PROS HA Parhusip Pembelajaran Metode Penyelesaian Full text
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
PEMBELAJARAN METODE PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR DENGAN BANYAK PENYELESAIAN DAN
YANG TIDAK MEMPUNYAI PENYELESAIAN
H.A Parhusip
Center of Applied Science and Mathematics
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
hannaariniparhusip@yahoo.co.id
PENDAHULUAN
Sistem persamaan linear banyak
dijumpai dalam aplikasi matematika. Dalam
regresi linear multivariat banyak dijumpai
sistem persamaan linear. Contohnya, untuk
indeksLQ45 sebagai fungsi nilai saham dari
berbagai perusahaan pada saat penutupan
(Pradhitya,dkk,2011), kepadatan penduduk
Salatiga sebagai fungsi linear dari berbagai
jenis
kontrasepsi
yang
digunakan
(Parhusip,dkk,2010). Parameter regresi dicari
dengan menyelesaikan sistem persamaan
linear. Metode untuk mendapatkan parameter
regresi ditunjukkan secara detaail oleh
Parhusip (2012). Pemodelan total investasi
dari kecamatan Sidomukti juga menyebabkan
adanya sistem persamaan linear yang harus
diselesaikan. Sistem persamaan linear juga
dijumpai pada masalah titik setimbang untuk
sistem persamaan diferensial yang dilinearkan
misalnya pada
masalah
Beulosov
Zabontinsky (Parhusip,2010).
Kita juga
menjumpai sistem persamaan linear fuzzy
(web1). Untuk sistem linear yang tidak
simetrik, maka pengembangan metode
gradient dilakukan untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear yang sparse yang
besar (banyak memuat 0 pada matriks) (Saad
dan Schultz, 1986).
Tidak selamanya sistem persamaan
linear
punya
penyelesaian
tunggal
(konsisten), dapat pula punya penyelesaian
banyak atau bahkan tidak punya penyelesaian
(takkonsisten). Selain sistem persamaan
linear takkosisten, dapat terjadi sistem
persamaan linear konsisten tetapi mempunyai
banyak penyelesaian (Underdertermined
Linear system). Untuk itu kita perlu
mempunyai penyelesaian yang terbaik. Hal
inilah yang akan dibahas pada makalah ini.
Contoh 1. Perhatikan sistem persamaan
linear homogen
3x1 + 5 x 2 − 4 x3 = 0,
− 3 x1 − 2 x 2 + 4 x3 = 0,
6 x1 + x 2 − 8 x3 = 0.
Dengan operasi baris elementer sistem ini
mempunyai banyak penyelesaian dalam
bentuk umum x = [43 a 0 a ] , a bebas.
Dalam bentuk penyelesaian yang sudah
dinormalkan (dibagi oleh besar vektor) maka
penyelesaiannya
adalah
v
278
T
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
3 4
v
[3 a 0 a ]T = [54
xn =
5a
]
3 T
5
0
.
Jawaban inilah yang biasanya diberikan oleh
komputer. Berdasarkan rank matriks A ,
rank(A) =2 (banyaknya vektor kolom yang
bebas linear) yang lebih kecil dari variabel
yang dicari (sebanyak 3). Oleh karena
rank(A)=2 < 3 maka ada 1 variabel yang
dapat dipilih bebas. Sehingga sistem
mempunyai tak hingga banyak solusi. Secara
geometri, hal ini ditunjukkan oleh suatu garis
sebagai perpotongan antara ketiga bidang
yang ditunjukkan pada Gambar 1.
yang mempunyai jarak terdekat dengan titik
O.
Jawab : Suatu titik (x,y,z) pada garis L jika
hanya jika merupakan penyelesaian dari
sistem persamaan
x + y + z = 1,
− x− y + z = 0.
8
6
4
2
0
−2
−4
6
5
−6
3
4
0
2
1
0
−1
−2
−3
−5
Gambar 2. Ilustrasi bidang dari sistem
persamaan linear pada Contoh 3.
2
0
Perhatikan
bahwa
sistem
dikatakan
underdetermined
(punya
banyak
penyelesaian) karena berikut ini . Kita susun
matriks augmentednya adalah
−2
−4
−6
−4
−2
0
2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
Gambar 1. Ilustrasi 3 bidang dari sistem
persamaan linear dari Contoh 1.
Contoh 2.
Untuk sistem persamaan linear
x1 − 2 x2 + x3 = 0
2 x2 − 8 x3 = 8
− 4 x1 + 5 x2 + 9 x3 = −9
mempunyai penyelesaian tunggal (29,16,3)
yang dicari dengan operasi baris elementer
dan substitusi mundur. Berdasarkan ranknya, rank(A)=3=banyaknya variabel yang
dicari. Oleh karena itu sistem mempunyai
solusi tunggal.
Kita akan mempelajari sistem persamaan
linear yang diperoleh dari penerapan
matematika khususnya regresi berganda.
Karena ada tidaknya solusi berdasarkan rank
matriks, maka untuk biasanya diselidiki
dahulu rank(A).
Contoh 3. Tentukan titik pada garis L yang
merupakan perpotongan antara 2 bidang
x + y + z = 1, − x − y + z = 0
⎛ 1 1 1 1⎞
⎛1 1 1 1⎞
⎜
⎟ b2 + b1 ⎜
⎟
⎜ −1 −1 1 0⎟ ~ ⎜0 0 2 0⎟ .
⎝
⎠
⎝
⎠
Diperoleh dengan substitusi mundur dari
persamaan kedua 2z = 0, sehingga z = 0. Dari
persamaan pertama dengan z = 0 diperoleh 1x
+ 1y +1z =1 atau x + y = 1 atau x =1-y. Disini
ada 1 variabel yang bebas dipilih (sebutlah
y=a) sehingga penyelesaian umumnya adalah
(x,y,z)=(1-a,a,0).
Beberapa cara menyelesaikan sistem
persamaan
linear
adalah
dengan
memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor
atau lebih. Metode QR menyusun matriks A
menjadi A=QR dan metode SVD menyusun
matriks A menjadi 3 faktor. Kedua metode
itulah yang akan dibahas pada makalah ini
dan penerapannya ditunjukkan pada Bab IV.
METODE PENELITIAN
Cara penyelesaian sistem persamaan
linear dilakukan dengan menyelidiki ada
tidaknya solusi. Jika ada, maka digunakan
metode yang standard yaitu metode kuadrat
terkecil yang dikembangkan dengan metode
QR. Matriks A dinyatakan dalam bentuk
A=QR dengan Q adalah matriks yang
279
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
diperoleh dari ortogonalisasi Gram Schmidt
dan R diperoleh dari hubungan R = Q T A .
Metode SVD diterapkan untuk sistem
persamaan
linear
yang
sama
dan
membandingkan hasil yang diperoleh oleh
kedua metode ini. Secara ringkas metode
v v
SVD disusun Jadi cara penjabaran Ax = b
dengan SVD sebagai berikut.
