Aplikasi Analisis Diskriminan Dalam Memilih Perguruan Tinggi Negeri di Sumatera dan Perguruan Tinggi Negeri di Jawa Berdasarkan Persepsi Siswa Kelas XII di SMA Negeri Favorit Kota Medan

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada Bab ini akan dipaparkan beberapa teori tentang analisis diskriminan dari
berbagai sumber seperti: buku, jurnal dan prosiding. Analisis diskriminan adalah
salah satu metode dependensi dari analisis multivariat. Berikut beberapa definisi
dan penelitian terdahulu dari berbagai bidang dengan menggunakan analisis
diskriminan.

2.1. Analisis Multivariat

Menurut Johnson dan Wichern (2007) Analisis statistika multivariat merupakan
analisis statistika yang digunakanpada data yang memiliki lebih dari dua variabel
secara bersamaan, denganmenggunakan teknik analisis multivariat maka dapat
menganalisis pengaruh beberapavariabel terhadap variabel-variabel lainnya dalam
waktu yang bersamaan. Teknikanalisis multivariat berdasarkan karakteristiknya
dapat dibagi menjadi dua yaituteknik dependensi dan teknik interdependensi.
Teknik dependensi merupakan teknikyang digunakan untuk melihat pengaruh atau
memprediksi variabel dependenberdasarkan beberapa variabel independen yang
mempengaruhi. Analisis multivariat yang termasuk teknik dependensi yaitu

analisis regresi berganda, analisisdiskriminan, analisis konjoin, manova, mancova,
anova, ancova, dan korelasikanonik. Teknik interdependensi merupakan teknik
yang digunakan untukmengelompokkan atau mereduksi beberapa variabel
menjadi variabel baru yang lebihsedikit, tetapi tidak mengurangi informasi yang
terkandung dalam variabel asli.Analisis multivariat yang termasuk teknik
interdependensi

adalah

analisis

klaster,penskalaan

multidimensi,

analisis

kanonikal, dan analisis faktor.Analisis multivariat menuntut uji asumsi, data yang
akan dianalisis harus berasal dari populasi yang berdistribusi normal multivariat
dan matrik varians kovarians antar populasi adalah sama.Menurut Johnson dan

Wichern (2007) untuk menguji distribusi normal multivariat adalah dengan

Universitas Sumatera Utara

mencari nilai jarak Mahalanobis dengan Khi-kuadrat � 2 � �(� − 0,5)/��. Jarak

Mahalanobis merupakan jarak statistik yang memperhitungkan korelasi atau
kovarians antar variabel. Dengan rumus sebagai berikut:
��2 = (�� − �̅ )� −1 (�� − �̅ )

(2.1)

dimana;

� = 1,2,…,�

�1 , �2 , �3 , … , �� = vektor pengamatan

� −1 = inverse matriks varians kovarians

Kriteria pemenuhan asumsi dilakukan secara visual yaitu jika plot membentuk
garis lurus berarti data dapat didekati dengan sebaran normal.Statistika
ujidiperlukan untuk menguji homogenitas matriks varians kovarians dengan
hipotesis H0 : ∑1 = ∑2 = ⋯ = ∑g = ∑0 dan H1 : ada paling sedikit satu diantara
sepasang ∑� yang tidak sama. Jika dari masing-masing populasi diambil sampel

acak berukuran n yang saling bebas maka penduga tak bias untuk ∑� adalah

matriks �� sedangkan untuk ∑0 penduga tak biasnya adalah S. dengan rumus

sebagai berikut:
�=

1 �
∑ (�
� �=1 �

− 1)��

�

(2.2)
�

� = ∑�=1(�� − 1) ln|�| − ∑�=1(�� − 1) ln|�� |
� −1 = 1 −

Daerah

(2.3)

1
1
2� 2 +3�−1
�
�∑�=1 (� −1) − ∑� (�
�
6(�+1)(�−1)
�
�=1 � −1)

penolakan

untuk

hipotesis

(2.4)

nol

dapat

dihampiri

dengan

2
menggunakan sebaran Khi kuadrat yaitu:�� −1 > ��,��
.Dengan bantuan program

SPSS, uji homogenitas matriks varians-kovarians dapat dilakukan dengan Uji
Bo x’s M. Jik a nilai sig. > α, mak a H0 diterima sehingga dapat disimpulkan
matriks varians-kovarians dari l-populasi adalah sama atau homogen.

