APLIKASI GENERALISASI TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI BATAS PERIODIK
APLIKASI GENERALISASI TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA
KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI BATAS PERIODIK
Septianto Mawardikha
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Dalam artikel ini dipelajari masalah nilai batas periodik dengan suatu fungsi kontinu. Ketunggalan solusi dari
masalah tersebut dibuktikan dengan mengaplikasikan teorema titik tetap dalam ruang metrik terurut parsial. Teorema yang
dimaksud adalah generalisasi dari teorema titik tetap Banach. Kondisi pemetaan kontraktif yang digunakan diganti dengan
suatu fungsi yang ekuivalen.
Kata kunci: Masalah nilai batas periodik, Pemetaan kontraktif, Teorema titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Teorema titik tetap merupakan salah satu konsep Matematika yang terus berkembang. Teori ini
pertama kali dicetuskan oleh Stefan Banach (1892-1945) pada tahun 1922 yang dikenal sebagai
Teorema titik tetap Banach. Teorema tersebut menjamin keberadaan dan keunikan suatu titik tetap
untuk pemetaan ruang metrik ke dirinya sendiri dan memberikan metode untuk menemukan titik tetap
tersebut. Pada tahun 1973, Geraghty membahas teorema kontraksi Banach yang diperumum dengan
mengganti kondisi kekonvergenan barisan Cauchy dari iterasi kontraktif pada ruang metrik lengkap
dengan kondisi fungsional yang ekuivalen (Geraghty, 1973). Pada tahun 2009, mengacu pada hasil
pekerjaan Geraghty, Amini-Harandi dan Emami membahas ketunggalan titik tetap untuk pemetaan
kontraksi yang diperumun pada ruang metrik lengkap yang terurut parsial. Serta mengaplikasikannya
untuk mencari solusi tunggal pada persamaan diferensial biasa (Harjani dan Sadarangi, 2009).
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 1. Misalkan
adalah keluarga fungsi
[
yang memenuhi kondisi
mengakibatkan
.
ruang metrik lengkap dan
Jika terdapat
berlaku
(
)
(
)
mempunyai titik tetap yang tunggal.
Misalkan
setiap
maka
[
sedemikian sehingga untuk
(Khamsi dan Kirk, 2001)
Teorema 2. Misalkan
adalah himpunan terurut parsial dan anggap terdapat sebuah metrik di
dalam sedemikian sehingga
adalah ruang metrik lengkap. Misalkan
adalah fungsi
naik sedemikian sehingga terdapat elemen
Anggap terdapat
sedemikian sehingga
(
)
Misalkan:
untuk setiap
dengan
a.
kontinu, atau
b.
memenuhi kondisi jika barisan naik
Selain itu, untuk setiap
terdapat
memiliki titik tetap yang tunggal.
(
)
di maka
, untuk setiap
yang dapat di-comparable dengan dan
Maka
(Harjani dan Sadarangi, 2009)
Bukti: Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa
memiliki titik tetap. Dimisalkan
. Karena
dan adalah fungsi naik, kita peroleh
240
Karena
untuk setiap
maka
(
(
)
)
.
monoton turun dan terbatas ke bawah oleh
sehingga
Andaikan
, maka berlaku
(
)
Karena
maka
sehingga
(
)
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan
Maka haruslah
sedemikian sehingga
Terlihat bahwa barisan
Kemudian akan dibuktikan bahwa
barisan Cauchy. Andaikan
Dengan ketidaksamaan segitiga dan sifat kontraksi diperoleh
[
maka
Karena
)] [
(
]
Hal ini tidak mungkin karena tidak ada bilangan positif yang kurang dari sama dengan . Maka
haruslah
Dengan kata lain,
barisan Cauchy.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
memiliki titik tetap. Karena
ruang metrik
lengkap, maka
konvergen. Karena
konvergen, maka terdapat
sedemikian sehingga
Jika kontinu maka
Karena
, maka adalah titik tetap.