1. Susun U
2. Susun V
3. Susun Σ
4. Susun Σ = (Σ Σ) Σ
v
v
5. x = V Σ + U T b
2.1 Metode QR
Anggap A matriks mx n dengan
vektor-vektor kolom adalah yang saling bebas
v
v
linear a (1) ,…, a (m ) di R n . Metode ini pada
dasarnya memfaktorkan matriks A menjadi 2
faktor yaitu Q dan R sehingga A=QR dimana
Q sebagai matriks yang vektor-vektor
v
v
kolomnya adalah u (1) ,..., u ( m ) yang diperoleh
dari ortogonalisasi Gramm Schmidt matriks
A. Karena Q merupakan matriks m x n yang
saling ortonormal maka Q T Q = I . Lagipula,
Q dapat kita pandang sebagai proses
mereduksi kolom A menjadi Q dengan aturan
Q=AL dengan L adalah matriks segitiga atas
n x n.
Matriks L adalah matriks yang mempunyai
invers karena Q terdiri dari vektor-vektor
kolom yang saling bebas linear). Selain itu
kita dapat pula menyusun
A= QR
(1a)
dengan R= L−1 merupakan martiks segitiga
atas n x n atau R = Q T A (karena Q T Q = I )
(Peressini,et.all,1987). Kita dapat menyatakan
bahwa QR merupakan dekomposisi A dengan
Q mariks m x n dan R matriks segitiga atas n
x n. Kita kembali pada masalah pada
penyelesaian
sistem persamaan linear
+
T
−1
A=QR dimana Q diperoleh dari proses GramSchmidt dan R = Q T A , sehingga diperoleh
(
menyesuaikan
sehingga
perkalian
dibenarkan).
Menurut metode kuadrat
terkecil, maka penyelesaian dapat diperoleh
yaitu
r
v
r
v
AT Ax = AT b atau x * = ( AT A) −1 AT b . (1b)
= R −1
) R
(Q Q ) v( R
−1
−1
T
v
QT b
v
) −1 R T Q T b
= R −1 I ⋅ IQ T b (karena Q T Q = I
)
T
T
v
v
x * = R −1Q T b .
(2)
Jadi persamaan (1b) diperbaiki dengan
menggunakan persamaan (2). Komputasi (2)
sangat mudah karena hanya menyelesaikan
sistem persamaan linear
v
v
v
v
x * = R −1Q T b atau R x * = Q T b
yang dapat diselesaikan dengan subsitusi
mundur karena R adalah matriks segitiga atas.
2.2 Metode SVD (Singular Value
Decomposition)
Teorema 1. SVD ( Watkins,1991,hal 392)
A
mempunyai rank r. Maka
terdapat bilangan-bilangan real
≥
≥......
≥0 dan dapat dibuat basis
ortonormal
ortonormal
hingga
v
w
v1 ,.........vm
r
v
u1 ,.........um
r
r
Avi = σi ui
r
r
AT ui = σ i vi
r
Avi = 0
dan
basis
, sedemikian
i = 1,...,r ;
i = 1,...,r .
i = r +1,...,m ;
(3a)
r
AT ui = 0
i = r + 1,...,n .
(3b)
Persamaan kedua dari (3a) berlaku
r
r
AT ui = σ i vi
i = 1,...,r .
Dengan mengalikan kedua ruas dengan A dari
kiri diperoleh
r
r
r
AAT ui = Aσ i vi = σ i Avi i = 1,...,r .
Dengan menggunakan persamaan (3a) yang
pertama diperoleh
r
r
r
AAT ui = Aσ i vi = σ iui i = 1,...,r atau
r
r
AAT ui = σ i ui i = 1,...,r .
Penyelesaian ini kita gunakan pada metode
QR dengan menggunakan dekomposisi
280
(
= R T Q T QR
T
r r
Ax = b (dimana A tidak perlu persegi dan
r
r
x dan b
panjang vektor kolom
)
v
v
x * = ( AT A) −1 AT b =
v
−1
(QR )T QR (QR )T b
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
v
r
eigen dari
AA T .
Sehingga u1 ,.........um
diperoleh bahwa
merupakan vektor
Secara analog juga dapat dibuat diagram
untuk AT (Watkints,hal 394)
Secara sama dapat
v
w
v1 ,.........vm
AT
σ
v
1 vv
1 uv ⎯⎯→
⎯
⎯
v1 ⎯⎯→
1
1
A
σ
merupakan
vektor eigen dari AT A . Yaitu
Dari persamaan (3a) berlaku
σ
v
2 → uv ⎯σ⎯
2 → vv
⎯
⎯
v2 ⎯⎯
2
2
Dengan mengalikan kedua ruas dengan AT
dari kiri diperoleh
M
r
r
Avi = σi ui
i = 1,...,r .
r
r
AT Avi = AT σ i ui
Dengan menggunakan
diperoleh
v
w
v1 ,.........vm
merupakan vektor
eigen dari A A .
σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r ≥ 0
Nilai-nilai
dikatakan nilai-nilai singular A. Pernyataan
singular itu muncul karena pada i= r+1,...,m
T
r
v
ur +1 ,.........um
maka
vektor-vektor
merupakan vektor-vektor nol, sebagaimana
ditunjukkan pada skema berikut yang
r
r
mengikuti hubungan Avi = σiui
i = 1,...,r ,
yaitu
A
⎡σ
0 L 0
⎢ 1
0
σ
L 0
⎢
2
⎢ M
M O M
⎢
0 L σ
⎢0
r
⎢
⎢
Σ = ⎢− − − − − − − − − −
⎢
⎫
⎢
⎪
0
0
L
⎢
⎪
⎢ M O M ⎪⎬n − r
⎢
L 0⎪
⎢ 0142
4
3⎪
⎢
⎪⎭
r
⎣
M
{v
Gambar 3 menjelaskan bahwa
|
|
|
|
|
r
}
r
v
u1,.........um dan
r
v
Ν ( A ) = {ur +1 ,.........um }
0 L 0⎫ ⎤
⎥
0 L 0⎪⎪ ⎥
⎬r ⎥
M M M⎪
⎥
0 L 0⎪⎭ ⎥
14243 ⎥
m−r
⎥
−−
⎥
⎫
⎥
⎥
⎪
0 L 0⎪
⎥
⎪
M O M ⎬n − r ⎥
⎥
0 L 0⎪
⎥
1424
3⎪
⎥
m − r ⎭⎪
⎦
σj
terurut yaitu
σ1 ≥ σ 2 ≥ L ≥ σ r .
Bukti: Berdasarkan persamaan (1a)-(1b) dapat
ditulis kembali
v ⎧σ i uv
v
A i=⎨
⎩
i
0
Yang menyebabkan
matriks
adalah vektor –vektor
yaitu himpunan vektor-vektor pada domain
yang dipetakkan oleh A ke vektor 0.
