasarkan notasi fungsi backshift
dapat dijabarkan sebagai berikut:
  B   B    y  c   B   B  
 1  B L   B   1  B L   B   1 B   1 B  y  c   1  B  L   B   1  B  L   B  
s

p

d

D
s

P

s

t

q

p

1

p

Q

t

s

d

Ps

1

P

s

D

q

t

1

q

s

1

Model Seasonal Autoregressive orde ke-1 atau
ARIMA(0,0,0)(1,0,0) atau SAR(1) dapat
dijabarkan sebagai berikut:
0  B  1  B s   0 0s yt  c   0  B  0  B s   t

 1  B  y
s

1

t

 c  t

yt  1 B s yt  c   t
yt  1 yt  s  c   t
yt  c  1 yt  s   t

Qs

1

t

Contoh Penjabaran Strukstur
Backshift Model SARIMA
Model ARIMA(0,0,0)(0,0,1) [SMA(1)]:

0  B   0  B s   00s yt  c   0  B  1  B s   t
yt  c   1  1 B s   t





1

1
s

yt  c   t

 1  B   1  B s  yt  c   t

 1 B

s



 1 B 
s

0





yt  c   1  1 B  1  1 B s  t





 1B  11 B s 1 yt  c  1  1B s  1 B  11 B s 1  t

yt  1 yt  s  1 yt 1  11 yt  s 1  c   t  1 t  s  1 t 1  11 t  s 1

0  B   0  B    yt  c   0  B  0  B   t
1

s

0

yt  1 B s yt  1 Byt  11 B s 1 yt  c   t  1B s t  1B t  11B s 1 t

Model ARIMA(0,1,0)(0,1,0):

 1 B 1 Bs

 1  1 B   1  1 B s   1  B 
1

yt  c   t  1 t  s
1

1  B  1  B s   0 0s yt  c  1  B  1  B s   t

1  B

yt  c   t  1 B s t

s

Model ARIMA(1,0,1)(1,0,1):



 B  B s 1 yt  c   t

yt  B s yt  Byt  B s 1 yt  c   t
yt  yt  s  yt 1  yt  s 1  c   t
yt  yt 1  yt  s  yt  s 1  c   t
yt  c  yt 1  yt  s  yt  s 1   t

s

yt  1 yt 1  1 yt  s  11 yt  s 1  c   t  1 t 1  1 t  s  11 t  s 1
yt  c  1 yt 1  1 yt  s  11 yt  s 1   t  1 t 1  1 t  s  11 t  s 1

Bagaimana cara menjabarkan
struktur notasi backshift model
SARIMA ke model Regresi berikut?
a. ARIMA(1,1,1)(1,1,1)
b. ARIMA(2,0,0)(0,1,2)
c. ARIMA(1,1,0)(0,1,1)
d. ARIMA(3,2,1)(1,2,3)

Parameter Konstanta dan Rata-Rata
Data Aktual
Dalam
model
peramalan,
parameter
konstanta
memberikan pengaruh bagi hasil penduga model. Apabila
identifikasi model awal sudah stasioner pada ratarata maka PERLU ditambahkannya parameter konstanta
pada model. Namun apabila identifikasi model awal
tidak stasioner pada rata-rata maka TIDAK PERLU
ditambahkannya parameter konstanta. Hal tersebut
dikarenakan parameter konstanta memberikan pengaruh
pergeseran (drift) linear trend pada model peramalan.
Sehingga model yang tidak stasioner pada rata-rata akan
memberikan hasil peramalan yang menyimpang dan diluar
kendali.
Nilai parameter konstanta mendekati nilai rata-rata pada
data aktual pada distribusi sampel pada saat tidak
dilakukan differencing pada saat identifikasi model awal.

Tahapan dari Model
(S)ARIMA
1. Identifikasi Model dengan menggunakan korelogram
fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi Autokorelasi
Parsial) (PACF)
2. Estimasi penduga parameter model berdasarkan hasil
identifikasi model dengan metode penduga tertentu.
3. Diagnosa kelayakan model dengan menggunakan “LJung-Box Method” atau “Q Box and Pierce Test”, apabila
nilai P-Value lebih kecil dibandingkan nilai taraf
nyata untuk setiap lag-nya maka model tidak
layak sehingga kembali ke langkah 1. Jika
sebaliknya (untuk setiap lag P-Value > Taraf Nyata),
maka model dikatakan layak digunakan sebagai model
peramalan.
4. Melakukan peramalan.

Penentuan Orde MA pada Plot ACF
dan PACF
MA(1) atau ARIMA(0,0,1)

MA(2) atau ARIMA(0,0,2):

Penentuan Orde MA dilihat dari
plot ACF, selama pergerakan lag
dari lag 1 tidak jatuh dibawah
garis signifikan dan garis 0 maka
orde MA dapat ditentukan. Jika
dilihat dari plot PACF pergerakan
lag menurun secara eksponensial
atau sinusoidal.

Penentuan Orde AR pada Plot ACF
dan PACF
AR(1) atau ARIMA(1,0,0):

AR(2) atau ARIMA(2,0,0):

Penentuan Orde AR dilihat dari
plot PACF, selama pergerakan lag
dari lag 1 tidak jatuh dibawah
garis signifikan dan garis 0 maka
orde AR dapat ditentukan. Jika
dilihat dari plot ACF pergerakan
lag menurun secara eksponensial
atau sinusoidal.

Penentuan Orde ARMA pada Plot
ACF dan PACF
ARMA(1,1) atau ARIMA(1,0,1):

Penentuan Orde ARMA plot PACF dan ACF, selama pergerakan lag
dari lag 1 tidak jatuh dibawah garis signifikan dan garis 0 maka
orde ARMA dapat ditentukan. Pergerakan salah satu plot
mengikuti gerakan sinusoidal dan pergerakan di plot yang lain
mengikuti gerakan menurun secara eksponensial.

