Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI
Matematika Dasar
INTEGRAL RANGKAP DUA
{
Misal
diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,
}
D = ( x , y ) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk
menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di
bawah oleh D dilakukan sebagai berikut.
Bagi daerah D menjadi sub
persegi panjang yang berukuran ∆xi dan
Y
d
∆yi
c
∆xi
a
b
X
∆yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi
panjang, misal titik potong diagonal
( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun
ruang yang dibatasi di atas oleh
z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub
persegi panjang. Bangun ruang ( partisi
) tersebut akan mendekati bangun balok
dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita
dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah
hasilkali luas alas ( ∆Ai = ∆xi ∆yi ) dan
tinggi
( f ( xi,yi ) ), yakni
Vi = f ( xi,yi ) ∆Ai . Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam
bentuk :
n
n
i =1
i =1
∑ Vi = ∑ f (xi , yi ) ∆Ai .
Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan
volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila
diambil sebanyak tak hingga partisi atau n → ∞ , yakni :
V = lim
n
∑
n→∞ i =1
f ( xi , yi ) ∆Ai
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:
∫∫ f ( x , y )
D
dA = lim
n
∑
n →∞ i =1
f (xi , yi ) ∆Ai
Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :
1.
∫∫ [a f ( x , y) + bg( x, y )] dA = a ∫∫ f ( x, y ) dA + b ∫∫ g( x, y ) dA
D
D
2. Bila D = B ∪ C dan B ∩ C = ∅ maka
D
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f ( x , y ) dA + ∫∫ f ( x , y ) dA
D
B
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
C
Matematika Dasar
Iterasi Integral
Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f (
persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut.
Luas
tegak lurus
Z
c ≤ y ≤
x,y ) atas daerah berbentuk
penampang benda yang
terhadap sumbu Y dengan
d , misal A(yi) adalah
b
A( yi ) =
z
∫ f ( x , y) dx .
a
Volume
bangun
ruang
merupakan
n
c
jumlah volume :
d
a
Y
b
∆y
X
∑ A(yi ) ∆y
i =1
untuk
n → ∞.
Oleh karena itu, integral rangkap dua
dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat
diselesaikan dengan cara berikut :
d b
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ A( y) dy = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx .
D
c
c a
d
Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua
dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :
b d
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y ) dx dy
D
a c
Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.
Contoh 1
Hitung integral ∫∫ f ( x , y ) dA bila
D
{
}
a. f ( x , y ) = 2 xy dan D = ( x , y ) 0 < x < 2 ,1 < y < 3
b. f ( x , y ) = x 2 dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x = -1, x = 1 , y = 0 , y =
1.
Jawab :
3
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 xy dy dx = ∫ x ∫ 2 y dy dx = 16
D
01
0 1
23
2
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2
b. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫ x 2 dx dy =
3
D
0 −1
0 −1
1 1
1 1
2
Integral Rangkap atas Daerah Sembarang
Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap
dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D
yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu:
f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈R
g( x , y ) =
0 ; ( x, y ) ∈D − R
Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua
dari f ( x,y ) atas R, dituliskan :
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ g( x , y ) dA
R
D
Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah
sembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung
integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang.
Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu
:
{
}
1. Tipe I, R = ( x , y) a ≤ x ≤ b , v ( x) ≤ y ≤ w( x )
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :
b w (x)
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx
R
a v( x)
{
}
2. Tiep II, R = ( x , y) g ( y ) ≤ x ≤ h ( y ), c ≤ y ≤ d
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R ditlusikan dengan :
∫∫
R
f ( x , y ) dA =
d h ( y)
dy
f
(
x
,
y
)
dx
∫ ∫
c g ( y)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Y
Y
g(y)
w(x)
h(y)
d
v(x)
c
O
X
a
b
O
X
Tipe I
Tipe II
Contoh 2
Hitung integral ∫∫ f ( x, y ) dA bila
R
{
}
a. f ( x , y ) = 2 x dan R = ( x, y ) 0 < x < 1, x < y < − x 2 + 1
b. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x2 , sumbu
X.