281
|
|
|
|
Catatan : Nilai –nilai
ℜ ( A ) = u1 ,.........um
artinya range A (daerah hasil pemetaan A)
M
Teorema 2. SVD ( Watkins, th. 1991,hal
394)
Diketahui A
mempunyai rank r. Maka
terdapat ∈
,∑ ∈
, dan ∈
dimana U dan dalam V adalah ortogonal
(artinya vektor-vektor kolom yang berbeda
dalam U dan dalam V saling tegak lurus)
dengan Σ berbentuk
v σr v
vr ⎯⎯
⎯→ u r
Gambar 3. Hasil pemetaan A
M
Gambar 4. Diagram hasil pemetaan A dan AT
r σ1 r
v ⎯⎯→
⎯ u1
1
r σ1 r
v ⎯⎯→
⎯ u
2
2
v
v
r + 1 ⎫⎪
⎪
M
⎬→0
r
⎪
v
m ⎪⎭
σ
v
v
u
v
⎫
r + 1 ⎫⎪
r + 1⎪
⎪
⎪
M
⎬ → 0M
⎬→0
v
v
⎪
⎪
u
u
n ⎭⎪
m ⎭⎪
(3b)
r
r
r
AT Avi = σ i AT ui = σ ivi
i = 1,...,r atau
r
r
AT Avi = σ i vi
i = 1,...,r .
Sehingga
M
v
r → uv ⎯⎯
r → vv
⎯
⎯
v ⎯⎯
r
r
r
i = 1,...,r .
persamaan
σ
M
i =1.......r
i = r + 1,......, m
dapat
dituliskan
1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
[
r v
v
w v
v
v
A[v1,.........
vr | vr+1,......vm] = u1,.......,
ur | ur+1,.....un
⎡σ 1 0 L 0
⎢0 σ
L 0
⎢
2
⎢ M
M O M
⎢
0 L σ
⎢0
r
⎢− − − − − − − − − −
⎢
⎢
0 L 0
⎢
M O M
⎢
⎢
0 L 0
⎢
⎣
| 0 L 0⎤
⎥
| 0 L 0⎥
| M M M⎥
⎥
| 0 0 0⎥ .
−− ⎥
|
⎥
|
0 L 0⎥
|
⎥
M O M⎥
|
0 L 0⎥
⎥
|
⎦
]
T
( AT A)−1 AT = (VΣT ΣV T )−1 AT
= V (ΣT Σ) −1V T (VΣTU T )
= V (ΣT Σ) −1 (ΣTU T )
T
Teorema
3.
SVD
(Watkins,
th.1991,hal.395)
A
mempunyai rank r. Maka
terdapat
, ∑
, dan
di
T
mana U dan V adalah isometrik (artinya
T
= I dan VV = I) dengan ∑ adalah matriks
diagonal utama
≥
≥......
≥0.
Sehingga A= ∑ . Kolom-kolom U adalah
vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah
matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari
vektor eigen dari ATA. Selanjutnya kita
menggunakan SVD untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear.
A∈ R
= VΣ+U T
:= A+
dengan
= U ΣV T sehingga
v
v
V ΣT UT U ΣV T x = AT b
Menurut SVD, maka A
Penyelesaian sistem persamaan linier dari
regresi berganda
Pada regresi berganda diberikan 2 data
variabel prediktor ( X 1 dan X 2 ) dan 1 variabel
respon (Y) . Pada regresi, kita mengasumsikan
Y sebagai fungsi linear X 1 dan X 2 yaitu
Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 , untuk semua i.
Dalam notasi vektor-matriks , dapat ditulis
dalam bentuk
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1.
123.5
1.
1.
146.1
133.9
1.
128.5
1.
1.
151.5
136.2
1.
92.
2.108 ⎤
⎡
⎢
9.213 ⎥⎥
⎢
1.905 ⎥ ⎡ β 0 ⎤ ⎢
⎥
⎢
815. ⎥ ⎢⎢ β1 ⎥⎥ = ⎢
1.061 ⎥ ⎢⎣ β 2 ⎥⎦ ⎢
⎥
⎢
8.603 ⎥
⎢
⎢
1.125 ⎥⎦
⎣
141.5 ⎤
168.9 ⎥⎥
154.8 ⎥ .
⎥
146.5 ⎥
172.8 ⎥
⎥
160.1 ⎥
108.5 ⎥⎦
(P1)
Matriks dan vektor dalam sistem tersebut
disimbolkan
r
Amxnbnx1 = Ymx1 .
(a)
Dengan menggunakan operasi baris
elementer, diperoleh matriks augmented
282
Σ+ = (ΣT Σ)−1 ΣT .
Berikut
ini
akan
diberikan
contoh
penggunakan
QR
dan
SVD
untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dari
regresi berganda.
(5a)
(5b)
, dengan Σ+ = (ΣT Σ) −1 ΣT
x = ( A A) A b = A b = VΣ U b
cara
diperoleh A = U ∑ V T dengan kolom-kolom
U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan
V adalah matriks dengan kolom-kolomnya
terdiri dari vektor eigen
ATA. Dengan
mengalikan tiap ruas dengan AT pada
persamaan (5) diperoleh
, ingat V TV = I
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
(5a) adalah
v
v
v
r
T
T
T
−1
+
+
r
r
, x ∈ R m , b ∈ R n Dari Teorema 3
v
v
( AT A)x = AT b .
A = V ΣT ΣV T .
Karena AT A adalah persegi dan dapat
diinverskan maka:
dimana VV = I sehingga
A = U ∑V T .
(4)
Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari
AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan
kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen
ATA.
nxm
v
v
V ΣT ΣV T x = AT b . Dengan menggunakan
persamaan (5b) diperoleh A
Dengan kata lain AV = U ∑
SVD untuk sistem persamaan linear
Masalah yang dibahas adalah
penyelesaian
v v
Ax = b
Akan tetapi U T U = I sehingga
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
⎡1.0000 123.5000 2.1080 41.5000 ⎤
⎥
⎢
27.4000 ⎥
0 22.6000 7.1050
⎢
⎢
0.6912 ⎥
0
0 - 3.4726
⎥
⎢
0
0
0
0
⎥
⎢
⎥
⎢
r
0
0
0
0
⎥
Amxn | bnx1 = ⎢
0
0
0
0
⎥
⎢
⎢
160.4168 ⎥
0
0
0
⎥
⎢
- 4.6073 ⎥
0
0
0
⎢
⎥
⎢
3.7007 ⎥
0
0
0
⎢
⎢⎣
6.9656 ⎥⎦
0
0
0
Sistem persamaan linear memuat persamaan
yang tidak logis (persamaan 4-7). Jadi
sebenarnya sistem tidak punya solusi. Kita
berusaha mendapatkan solusi terbaik.
Penyelesaian dengan metode QR
Kita akan membahas sistem persamaan linear
yang sama dengan menggunakan metode QR.