2.2. Analisis Diskriminan

Universitas Sumatera Utara

Analisis diskriminan pertama kali dikembangkan oleh Ronald A. Fisher pada
tahun 1936 sebagai suatu teknik statistika yang diterapkan dalam bidang
taksonomi.Analisis diskriminan adalah salah satu teknik yang digunakan untuk
menjelaskan atau memprediksi variabel terikat berdasarkan dua atau lebih variabel
bebas dengan mengklasifikasikan objek beberapa kelompok. Dengan tujuan untuk
mengetahui apakah ada perbedaan yang jelas antar kelompok pada variabel
dependen. Jika ada, variabel independen mana pada fungsi diskriminan yang
membuat perbedaan tersebut. Pengelompokkan analisis diskriminan ini terjadi
karena ada pengaruh satu atau lebih variabel lain yang merupakan variabel
independen. Analisis diskriminan sangat berguna di antaranya untuk menjelaskan
segmen

pelanggan,

mengidentifikasi

karakteristik

kritis

yang

mampu

membedakan keduanya dan penggolongan calon pelanggan ke dalam segmen
yang sesuai. Meskipun penggunaan paling umum analisisdiskriminan adalah
untuk mengklasifikasikan orang atau objek menjadi berbagai kelompok, analisis
diskriminan dapat juga dipergunakan untuk menganalisis kelompok-kelompok
yang diketahui untuk menentukan pengaruh relatif dari faktor-faktor tertentu
sehingga dapat digunakan untuk memutuskan pengelompokkan (Rully dan Poppy,
2014).

Menurut Johnson dan Wichern (2007) tujuan dari analisis diskriminan
adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam
populasi yang diketahui, baik secara grafis maupun aljabar dengan membentuk
fungsi diskriminan. dengan kata lain, analisis diskriminan digunakan untuk
mengklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Analisis diskriminan bermanfaat pada situasi di mana sampel total dapat dibagi
menjadi grup-grup berdasarkan karateristik variabel yang diketahui dari beberapa
kasus. Tujuan utama dari analisis multipel diskriminan adalah untuk mengetahui
perbedaan antar grup. Model analisis diskriminan berkenaan dengan kombinasi
linier disebut juga fungsi diskriminan. Dengan fungsi diskriminan sebagai berikut:
� = �1 �1 + �2 �2 + … + �� ��

(2.5)

keterangan:

Universitas Sumatera Utara

�= nilai (skor) diskriminan
p = 1, 2, 3,..,n

�� = koefisien atau timbangan diskriminan dari variabel ke-p

�� = variabel independen ke-p

Menurut Supranto (2010) analisis diskriminan merupakan teknik

menganalisis data, kalau variabel tak bebas (disebut criterion) merupakan kategori
(non-metrik, nominal atau ordinal, bersifat kualitatif) sedangkan variabel bebas
sebagai prediktor merupakan metrik (interval atau rasio, bersifat kuantitatif).
Teknik analisis diskriminan dibedakan menjadi dua yaitu analisis diskriminan dua
kelompok/kategori, kalau variabel tak bebas Y dikelompokkan menjadi dua.
Diperlukan satu fungsi diskriminan. Kalau variabel tak bebas dikelompokkan
menjadi lebih dari dua kelompok disebut analisis diskriminan berganda (multiple
discriminant analysis) diperlukan fungsi diskriminan sebanyak (k - 1) kalau
memang ada k kategori.
Analisis diskriminan banyak digunakan di berbagai bidang, terutama di
bidangpendidikan, kesehatan, ekonomi, sosial dan lain-lain. Berikut ada beberapa
penelitian dengan menggunakan analisis diskriminan. Pada bidang pendidikan,
penelitian dilakukan oleh Yuli (2012) dan mengemukakan bahwa dari hasil