Jika tidak kontinu maka,
(
)
Karena
, maka
Dengan kata lain
Untuk membuktikan ketunggalan titik tetap tersebut, misalkan adalah titik tetap yang lain.
Dari sifat
, terdapat
yang dapat di-comparable dengan dan Kemonotonan
untuk
Lebih
dan
menyebabkan
comparable dengan
jelasnya,
)
(
Akibatnya, barisan
Andaikan
, maka
)
)
(
(
) nonnegatif dan monoton turun sehingga
(
Karena
maka
Kontradiksi ini menunjukkan bahwa
Sehingga,
dan mengambil limit dengan
i.
ii.
iii.
Dengan kata lain,
(
Secara analog, bisa dibuktikan
)
(
mengakibatkan
Diberikan adalah keluarga fungsi
fungsi naik,
[
[
(
.
)
)
(
)
yang memenuhi kondisi:
Teorema 3. Diberikan persamaan
241
di mana
untuk
[
{
dan
dengan
]
(1)
adalah fungsi kontinu. Jika terdapat
sedemikian sehingga
berlaku
[
]
maka solusi bawah untuk (1) memberikan ketunggalan solusi dari (1).
di mana
(Harjani dan Sadarangi, 2009)
Bukti: Persamaan (1) ekuivalen dengan persamaan integral
∫
{
dengan
Didefinisikan
[
]
dengan
∫
[
]
Perhatikan, jika
adalah titik tetap dari , maka
adalah solusi dari (1).
Sekarang akan dicek apakah kondisi di atas memenuhi kondisi pada Teorema 3,
1. Diketahui
himpunan terurut parsial jika didefinisikan relasi di ,
jika dan hanya jika
untuk setiap
|
|
2.
ruang metrik lengkap dengan
.
Pemetaan naik, dengan hipotesis, untuk
∫
[
Selain itu, untuk
Karena
maka (
naik dan
(
Maka, untuk
Misalkan
∫
]
|
∫
(
)
∫
)
[
(
(
)
(
(
)
(
]
|
)
) diperoleh
)
(
)
)
(
)
solusi bawah untuk persamaan (1) dan akan dibuktikan
Kedua ruas digandakan dengan
diperoleh
)
(
atau
∫
[
(
)
]
]
∫[
]
[
Maka diperoleh
∫
[ (
)
]
∫
[ (
)
]
242
Dengan kata lain,
tunggal.
Contoh. Diberikan
untuk setiap
dan ambil
]
)
[ (
Maka, berdasarkan Teorema 3,
∫
[
[
memiliki titik tetap yang
yang didefinisikan dengan
[ √ ]. Diberikan suatu persamaan diferensial
[ √ ]
{
(√ )
⁄ sedemikian sehingga untuk setiap
dengan
[
(2)
berlaku
]
Maka berdasarkan Teorema 3, eksistensi solusi bawah untuk (2) menjamin ketunggalan solusi dari (2).
3. KESIMPULAN
Generalisasi titik tetap Banach yang diperkenalkan Geraghty juga berlaku pada suatu ruang
metrik lengkap yang juga merupakan ruang terurut parsial. Teorema generalisasi titik tetap Banach
pada ruang terurut parsial dapat diaplikasikan pada suatu permasalahan nilai batas pada persamaan
diferensial (1). Teorema tersebut menyatakan bahwa eksistensi solusi bawah untuk persamaan (1)
menjamin ketunggalan solusi untuk persamaan (1).
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Sa’adatul Fitri, Abdul Rouf Alghofari, dan Mohamad Muslikh
atas segala saran, bimbingan, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Geraghty, M.A., (1973), On Contractive Mappings, Proceeding of The American Mathematical
Society, 40, hal. 604-608.
Harjani, J. dan Sadarangi, K., (2009), Fixed Point Theorems For Weakly Contractive Mappings in
Partially Ordered Sets, Nonlinear Analysis, 71, hal. 3402-3410.
Khamsi, M. dan Kirk, W., (2001), An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory, John
Wiley and Sons, Kanada.