Dengan menggunakan algoritma QR pada
Bab II, maka hasil QR sebagai berikut :
⎡ 0.3779645 - 0.1417368 - 0.1618785
⎢ 0.3779645 0.3333218 - 0.1357662
⎢
⎢ 0.3779645 0.0768742 - 0.1544897
⎢
Q = ⎢ 0.3779645 - 0.0366354 0.9250444
⎢ 0.3779645 0.4468314 - 0.1426524
⎢
⎢ 0.3779645 0.1252209 - 0.1438702
⎢ 0.3779645 - 0.8038761 - 0.1863875
⎣
dan
⎡ 2.6457513 344.59021 317.11786
R = ⎢⎢ 1.221D - 15 47.573072 - 26.292267
⎣⎢ - 2.776D - 17 - 1.776D - 14 750.4261
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥.
⎥
⎦⎥
Dari persamaan (2) maka dapat diperoleh
⎡6.3956361 ⎤
v ⎢
r*=
−1 T
x = R Q b = ⎢1.1086134 ⎥⎥ .
⎢⎣- 0.0028513⎥⎦
Hasil tersebut memberikan error sebesar
0.9137572%.
⎡
V = ⎢⎢
⎢⎣
⎡
) ⎢
;Σ = ⎢
⎢⎣
0.0014532 0.0073526 0.9999719 ⎤
0.1880912 0.9821230 - 0.0074947 ⎥⎥
0.9821505 - 0.1880968 - 0.0000442 ⎥⎦
827.69765 0.
0.
⎤
⎥;
0.
316.73876 0.
⎥
⎥⎦
0.
0.
0.3602842
0.3817121
0.2061858
-0.5286144
-0.1837105
-0.3019799
-0.637553⎤
⎡0.0305680
⎢0.0441346
0.594391⎥⎥
0.4475694
0.2648146
0.1686863
0.5346409
0.2449700
⎢
⎢0.0326905
0.4140803
-0.0101316
0.8226025
-0.1571499
-0.1850500
-0.302905⎥
⎥
⎢
U =⎢0.9962863
-0.0855238
0.0024050
0.0021617
0.0067902
-0.0052185
-0.003935⎥
⎢0.0356885
0.4691545
-0.3761456
-0.0954090
0.7742618
-0.1455160
0.085882⎥
⎥
⎢
0.4172344
-0.0587986
-0.0699509
-0.1135946
0.8906679
-0.098376⎥
⎢0.0411611
⎥
⎢0.0222433
0.2846228
0.8615738
0.0378964
0.208044
-0.0079334
0.3624974
⎦
⎣
.
Untuk menguji A = UΣV T dilakukan dengan
mengurangkan A − UΣV T sehingga diperoleh
matriks nol(setiap komponen 0). Dari
pemograman diperoleh setiap komponen
dekat ke 0. Hal ini dianggap sudah cukup
bagus. Selanjutnya kita perlu menghitung
v
⎡ cˆ ⎤ v
T
⎢ dv ⎥ = c = U b . Diperoleh
⎣ ⎦
)v
c = [177.96641 359.92784
2.3011884
]T
Karena rank (A)=r=3
maka kita tidak perlu
r
mendefinisikan d . Sehingga komponen cˆ
adalah dari komponen pertama hingga ketiga.
Untuk
menghitung yˆ , maka kita
r ˆ
cˆ diperoleh
menggunakan yˆ = Σ
r
v
yˆ = Σˆ cˆ = [0.2150138
1.1363555
v
y = [0.2150138 1.1363555
sehingga
6.3871479 ]
T
6.3871479 0 0 0 0]
T
v
Vektor y mempunyai komponen sebanyak m
dengan r|t|)
(Intercept) 6.395636 5.091881 1.256 0.277
x1
1.108613 0.038587 28.730 8.74e-06 ***
x2
-0.002851 0.002445 -1.166 0.308
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.835 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9952, Adjusted R-squared: 0.9928
F-statistic: 415.1 on 2 and 4 DF, p-value: 2.299e-05
Dari keputusan statistik yang diperoleh,
nampak bahwa variabel X 2 tidak
berkontribusi secara signifikan terhadap sifat
linear (ditandai dengan tidak adanya tanda
***). Jadi dengan SVD dapat ditunjukkan
bahwa regresi linear berganda dapat
memberikan penyelesaian sekalipun dari
operasi
KESIMPULAN
Sistem persamaan linear dapat
mempunyai penyelesaian dan tidak punya
penyelesaian. Dengan metode QR dan SVD
maka sistem persamaan linear selalu dapat
mempunyai penyelesaian. Kasus untuk
memjelaskan hal ini adalah dengan regresi
linear berganda yang diselesaikan dengan
QR dan SVD. Sekalipun error kecil, dengan
pengujian signifikansi secara statistik maka
salah satu variabel independen tidak
signifikan.
Materi ini ditujukan kepada
mahasiswa
dan
pengajar
matematika
pendidikan dan guru-guru matematika SMA
agar adanya penajaman materi sistem
persamaan linear.
Daftar Pustaka
Parhusip, H.A, 2012, Various Applications of
Linear Algebra, 2012. will appear on
proceeding of SEMINAR ALJABAR
2012, oleh HPA dan IndoMS di UNDIP
14 April 2012 (keynote speaker).
Parhusip, H.A.,2010. Stability Of BeulosovZhabotinsky
Reaction,
presented
proceeding The 2nd International
Conference on Chemical Science (ICCS)
2010 Universitas Gadjah Mada
Parhusip, H. A., Evi, K., dan Dyah K., 2010.
Uji Normalitas dan Fungsi Linear
Kepadatan Penduduk Salatiga tahun
2008, Prosiding Seminar Nasional dan
Pendidikan Sains FSM ISSN: 20870922, Vol.1 No.1, hal. 643-654.
Parhusip H. A., 2009. Modelling o Total
Investment and Its Efficiency in the
District of Sidomukti, Proceeding of
IndoMS International Conference on
Mathematics and Its Applications
(IICMA), ISBN:978-602-96426-0-5,
0353-0352.
Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988.
The
Mathematics
of
Nonlinear
284
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
Programming, Springer Verlag, New
York, Inc.
Pradhitya, K.A.S., Bambang Susanto, B., dan
Parhusip,H.A.2012. Perhitungan Harga
Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak
Brown Geometri, Prosiding Seminar
Nasional Penelitian, Pendidikan dan
Penerapan MIPA, Fakultas MIPA,
Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni
2012, ISBN : 978-979-99314-6-7,M131M13.
Watkins,D.S, 1991. Fundamentals of Matrix
Computations, John Wiley & Sons, New
York.
Web1.http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1107/1
107.2126.pdf
(diunduh
pada
17
September 2012)
Saad, Y., Schultz, M.H., 1986. GMRES: A
Generalized Minimal Residual Algorithm
For Solving Nonsymmetric Linear
Systems Vo|. 7, No. 3, Siam J. Sci. Stat.