Plot Deret Waktu Musiman
Plot Deret
Waktu

Korelogra
m ACF

Korelogra
m PACF

Contoh Kasus 1
Berikut adalah data harga saham dari Color Vision Company selama tiga
puluh bulan. Dengan menggunakan data pada slide berikut, lakukan analisis
sebagai berikut:
a. Buatlah grafik peramalan, lakukan peramalan selama periode tersebut
dan 5 periode mendatang dengan metode:
• Trend Linear
• Moving Average 3 Periode
• Simple Exponential Smoothing dengan bobot pemulusan tingkat 0.5
• Double Exponential Smoothing dengan bobot pemulusan tingkat 0.5 dan
trend 0.5
• Metode Holt-Winter multiplikatif dengan panjang musiman 12 dan bobot
pemulusan tingkat 0.5, trend 0.3, dan musiman 0.6
b. Dengan menggunakan kriteria ukuran galat peramalan, metode manakah
yang terbaik untuk meramalkan harga saham dari Color Vision Company
pada periode bulan yang akan datang?
c. Buatlah model persamaan regresi dengan metode OLS untuk mengetahui
pengaruh harga saham pada periode satu bulan sebelumnya terhadap
periode bulan sekarang ini!

Bulan

Harga

Bulan

Harga

1

Saham
71

16

Saham
78

2

70

17

86

3

69

18

82

4

68

19

75

5

64

20

73

6

65

21

72

7

72

22

73

8

78

23

72

9

75

24

77

10

75

25

83

11

75

26

81

12

70

27

81

13

75

28

85

14

75

29

85

15

74

30

84

Cara Ramalan dengan Metode
Trend Linear
Stat > Time Series > Trend Linear
Variable masukkan “Harga Saham” > Model Type pilih Linear > Ceklis Generate
Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30
Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK
Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK
Klik OK

Cara Ramalan dengan Metode
Moving Average
Stat > Time Series > Moving Average
Variable masukkan “Harga Saham” > MA length pilih 3 > Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts
diisi 5 > Starting from origin diisi 30
Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK
Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK
Klik OK

Cara Ramalan dengan Single
Exponential Smoothing
Stat > Time Series > Single Exponential Smoothing
Variable masukkan “Harga Saham” > Weight to Use in Smoothing pilih Use diisi 0.5 >
Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30
Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK
Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK
Klik OK

Cara Ramalan dengan Double
Exponential Smoothing
Stat > Time Series > Double Exponential Smoothing
Variable masukkan “Harga Saham” > Weight to Use in Smoothing pilih Specified
weights dengan for Level diisi 0.5 dan For trend diisi 0.5 > Ceklis Generate Forecasts >
Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30
Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK
Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK
Klik OK

Cara Ramalan dengan Holt-Winter
(Triple Exponential Smoothing)
Stat > Time Series > Holt-Winter
Variable masukkan “Harga Saham” > Seasonal length diisi 12 > Method Type pilih
Multiplicative > Weights to Use in Smoothing diisi pada Level 0.5, Trend 0.2, dan Seasonal
0.6, Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30
Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK
Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK
Klik OK

Jawaban A

Garis observasi berwarna biru
menunjukkan nilai aktual harga
saham. Garis observasi berwarna
merah menunjukkan nilai peramalan
harga saham berdasarkan periode
yang bersesuaian dengan nilai
aktual. Garis observasi berwarna
berwarna hijau merupakan nilai
peramalan untuk periode yang akan
mendatang. Sementara garis
observasi berwarna ungu

Jawaban A

Bagaimana anda mengintepretasikan plot
diatas?

Single
Exponential
Smoothing

Double
Exponential
Smoothing

HoltWinter

 

71.0000

68.3204

69.2566

 

71.0000

70.8207

69.9088

70.0000

70.5000

71.3656

70.0264

69.0000

69.7500

70.5467

72.2139

67.0000

68.8750

69.0005

71.2251

65.6667

66.4375

64.9773

65.3463

67.0000

65.7188

63.4714

61.8438

71.6667

68.8594

68.3506

69.1738

75.0000

73.4297

76.2025

73.2851

76.0000

74.2148

78.3279

76.5608

75.0000

74.6074

78.5586

76.9430

73.3333

74.8037

77.7843

77.2883

73.3333

72.4019

72.9511

78.1625

73.3333

73.7009

73.5467

74.8835

74.6667

74.3505

74.2078

73.7625

Harga Linear Moving
Bulan
Saham Trend Average
1

71

2

70

3

69

4

68

5

64

6

65

7

72

8

78

9

75

10

75

11

75

12

70

13

75

14

75

15

74

68.320
4
68.811
0
69.301
5
69.792
1
70.282
6
70.773
2
71.263
7
71.754
2
72.244
8
72.735
3
73.225
9
73.716
4
74.207
0
74.697
5
75.188
1
75.678

Hasil peramalan
pada setiap
bulan
berdasarkan
masing-masing
metode.

Menampilkan Plot Deret Waktu
dengan Peramalannya
Stat > Time Series > Time Series Plot
ATAU Graph > Time Series Plot
Pilih Multiple > OK
Masukan Harga Saham serta hasil
peramalan semua metode (FITS) ke
Series > OK

Jawaban A

Plot berikut merupakan plot pembanding hasil peramalan dengan metode
peramalan yang lain sehingga mudah melihat pergerakan hasil peramalan
yang dekat dengan nilai aktual. Bagaimana mengintepretasikannya?

Jawaban A
Nilai peramalan harga saham Color Vision Company untuk 5 bulan
mendatang dari setiap metode ditunjukkan pada tabel berikut:
Bulan

Linear
Trend

Moving
Average

Single
Double
Exponenti Exponenti
al
al
Smoothin Smoothin
g
g

HoltWinter

31

83.03678

84.66667

83.93519

86.63192

83.35601

32

83.52733

84.66667

83.93519

87.42948

86.02491

33

84.01787

84.66667

83.93519

88.22704

84.84783

34

84.50842

84.66667

83.93519

89.0246

85.80862

35

84.99896

84.66667

83.93519

89.82217

85.31591

Jawaban B
Ukuran
Peramal
an

Linear
Trend

Moving
Average

Single
Exponen
tial
Smoothi
ng

Double
Exponen
tial
Smoothi
ng

HoltWinter

MAPE

4.2223

4.9038

4.0541

5.2070

4.7131

MAD

3.1592

3.7407

3.0859

3.9384

3.5244

MSD
15.6847
23.4280
16.8541
25.5719
23.6989
Berdasarkan ukuran peramalan dengan menggunakan MAPE, MAD,
dan MSD didapat bahwa metode Single Exponential Smoothing
merupakan metode yang terbaik sebagai metode peramalan harga
saham Color Vision Company untuk periode yang akan datang.