243
KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI BATAS PERIODIK
Septianto Mawardikha
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Dalam artikel ini dipelajari masalah nilai batas periodik dengan suatu fungsi kontinu. Ketunggalan solusi dari
masalah tersebut dibuktikan dengan mengaplikasikan teorema titik tetap dalam ruang metrik terurut parsial. Teorema yang
dimaksud adalah generalisasi dari teorema titik tetap Banach. Kondisi pemetaan kontraktif yang digunakan diganti dengan
suatu fungsi yang ekuivalen.
Kata kunci: Masalah nilai batas periodik, Pemetaan kontraktif, Teorema titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Teorema titik tetap merupakan salah satu konsep Matematika yang terus berkembang. Teori ini
pertama kali dicetuskan oleh Stefan Banach (1892-1945) pada tahun 1922 yang dikenal sebagai
Teorema titik tetap Banach. Teorema tersebut menjamin keberadaan dan keunikan suatu titik tetap
untuk pemetaan ruang metrik ke dirinya sendiri dan memberikan metode untuk menemukan titik tetap
tersebut. Pada tahun 1973, Geraghty membahas teorema kontraksi Banach yang diperumum dengan
mengganti kondisi kekonvergenan barisan Cauchy dari iterasi kontraktif pada ruang metrik lengkap
dengan kondisi fungsional yang ekuivalen (Geraghty, 1973). Pada tahun 2009, mengacu pada hasil
pekerjaan Geraghty, Amini-Harandi dan Emami membahas ketunggalan titik tetap untuk pemetaan
kontraksi yang diperumun pada ruang metrik lengkap yang terurut parsial. Serta mengaplikasikannya
untuk mencari solusi tunggal pada persamaan diferensial biasa (Harjani dan Sadarangi, 2009).
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 1. Misalkan
adalah keluarga fungsi
[
yang memenuhi kondisi
mengakibatkan
.
ruang metrik lengkap dan
Jika terdapat
berlaku
(
)
(
)
mempunyai titik tetap yang tunggal.
Misalkan
setiap
maka
[
sedemikian sehingga untuk
(Khamsi dan Kirk, 2001)
Teorema 2. Misalkan
adalah himpunan terurut parsial dan anggap terdapat sebuah metrik di
dalam sedemikian sehingga
adalah ruang metrik lengkap. Misalkan
adalah fungsi
naik sedemikian sehingga terdapat elemen
Anggap terdapat
sedemikian sehingga
(
)
Misalkan:
untuk setiap
dengan
a.
kontinu, atau
b.
memenuhi kondisi jika barisan naik
Selain itu, untuk setiap
terdapat
memiliki titik tetap yang tunggal.
(
)
di maka
, untuk setiap
yang dapat di-comparable dengan dan
Maka
(Harjani dan Sadarangi, 2009)
Bukti: Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa
memiliki titik tetap. Dimisalkan
. Karena
dan adalah fungsi naik, kita peroleh
240
Karena
untuk setiap
maka
(
(
)
)
.
monoton turun dan terbatas ke bawah oleh
sehingga
Andaikan
, maka berlaku
(
)
Karena
maka
sehingga
(
)
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan
Maka haruslah
sedemikian sehingga
Terlihat bahwa barisan
Kemudian akan dibuktikan bahwa
barisan Cauchy. Andaikan
Dengan ketidaksamaan segitiga dan sifat kontraksi diperoleh
[
maka
Karena
)] [
(
]
Hal ini tidak mungkin karena tidak ada bilangan positif yang kurang dari sama dengan . Maka
haruslah
Dengan kata lain,
barisan Cauchy.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
memiliki titik tetap. Karena
ruang metrik
lengkap, maka
konvergen. Karena
konvergen, maka terdapat
sedemikian sehingga
Jika kontinu maka
Karena
, maka adalah titik tetap.