penelitiannya tentang analisis diskriminan diketahui bahwa faktor-faktor yang
menjadi pertimbangan mahasiswa dalam memilih Prodi Matematika FMIPA dan
FKIP yaitu faktor kapasitas prodi dan motivasi dunia kerja yang signifikan dapat
membedakan pemilihan Prodi Matematika. Dari fungsi diskriminan ini,
selanjutnya dilakukan pengklasifikasian dengan mengacu pada konsep jarak
bahwa pengklasifikasian suatu objek dipilih dari jarak objek pengamatan terhadap
vektor rataanya yang terdekat atau terkecil pada masing-masing Prodi Matematika
atau dengan mencari nilai pemisah. Dan hasil pengklasifikasian tersebut, data
yang telah terklasifikasikan dengan benar sebesar 64,15% dari 85 data yang diolah
telah dimasukkan pada kelompok yang sesuai dengan data semula.
Marino (2014) mengemukakan bahwa penelitian yang dilakukan dalam
membandingkan analisis diskriminan linier, diskriminan linier robust dan regresi

Universitas Sumatera Utara

logistik biner untuk mengelompokkan siswa SMA Negeri 1 Bangorejo ke dalam
kelompok IPA/IPS. Dari hasil simulasi ditunjukkan bahwa regresi logistik biner
mempunyai ketepatan klasifikasi yang paling baik sebesar 85,714%. Penelitian ini
menggunakan beberapa jenis analisis diskriminan dengan membandingkan hasil
terbaik dari beberapa analisis yang dilakukan.

Penelitian yang telah dilakukan oleh Dewi dan Kania (2009) bahwa hasilhasil penelitian tentang Linear Discriminant Analysis (LDA) maupun Quadratic
Discriminant Analysis (QDA) kebanyakan menggunakan metode Apparent Error
Rate (APER) dalam mengevaluasi aturan pengelompokkan dalam analisis
diskriminan. Oleh karena itu, pada penelitian ini diterapkan suatu metode yang
disebut Prosedur Lanchenbruch, untuk mengatasi hal tersebut. Pada prosedur ini
sampel dibagi menjadi dua bagian yaitu training sample dan validating
sample.Prosedur Lachenbruch ini diterapkan pada data dua spesies lalat pengigit
(biting fly) dengan genus Leptoconos, yang sama secara morfologi dan selama
beberapa tahun kedua spesies ini dianggap sama. Hasil analisis QDA terhadap
data ini menunjukkan bahwa kedua spesies ternyata berbeda. Setelah diterapkan
prosedur Lachenbruch pada data biting fly, diperoleh hasil dengan nilai APER
lebih tinggi dari nilai AER.
Pada bidang komputasi penelitian dilakukan oleh Dian (2014) yang
menyimpulkan bahwa permasalahan yang diangkat dalam penelitiannya adalah
adanya metode klasifikasi selain metode analisis diskriminan. Penelitian ini
bertujuan untuk membandingkan hasil klasifikasi antara analisis diskriminan yang
merupakan metode statistika dan metode jaringan syaraf tiruan menggunakan
metode Learning Vector Quantization. Klasifikasi dengan metode analisis
diskriminan menggunakan fungsi diskriminan dan skor diskriminan. Sedangkan
klasifikasi dengan metode Learning Vector Quantization menggunakan arsitektur
jaringan optimal dengan menentukan MSE terkecil dari arsitektur jaringan yang
dibentuk tanpa ada asumsi yang harus dipenuhi. Secara keseluruhan dapat
disimpulkan bahwa kedua metode sama baiknya untuk klasifikasi sesuai uji t.
Metode Learning Vector Quantizationbisa digunakan sebagai alternatif untuk