Jawaban C

Hasil analisis asumsi model diperoleh bahwa model
penduga dengan metode OLS tidak mengalami masalah
variabel multikolinearitas dan autokorelasi (buktikan!).
Terdapat pencilan pada bulan ke-17. Untuk menguji
normalitas pada hasil model penduga dengan metode
penduga OLS dapat dilakukan uji normalitas pada galat.
Hasil sumber keragaman Lack-of-Fit menunjukkan bahwa
hasil penduga berdasarkan harga saham pada bulan
sebelumnya yang mempengaruhi harga saham pada
bulan saat ini berbentuk linear.

Hasil analisis signifikansi model
menunjukkan bahwa seluruh variabel
bebas yaitu harga saham satu bulan
sebelumnya mempengaruhi harga
saham
pada
bulan
saat
ini
berdasarkan uji F. Pada uji t,
penambahan harga saham pada satu
bulan sebelumnya secara signifikan
mempengaruhi harga saham pada
bulan saat ini sebesar 0.820 namun
pada saat tidak dipengaruhi oleh
faktor tersebut, tidak mempengaruhi
secara signifikan terhadap harga
saham pada bulan saat ini walaupun
harga saham pada bulan saat ini
meningkat menjadi 14.01. Hasil
koefisien determinasi menunjukkan
bahwa harga saham pada satu bulan
sebelumnya memberikan pengaruh
bagi harga saham pada bulan saat ini
sebesar 63.40%, sisanya dipengaruhi
oleh faktor lainnya. Hasil koefisien
determinasi prediksi menunjukkan
bahwa harga saham pada bulan saat
ini
dapat diprediksi
oleh harga saham
Bagaimana
anda mengintepretasikan
hasil
pada satu
bulan nilai
sebelumnya
dengan
R-Square
Adjusted,
S, dan PRESS?

Jawaban C
(Uji Normalitas)

Berdasarkan hasil uji normalitas dengan menggunakan metode AndersonDarling diperoleh kesimpulan bahwa model penduga dari metode penduga
OLS memiliki residual yang menyebar normal pada taraf nyata 5% dan 1%.
Sehingga tidak terdapat permasalahan normalitas pada model penduga
harga saham pada bulan saat ini berdasarkan faktor harga saham pada
satu bulan sebelumnya dengan metode OLS.

Jawaban C
(Uji Heteroskedastisitas)
Uji Glejser

Uji Park

Berdasarkan hasil uji Glejser dan uji Park diperoleh bahwa
seluruh variabel bebas tidak berpotensi mengalami masalah
heteroskedastisitas pada hasil model penduga dengan metode
penduga OLS. Hasil tersebut terlihat dari nilai P-Value variabel
bebas yang lebih besar dari taraf nyata.

Contoh Kasus 2
Data berikut merupakan data record mengenai jumlah produksi sirup ABC yang cacat tiap
tahunnya selama 42 tahun. Lakukan analisis deret waktu dengan model ARIMA disertai dengan
analisis signifikansi dan asumsi modelnya! Lakukan peramalan 14 tahun mendatang!

Tahun Cacat Tahun Cacat Tahun Cacat
1 60
15 49
29 68
2 43
16 41
30 51
3 67
17 13
31 33
4 50
18 35
32 49
5 56
19 53
33 67
6 42
20 56
34 77
7 50
21 16
35 81
8 65
22 43
36 67
9 68
23 69
37 71
10 43
24 59
38 81
11 65
25 48
39 68
12 34
26 59
40 70
13 47
27 86
41 77
14 34
28 55
42 56

Statistika Deskriptif untuk Grafik
Deret Waktu

Berdasarkan plot deret waktu pada produk cacat diperoleh bahwa jumlah produk yang
cacat tiap tahun mengalami perubahan naik-turun setiap tahunnya. Namun terdapat
sedikit perubahan antar tahun yang cukup tajam dan berada di luar garis rata-rata.
Jumlah produk cacat paling sedikit terjadi pada tahun ke-17 sebanyak 13 produk dan
jumlah produk cacat paling banyak terjadi pada tahun ke-27 sebanyak 86 produk.
Tahun ke-33 hingga tahun ke-42 mengalami perubahan produk cacat tertinggi yang
paling lama sehingga menyebabkan data tidak stasioner pada rata-rata.

Identifikasi Stasioneritas Data
dengan Grafik I-MR
Assitant > Control Chart > Pilih I-MR Chart
Masukkan Cacat ke kotak Data Coloumn > How will you determine
the control limits and center line pilih Estimate from the data > OK
Berdasarkan hasil
disamping diperoleh
bahwa data kecacatan
mengalami pergeseran
pada rata-rata diantara
titik data
(observasi/waktu) 3342.

Identifikasi Model
(Uji Stasioneritas Data dengan
Grafik I-MR)

Berdasarkan hasil laporan kecacatan produk
pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola
data berdistribusi normal serta tidak
terdapat korelasi antar waktu (observasi).
Namun pola data tidak stabil karena terdapat
data yang di luar kendali dan mengalami
pergeseran pada rata-rata (shift in mean)
sehingga dapat dikatakan bahwa data tidak
stasioner pada rata-rata namun stasioner
para ragam sehingga harus dilakukan
differencing agar data menjadi stasioner

Batas maksimal titik data
berada diluar garis rata-rata
adalah 8 titik

Cara Melakukan
Differencing

Stat > Time Series > Differences
Masukkan Series sebagai Cacat > Store Differences in ketik D1Cacat > Lag
diketik 1 > OK
Nantinya akan muncul kolom baru bernama D1Cacat. Tampilkan ulang plot
deret waktu untuk D1Cacat untuk mengetahui apakah datanya sudah stasioner
atau belum.