Jawab :
− x 2 +1
1
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 x dy dx = ∫ 2 x ∫
dy dx = −
6
R
0
x
0
x
b. Daerah R dapat dituliskan menjadi :
1 − x 2 +1
1
{
}
i. R1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x 2 atau
{
ii. R2 = ( x , y )
}
y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4
32
Untuk R1 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dy dx = ∫ ∫ 2 y dy dx =
5
R1
0 0
0 0
2 x2
2 x2
2
32
Untuk R2 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dx dy = ∫ 2 y ∫ dx dy =
5
R2
0 y
0
y
4 2
4
Perubahan Urutan Integrasi
Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan
kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa
yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan
terhadap x ).
4 2
∫ ∫
mengintegralkan terhadap y kemudian
2
e y dy dx
0 x2
Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral
dituliskan dalam bentuk :
∫∫
2
e y dA
R
x
maka R = ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ 2 . Daerah R digambarkan berikut :
2
Daerah R dapat juga dinyatakan dengan :
R = ( x , y) 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 y
{
Y
}
Oleh karena itu, nilai integral dari :
4 2
2
∫ ∫
R
O
0 x2
4
2
e y dy dx =
2 2y
∫ ∫
0 0
X
Contoh 3
Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut
2
2 y
a. ∫ ∫ f ( x , y) dx dy
0 0
0
b. ∫
x2
∫ f ( x , y) dy dx
−1 − x 2
Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2
e y dx dy
Matematika Dasar
{
}
{
}
a. Misal R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 2 . Maka R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤
2 y2
4 2
0 0
0 x
x .
Jadi ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx .
{
}
b. Misal R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0, − x 2 ≤ y ≤ x 2 .
{
} {
}
Maka R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ − − y , − 1 ≤ y ≤ 0 ∪ ( x , y ) − 1 ≤ x ≤ − y , 0 ≤ y ≤ 1
0
x2
−1
−x 2
Jadi ∫
0 − −y
∫ f ( x , y) dy dx = ∫
−1
∫
−1
1 − y
f ( x , y) dx dy + ∫
∫
f ( x , y ) dx dy
0 −1
Koordinat Kutub
Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x
dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan
perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ).
Misal ( x,y ) merupakan titik pada
koordinat cartesius. Maka dalam koordinat
kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ
dan y = r sin θ.
• (x,y)
Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas
daerah R dapat dituliskan :
r
y
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f (r cosθ, r sinθ) dA
R
R
= ∫∫ F (r ,θ) dA
θ
O
x
R
Sumbu Polar
Dalam koordinat cartesius, dA = dx
dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam
dalam koordinat kutub : dA = | J(r,θ) | dr dθ atau dA = | J(r,θ) | dθ dr dengan
∂x
r
J ( r ,θ) = ∂
∂y
∂r
∂x
∂θ = cos θ − r sinθ = r disebut determinan Jacobi dari r dan θ.
∂y
sinθ r cosθ
∂θ
Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :
∫∫
R
f ( x , y) dA =
∫∫ F ( r, θ)
R
J ( r, θ) dr dθ =
∫∫ F ( r ,θ) r dr dθ
R
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh 4
1
Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan ∫
1− x2
∫
x dy dx
0 − 1− x 2
Jawab :
{
}
R = ( x , y) 0 ≤ x ≤1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .
Misal
setengah lingkaran dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan
1− x2
1
Jadi ∫
∫
−π
π
≤θ≤ .
2
2
Maka
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut :
1.
∫∫ (1 + 8xy ) dA ; D = {( x , y ) 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2}
D
2.
∫∫ ( 4 xy 3) dA ; D = {( x , y ) − 1 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 2}
D
xy
dA ; D =
3. ∫∫
2
2
D x + y + 1
4.
{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}
∫∫ ( x sin y − y sin x ) dA ; D = ( x , y ) 0 ≤ x ≤
D
2 3
5.
π
π
,0 ≤ y ≤
2
3
∫ ∫ (2 x − xy ) dx dy
1 0
π 2
6.
∫ ∫ x cos ( xy ) dy dx
π
2
1
( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut :
1 x
7.
∫ ∫
merupakan
1
π/ 2
2
2
2
r
cos
θ
d
θ
dr
=
r
∫
∫ ∫ cosθ dθ dr = 3
−π / 2
0 − π/ 2
0
1 π/ 2
x dy dx = ∫
0 − 1− x 2
R
xy 2 dy dx
0 x2
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
daerah
Matematika Dasar
2
3 9− y
8.
∫
∫
0
0
x3
2π
9.
y dx dy
∫
∫
π
π
10.
