Fungsi dan Grafik Fungsi 2
y = sin 1
x = arcsin x x = sin y y [/2, /2] Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.
y = cos 1 x = arccos x x = cos y y [0, ] y = tan
- –1
x = arctan x x = tan y y (/2, /2) y = cot 1 x = arccot x x = cot y y (0, ) y = sec
1 x = arcsec x x = sec y y (/2, /2) y = csc
1
x = arccsc x x = csc y y (0, ) Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.
Gambar 2.2.12 (a) x y arcsin
Gambar 2.2.12 (b)x y arccos
Gambar 2.2.12 (a) x y arctan
(c) Fungsi Eksponensial
a , a
1
Untuk , fungsi f dengan rumus:
x f(x) = a
disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:
x y a , a
1 x y a , a
1
(d). Fungsi Logaritma
a y a , a
1 y log x x a
Untuk , . Sebagai contoh:
2
3 log 8 3 karena 2
8
1 3
3 log
27 3 karena
1
3
27
Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:
1
a
f ( x ) log x
D x : x f R
disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada gambar dibawah.
Gambar 2.2.13
a y log x , a
1
2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub
Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam 1 sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem koordinat Kartesius.
a y log x , a
1 Gambar 2.2.14
Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub adalah himpunan semua titik P sehingga paling sedikit satu representasi titik P, yaitu , memenuhi persamaan tersebut.
Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.
( r , )
Penyelesaian: Titik-titik yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan
dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain,
2
2
2
2 r x y
2
karena maka x y 4 . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.
(2, /2)
Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin
1
2
2
2
5
4
1
4
7
6
2
3
1
5
3
2
3
(2, /4)
(2, 0) (2, ) (2, 2)2 Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.
2 2
7
4
3
2
3
5
3
2
3
2
3
2
6
2 +
dan r = 2 + 2 sin
6
2
4
3
1
2
2
r = 2 + 2 sin
Tabel 2.2.1
r = 2 sin2
untuk
Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas
.
2 +
3
2
2
3
4
3
2 +
3
3
4
2
2
3
2 +
3
Gambar 2.2.15
Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r =
2 2
2
2
2
2
3
2
3
Gambar 2.2.16 (a) sin
2
r
Gambar 2.2.16 (a) sin
2 2
r
3
cos 2 2 tetapi di luar lingkaran
2
r =
sin
2 .
Penyelesaian: Untuk beberapa nilai , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada
tabel berikut:
Tabel 2.2.2
r = cos
2 2 r = sin
4
3
6
2+2
3
1
4
2+
2
2
4 Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:
Gambar 2.2.17
Soal LatihanUntuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan fungsi x.
2 2 x 3 y 6 xy
1 x y
2.
3.
4 1.
2
2
2 2 x y
1 x y 4 x 4 y
5.
6.
4
4.x
3 x
1 y y
7. x 8. 9.
y
2
2
2 x 1 y ( x 1 ) x 1 x 9 y
9
10. xy 11. 12. Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.
1 x
1
f ( x ) f ( x ) x f ( x )
2 5
13. x 14.
15.
x
2 x
3
x u
1
2 f ( x )
f ( u )
16. f ( t ) t
18.
3 u
1 17.
1
x
1
x
2
s f ( x ) ln
2
f ( x ) ln 1 x f ( s ) 2 s
19. 20. 21.
2 x
1
s
1 x
5
f ( x ) f ( ), f ( 2 ), dan f ( x h ) 22. Tentukan jika . x
1
f ( 1 ), f ( 16 ), dan f ( x h ) f ( x ) x x
23. Tentukan jika
h f ( x ) x
24. Diberikan . Jika , tunjukkan:
f ( x h ) f ( x )
1 h x h x
f ( x h ) f ( x ) h f ( x ) sin x
25. Untuk sebarang bilangan real , tentukan jika .
h f g , f g , f . g , f g
Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan dan beserta dengan masing-masing domainnya.
f ( x ) x 3 , g ( x ) x f ( x ) x
1 , g ( x ) 2 x 26. 27.
3
2 f ( x ) 1 x , g ( x ) 1 x
f ( x ) x 1 , g ( x ) 1 x 28.
29.
x x x
1
2
f ( x ) ,. g ( x ) x
1
f ( x ) , g ( x )
31.
2 x
30.
1 x
2
x
3 x
2
f g g f Untuk soal 32 – 41, tentukan dan serta masing-masing domainnya. f ( x ) x , g ( x ) x f ( x ) x 3 , g ( x ) x
33.
32.
x x
1
f ( x ) , g ( x )
f ( x ) 1 x , g ( x ) x
35.