Jika tidak kontinu maka,
(
)
Karena
, maka
Dengan kata lain
Untuk membuktikan ketunggalan titik tetap tersebut, misalkan adalah titik tetap yang lain.
Dari sifat
, terdapat
yang dapat di-comparable dengan dan Kemonotonan
untuk
Lebih
dan
menyebabkan
comparable dengan
jelasnya,
)
(
Akibatnya, barisan
Andaikan
, maka
)
)
(
(
) nonnegatif dan monoton turun sehingga
(
Karena
maka
Kontradiksi ini menunjukkan bahwa
Sehingga,
dan mengambil limit dengan
i.
ii.
iii.
Dengan kata lain,
(
Secara analog, bisa dibuktikan
)
(
mengakibatkan
Diberikan adalah keluarga fungsi
fungsi naik,
[
[
(
.
)
)
(
)
yang memenuhi kondisi:
Teorema 3. Diberikan persamaan
241
di mana
untuk
[
{
dan
dengan
]
(1)
adalah fungsi kontinu. Jika terdapat
sedemikian sehingga
berlaku
[
]
maka solusi bawah untuk (1) memberikan ketunggalan solusi dari (1).
di mana
(Harjani dan Sadarangi, 2009)
Bukti: Persamaan (1) ekuivalen dengan persamaan integral
∫
{
dengan
Didefinisikan
[
]
dengan
∫
[
]
Perhatikan, jika
adalah titik tetap dari , maka
adalah solusi dari (1).
Sekarang akan dicek apakah kondisi di atas memenuhi kondisi pada Teorema 3,
1. Diketahui
himpunan terurut parsial jika didefinisikan relasi di ,
jika dan hanya jika
untuk setiap
|
|
2.
ruang metrik lengkap dengan
.
Pemetaan naik, dengan hipotesis, untuk
∫
[
Selain itu, untuk
Karena
maka (
naik dan
(
Maka, untuk
Misalkan
∫
]
|
∫
(
)
∫
)
[
(
(
)
(
(
)
(
]
|
)
) diperoleh
)
(
)
)
(
)
solusi bawah untuk persamaan (1) dan akan dibuktikan
Kedua ruas digandakan dengan
diperoleh
)
(
atau
∫
[
(
)
]
]
∫[
]
[
Maka diperoleh
∫
[ (
)
]
∫
[ (
)
]
242
Dengan kata lain,
tunggal.
Contoh. Diberikan
untuk setiap
dan ambil
]
)
[ (
Maka, berdasarkan Teorema 3,
∫
[
[
memiliki titik tetap yang
yang didefinisikan dengan
[ √ ]. Diberikan suatu persamaan diferensial
[ √ ]
{
(√ )
⁄ sedemikian sehingga untuk setiap
dengan
[
(2)
berlaku
]
Maka berdasarkan Teorema 3, eksistensi solusi bawah untuk (2) menjamin ketunggalan solusi dari (2).
3. KESIMPULAN
Generalisasi titik tetap Banach yang diperkenalkan Geraghty juga berlaku pada suatu ruang
metrik lengkap yang juga merupakan ruang terurut parsial. Teorema generalisasi titik tetap Banach
pada ruang terurut parsial dapat diaplikasikan pada suatu permasalahan nilai batas pada persamaan
diferensial (1). Teorema tersebut menyatakan bahwa eksistensi solusi bawah untuk persamaan (1)
menjamin ketunggalan solusi untuk persamaan (1).
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Sa’adatul Fitri, Abdul Rouf Alghofari, dan Mohamad Muslikh
atas segala saran, bimbingan, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Geraghty, M.A., (1973), On Contractive Mappings, Proceeding of The American Mathematical
Society, 40, hal. 604-608.
Harjani, J. dan Sadarangi, K., (2009), Fixed Point Theorems For Weakly Contractive Mappings in
Partially Ordered Sets, Nonlinear Analysis, 71, hal. 3402-3410.
Khamsi, M. dan Kirk, W., (2001), An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory, John
Wiley and Sons, Kanada.
243