Universitas Sumatera Utara

klasifikasi apabila syarat kesamaan vektor rata-rata pada analisis diskriminan
tidak terpenuhi.
Sistem sensor robot selalu didukung oleh sistem komputer yang dikenal
“visi komputer”. Konsep penting dalam visi komputer adalah klasifikasi objek.
Dalam kajian ini, dua buah algoritma untuk klasifikasi objek akan dibandingkan
yaitu metode pohon keputusan biner dan metode yang formal dengan deskiptor
yang bervariasi tinggi. Dalam penelitian ini digunakan metode analisis
diskriminan sebagai alternatif untuk klasifikasi objek. Metode ini dijalankan
dengan fungsi diskriminan fisher untuk memisahkan objek. Dalam penelitian ini
ditunjukkan bahwa analisis diskriminan dapat mengklasifikasikan objek dengan
lebih baik dari pada metode pohon keputusan biner. Kelebihan ini ditunjukkan
terutama pada objek yang mengalami noise (Amir, 2002).

2.3. Eigenvalue dan Eigenvector

Matriks indentitas adalah matriks diagonal di mana nilai elemen diagonal
utamanya masing-masing adalah satu sedangkan nilai elemen off-diagonalnya
adalah sama dengan nol. Matriks indentitas memiliki sifat seperti angka satu.
Artinya, jika matriks identitas dengan matriks lain (asal dimensinya terpenuhi)
maka hasil kalinya akan tetap sama dengan nilai semua matriks tersebut. Contoh
matriks indentitas:
1 0
�
�= �
0 1

1
� = �0
0

0 0
1 0�
0 1

Jika A adalah matriks m x m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaansebagai
berikut:
Ax = �x

(2.6)

Untuk m×1 vektor x ≠ 0, disebut eigenvalue dari A. Vektor x disebut eigenvektor

dari A yang berhubungan dengan eigenvalue �. Persamaan (2.11) dapat juga
ditulis sebagai berikut:
(A - ��)x = 0

(2.7)

Universitas Sumatera Utara

Persamaan (2.12) disebut juga sistem persamaan linier homogen.Setiap nilai
eigenvalue � harus memenuhi persamaan determinan yang dikenal sebagai

persamaan karakteristik A sebagai berikut:
|� − ��|= 0

(2.8)

Dengan contoh sebagai berikut:
3
3 2
�, maka � − �� = �
�= �
4
4 1

1
2
�− ��
0
1

0
3− �
�= �
1
4

|� − ��| = (3 − � )(1 − �) − 2(4) = �2 − 4� − 5

2
�
1− �

Akar persamaan tersebut adalah � = 5 dan � = −1. Untuk mendapatkan

eigenvector X terkait dengan � = 5, mensubstitusikan nilai eigenvalue tersebut

pada persamaan berikut ini:

0
1 0 �1
(� − ��)� = 0 atau ��3 2� − 5 �
�� �� � = � �
0
0 1
2
4 1
�
1
0
−2 2
� � � = � � → −2�1 + 2�2 = 0
Atau �
0
4 −4 �2
4�1 − 4�2

= 0

Dari persamaan baris pertama diatas telah diketahui bahwa �1 = �2 , maka

eigenvector yang terkait dengan � = 5 adalah
�1
�1
1
� = �� � = �� � = �2 � � dengan nilai �2 bersifat arbitrer (atau matriks �2 sama
1
2
2

dengan matriks �1 )