Grafik Data Deret Waktu setelah
Differencing Pertama

Berdasarkan plot data deret waktu produksi cacat setelah dilakukan
differencing pertama diperoleh bahwa sudah stasioner pada rata-rata dan
ragam. Terlihat dari perubahan naik dan turun yang tidak terlalu jauh serta
tidak ada jumlah cacat yang berada di luar rata-rata dalam jangka waktu
yang lama. Oleh karena itu, dapat dilakukan identifikasi model ARIMA
dengan menggunakan korelogram autokorelasi dan korelogram
autokorelasi parsial.

Grafik I-MR setelah Differencing
Pertama

Berdasarkan hasil laporan kecacatan produk
setelah dilakukan differencing pertama pada grafik
I-MR Chart diperoleh bahwa pola data berdistribusi
normal,
tidak terdapat korelasi antar waktu
(observasi), serta pola data sudah stabil. Sehingga
diperoleh kesimpulan bahwa data produk cacat
setelah dilakukan differencing pertama sudah
stasioner pada rata-rata dan ragam. Oleh karena
itu, dapat dilakukan identifikasi model ARIMA
dengan menggunakan korelogram autokorelasi
dan korelogram autokorelasi parsial.

Sudah tidak ada lagi gejala diluar
kendali, baik berdasarkan grafik
Individual Value maupun Moving Average

Cara Menampilkan Korelogram
Autokorelasi Parsial
Stat > Time Series > Partial Autocorrelation
Masukkan Kotak Series sebagai hasil pola data yang
stabil, dalam kasus ini dipilih D1Cacat > Pilih Default
number of lags > OK

Identifikasi Model
(Menentukan orde Autoregressive
(AR))

Berdasarkan korelogram autokorelasi parsial diperoleh bahwa terdapat 3
jarum (lag) bernilai negatif yang terpotong digaris signifikan (garis warna
merah) secara perlahan dan meningkat dari lag 1 hingga lag 3. Korelogram
autokorelasi parsial mereda menuju nol setelah lag ke-3. Sehingga diperoleh
model Autoregressive (AR) yang mungkin adalah orde 3 atau AR(3).

Cara Menampilkan Korelogram
Autokorelasi
Stat > Time Series > Autocorrelation
Masukkan Kotak Series sebagai hasil pola data yang
stabil, dalam kasus ini dipilih D1Cacat > Pilih Default
number of lags > OK

Identifikasi Model
(Menentukan orde Moving Average
(MA))

Berdasarkan korelogram autokorelasi diperoleh bahwa terdapat 1 jarum (lag)
bernilai negatif yang terpotong digaris signifikan (garis warna merah) pada lag 1.
Korelogram autokorelasi mulai meningkat secara perlahan setelah lag 1 dan
mereda menuju nol namun tidak ada jarum (lag) yang signifikan lagi setelah lag 1.
Sehingga diperoleh model Moving Average (MA) yang mungkin adalah orde 1 atau
MA(1).

Identifikasi Model
(Menentukan Model ARIMA yang
Mungkin)
Identifikasi model ARMA dilakukan pada
differencing pertama dan diperoleh AR(3) dan
MA(1). Sehingga diperoleh model penduga
ARIMA yang mungkin dapat dilakukan:
1. ARIMA(3,1,0)
2. ARIMA(0,1,1)
3. ARIMA(3,1,1)
Tahapan berikutnya yaitu estimasi parameter
dan diagnosis model.

Cara Melakukan Estimasi Parameter
Model Penduga ARIMA
Stat > Time Series > ARIMA
Series Masukan “Cacat” (bukan hasil differencing) > Kotak
Nonseasonal masukkan sesuai dengan model penduga yang
diperoleh sebelumnya
Graphs > Ceklis Time Series Plot, ACF dan PACF Residuals > Pilih
Four in One > OK
Forecasts > Lead masukan 14 > Storage Forecasts agar mudah
membedakan masukan FORpdq dengan p, d, dan q nilai orde
dari model penduga ARIMA yang diperoleh sebelumnya > OK
Storage > Ceklis Residuals dan Fit > OK
Klik OK

Hasil Estimasi Parameter dan
Diagnosis Model
Parameter

ARIMA(3,1,
0)

ARIMA(0,1,
1)

ARIMA(3,1,
1)

AR 1

-0.6218***

-

-0.5972

AR 2

-0.5145***

-

-0.5021*

AR 3

-0.3540**

-

-0.3452

MA 1

-

0.7439***

0.0280

Ljung-Box
12

3.7

6.7

3.7

Ljung-Box
24

13.3

17.3

13.3

Ljung-Box
36

18.5

20.4

18.5

Keterangan:
*** : Signifikan pada taraf
1%
** : Signifikan pada taraf
5%
* : Signifikan pada taraf
10%

Hasil diagnosis model menunjukkan bahwa nilai Ljung-Box untuk seluruh lag tidak
Ljung-Box
- model ARIMA.- Hal tersebut menyebabkan
signifikan
untuk semua
residual sudah
48 noise (rata-rata nol dan ragam konstan) sehingga ketiga model ARIMA layak
white
digunakan
sebagai238.33
peramalan. Namun
nilai MSE 244.80
terkecil dari ketiga model ARIMA
MSE
235.17
yang diduga adalah ARIMA(0,1,1) sehingga model penduga ARIMA(0,1,1)

Pembentukan Model ARIMA
Model ARIMA(0,1,1) berdasarkan estimasi parameter sebelumnya
dapat dibentuk dengan menggunakan operator backshift sebagai
berikut:
1

ARIMA  0,1,1 : 0  B   yt  0  1  B   t

 1  B  yt   1  1B   t
 1  B  yt   1  0.7439 B   t
1

yt  Byt   t  0.7439 B t
yt  yt 1   t  0.7439 t 1
yˆt  yt 1   t  0.7439 t 1
Hasil persamaan model ARIMA diatas menunjukkan bahwa jumlah produksi
cacat pada tahun saat ini disebabkan karena jumlah produksi cacat pada satu
tahun yang lalu, residual pada tahun saat ini, dan perubahan residual pada
satu tahun yang lalu. Penambahan satu jumlah produksi cacat pada satu
tahun yang lalu meningkatkan jumlah produksi cacat di tahun saat ini sebesar
satu jumlah produksi cacat. Penambahan satu residual jumlah produksi cacat
pada tahun saat ini akan meningkatkan satu jumlah produksi cacat pada
tahun saat ini. Penambahan satu residual jumlah produksi cacat pada satu

Uji Normalitas Model ARIMA

Berdasarkan uji Normalitas dengan menggunakan metode Anderson-Darling
diperoleh bahwa residual model penduga ARIMA yang dibentuk berdistribusi
normal. Terlihat pula dengan bentuk histogram yang berdistribusi normal,
jarak antar kuartil pada boxplot seimbang serta nilai skewness dan kurtosis
yang mendekati nilai 0.