Comput.
285
PEMBELAJARAN METODE PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR DENGAN BANYAK PENYELESAIAN DAN
YANG TIDAK MEMPUNYAI PENYELESAIAN
H.A Parhusip
Center of Applied Science and Mathematics
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
hannaariniparhusip@yahoo.co.id
PENDAHULUAN
Sistem persamaan linear banyak
dijumpai dalam aplikasi matematika. Dalam
regresi linear multivariat banyak dijumpai
sistem persamaan linear. Contohnya, untuk
indeksLQ45 sebagai fungsi nilai saham dari
berbagai perusahaan pada saat penutupan
(Pradhitya,dkk,2011), kepadatan penduduk
Salatiga sebagai fungsi linear dari berbagai
jenis
kontrasepsi
yang
digunakan
(Parhusip,dkk,2010). Parameter regresi dicari
dengan menyelesaikan sistem persamaan
linear. Metode untuk mendapatkan parameter
regresi ditunjukkan secara detaail oleh
Parhusip (2012). Pemodelan total investasi
dari kecamatan Sidomukti juga menyebabkan
adanya sistem persamaan linear yang harus
diselesaikan. Sistem persamaan linear juga
dijumpai pada masalah titik setimbang untuk
sistem persamaan diferensial yang dilinearkan
misalnya pada
masalah
Beulosov
Zabontinsky (Parhusip,2010).
Kita juga
menjumpai sistem persamaan linear fuzzy
(web1). Untuk sistem linear yang tidak
simetrik, maka pengembangan metode
gradient dilakukan untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear yang sparse yang
besar (banyak memuat 0 pada matriks) (Saad
dan Schultz, 1986).
Tidak selamanya sistem persamaan
linear
punya
penyelesaian
tunggal
(konsisten), dapat pula punya penyelesaian
banyak atau bahkan tidak punya penyelesaian
(takkonsisten). Selain sistem persamaan
linear takkosisten, dapat terjadi sistem
persamaan linear konsisten tetapi mempunyai
banyak penyelesaian (Underdertermined
Linear system). Untuk itu kita perlu
mempunyai penyelesaian yang terbaik. Hal
inilah yang akan dibahas pada makalah ini.
Contoh 1. Perhatikan sistem persamaan
linear homogen
3x1 + 5 x 2 − 4 x3 = 0,
− 3 x1 − 2 x 2 + 4 x3 = 0,
6 x1 + x 2 − 8 x3 = 0.
Dengan operasi baris elementer sistem ini
mempunyai banyak penyelesaian dalam
bentuk umum x = [43 a 0 a ] , a bebas.
Dalam bentuk penyelesaian yang sudah
dinormalkan (dibagi oleh besar vektor) maka
penyelesaiannya
adalah
v
278
T
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
3 4
v
[3 a 0 a ]T = [54
xn =
5a
]
3 T
5
0
.
Jawaban inilah yang biasanya diberikan oleh
komputer. Berdasarkan rank matriks A ,
rank(A) =2 (banyaknya vektor kolom yang
bebas linear) yang lebih kecil dari variabel
yang dicari (sebanyak 3). Oleh karena
rank(A)=2 < 3 maka ada 1 variabel yang
dapat dipilih bebas. Sehingga sistem
mempunyai tak hingga banyak solusi. Secara
geometri, hal ini ditunjukkan oleh suatu garis
sebagai perpotongan antara ketiga bidang
yang ditunjukkan pada Gambar 1.
yang mempunyai jarak terdekat dengan titik
O.
Jawab : Suatu titik (x,y,z) pada garis L jika
hanya jika merupakan penyelesaian dari
sistem persamaan
x + y + z = 1,
− x− y + z = 0.
8
6
4
2
0
−2
−4
6
5
−6
3
4
0
2
1
0
−1
−2
−3
−5
Gambar 2. Ilustrasi bidang dari sistem
persamaan linear pada Contoh 3.
2
0
Perhatikan
bahwa
sistem
dikatakan
underdetermined
(punya
banyak
penyelesaian) karena berikut ini . Kita susun
matriks augmentednya adalah
−2
−4
−6
−4
−2
0
2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
Gambar 1. Ilustrasi 3 bidang dari sistem
persamaan linear dari Contoh 1.
Contoh 2.
Untuk sistem persamaan linear
x1 − 2 x2 + x3 = 0
2 x2 − 8 x3 = 8
− 4 x1 + 5 x2 + 9 x3 = −9
mempunyai penyelesaian tunggal (29,16,3)
yang dicari dengan operasi baris elementer
dan substitusi mundur. Berdasarkan ranknya, rank(A)=3=banyaknya variabel yang
dicari. Oleh karena itu sistem mempunyai
solusi tunggal.
Kita akan mempelajari sistem persamaan
linear yang diperoleh dari penerapan
matematika khususnya regresi berganda.
Karena ada tidaknya solusi berdasarkan rank
matriks, maka untuk biasanya diselidiki
dahulu rank(A).
Contoh 3. Tentukan titik pada garis L yang
merupakan perpotongan antara 2 bidang
x + y + z = 1, − x − y + z = 0
⎛ 1 1 1 1⎞
⎛1 1 1 1⎞
⎜
⎟ b2 + b1 ⎜
⎟
⎜ −1 −1 1 0⎟ ~ ⎜0 0 2 0⎟ .
⎝
⎠
⎝
⎠
Diperoleh dengan substitusi mundur dari
persamaan kedua 2z = 0, sehingga z = 0. Dari
persamaan pertama dengan z = 0 diperoleh 1x
+ 1y +1z =1 atau x + y = 1 atau x =1-y. Disini
ada 1 variabel yang bebas dipilih (sebutlah
y=a) sehingga penyelesaian umumnya adalah
(x,y,z)=(1-a,a,0).
Beberapa cara menyelesaikan sistem
persamaan
linear
adalah
dengan
memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor
atau lebih. Metode QR menyusun matriks A
menjadi A=QR dan metode SVD menyusun
matriks A menjadi 3 faktor. Kedua metode
itulah yang akan dibahas pada makalah ini
dan penerapannya ditunjukkan pada Bab IV.
METODE PENELITIAN
Cara penyelesaian sistem persamaan
linear dilakukan dengan menyelidiki ada
tidaknya solusi. Jika ada, maka digunakan
metode yang standard yaitu metode kuadrat
terkecil yang dikembangkan dengan metode
QR. Matriks A dinyatakan dalam bentuk
A=QR dengan Q adalah matriks yang
279
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
diperoleh dari ortogonalisasi Gram Schmidt
dan R diperoleh dari hubungan R = Q T A .
Metode SVD diterapkan untuk sistem
persamaan
linear
yang
sama
dan
membandingkan hasil yang diperoleh oleh
kedua metode ini. Secara ringkas metode
v v
SVD disusun Jadi cara penjabaran Ax = b
dengan SVD sebagai berikut.