1 34.
x
1 x
2
x
2
2 f ( x ) ,. g ( x ) x
1
37.
2 x
f ( x ) x 1 , g ( x ) 1 x 36.
3 x
2
2 f ( x ) x
1 , g ( x ) 2 x f ( x ) x
1 , g ( x ) 1 x
38. 39.
x , x 2 x , x f ( x ) , g ( x )
40. 3 x , x
5 x , x x
1 , x x
f ( x ) x 1 , g ( x )
41. 2 x , x
Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.
2 x x
1
f ( x ) g ( x )
1
f ( x )
2 3
42. x 43.
44.
3 x 1 x
2
x
1 , x
2 x 1 , x x
g ( x ) f ( x )
46.
45.
1
2 x , x 1 , x
x
2.3 Barisan dan Deret Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.
1
1
1
1
A 1 , , , , , ...
3
9
27
81
Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:
1
f ( n ) n
N
n 1
3 maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:
A f ( n ) : n
N
Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai berikut.
Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem
Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.
f : N R
Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu f (n ) , biasa dinyatakan dengan a n , n
N. Selanjutnya, a barisan dengan suku-suku a , n . n n
N, ditulis dengan notasi Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:
1
a
1 n
a
a n n
a. n
b. n
c.
n !
n
n a sin n a n n a
1 )
d.
e.
f. (
n n
1
a Definisi 2.3.3 Diberikan barisan n . Jumlahan tak hingga:
a a a ... a ... k
1 2 n k
1 Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:
S = a S = a + a … S = a + a + … + a
1
1
2
1 2 n
1 2 n S n
, n N, disebut jumlahan parsial.
1
3 Contoh 2.3.4 Bilangan dapat ditulis sebagai:
3
3
3
3
1 3 , 333333 , 3 , 03 , 003 ... ... ...
n
10 100 1000
10 Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.
2.4 Irisan Kerucut Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak dan titik puncak P.
Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut terhadap sumbu kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut.
Bentuk irisan kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:
(a). maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.
P W Gambar 2.4.1
(b.). maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).
P W
Gambar 2.4.2
(c.). maka terjadi kelas hiperbola P W
Gambar 2.4.3
Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik
fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d,
dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:
1
a. Kelas ellips jika
1
b. Kelas parabola jika
1
c. Kelas hiperbola jika
Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0 dengan p > 0.
x+ p=0
Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama dengan , yaitu:
O F PF
PD
atau
2
2 x y
Gambar 2.4.4 x p
2
2
2
2 x y x p
2
2
2
2
2
2 1 x y 2 px p
1
(i). Untuk diperoleh parabola dengan persamaan:
p
2
2
)
y = 2px + p = 2p (x +
2
p
- 2
2 * x x
Jika diambil substitusi maka persamaan parabola menjadi y = 2px . Selanjutnya, y = 2px
2
p p
, ) merupakan persamaan parabola dengan fokus F( , garis arah d: x + , titik puncak O (0,0),
2
2 dan sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.
P(x,y) ●
2
1
1
1
p y
1
1
2
2
2
2
2
p
2
2
2
1
Selanjutnya, dengan menggambil x
2
2
2
2 1
p
diperoleh: (x
2
1
2
1
O F x+ p=0 Gambar 2.4.5
y
p
x p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
p y p x
2
=
(ii).Untuk
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
p y
x
p x
2
2
1
diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
p p y p x
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
p p y p x
1
1
2
2
2
2
4
2
2
- = x
- )
-
* *
2
2
2
2
2 p
p2 a
2
(a). Untuk diambil: dan , maka diperoleh:
1 c
2
2
1 1
2
2
- x y
1
2
2 a b
2
2 c p
2
2
2
2
2
2
Karena
1 a b , dan , maka: b + c = a . Secara umum, persamaan ellips 2 a
1 c , )
dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F( , dan garis arah d
2 a
dengan persamaan x = diberikan oleh:
c
2
2 x y
1
2
2 a b
Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:
2
2
2
x + y = a
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips dengan titik fokus dan titik pusat O.
2
2
2
2 2 p
p
2
2
2
2
2
2 a
1
2
(b). Untuk , diambil dan a
1 maka diperoleh c = a + b
2 = b
2
1
1 b
● P(x,y) c
dan dan:
a ● ●
a
a
2
2
x y * *
1
2
2
a bJadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus
2 a c , )
F( , dan garis arah d : x = diberikan oleh: c
2
2 x y
1
2
2 a b b b x y y x
a a
● (0,b) ● ● ● ●
(a,0) (c,0) (c,0) (a,0)
● (0,b)
Gambar 2.4.7