Uji Heteroskedastisitas

Berdasarkan scatter plot antara nilai penduga dengan nilai residual terlihat
bahwa penyebaran titik tidak membentuk pola tertentu sehingga data
tidak mengalami masalah heteroskedastisitas.
Bagaimana cara menguji multikolinearitas dan autokorelasi pada data?
Apakah bisa pula diuji Linearitas dan Homogenitasnya?

Menampilkan Plot Gabungan
Peramalan Deret Waktu
Untuk menampilkan hasil gabungan peramalan pada periode aktual
dengan periode di masa mendatang. Hasil pada kolom FOR011
dipindahkan dibawah baris terakhir pada FITS1. Kemudian lakukan
proses yang sama untuk menampilkan plot deret waktu dengan
menggunakan grafik Multiple!
Untuk model ARIMA, batas atas dan batas bawah peramalan
dimasukkan dalam plot deret waktu. Sehingga jika belum ada kolom
batas atas dan batas bawah peramalan ARIMA, pada bagian Stat >
Time Series > ARIMA > Storage > Masukkan Lower Limit dengan nama
LFLpdq dan Upper Limit dengan nama UFLpdq dengan p, d, dan q
adalah orde ARIMA yang terbaik berdasarkan hasil diagnosis model.
Kemudian,
pindahkan
hasil
LFLpdq
dan
UFLpdq
dibawah
observasi/waktu yang terakhir pada data agar bisa bersesuai
dengan peramalan di periode yang akan mendatang (FORpdq setelah
dipindahkan dibawah baris terakhir FITS1).

Plot Deret Waktu

Plot Deret Waktu diatas merupakan data jumlah produksi cacat tiap tahunnya disertai dengan
hasil peramalan dengan model penduga ARIMA(0,1,1), batas bawah peramalan, dan batas atas
peramalan. Terlihat bahwa pergerakan peramalan berada ditengah pergerakan data aktual.
Selain itu, peramalan untuk 14 tahun mendatang memiliki pola perubahan yang konstan dan
horizontal. Sehingga peramalan untuk 14 tahun mendatang dengan model penduga ARIMA(0,1,1)
adalah sama yaitu sebanyak 68 produk cacat.

Contoh Kasus 3
Berikut adalah data jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan
internasional di negara Indonesia. Lakukan analisis peramalan dengan menggunakan
model ARIMA untuk meramalkan jumlah penumpang pesawat terbang di suatu
penerbangan internasional di negara Indonesia selama 12 bulan mendatang disertai
dengan analisis signifikansi dan analisis modelnya!

Bulan

194
9
112
118
132
129
121
135
148
148

195
0
115
126
141
135
125
149
170
170

195
1
145
150
178
163
172
178
199
199

195
2
171
180
193
181
183
218
230
242

195
3
196
196
236
235
229
243
264
272

Tahun
195 195
4
5
204 242
188 233
235 267
227 269
234 270
264 315
302 364
293 347

195
6
284
277
317
313
318
374
413
405

195
7
315
301
356
348
355
422
465
467

195
8
340
318
362
348
363
435
491
505

195
9
360
342
406
396
420
472
548
559

196
0
417
391
419
461
472
535
622
606

January
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
Septembe
136 158 184 209 237 259 312 355 404 404 463 508
r
Oktober 119 133 162 191 211 229 274 306 347 359 407 461
Novembe
104 114 146 172 180 203 237 271 305 310 362 390

Identifikasi Model
(Gambaran Umum Pola Deret Waktu)

Gambar pola deret waktu jumlah penumpang pesawat menunjukkan bahwa jumlah
penumpang setiap tahunnya mengalami peningkatan yang cukup signifikan. Jumlah
penumpang tertinggi berada pada pertengahan bulan dan jumlah penumpang
terendah berada pada akhir dan awal bulan. Pola deret waktu tersebut membentuk
pola musiman sehingga pola data deret waktu tidak stasioner pada rata-rata dan
ragam. Data aktual perlu dilakukan differencing dan transformasi.

Identifikasi Model
(Uji Stasioneritas Data dengan
Grafik I-MR)

Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat
pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola data tidak
stabil pada rata-rata dan ragam sehingga perlu dilakukan
penanggulangan berupa differencing dan transformasi
pada data. Selain itu, pola data yang tidak berdistribusi
normal menunjukkan perlu adanya transformasi dengan
menggunakan fungsi terbaik agar data menjadi normal
selain menggunakan transformasi box-cox. Fungsi
logaritma natural digunakan untuk mentransformasikan
data deret waktu sesuai teori analisis deret waktu. Pola
data antar waktu berkorelasi kuat yang mengindikasikan
terjadinya masalah autokorelasi pada data.

Titik data yang lebih dari 100 memberikan
hasil kontrol limit yang lebih akurat dan
presisi. Hasil tersebut dapat memberikan
kesimpulan yang lebih baik untuk menentukan
titik data mana saja yang diluar kendali.

Cara Transformasi Logaritma Natural dengan
Minitab

Store Result in Variable ketik LN(PENUMPANG) >
Expression ketik LN(‘Jumlah Penumpang Pesawat’)
> OK

Identifikasi Model
(Gambaran Umum Pola Deret Waktu
Setelah Transformasi Logaritma
Natural)

Setelah data jumlah penumpang pesawat ditransformasikan ke fungsi logaritma natural diperoleh
bahwa pola data deret waktu memiliki pergerakan pola yang sama setiap tahunnya pada setiap
12 bulan dan tidak terdapat perbedaan naik turun yang signifikan di setiap bulannya untuk
setiap tahunnya. Sehingga data jumlah penumpang pesawat sudah stasioner pada ragam namun
karena setiap tahunnya mengalami kenaikan setiap tahunnya maka data tidak stasioner pada
rata-rata sehingga perlu dilakukan dengan differencing musiman (seasonal differencing)
sebanyak 12 lag.