1. Susun U
2. Susun V
3. Susun Σ
4. Susun Σ = (Σ Σ) Σ
v
v
5. x = V Σ + U T b
2.1 Metode QR
Anggap A matriks mx n dengan
vektor-vektor kolom adalah yang saling bebas
v
v
linear a (1) ,…, a (m ) di R n . Metode ini pada
dasarnya memfaktorkan matriks A menjadi 2
faktor yaitu Q dan R sehingga A=QR dimana
Q sebagai matriks yang vektor-vektor
v
v
kolomnya adalah u (1) ,..., u ( m ) yang diperoleh
dari ortogonalisasi Gramm Schmidt matriks
A. Karena Q merupakan matriks m x n yang
saling ortonormal maka Q T Q = I . Lagipula,
Q dapat kita pandang sebagai proses
mereduksi kolom A menjadi Q dengan aturan
Q=AL dengan L adalah matriks segitiga atas
n x n.
Matriks L adalah matriks yang mempunyai
invers karena Q terdiri dari vektor-vektor
kolom yang saling bebas linear). Selain itu
kita dapat pula menyusun
A= QR
(1a)
dengan R= L−1 merupakan martiks segitiga
atas n x n atau R = Q T A (karena Q T Q = I )
(Peressini,et.all,1987). Kita dapat menyatakan
bahwa QR merupakan dekomposisi A dengan
Q mariks m x n dan R matriks segitiga atas n
x n. Kita kembali pada masalah pada
penyelesaian
sistem persamaan linear
+
T
−1
A=QR dimana Q diperoleh dari proses GramSchmidt dan R = Q T A , sehingga diperoleh
(
menyesuaikan
sehingga
perkalian
dibenarkan).
Menurut metode kuadrat
terkecil, maka penyelesaian dapat diperoleh
yaitu
r
v
r
v
AT Ax = AT b atau x * = ( AT A) −1 AT b . (1b)
= R −1
) R
(Q Q ) v( R
−1
−1
T
v
QT b
v
) −1 R T Q T b
= R −1 I ⋅ IQ T b (karena Q T Q = I
)
T
T
v
v
x * = R −1Q T b .
(2)
Jadi persamaan (1b) diperbaiki dengan
menggunakan persamaan (2). Komputasi (2)
sangat mudah karena hanya menyelesaikan
sistem persamaan linear
v
v
v
v
x * = R −1Q T b atau R x * = Q T b
yang dapat diselesaikan dengan subsitusi
mundur karena R adalah matriks segitiga atas.
2.2 Metode SVD (Singular Value
Decomposition)
Teorema 1. SVD ( Watkins,1991,hal 392)
A
mempunyai rank r. Maka
terdapat bilangan-bilangan real
≥
≥......
≥0 dan dapat dibuat basis
ortonormal
ortonormal
hingga
v
w
v1 ,.........vm
r
v
u1 ,.........um
r
r
Avi = σi ui
r
r
AT ui = σ i vi
r
Avi = 0
dan
basis
, sedemikian
i = 1,...,r ;
i = 1,...,r .
i = r +1,...,m ;
(3a)
r
AT ui = 0
i = r + 1,...,n .
(3b)
Persamaan kedua dari (3a) berlaku
r
r
AT ui = σ i vi
i = 1,...,r .
Dengan mengalikan kedua ruas dengan A dari
kiri diperoleh
r
r
r
AAT ui = Aσ i vi = σ i Avi i = 1,...,r .
Dengan menggunakan persamaan (3a) yang
pertama diperoleh
r
r
r
AAT ui = Aσ i vi = σ iui i = 1,...,r atau
r
r
AAT ui = σ i ui i = 1,...,r .
Penyelesaian ini kita gunakan pada metode
QR dengan menggunakan dekomposisi
280
(
= R T Q T QR
T
r r
Ax = b (dimana A tidak perlu persegi dan
r
r
x dan b
panjang vektor kolom
)
v
v
x * = ( AT A) −1 AT b =
v
−1
(QR )T QR (QR )T b
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
v
r
eigen dari
AA T .
Sehingga u1 ,.........um
diperoleh bahwa
merupakan vektor
Secara analog juga dapat dibuat diagram
untuk AT (Watkints,hal 394)
Secara sama dapat
v
w
v1 ,.........vm
AT
σ
v
1 vv
1 uv ⎯⎯→
⎯
⎯
v1 ⎯⎯→
1
1
A
σ
merupakan
vektor eigen dari AT A . Yaitu
Dari persamaan (3a) berlaku
σ
v
2 → uv ⎯σ⎯
2 → vv
⎯
⎯
v2 ⎯⎯
2
2
Dengan mengalikan kedua ruas dengan AT
dari kiri diperoleh
M
r
r
Avi = σi ui
i = 1,...,r .
r
r
AT Avi = AT σ i ui
Dengan menggunakan
diperoleh
v
w
v1 ,.........vm
merupakan vektor
eigen dari A A .
σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r ≥ 0
Nilai-nilai
dikatakan nilai-nilai singular A. Pernyataan
singular itu muncul karena pada i= r+1,...,m
T
r
v
ur +1 ,.........um
maka
vektor-vektor
merupakan vektor-vektor nol, sebagaimana
ditunjukkan pada skema berikut yang
r
r
mengikuti hubungan Avi = σiui
i = 1,...,r ,
yaitu
A
⎡σ
0 L 0
⎢ 1
0
σ
L 0
⎢
2
⎢ M
M O M
⎢
0 L σ
⎢0
r
⎢
⎢
Σ = ⎢− − − − − − − − − −
⎢
⎫
⎢
⎪
0
0
L
⎢
⎪
⎢ M O M ⎪⎬n − r
⎢
L 0⎪
⎢ 0142
4
3⎪
⎢
⎪⎭
r
⎣
M
{v
Gambar 3 menjelaskan bahwa
|
|
|
|
|
r
}
r
v
u1,.........um dan
r
v
Ν ( A ) = {ur +1 ,.........um }
0 L 0⎫ ⎤
⎥
0 L 0⎪⎪ ⎥
⎬r ⎥
M M M⎪
⎥
0 L 0⎪⎭ ⎥
14243 ⎥
m−r
⎥
−−
⎥
⎫
⎥
⎥
⎪
0 L 0⎪
⎥
⎪
M O M ⎬n − r ⎥
⎥
0 L 0⎪
⎥
1424
3⎪
⎥
m − r ⎭⎪
⎦
σj
terurut yaitu
σ1 ≥ σ 2 ≥ L ≥ σ r .
Bukti: Berdasarkan persamaan (1a)-(1b) dapat
ditulis kembali
v ⎧σ i uv
v
A i=⎨
⎩
i
0
Yang menyebabkan
matriks
adalah vektor –vektor
yaitu himpunan vektor-vektor pada domain
yang dipetakkan oleh A ke vektor 0.