0
y
dy dx
x
2
2 x
∫ ∫ ( x 2 − y 2 ) dy dx
0
2
11.
sin
0
y2
x
2
e y dx dy
∫ ∫
1 0
12.
∫∫ 6xy dA
2
; R daerah dibatasi oleh y = 0, x = 2 dan y = x .
R
13.
∫∫ xy
dA
; R merupakan trapesium dengan titik sudut ( 1,3 ), ( 5,3 ) , ( 2,1 ) dan (
R
4,1 ).
14. ∫∫ x cos ( xy) dA ; R daerah dibatasi oleh x = 1, x = 2, y = ½π dan y = 2π / x.
R
15.
∫∫ ( x + y )
dA ; R daerah dibatasi oleh y = x 2 dan y = x
R
16.
∫∫ xy 2 dA
; R daerah dibatasi oleh y =1, y = 2, x = 0 dan y = x.
R
( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan
integrasinya terlebih dahulu.
1 4
17.
2
e− y dy dx
∫ ∫
0 4x
2 1
18.
∫ ∫
0 y
2
4 2
19.
( )
cos x 2 dx dy
∫ ∫
3
e x dx dy
0 y
3 ln x
20.
∫ ∫
1
x dy dx
0
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
1 cos−1 x
21.
∫
∫
0
1
22.
x dy dx
0
π
∫
2
sec 2 (cos x ) dx dy
∫
0 sin− 1 x
( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub )
23.
∫∫ ex
2
+ y 2 dA ; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4
R
24.
∫∫
2
2
4 − x 2 − y 2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
R
y = 0 dan y = x.
1
2
2
25. ∫∫
2
2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
R 4+ x + y
y = 0 dan y = x.
26.
∫∫ y dA
2
2
2
R
kuadran pertama.
1 1− x2
27.
28.
∫
∫
0
0
1
1− y 2
0
0
∫
2
29.
∫
1
∫
2 x− x2
∫
0
2
; R daerah di dalam x + y = 4 dan di luar x + y = 1 yang terletak di
(
4 − x2 − y2
(
)
−1
2
dy dx
)
sin x 2 + y 2 dx dy
( x 2 + y 2)
−1
2
dy dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL RANGKAP DUA
{
Misal
diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,
}
D = ( x , y ) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk
menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di
bawah oleh D dilakukan sebagai berikut.
Bagi daerah D menjadi sub
persegi panjang yang berukuran ∆xi dan
Y
d
∆yi
c
∆xi
a
b
X
∆yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi
panjang, misal titik potong diagonal
( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun
ruang yang dibatasi di atas oleh
z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub
persegi panjang. Bangun ruang ( partisi
) tersebut akan mendekati bangun balok
dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita
dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah
hasilkali luas alas ( ∆Ai = ∆xi ∆yi ) dan
tinggi
( f ( xi,yi ) ), yakni
Vi = f ( xi,yi ) ∆Ai . Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam
bentuk :
n
n
i =1
i =1
∑ Vi = ∑ f (xi , yi ) ∆Ai .
Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan
volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila
diambil sebanyak tak hingga partisi atau n → ∞ , yakni :
V = lim
n
∑
n→∞ i =1
f ( xi , yi ) ∆Ai
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:
∫∫ f ( x , y )
D
dA = lim
n
∑
n →∞ i =1
f (xi , yi ) ∆Ai
Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :
1.
∫∫ [a f ( x , y) + bg( x, y )] dA = a ∫∫ f ( x, y ) dA + b ∫∫ g( x, y ) dA
D
D
2. Bila D = B ∪ C dan B ∩ C = ∅ maka
D
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f ( x , y ) dA + ∫∫ f ( x , y ) dA
D
B
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
C
Matematika Dasar
Iterasi Integral
Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f (
persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut.
Luas
tegak lurus
Z
c ≤ y ≤
x,y ) atas daerah berbentuk
penampang benda yang
terhadap sumbu Y dengan
d , misal A(yi) adalah
b
A( yi ) =
z
∫ f ( x , y) dx .
a
Volume
bangun
ruang
merupakan
n
c
jumlah volume :
d
a
Y
b
∆y
X
∑ A(yi ) ∆y
i =1
untuk
n → ∞.
Oleh karena itu, integral rangkap dua
dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat
diselesaikan dengan cara berikut :
d b
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ A( y) dy = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx .
