KONVOLUSI DARI PEUBAH ACAK BINOMIAL NEGATIF

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 22 – 27

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

KONVOLUSI DARI PEUBAH ACAK BINOMIAL

NEGATIF

NUR ADE YANI

  

Program Studi Magister Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_{Abstrak. Dalam penelitian ini dikaji konvolusi dari peubah acak binomial negatif de-}

ade yani@mail.com

ngan menggunakan metode fungsi pembangkit momen. Kajian ini memberikan fungsi

kepadatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah peubah acak binomial

negatif.

  Kata Kunci : Distribusi binomial negatif, Deret berpangkat

  1. Pendahuluan Misalkan terdapat distribusi binomial negatif dengan peubah acak Y j , j = 1, 2, . . . , n dan parameter (α j , p j ). Fungsi kepadatan peluang dari Y j dapat dirumuskan sebagai berikut,

  Γ(α j + y) α _{j y} P (Y j = y) = p (1 − p j ) _j

  Γ(α j )y! untuk 0 < p j < 1 dan 0 < α j < ∞.

  Misalkan S = Y + Y + · · · + Y n adalah jumlah dari peubah acak binomial

  1

  2

  negatif, dengan masing-masing peubah acak Y j memiliki fungsi distribusi binomial negatif yang kemudian dapat ditentukan nilai harapan, variansi serta fungsi pem- bangkit momennya. Dalam teori peluang, distribusi dari jumlah peubah acak bebas dinamakan dengan konvolusi. Penggunaan metode konvolusi sering digunakan un- tuk jumlah dua peubah acak bebas. Untuk menentukan distribusi lebih dari dua peubah acak bebas digunakan proses konvolusi yang tidak mudah untuk ditentukan.

  Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan distribusi dari jumlah peubah acak bebas adalah dengan metode fungsi pembangkit momen. Dengan metode fungsi pembangkit momen dapat ditentukan fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah peubah acak bebas binomial negatif.

  Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif

  23

  2. Konvolusi dari Peubah acak Binomial Negatif dengan Parameter yang Berbeda

  Misalkan Y , p ) memiliki fungsi kepadatan peluang, maka fungsi pem- _{j ∼ BN (α j j} bangkit momen dari Y j adalah _{t − α j} 1 − q j e M Y (t) = . (2.1) _j p j _t

  Dengan memisalkan r = q /p dan e t = e − 1, maka fungsi pembangkit momen _{j j j} dari Y dapat ditulis kembali dalam bentuk _{j − α j} M Y j (t) = 1 − r j et , dan fungsi pembangkit momen S dapat diperoleh _n

  Y − α _j M S (t) = 1 − r j et . _j

  =1

  Selanjutnya akan ditentukan fungsi kepadatan peluang S, yang akan dijelaskan pada teorema berikut ini. Teorema 2.1. Misalkan

  Y j , j = 1, 2, . . . , n adalah peubah acak binomial negatif P n dengan parameter ,

  (α + k, p

  1 ), S = Y j p _j 1 = max j (p j ), dan α = α 1 + α +

  2

=1

  , maka fungsi kepadatan peluang dari α

  3 + · · · + α n S adalah _∞

  X Γ(α + s + k) s _{α +k}

  P (S = s) = R δ k p (1 − p ) ,

  1

  1 _k Γ(α + k)s! =0

  untuk s = 0, 1, 2, · · · dan 0 untuk yang lainnya. Bukti.

  Notasikan _{n α − j} Y q j p

  1 R = (2.2) _j

  q

  1 p j =1

  untuk _k δ = 1,

• 1

  X

  1 δ k = iξ i δ k , k = 0, 1, · · · , (2.3)

• 1 +1−i

  k + 1 _{i n} =1 _i

  X α j (1 − q

  1 p j /q j p 1 )

  ξ i = . (2.4) _{j =1} i Dengan mengasumsikan r = min j (r dan menotasikan

  1 j )

  r j r

  1

  1 − r j et= (1 − r et) 1 − 1 − /(1 − r et (2.5)

  1

  1

  r

  1 r j

24 Nur Ade Yani

  maka diperoleh _{n − α j} Y r j r

  1 M S (t) = (1 − r 1 et) 1 − 1 − /(1 − r 1 et . (2.6)

  r r j _j

  1 =1

  Dengan fungsi pembangkit kumulan maka dapat ditulis _∞ h i _{− α}

  X _{− k} logM + S (t) = log 1 − r R ξ k (1 − r .