281
|
|
|
|
Catatan : Nilai –nilai
ℜ ( A ) = u1 ,.........um
artinya range A (daerah hasil pemetaan A)
M
Teorema 2. SVD ( Watkins, th. 1991,hal
394)
Diketahui A
mempunyai rank r. Maka
terdapat ∈
,∑ ∈
, dan ∈
dimana U dan dalam V adalah ortogonal
(artinya vektor-vektor kolom yang berbeda
dalam U dan dalam V saling tegak lurus)
dengan Σ berbentuk
v σr v
vr ⎯⎯
⎯→ u r
Gambar 3. Hasil pemetaan A
M
Gambar 4. Diagram hasil pemetaan A dan AT
r σ1 r
v ⎯⎯→
⎯ u1
1
r σ1 r
v ⎯⎯→
⎯ u
2
2
v
v
r + 1 ⎫⎪
⎪
M
⎬→0
r
⎪
v
m ⎪⎭
σ
v
v
u
v
⎫
r + 1 ⎫⎪
r + 1⎪
⎪
⎪
M
⎬ → 0M
⎬→0
v
v
⎪
⎪
u
u
n ⎭⎪
m ⎭⎪
(3b)
r
r
r
AT Avi = σ i AT ui = σ ivi
i = 1,...,r atau
r
r
AT Avi = σ i vi
i = 1,...,r .
Sehingga
M
v
r → uv ⎯⎯
r → vv
⎯
⎯
v ⎯⎯
r
r
r
i = 1,...,r .
persamaan
σ
M
i =1.......r
i = r + 1,......, m
dapat
dituliskan
1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
[
r v
v
w v
v
v
A[v1,.........
vr | vr+1,......vm] = u1,.......,
ur | ur+1,.....un
⎡σ 1 0 L 0
⎢0 σ
L 0
⎢
2
⎢ M
M O M
⎢
0 L σ
⎢0
r
⎢− − − − − − − − − −
⎢
⎢
0 L 0
⎢
M O M
⎢
⎢
0 L 0
⎢
⎣
| 0 L 0⎤
⎥
| 0 L 0⎥
| M M M⎥
⎥
| 0 0 0⎥ .
−− ⎥
|
⎥
|
0 L 0⎥
|
⎥
M O M⎥
|
0 L 0⎥
⎥
|
⎦
]
T
( AT A)−1 AT = (VΣT ΣV T )−1 AT
= V (ΣT Σ) −1V T (VΣTU T )
= V (ΣT Σ) −1 (ΣTU T )
T
Teorema
3.
SVD
(Watkins,
th.1991,hal.395)
A
mempunyai rank r. Maka
terdapat
, ∑
, dan
di
T
mana U dan V adalah isometrik (artinya
T
= I dan VV = I) dengan ∑ adalah matriks
diagonal utama
≥
≥......
≥0.
Sehingga A= ∑ . Kolom-kolom U adalah
vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah
matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari
vektor eigen dari ATA. Selanjutnya kita
menggunakan SVD untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear.
A∈ R
= VΣ+U T
:= A+
dengan
= U ΣV T sehingga
v
v
V ΣT UT U ΣV T x = AT b
Menurut SVD, maka A
Penyelesaian sistem persamaan linier dari
regresi berganda
Pada regresi berganda diberikan 2 data
variabel prediktor ( X 1 dan X 2 ) dan 1 variabel
respon (Y) . Pada regresi, kita mengasumsikan
Y sebagai fungsi linear X 1 dan X 2 yaitu
Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 , untuk semua i.
Dalam notasi vektor-matriks , dapat ditulis
dalam bentuk
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1.
123.5
1.
1.
146.1
133.9
1.
128.5
1.
1.
151.5
136.2
1.
92.
2.108 ⎤
⎡
⎢
9.213 ⎥⎥
⎢
1.905 ⎥ ⎡ β 0 ⎤ ⎢
⎥
⎢
815. ⎥ ⎢⎢ β1 ⎥⎥ = ⎢
1.061 ⎥ ⎢⎣ β 2 ⎥⎦ ⎢
⎥
⎢
8.603 ⎥
⎢
⎢
1.125 ⎥⎦
⎣
141.5 ⎤
168.9 ⎥⎥
154.8 ⎥ .
⎥
146.5 ⎥
172.8 ⎥
⎥
160.1 ⎥
108.5 ⎥⎦
(P1)
Matriks dan vektor dalam sistem tersebut
disimbolkan
r
Amxnbnx1 = Ymx1 .
(a)
Dengan menggunakan operasi baris
elementer, diperoleh matriks augmented
282
Σ+ = (ΣT Σ)−1 ΣT .
Berikut
ini
akan
diberikan
contoh
penggunakan
QR
dan
SVD
untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dari
regresi berganda.
(5a)
(5b)
, dengan Σ+ = (ΣT Σ) −1 ΣT
x = ( A A) A b = A b = VΣ U b
cara
diperoleh A = U ∑ V T dengan kolom-kolom
U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan
V adalah matriks dengan kolom-kolomnya
terdiri dari vektor eigen
ATA. Dengan
mengalikan tiap ruas dengan AT pada
persamaan (5) diperoleh
, ingat V TV = I
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
(5a) adalah
v
v
v
r
T
T
T
−1
+
+
r
r
, x ∈ R m , b ∈ R n Dari Teorema 3
v
v
( AT A)x = AT b .
A = V ΣT ΣV T .
Karena AT A adalah persegi dan dapat
diinverskan maka:
dimana VV = I sehingga
A = U ∑V T .
(4)
Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari
AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan
kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen
ATA.
nxm
v
v
V ΣT ΣV T x = AT b . Dengan menggunakan
persamaan (5b) diperoleh A
Dengan kata lain AV = U ∑
SVD untuk sistem persamaan linear
Masalah yang dibahas adalah
penyelesaian
v v
Ax = b
Akan tetapi U T U = I sehingga
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
⎡1.0000 123.5000 2.1080 41.5000 ⎤
⎥
⎢
27.4000 ⎥
0 22.6000 7.1050
⎢
⎢
0.6912 ⎥
0
0 - 3.4726
⎥
⎢
0
0
0
0
⎥
⎢
⎥
⎢
r
0
0
0
0
⎥
Amxn | bnx1 = ⎢
0
0
0
0
⎥
⎢
⎢
160.4168 ⎥
0
0
0
⎥
⎢
- 4.6073 ⎥
0
0
0
⎢
⎥
⎢
3.7007 ⎥
0
0
0
⎢
⎢⎣
6.9656 ⎥⎦
0
0
0
Sistem persamaan linear memuat persamaan
yang tidak logis (persamaan 4-7). Jadi
sebenarnya sistem tidak punya solusi. Kita
berusaha mendapatkan solusi terbaik.
Penyelesaian dengan metode QR
Kita akan membahas sistem persamaan linear
yang sama dengan menggunakan metode QR.