Identifikasi Model
(Uji Stasioneritas Data dengan
Grafik I-MR)

Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat pada grafik
I-MR Chart diperoleh bahwa pola sudah stabil pada ragam namun
tidak
stabil
pada
rata-rata
sehingga
perlu
dilakukan
penanggulangan berupa differencing pada data. Selain itu, hasil
transformasi data tidak membuat pola data berdistribusi normal
sehingga perlu dilakukan penambahan fungsi transformasi yang
lain atau dilakukan transformasi yang lain agar data menjadi
normal selain menggunakan transformasi Box-Cox. Pola data yang
berkorelasi antar waktu berkorelasi kuat yang mengindikasikan
terjadinya masalah autokorelasi pada data. Titik data yang lebih
dari 100 memberikan hasil kontrol limit yang lebih akurat dan
presisi. Hasil tersebut dapat memberikan kesimpulan yang lebih
baik untuk menentukan titik data mana saja yang diluar kendali.
Fungsi transformasi apa yang terbaik agar pola data menjadi
normal?

Hasil
I-MR
Chart
menunjukkan
bahwa
Individual Value Chart masih terdapat titik
yang berada di luar kendali. Namun plot
Moving Range tidak terdapat titik yang berada
di luar kendali yang menunjukkan bahwa pola
data stabil (stasioner) pada ragam.

Cara Melakukan Differencing
Musiman
Stat > Time Series > Differences
Masukkan Series sebagai LN(PENUMPANG) > Store
Differences in ketik D12LNPENUMPANG > Lag diisi
12 > OK

Identifikasi Model
(Gambaran Umum Plot Data Deret Waktu)

Hasil differencing musiman memberikan plot data deret waktu yang
sudah stasioner pada ragam namun tidak stasioner pada rata-rata.
Terlihat adanya pergerakan setiap tahun dan setiap bulan yang berubah
secara tidak merata sehingga perlu dilakukan differencing pada rata-rata.

Identifikasi Model
(Uji Stasioneritas Data dengan
Grafik I-MR)

Berdasarkan
hasil
laporan
jumlah
penumpang pesawat pada grafik I-MR
Chart
diperoleh bahwa pola sudah
berdistribusi normal namun tidak stabil
pada rata-rata dan ragam serta masih
terjadi autokorelasi antar waktu. Walaupun
data sudah berdistribusi normal, pola data
secara signifikan sudah stabil pada ragam.
Pola data yang tidak stabil pada rata-rata
menunjukkan bahwa data perlu dilakukan
differencing.

N.B:
Data
yang
sudah
berdistribusi
normal
dapat
diartikan sebagai keragaman
data yang sudah stabil/stasioner.

Cara Differencing Nonseasonal pada
Hasil Differencing Seasonal
Stat > Time Series > Differences
Masukkan Series sebagai D12PENUMPANG > Store
Differences in ketik D1D12LNPENUMPANG > Lag diisi 1 >
OK

Identifikasi Model
(Gambaran Umum Plot Data Deret Waktu)

Hasil differencing pertama dari differencing musiman memberikan pola data deret waktu horizontal
serta tidak banyak mengalami kenaikan maupun penurunan yang cukup tajam. Pergerakan deret
waktu tersebut menunjukkan bahwa data jumlah penumpang yang sudah ditransformasikan dengan
logaritma natural, dilakukan difference musiman satu kali dan difference non musiman dari
difference musiman satu kali sudah stasioner pada rata-rata dan ragam. Sehingga dapat dilakukan
tahapan lebih lanjut untuk menentukan orde Autoregressive dan Moving Average. Baik nonseasonal
dan seasonal 12 periode.

Identifikasi Model
(Uji Stasioneritas Data dengan
Grafik I-MR)

Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat
pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola sudah
berdistribusi normal dan tidak terdapat korelasi antar
waktu. Namun tidak stabil pada rata-rata dan ragam.
Walaupun data sudah berdistribusi normal, pola data
secara signifikan sudah stabil pada ragam. Pada bagian
summary report menunjukkan bahwa rata-rata proses
sudah stabil dan tidak terdapat titik data yang diluar
kendala pada Individual Value Chart. Hasil tersebut
menunjukkan bahwa data sudah stasioner pada rata-rata.
Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa data jumlah
penumpang dengan menggunakan transformasi fungsi
logaritma natural, differencing musiman 12 periode,
differencing pertama dari differencing musiman 12 periode
telah stasioner dengan rata-rata dan ragam sehingga
dapat dilakukan analisis untuk menentukan orde
Autoregressive dan Moving Average. Baik nonseasonal
maupun seasonal dalam 12 periode.

Identifikasi Model
(Menentukan orde Autoregressive)

Berdasarkan korelogram autokorelasi parsial diperoleh bahwa terdapat jarum (lag) yang terpotong di
garis signifikan dan bernilai negatif pada lag 1 dan lag 12 serta bernilai positif pada lag ke-9. Karena
pergerakan dari lag 1 ke lag 2 naik signifikan menjadi positif serta melewati garis 0 maka penentuan
orde Autoregressive Nonseasonal berhenti pada lag 1 sehingga diperoleh model yang mungkin untuk
Autoregressive Nonseasonal yaitu AR(1). Selain itu, periode musiman sebesar 12 menunjukkan bahwa
terdapat orde Autoregressive Seasonal yang mungkin masuk pada model SARIMA. Berdasarkan lag
kelipatan 12 diperoleh bahwa lag 12 memiliki nilai negatif yang sama dengan lag 1 serta terpotong di
garis signifikan. Selain itu pada lag 24, lag 36, dan lag 48 tidak berpotongan di garis signifikan
sehingga diperoleh model yang mungkin untuk orde Autoregressive Seasonal yaitu SAR(1).