  1 et _{k =1} 1 et)

  selanjutnya dengan memperhatikan kembali M S (t), _∞ ! _{− α}

  X _{− k} M S (t) = 1 − r

  1 et R · exp ξ k (1 − r _k 1 et) _∞ =1

  X −

  (α+k) = R δ k 1 − r . _{k =0}

1 et

  Dengan menjabarkan kembali fungsi pembangkit momen S, diperoleh _{∞ ∞}

  X X _{ts (α+k)} α + k + s − 1 s M s (t) = e R δ k p (1 − p 1 ) .

  1 _{s =0 k} s =0

  Maka sesuai dengan definisi fungsi pembangkit momen, persamaan (3.10) memuat fungsi kepadatan peluang dari S yang dapat ditulis sebagai _∞

  X Γ(α + k + s)

  (α+k) s

  P (S = s) = R δ k p (1 − p

  1 ) . (2.7)

  1 _k Γ(α + k)s! =0

  Selanjutnya akan ditentukan fungsi distribusi kumulatif dari S yang akan di- tentukan dari fungsi kepadatan peluang yang diperoleh pada bahagian sebelumnya. Sehingga untuk menentukannya diberikan dalam suatu akibat dari Teorema 2.1.

  Misalkan Akibat 2.2. Y j , j = 1, 2, · · · , n adalah peubah acak binomial negatif de-

  P n ngan parameter , , (α + k, p ), S = Y j α = α + α + · · · + α n p = max j (p j ) _{− α j}

  1 _{j =1}

  1

  2

  1 Q n q p _{j 1} dan , maka fungsi distribusi kumulatif dari

  R = _j S adalah

  =1 q p j _{1 ∞ s}

  X X Γ(α + ˜ s + k) _{α +k s ˜}

  F S (s) = R δ k p (1 − p )

  1

  1 _{k =0 ˜ s =0} Γ(α + k)˜ s! untuk

  ˜ s = 0, 1, 2, · · · . Bukti.

  Jika F S (s) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi S apabila deret yang dibentuk konvergen seragam, selanjutnya akan dibuktikan deret tersebut kon- vergen seragam dengan menggunakan teorema M-Weierstrass. Perhatikan kembali fungsi distribusi kumulatif peubah acak S _{∞ s}

  X X Γ(α + ˜ s + k) _{α s}

• k ˜

  F S (s) = R δ k p (1 − p

  1 ) . (2.8)

  1 _{k s} Γ(α + k)˜ s! Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif

  25 Notasikan (1 − q p j /q j p ) > 0 untuk j = 2, 3, · · · , n dan untuk i = 1, 2, · · · , η =

  1

  1

  max (1 − q p j /q j p ), dan dari persamaan (2.4)

  2≤j≤n

  1

  1 _{n i}

  X α j (1 − q

  1 p j /q j p 1 )

  |ξ i | = _{j =1 i} i η |ξ i | ≤ α . i! _k

• 1

  X

  1 |δ k | = iξ i δ k

• +1 +1−i

  k + 1 _i

_k

=1

• 1

  X α _i ≤ η |δ k | .

• 1−i

  k + 1 _i

  =1

  Selanjutnya dengan menggunakan induksi akan terlihat α _k

  1 2 +1

  |δ k | ≤ η |δ k | + η |δ k− | + · · · + η |δ |

• 1

  1

  k + 1 _k

• 1

  η α

  (k+1)

  ≤ , (k + 1)!

  Sehingga _{α s}

  ˜

  Γ(˜ s + α)Rp (1 − p )

  1

  1

  pr s ≤ , _s

  ˜ +α

  Γ(α)˜ s!(1 − η) ini berarti bahwa deret dari fungsi distribusi kumulatif memenuhi kekonvergenan seragam.

  Dari Akibat 2.2 dapat disimpulkan bahwa _∞

  X _k Rδ k = 1,

  =0

  dengan kata lain Rδ k adalah suatu fungsi kepadatan peluang dari suatu peubah acak, sehingga S merupakan peubah acak dari distribusi tertentu melalui proses pencampuran peubah-peubah acak, yang dapat dijelaskan pada teorema berikut ini.