Ada beberapa sifat istimewa eigenvalue dan eigenvector antara lain:
1. Jumlah eigenvalue sama dengan trace matriks yang bersangkutan. Dari contoh
di atas jumlah eigenvalue adalah 5 -1 = 4 sama dengan trace matriks A = 3 + 1
=4
2. Suatu matriks ataupun transposenya memiliki eigenvalue yang sama. Artinya
baik untuk matriks A di atas ataupun AT memiliki eigenvalue 5 dan -1. Maka
AT = 4
3. Hasil kali eigenvalue-eigenvalue suatu matriks sama dengan determinan
matriks tersebut. Hasil kali eigenvalue matriks A sama dengan 5(-1) = -5
Determinan A = 3(1) – 2(4) = -5

Universitas Sumatera Utara

2.4. Matriks VariansKovarians

Beberapa analisis statistika multivariat seperti aanalisis diskriminan dan
MANOVA membutuhkan syarat matriks varians-kovarians yang homogen. Untuk
menguji syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipotesis dan statistik
uji Box-M adalah (Rencher, 1995) :
Ho : Σ1 = Σ 2 = ... = Σ k

H1 : ∃Σ i ≠ Σ j untuk i ≠ j

Statistik uji

1
1 k
2
= −2(1 − c1 )  ∑ vi ln S i − ln S pool
χ hitung
2
 2 i =1

dimana,

∑v S

∑ v 


k

ii =1

(2.9)

i

k

S pool =

i =1
k

i

∑v
i =1

i

(2.10)

i



k 1
1  2 p 2 + 3 p − 1 


=
−
c1
∑
 v i = ni − 1
k
  6( p + 1)(k − 1) 
 i =1 vi
vi 
∑

i =1



(2.11)

Terima hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika
2
χ hitung
≤ χ 12
2

( k −1) p ( p +1

2.5. Uji Signifikansi Dengan Wilk’s Lambda

Dengan menggunakan rumus Wilk’sLambda (Λ) sebagai berikut (Gudono, 2015):
Λ=

SS �
SS �

��� = ∑2�=1 ∑��=1(��.� − ���
�� )2
� 2
��� = ∑�
�=1(�� − � )

(2.12)
(2.13)
(2.14)

keterangan:

��� = nilai varians dari matriks �����

Universitas Sumatera Utara

��� = nilai varians dari matriks �����

�
�

�
��

��

= referensi grup

= jumlah sampel dalam suatu grup
= jumlah semua sampel
= rata-rata X pada sebuah grup
= rata-rata keseluruhan sampel (grand-mean)

Dalam pengujian statistik semakin kecil skor tes Wilk’s Λ, maka semakin besar
probabilitas hipotesis nol akan ditolak. Skor Wilk’s Λ dapat dikonversi menjadi

nilai F agar dapat ditafsirkan signifikansi statistiknya dengan lebih mudah
menggunakan rumus (Gudono, 2015):
�= �

1− Λ

keterangan:

Λ

��

� 1 +� 2 − �−1
�

�

(2.15)

� = jumlah variabel yang sedang diuji

Λ = nilai Wilk’s Lambda

2.6. Uji Klasifikasi Fungsi Diskriminan
Kriteria perbandingan teknik klasifikasi didasarkan pada kesalahan klasifikasinya
yang dikenal dengan Apparent Error Rate (APER) merupakan nilai dari besar
kecilnya jumlah observasi yang salah dalam pengklasifikasian berdasarkan suatu
fungsi klasifikasi (Johnson dan Wichern, 2007).Adapun APER dihitung dengan
terlebih dahulu membuat tabel klasifikasi sebagai berikut:
Klasifikasi actual dan predicted group
Predicted group

Actual group
�0
�1

�10

Sumber: Johnson and Wichern (2007)

���� =

�0
�00
= �1 − �11

�1
�01 = �0 − �00
�11

� 01 + � 10

(2.16)

�0+ �1

Sedangkan ketepatan prediksi pengelompokkan secara tepat dapat menggunakan
rumus hit ratio.
��� ����� =

� 00 + � 11
�0+ �1

� 100

(2.17)

Universitas Sumatera Utara