Identifikasi Model
(Menentukan orde Moving Average)

Berdasarkan korelogram autokorelasi diperoleh bahwa terdapat jarum (lag) yang terpotong di
garis signifikan dan bernilai negatif pada lag 1, lag 3, dan lag 12. Karena pergerakan dari lag 1 ke
lag 2 naik signifikan menjadi positif serta melewati garis 0 maka penentuan orde Moving Average
Nonseasonal berhenti pada lag 1 sehingga diperoleh model yang mungkin untuk Moving Average
Nonseasonal yaitu MA(1). Selain itu, periode musiman sebesar 12 menunjukkan bahwa terdapat
orde Moving Average Seasonal yang mungkin masuk pada model SARIMA. Berdasarkan lag
kelipatan 12 diperoleh bahwa lag 12 memiliki nilai negatif yang sama dengan lag 1 serta
terpotong di garis signifikan. Selain itu pada lag 24, lag 36, dan lag 48 tidak berpotongan di garis
signifikan sehingga diperoleh model yang mungkin untuk orde Moving Average Seasonal yaitu
SMA(1).

Identifikasi Model
(Menentukan Model SARIMA yang
Mungkin)
Identifikasi model dengan transformasi fungsi logaritma natural, differencing
seasonal pertama, serta differencing nonseasonal pertama dari differencing seasonal
diperoleh model ARMA yang mungkin yaitu AR(1), SAR(1), MA(1), dan SMA(1).
Sehingga diperoleh model penduga Seasonal ARIMA yang mungkin dapat dilakukan:
11. ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12
1. ARIMA(1,1,0)(0,1,0)12
2. ARIMA(0,1,1)(0,1,0)12
12. ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12
3. ARIMA(0,1,0)(1,1,0)12
13. ARIMA(1,1,0)(1,1,1)12
4. ARIMA(0,1,0)(0,1,1)12
14. ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12
5. ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12
15. ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12
6. ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12
7. ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12
8. ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12
9. ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12
10.ARIMA(0,1,0)(1,1,1)12
Tahapan berikutnya yaitu estimasi parameter dan diagnosis model.
Bagaimana dan berapa banyak model penduga Seasonal ARIMA yang mungkin dilakukan apabila
hasil identifikasi model diperoleh AR(1), AR(2), AR(3), SAR(1), SAR(2), SAR(3), MA(1), MA(2),
MA(3), SMA(1), SMA(2), dan SMA(3)?

Cara Melakukan Estimasi Parameter
Model Penduga SARIMA
Stat > Time Series > ARIMA
Series Masukan “LN(PENUMPANG)” (bukan hasil differencing)
namun hasil transformasi > Ceklis Fit Seasonal Model > Period
diketik 12 > Kotak Nonseasonal dan Seasonal masukkan
sesuai dengan model penduga yang diperoleh sebelumnya
Graphs > Ceklis Time Series Plot, ACF dan PACF Residuals >
Pilih Four in One > OK
Forecasts > Lead masukan 12 > Storage Forecasts agar
mudah membedakan masukan FORpdqPDQs dengan p, d, q, P,
D, Q, dan s nilai orde dari model penduga ARIMA yang
diperoleh sebelumnya > Optional untuk Lower Limit dan
Upper Limit jika ingin melihat batas peramalan diisi
LFLpdqPDQs untuk batas bawah dan UFLpdqPDQs untuk batas
atas > OK
Storage > Ceklis Residuals dan Fit > OK
Klik OK

Estimasi dan Diagnosis Model
Penduga SARIMA
Model

Parameter
AR(1)

Ljung-Box Lag

MA(1)

SMA(1)

12

24

36

ARIMA(1,1,0)(0,1,0)12 -0.3431***

-

-

-

39.8***

56.9***

72.5***

80.0*** 0.001855

ARIMA(0,1,1)(0,1,0)12

-

-

0.3906***

-

38.1***

53.6***

67.4***

74.6*** 0.001840

ARIMA(0,1,0)(1,1,0)12

-

-0.4544***

-

-

31.7***

63.1***

82.9***

91.8*** 0.001710

ARIMA(0,1,0)(0,1,1)12

-

-

-

0.6833*** 24.9***

43.1***

58.0***

64.9**

ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12

0.1471

-

0.5420***

-

36.4***

51.3***

64.8***

72.2*** 0.001850

ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12 -0.3724*** -0.4754***

-

-

13.9

35.0**

50.4**

57.4

0.001472

ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12 -0.3333***

-

0.6225***

12.5

29.8

40.2

48.7

0.001354

-

9.5

27.8

41.4

48.3

0.001439

9.4

25.5

35.6

44.3

0.001333

42.5***

57.1***

63.8**

0.001513

9.4

27.9

41.7

48.7

0.001449

8.4

24.2

35.7

43.6

0.001330

13.0

30.1*

41.4

50.1

0.001360

-

ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12

-

ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12

-

-

ARIMA(0,1,0)(1,1,1)12

-

0.0257

ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12

0.0603

ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12

0.2624

-0.4856*** 0.4403***

0.3958*** 0.6136***
-

-0.4845*** 0.4914***
 -

0.6983*** 24.5***
-

0.6361*** 0.6285***

48

MSE

SAR(1)

0.001502

ARIMA(1,1,0)(1,1,1)12 -0.3378***

-0.0701

ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12

-

-0.1179

0.4071*** 0.5089***

9.1

24.7

35.9

46.1

0.001368

ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12

0.2224

-0.0994

0.6067*** 0.5628***

8.8

24.4

36.7

45.0

0.001335

- 

0.5752***

Baris warna kuning merupakan model penduga SARIMA yang sudah
white noise (Tidak ada Ljung-Box yang signifikan) yaitu model yang

Hasil Analisis Diagnosis
Model
Berdasarkan hasil estimasi model dan diagnosis model diperoleh model
ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12, ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(1,1,1)
(1,1,0)12, ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12, dan ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12
merupakan model-model yang sudah white noise sehingga model-model
tersebut layak digunakan sebagai model peramalan.
Untuk mencari model peramalan dapat ditinjau dengan melihat keseluruhan
parameter SARIMA yang signifikan serta nilai MSE yang terkecil. Pada tabel
slide sebelumnya, model penduga SARIMA dengan nilai MSE paling kecil
diantara model yang lainnya adalah ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12. Karena terdapat 1
parameter yang tidak signifikan yaitu parameter AR(1), maka dicari kembali
model SARIMA dengan MSE terkecil kedua serta keseluruhan parameter
SARIMA yang signifikan. Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1) 12 merupakan model
penduga SARIMA dengan signifikansi di seluruh parameter model SARIMA serta
memiliki nilai MSE terkecil setelah model ARIMA(1,1,1)(0,1,1) 12. Oleh karena itu,
dapat diperoleh kesimpulan bahwa model ARIMA ARIMA(0,1,1)(0,1,1) 12
merupakan model penduga SARIMA terbaik untuk meramalkan jumlah
penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan Internasional di Indonesia
untuk bulan yang akan mendatang.