  Peubah acak Teorema 2.3. S adalah peubah acak dari distribusi negatif binomial campuran dengan parameter

  (α+K), K adalah peubah acak dengan fungsi kepadatan peluang P (K = k) = Rδ k , k = 0, 1, · · · dimana _{n − α j}

  Y q j p

  1 R = , (2.9)

  q p j _{j =1}

  1

26 Nur Ade Yani

  dan _k

• 1

  X

  1 δ k = iξ i δ k , k = 0, 1, · · · untuk δ = 1. (2.10)

• 1 +1−i

  k + 1 _i

  =1

  3. Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif dengan Parameter yang Sama

  Selanjutnya akan dikaji konvolusi dari peubah acak negatif binomial dengan pa- rameter yang sama, dalam hal ini nilai parameter (α, p) dari setiap kejadian sama. Fungsi pembangkit momen dari peubah acak Y j _t ∼ BN (α, p) adalah _{− α} 1 − qe

  M Y j (t) = . p

  Teorema 3.1. Misalkan adalah peubah acak binomial negatif dengan parameter Y j

  P n ,

  (Λ, p), S = Y j Λ = nα maka fungsi kepadatan peluang dari S adalah _j

  =1

  Γ(s + Λ) _s

  Λ

  P (S = s) = (1 − p) p , Γ(Λ)s! untuk s = 0, 1, 2, · · · dan 0 untuk yang lainnya. _t

  Bukti. Misalkan r = q/p, ˜ t = e − 1 dan Λ = nα, maka fungsi pembangkit momen dari Y j dapat ditulis kembali dalam bentuk _{t − α} 1 − qe M Y (t) = _j p _{− α} = 1 − r˜ t .

  Untuk menentukan fungsi pembangkit momen S digunakan teorema dari fungsi pembangkit momen dari jumlah peubah acak bebas, sehingga fungsi pembangkit momen S dapat ditulis _{− Λ}

  M S (t) = (1 − r˜ t) Selanjutnya akan ditentukan fungsi kepadatan peluang dari S dengan parameter yang sama. _{− Λ}

  M S (t) = (1 − r˜ t)

  Λ t − Λ = p (1 − qe ) .

  Berdasarkan teorema Binomial, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi _{t −}

  Λ Λ

  M S (t) = p (1 − qe ) _∞

  X _{ts s} (s + Λ − 1)!

  Λ = e (1 − P ) p . _{s =0} (Λ − 1)!s! Sehingga fungsi pembangkit momen S memuat fungsi kepadatan peluang dari S. Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif

  27

  4. Kesimpulan Misalkan Y , j = 1, 2, · · · adalah peubah acak yang berdistribusi negatif binomial _j Y , p ), maka fungsi kepadatan peluang Y adalah _{j ∼ BN (α j j j}

  Γ(α j + y) α _{j y} P (Y j = y) = p (1 − p j ) . _j Γ(α j )y!

  Jika S = Y + Y + · · · + Y n adalah jumlah dari peubah acak bebas berdistribusi

  1

  2

  negatif binomial atau disebut juga dengan konvolusi, maka _n Y − α _j

  M S (t) = 1 − r j , _{j =1} et dengan fungsi kepadatan peluang _∞

  X Γ(α + s + k) s _α

• k P (S = s) = R δ k p (1 − p ) .

  1

  1 _k Γ(α + k)s! =0

  ) Dan dari fungsi distribusi yang diperoleh maka distribusi dari S ∼ BN(α + K, p

  1

  adalah jumlah dari peubah acak bebas ninomial negatif dengan jumlah parameter α + K dengan K peubah acak bebas, fungsi kepadatan peluangnya adalah P (K = k) = Rδ k , k = 0, 1, · · · .

  Apabila peubah acak binomial negatif dikonvolusikan dimana parameter setiap peubah acak sama yaitu (α, p) maka fungsi kepadatan peluang adalah Γ(s + Λ) _{s Λ} P (S = s) = (1 − p) p .

  Γ(Λ)s!

  5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Ibu Dr.Maiyastri, Bapak Dr.Muhafzan, Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan dan Ibu Ferra Yanuar yang telah memberikan ma- sukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Bain, L.J. dan M. Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathemat- ical Statistics Second Edition

  . Duxbury Press, California. [2] Barnet, S dan R, G, Cameron. 1985. Introduction to Mathematical Control The- ory Second Edition

  . Clarendon Preess. Oxford. [3] Brown,J.W. dan Churchill, R.V. 1996.Complex Variables and Applications.Ed.

  Ke- 6, Mc. Grawhill, Singapore. [4] Furman, E. 2006. On the convolution of the negative binomial random variables.

  Statistic and probability letters, Elsevier Academic Press, California. [5] Gnedenko, B. V. dan A. N. Kolmogorov. 1968. Limit Distributions for Sums of _nd Independent Random Variables . 2 ed, Addison-Wesley, London. _th [6] Rosen, H. K. 2003. Discrete Mathematics and its Applications. 5 ed. McGraw- Hill, New York.