Dengan menggunakan algoritma QR pada
Bab II, maka hasil QR sebagai berikut :
⎡ 0.3779645 - 0.1417368 - 0.1618785
⎢ 0.3779645 0.3333218 - 0.1357662
⎢
⎢ 0.3779645 0.0768742 - 0.1544897
⎢
Q = ⎢ 0.3779645 - 0.0366354 0.9250444
⎢ 0.3779645 0.4468314 - 0.1426524
⎢
⎢ 0.3779645 0.1252209 - 0.1438702
⎢ 0.3779645 - 0.8038761 - 0.1863875
⎣
dan
⎡ 2.6457513 344.59021 317.11786
R = ⎢⎢ 1.221D - 15 47.573072 - 26.292267
⎣⎢ - 2.776D - 17 - 1.776D - 14 750.4261
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥.
⎥
⎦⎥
Dari persamaan (2) maka dapat diperoleh
⎡6.3956361 ⎤
v ⎢
r*=
−1 T
x = R Q b = ⎢1.1086134 ⎥⎥ .
⎢⎣- 0.0028513⎥⎦
Hasil tersebut memberikan error sebesar
0.9137572%.
⎡
V = ⎢⎢
⎢⎣
⎡
) ⎢
;Σ = ⎢
⎢⎣
0.0014532 0.0073526 0.9999719 ⎤
0.1880912 0.9821230 - 0.0074947 ⎥⎥
0.9821505 - 0.1880968 - 0.0000442 ⎥⎦
827.69765 0.
0.
⎤
⎥;
0.
316.73876 0.
⎥
⎥⎦
0.
0.
0.3602842
0.3817121
0.2061858
-0.5286144
-0.1837105
-0.3019799
-0.637553⎤
⎡0.0305680
⎢0.0441346
0.594391⎥⎥
0.4475694
0.2648146
0.1686863
0.5346409
0.2449700
⎢
⎢0.0326905
0.4140803
-0.0101316
0.8226025
-0.1571499
-0.1850500
-0.302905⎥
⎥
⎢
U =⎢0.9962863
-0.0855238
0.0024050
0.0021617
0.0067902
-0.0052185
-0.003935⎥
⎢0.0356885
0.4691545
-0.3761456
-0.0954090
0.7742618
-0.1455160
0.085882⎥
⎥
⎢
0.4172344
-0.0587986
-0.0699509
-0.1135946
0.8906679
-0.098376⎥
⎢0.0411611
⎥
⎢0.0222433
0.2846228
0.8615738
0.0378964
0.208044
-0.0079334
0.3624974
⎦
⎣
.
Untuk menguji A = UΣV T dilakukan dengan
mengurangkan A − UΣV T sehingga diperoleh
matriks nol(setiap komponen 0). Dari
pemograman diperoleh setiap komponen
dekat ke 0. Hal ini dianggap sudah cukup
bagus. Selanjutnya kita perlu menghitung
v
⎡ cˆ ⎤ v
T
⎢ dv ⎥ = c = U b . Diperoleh
⎣ ⎦
)v
c = [177.96641 359.92784
2.3011884
]T
Karena rank (A)=r=3
maka kita tidak perlu
r
mendefinisikan d . Sehingga komponen cˆ
adalah dari komponen pertama hingga ketiga.
Untuk
menghitung yˆ , maka kita
r ˆ
cˆ diperoleh
menggunakan yˆ = Σ
r
v
yˆ = Σˆ cˆ = [0.2150138
1.1363555
v
y = [0.2150138 1.1363555
sehingga
6.3871479 ]
T
6.3871479 0 0 0 0]
T
v
Vektor y mempunyai komponen sebanyak m
dengan r|t|)
(Intercept) 6.395636 5.091881 1.256 0.277
x1
1.108613 0.038587 28.730 8.74e-06 ***
x2
-0.002851 0.002445 -1.166 0.308
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.835 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9952, Adjusted R-squared: 0.9928
F-statistic: 415.1 on 2 and 4 DF, p-value: 2.299e-05
Dari keputusan statistik yang diperoleh,
nampak bahwa variabel X 2 tidak
berkontribusi secara signifikan terhadap sifat
linear (ditandai dengan tidak adanya tanda
***). Jadi dengan SVD dapat ditunjukkan
bahwa regresi linear berganda dapat
memberikan penyelesaian sekalipun dari
operasi
KESIMPULAN
Sistem persamaan linear dapat
mempunyai penyelesaian dan tidak punya
penyelesaian. Dengan metode QR dan SVD
maka sistem persamaan linear selalu dapat
mempunyai penyelesaian. Kasus untuk
memjelaskan hal ini adalah dengan regresi
linear berganda yang diselesaikan dengan
QR dan SVD. Sekalipun error kecil, dengan
pengujian signifikansi secara statistik maka
salah satu variabel independen tidak
signifikan.
Materi ini ditujukan kepada
mahasiswa
dan
pengajar
matematika
pendidikan dan guru-guru matematika SMA
agar adanya penajaman materi sistem
persamaan linear.
Daftar Pustaka
Parhusip, H.A, 2012, Various Applications of
Linear Algebra, 2012. will appear on
proceeding of SEMINAR ALJABAR
2012, oleh HPA dan IndoMS di UNDIP
14 April 2012 (keynote speaker).
Parhusip, H.A.,2010. Stability Of BeulosovZhabotinsky
Reaction,
presented
proceeding The 2nd International
Conference on Chemical Science (ICCS)
2010 Universitas Gadjah Mada
Parhusip, H. A., Evi, K., dan Dyah K., 2010.
Uji Normalitas dan Fungsi Linear
Kepadatan Penduduk Salatiga tahun
2008, Prosiding Seminar Nasional dan
Pendidikan Sains FSM ISSN: 20870922, Vol.1 No.1, hal. 643-654.
Parhusip H. A., 2009. Modelling o Total
Investment and Its Efficiency in the
District of Sidomukti, Proceeding of
IndoMS International Conference on
Mathematics and Its Applications
(IICMA), ISBN:978-602-96426-0-5,
0353-0352.
Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988.
The
Mathematics
of
Nonlinear
284
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
Programming, Springer Verlag, New
York, Inc.
Pradhitya, K.A.S., Bambang Susanto, B., dan
Parhusip,H.A.2012. Perhitungan Harga
Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak
Brown Geometri, Prosiding Seminar
Nasional Penelitian, Pendidikan dan
Penerapan MIPA, Fakultas MIPA,
Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni
2012, ISBN : 978-979-99314-6-7,M131M13.
Watkins,D.S, 1991. Fundamentals of Matrix
Computations, John Wiley & Sons, New
York.
Web1.http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1107/1
107.2126.pdf
(diunduh
pada
17
September 2012)
Saad, Y., Schultz, M.H., 1986. GMRES: A
Generalized Minimal Residual Algorithm
For Solving Nonsymmetric Linear
Systems Vo|. 7, No. 3, Siam J. Sci. Stat.
Comput.
285