Pembentukan Model SARIMA
Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 berdasarkan estimasi parameter dan
diagnosis sebelumnya dapat dibentuk dengan menggunakan operator
backshift sebagai berikut:

 
 
 0  1  B 1  B  
  1  0.3958 B   1  0.6136 B  
  1  0.6136 B  0.3958 B  0.2429 B  

1
ARIMA  0,1,1  0,1,1 12 : 0  B   0 B12 112
ln yt  c  1  B  1 B12  t





1

 1  B  1  B12 ln yt
1

 1  B   1  B12  ln yt

 1 B

12



 B  B13 ln yt

12

1

1

t

12

t

12

13

t

ln yt  B12 ln yt  B ln yt  B13 ln yt   t  0.6136 B12 t  0.3958 B t  0.2429 B13 t
ln yt  ln yt 12  ln yt 1  ln yt 13   t  0.6136 t 12  0.3958 t 1  0.2429 t 13
ln yˆt  ln yt 12  ln yt 1  ln yt 13   t  0.6136 t 12  0.3958 t 1  0.2429 t 13
ln yˆt  ln yt 1  ln yt 12  ln yt 13   t  0.3958 t 1  0.6136 t 12  0.2429 t 13

Fungsi logaritma natural digunakan dalam penurunan model ARIMA
dengan operator backshift berdasarkan hasil transformasi pada saat
melakukan stasioner pada ragam.

Intepretasi Model ARIMA(0,1,1)
(0,1,1)12
ln yˆt  ln yt 1  ln yt 12  ln yt 13   t  0.3958 t 1  0.6136 t 12  0.2429 t 13
Berdasarkan model
menunjukkan bahwa jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan
internasional di Indonesia pada bulan saat ini dipengaruhi oleh jumlah penumpang
pesawat terbang pada 1 bulan sebelumnya, 12 bulan sebelumnya, 13 bulan
sebelumnya, residual pada 1 bulan sebelumnya, residual pada 12 bulan sebelumnya,
dan residual pada 13 bulan sebelumnya. Penambahan 1 jumlah penumpang pada 1
bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1
penumpang. Penambahan 1 jumlah penumpang pada 12 bulan sebelumnya
meningkatkan jumlah penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang.
Penambahan 1 jumlah penumpang pada 13 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah
penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 residual
jumlah penumpang pada bulan saat ini meningkatkan jumlah penumpang pesawat
terbang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 residual jumlah
penumpang pada 1 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pesawat
terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.3958 penumpang. Penambahan 1 residual
jumlah penumpang pada 12 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang
pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.6136 penumpang. Penambahan 1
residual jumlah penumpang pada 13 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah
penumpang pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.2429 penumpang.

Uji Normalitas

Berdasarkan uji Normalitas dengan menggunakan metode AndersonDarling diperoleh bahwa residual model penduga Seasonal ARIMA
yang dibentuk berdistribusi normal. Walaupun terdapat 1 pencilan
dan nilai kurtosis yang sedikit meruncing namun secara keseluruhan
residual pada model penduga Seasonal ARIMA masih berdistribusi
normal.

Uji Heteroskedastisitas

Berdasarkan plot nilai penduga model ARIMA dengan nilai residual
diperoleh terlihat bahwa penyebaran titik tidak membentuk pola
tertentu sehingga data tidak mengalami masalah heteroskedastisitas.

Hasil Peramalan
Karena hasil peramalan dalam bentuk fungsi logaritma natural, maka
untuk mendapatkan nilai peramalan yang sesuai dengan nilai data aktual
maka hasil peramalan dapat ditransformasikan ke bentuk eksponensial.
Dapat dilakukan untuk hasil batas peramalan pada periode mendatang
(batas atas maupun batas bawah peramalan).
Gunakan fasilitas Calc > Calculator untuk melakukan transformasi hasil
peramalan dan batas peramalan ke fungsi eksponensial!

Transformasikan hasil FOR01101112,
LFL01101112, UFL01101112, dan FITS1
ke bentuk fungsi eksponensial!

Plot Deret Waktu

Plot Deret Waktu diatas merupakan data jumlah penumpang pesawat terbang
di suatu
penerbangan internasional di Indonesia setiap bulannya disertai dengan hasil peramalan periode
aktual dan periode 12 bulan mendatang dengan model penduga ARIMA(0,1,1)(0,1,1) 12, batas bawah
peramalan, dan batas atas peramalan. Terlihat bahwa pergerakan peramalan berada di dekat
pergerakan data aktual mengikuti pola deret waktu yang sama. Selain itu, peramalan untuk 12
bulan mendatang memiliki pola yang sama dengan tahun sebelumnya dan meningkat dibandingkan
tahun sebelumnya. Peramalan jumlah penumpang pesawat terbang untuk tahun 1962 pada bulan
Januari sebanyak 450 penumpang, bulan Februari meningkat sebanyak 426 penumpang, bulan
Maret meningkat sebanyak 482 penumpang, hingga meningkat di bulan Juli sebanyak 668
penumpang. Kemudian mengalami penurunan hingga bulan November sebanyak 430 penumpang
dan meningkat di bulan Desember sebanyak 478 penumpang.

Pertanyaan Tugas Besar Individu
(B)
PERTANYAAN WAJIB:
1. Kerjakan Modul ANEDA halaman 69 dengan menyertakan
langkah-langkah identifikasi model, estimasi parameter dan
diagnosis parameter, buat model persamaan ARIMA dan
peramalan untuk periode 12 bulan mendatang!
2. Jika menggunakan transformasi Johnson pada contoh kasus 3,
lakukan analisis deret waktu dengan menggunakan Model ARIMA
disertai dengan peramalan 12 tahun mendatang, analisis
signifikansi mo