D
c
c a
d
Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua
dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :
b d
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y ) dx dy
D
a c
Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.
Contoh 1
Hitung integral ∫∫ f ( x , y ) dA bila
D
{
}
a. f ( x , y ) = 2 xy dan D = ( x , y ) 0 < x < 2 ,1 < y < 3
b. f ( x , y ) = x 2 dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x = -1, x = 1 , y = 0 , y =
1.
Jawab :
3
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 xy dy dx = ∫ x ∫ 2 y dy dx = 16
D
01
0 1
23
2
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2
b. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫ x 2 dx dy =
3
D
0 −1
0 −1
1 1
1 1
2
Integral Rangkap atas Daerah Sembarang
Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap
dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D
yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu:
f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈R
g( x , y ) =
0 ; ( x, y ) ∈D − R
Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua
dari f ( x,y ) atas R, dituliskan :
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ g( x , y ) dA
R
D
Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah
sembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung
integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang.
Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu
:
{
}
1. Tipe I, R = ( x , y) a ≤ x ≤ b , v ( x) ≤ y ≤ w( x )
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :
b w (x)
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ f ( x , y) dy dx
R
a v( x)
{
}
2. Tiep II, R = ( x , y) g ( y ) ≤ x ≤ h ( y ), c ≤ y ≤ d
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R ditlusikan dengan :
∫∫
R
f ( x , y ) dA =
d h ( y)
dy
f
(
x
,
y
)
dx
∫ ∫
c g ( y)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Y
Y
g(y)
w(x)
h(y)
d
v(x)
c
O
X
a
b
O
X
Tipe I
Tipe II
Contoh 2
Hitung integral ∫∫ f ( x, y ) dA bila
R
{
}
a. f ( x , y ) = 2 x dan R = ( x, y ) 0 < x < 1, x < y < − x 2 + 1
b. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x2 , sumbu
X.
Jawab :
− x 2 +1
1
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 x dy dx = ∫ 2 x ∫
dy dx = −
6
R
0
x
0
x
b. Daerah R dapat dituliskan menjadi :
1 − x 2 +1
1
{
}
i. R1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x 2 atau
{
ii. R2 = ( x , y )
}
y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4
32
Untuk R1 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dy dx = ∫ ∫ 2 y dy dx =
5
R1
0 0
0 0
2 x2
2 x2
2
32
Untuk R2 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dx dy = ∫ 2 y ∫ dx dy =
5
R2
0 y
0
y
4 2
4
Perubahan Urutan Integrasi
Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan
kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa
yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan
terhadap x ).
4 2
∫ ∫
mengintegralkan terhadap y kemudian
2
e y dy dx
0 x2
Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral
dituliskan dalam bentuk :
∫∫
2
e y dA
R
x
maka R = ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ 2 . Daerah R digambarkan berikut :
2
Daerah R dapat juga dinyatakan dengan :
R = ( x , y) 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 y
{
Y
}
Oleh karena itu, nilai integral dari :
4 2
2
∫ ∫
R
O
0 x2
4
2
e y dy dx =
2 2y
∫ ∫
0 0
X
Contoh 3
Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut
2
2 y
a. ∫ ∫ f ( x , y) dx dy
0 0
0
b. ∫
x2
∫ f ( x , y) dy dx
−1 − x 2
Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2
e y dx dy
Matematika Dasar
{
}
{
}
a. Misal R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 2 . Maka R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤
2 y2
4 2
0 0
0 x
x .
Jadi ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx .
{
}
b. Misal R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0, − x 2 ≤ y ≤ x 2 .
{
} {
}
Maka R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ − − y , − 1 ≤ y ≤ 0 ∪ ( x , y ) − 1 ≤ x ≤ − y , 0 ≤ y ≤ 1
0
x2
−1
−x 2
Jadi ∫
0 − −y
∫ f ( x , y) dy dx = ∫
−1
∫
−1
1 − y
f ( x , y) dx dy + ∫
∫
f ( x , y ) dx dy
0 −1
Koordinat Kutub
Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x
dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan
perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ).
Misal ( x,y ) merupakan titik pada
koordinat cartesius. Maka dalam koordinat
kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ
dan y = r sin θ.
• (x,y)
Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas
daerah R dapat dituliskan :
r
y
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f (r cosθ, r sinθ) dA
R
R
= ∫∫ F (r ,θ) dA
θ
O
x
R
Sumbu Polar
Dalam koordinat cartesius, dA = dx
dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam
dalam koordinat kutub : dA = | J(r,θ) | dr dθ atau dA = | J(r,θ) | dθ dr dengan
∂x
r
J ( r ,θ) = ∂
∂y
∂r
∂x
∂θ = cos θ − r sinθ = r disebut determinan Jacobi dari r dan θ.
∂y
sinθ r cosθ
∂θ
Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :
∫∫
R
f ( x , y) dA =
∫∫ F ( r, θ)
R
J ( r, θ) dr dθ =
∫∫ F ( r ,θ) r dr dθ
R
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh 4
1
Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan ∫
1− x2
∫
x dy dx
0 − 1− x 2
Jawab :
{
}
R = ( x , y) 0 ≤ x ≤1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .
Misal
setengah lingkaran dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan
1− x2
1
Jadi ∫
∫
−π
π
≤θ≤ .
2
2
Maka
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut :
1.
∫∫ (1 + 8xy ) dA ; D = {( x , y ) 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2}
D
2.
∫∫ ( 4 xy 3) dA ; D = {( x , y ) − 1 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 2}
D
xy
dA ; D =
3. ∫∫
2
2
D x + y + 1
4.
{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}
∫∫ ( x sin y − y sin x ) dA ; D = ( x , y ) 0 ≤ x ≤
D
2 3
5.
π
π
,0 ≤ y ≤
2
3
∫ ∫ (2 x − xy ) dx dy
1 0
π 2
6.
∫ ∫ x cos ( xy ) dy dx
π
2
1
( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut :
1 x
7.
∫ ∫
merupakan
1
π/ 2
2
2
2
r
cos
θ
d
θ
dr
=
r
∫
∫ ∫ cosθ dθ dr = 3
−π / 2
0 − π/ 2
0
1 π/ 2
x dy dx = ∫
0 − 1− x 2
R
xy 2 dy dx
0 x2
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
daerah
Matematika Dasar
2
3 9− y
8.
∫
∫
0
0
x3
2π
9.
y dx dy
∫
∫
π
π
10.
0
y
dy dx
x
2
2 x
∫ ∫ ( x 2 − y 2 ) dy dx
0
2
11.
sin
0
y2
x
2
e y dx dy
∫ ∫
1 0
12.
∫∫ 6xy dA
2
; R daerah dibatasi oleh y = 0, x = 2 dan y = x .
R
13.
∫∫ xy
dA
; R merupakan trapesium dengan titik sudut ( 1,3 ), ( 5,3 ) , ( 2,1 ) dan (
R
4,1 ).
14. ∫∫ x cos ( xy) dA ; R daerah dibatasi oleh x = 1, x = 2, y = ½π dan y = 2π / x.
R
15.
∫∫ ( x + y )
dA ; R daerah dibatasi oleh y = x 2 dan y = x
R
16.
∫∫ xy 2 dA
; R daerah dibatasi oleh y =1, y = 2, x = 0 dan y = x.
R
( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan
integrasinya terlebih dahulu.
1 4
17.
2
e− y dy dx
∫ ∫
0 4x
2 1
18.
∫ ∫
0 y
2
4 2
19.
( )
cos x 2 dx dy
∫ ∫
3
e x dx dy
0 y
3 ln x
20.
∫ ∫
1
x dy dx
0
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
1 cos−1 x
21.
∫
∫
0
1
22.
x dy dx
0
π
∫
2
sec 2 (cos x ) dx dy
∫
0 sin− 1 x
( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub )
23.
∫∫ ex
2
+ y 2 dA ; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4
R
24.
∫∫
2
2
4 − x 2 − y 2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
R
y = 0 dan y = x.
1
2
2
25. ∫∫
2
2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
R 4+ x + y
y = 0 dan y = x.
26.
∫∫ y dA
2
2
2
R
kuadran pertama.
1 1− x2
27.
28.
∫
∫
0
0
1
1− y 2
0
0
∫
2
29.
∫
1
∫
2 x− x2
∫
0
2
; R daerah di dalam x + y = 4 dan di luar x + y = 1 yang terletak di
(
4 − x2 − y2
(
)
−1
2
dy dx
)
sin x 2 + y 2 dx dy
( x 2 + y 2)
−1
2
dy dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung