HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DENGAN RECTANGLE

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 58 – 62

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK

DENGAN RECTANGLE

SISKA NURMALA SARI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

siska.nurmala95@yahoo.com

Dalam artikel ini akan dipelajari hubungan antara himpunan kubik asik-

lik dengan rectangle. Diberikan suatu kubus dasar Q yang merupakan suatu hasil kali

berhingga dari interval-interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l, l] untuk suatu l ∈

  Z. suatu

himpunan kubik X adalah gabungan berhingga dari kubus-kubus dasar Q. Himpunan

_{n n n}

kubik dengan bentuk X = [k , l ]×[k , l ]×· · ·×[k , l ] ⊂ disebut rectangle, dimana

_{i i i i 1 1 2 2 R}

k , l adalah bilangan bulat dan k ≤ l . Selanjutnya diperoleh bahwa sebarang rectangle

_{k k}

X adalah asiklik, dengan kata lain H (X) isomorfik dengan (X)

Z jika k = 0, dan H isomorfik dengan 0 jika k > 0.

  Kata Kunci : Himpunan kubik, asiklik, isomorfik

  1. Pendahuluan Topologi merupakan cabang matematika yang merupakan pengembangan dari ge- ometri. Sesuai dengan namanya, topologi, kajian awal bidang ini adalah dengan mempertimbangkan konsep ’tempat’ dalam struktur lokal maupun globalnya (kon- sep ruang topologi).

  Misalkan diberikan ruang topologi X. Selanjutnya didefinisikan suatu objek al- jabar H (X) yang disebut dengan homologi dari X, dimana secara topologi H (X) _{∗ ∗} adalah suatu invarian, artinya jika X dan Y adalah homeomorfik maka H (X) dan _∗ H (Y ) adalah isomorfik, _∗ X ≈ Y ⇒ H (X) ∼ (Y ). _{∗ ∗} = H H (X) merupakan koleksi dari grup homologi ke-k dari X yang dinotasikan dengan _∗ H k (X).

  Tulisan ini difokuskan pada homologi kubik, dimana ruang topologi dapat di- representasikan sebagai suatu kubik. Suatu kubus dasar Q adalah suatu hasil kali hingga dari interval-interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l, l] untuk suatu l ∈ _n Z. Jadi, Q = I × I × · · · × I n ⊂ . Himpunan kubik merupakan suatu kelas khusus

  1

2 R dari ruang topologi.

  Salah satu jenis dari himpunan kubik adalah himpunan kubik asiklik, dimana homologi dimensi ke-k adalah Z, jika k = 0,

  H k (X) ∼ (1.1) = Hubungan Antara Himpunan Kubik Asiklik dengan _n

  Himpunan kubik dengan bentuk X = [k , l ] × [k , l ] × · · · × [k n , l n ] ⊂ disebut

  

1

  1

  2

  2 R

  rectangle , dimana k i , l i adalah bilangan bulat dan k i ≤ l i . Rectangle juga dapat dikatakan sebagai kubus dasar jika k i = l i atau k i + 1 = l i untuk setiap i. Tulisan ini bertujuan untuk mengkaji hubungan antara himpunan kubik asiklik dengan rectangle

  .

  2. Hubungan Antara Himpunan Kubik Asiklik dengan Rectangle Definisi 2.1.

  [1] Rectangle adalah suatu himpunan dengan bentuk X = [k _n

  1 , l 1 ] × [k , l ] × · · · × [k , l ] ⊂ , dimana k , l adalah bilangan bulat dan k ≤ l .

  2 2 n n R i i i i

  Sebarang rectangle adalah himpunan kubik. Rectangle juga dapat dikatakan sebagai kubus dasar jika k i = l i atau k i + 1 = l i untuk setiap i. Teorema 2.2. [1] Sebarang Rectangle X adalah asiklik. Bukti.

  Misalkan ∆ = [k, l] ⊂ R suatu interval dengan titik ujung bilangan bulat dan didefinisikan l − k, jika l > k,

  µ(∆) := (2.1) 1, jika k = l. Interval ∆ merupakan interval dasar jika dan hanya jika µ(∆) = 1.

  Misalkan X suatu rectangle, sehingga dapat ditulis sebagai X = ∆ × ∆ × · · · × ∆ d ,

  1

  

2

  dimana ∆ i = [k i , l i ] merupakan interval dengan titik ujung bilangan bulat. Didefini- sikan µ(X) := µ(∆ )µ(∆ ) · · · µ(∆ d ).

  1

  2 Untuk setiap m akan dibuktikan rectangle X adalah asiklik, yaitu dengan menggu- nakan induksi terhadap m := µ(X).

• Untuk m = 1.

  Jika m = 1 maka X merupakan kubus dasar. Oleh karena itu, X asiklik berdasarkan Teorema 2.76 [1].

• Untuk m > 1.

  Asumsikan bahwa X adalah asiklik untuk semua µ(X) < m. Karena m > 1 maka µ(∆ i ) = l i − k i ≥ 2 untuk suatu i ∈ {1, 2, · · · , d}. Misalkan diberikan sebarang rectangle

  X := [k , l ] × · · · × [k , l ] × · · · × [k , l ],

  1 1 i i d d

  X := [k , l ] × · · · × [k i , k i + 1] × · · · × [k d , l d ],

  1

  1

  1 X := [k , l ] × · · · × [k i + 1, l i ] × · · · × [k d , l d ].

  2

  1

  1 Akibatnya diperoleh Siska Nurmala Sari

  adalah suatu rectangle dan µ(X)

  µ(X ) = µ(X ∩ X ) = < m,

  1

  

1

  2

  µ(∆ i ) µ(∆ i ) − 1 µ(X ) = µ(X) < m.

  2

  µ(∆ i ) Maka berdasarkan asumsi induksi diperoleh bahwa X , X , dan X ∩ X masing-

  1

  2

  1

  2

  masing adalah asiklik. Karena µ(X) = µ(X ∪ X ) = m dan berdasarkan Teorema

  1

  2 2.78 [1], maka X adalah asiklik.

  Pernyataan pada Teorema 2.2 tidak berlaku sebaliknya, yaitu tidak semua him- punan kubik yang asiklik adalah rectangle. Contoh 2.3.

  Misal diberikan himpunan kubik

  1 Γ = [0, 1] × [0] ∪ [0] × [0, 1].

  Himpunan-himpunan dari kubus dasar adalah

  1 K (Γ ) = {[0] × [0], [0] × [1], [1] × [0]},

  1 K (Γ ) = {[0, 1] × [0], [0] × [0, 1]}.

  1 Maka basis untuk himpunan rantai-rantai dari kubus dasar adalah

  1

  b K (Γ ) = { \ [0] × [0], \ [0] × [1], \ [1] × [0]},

  = {c [0] ⋄ c [0], c [0] ⋄ c [1], c [1] ⋄ c [0]},

  1

  \ b K (Γ ) = { \ [0, 1] × [0], [0] × [0, 1]},

  1 = { d [0, 1] ⋄ c [0], c [0] ⋄ d [0, 1]}.

  1 Untuk menghitung operator batas dari Γ , perlu dihitung batas dari anggota- anggota basisnya. dim d [0,1]

  d ∂( d [0, 1] ⋄ c [0]) = ∂ d [0, 1] ⋄ c [0] + (−1) [0, 1] ⋄ ∂c [0],

  1

  d = (c [1] − c [0]) ⋄ c [0] + (−1) [0, 1] ⋄ 0, = c [1] ⋄ c [0] − c [0] ⋄ c [0] − 1(0), = c [1] ⋄ c [0] − c [0] ⋄ c [0], = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [0].

  dim c [0]

  c ∂(c [0] ⋄ d [0, 1]) = ∂c [0] ⋄ d [0, 1] + (−1) [0] ⋄ ∂ d [0, 1], c

  = 0 ⋄ d [0, 1] + (−1) [0] ⋄ (c [1] − c [0]), = 0 + c [0] ⋄ (c [1] − c [0]), = c [0] ⋄ c [1] − c [0] ⋄ c [0], Hubungan Antara Himpunan Kubik Asiklik dengan

  Selanjutnya, ditentukan basisnya ∂( d [0, 1] ⋄ c [0]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [0], = −1(c [0] ⋄ c [0]) + 0(c [0] ⋄ c [1]) + 1(c [1] ⋄ c [0]) + 0(c [1] ⋄ c [1]).

  ∂(c [0] ⋄ d [0, 1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1], = −1(c [0] ⋄ c [0]) + 1(c [0] ⋄ c [1]) + 0(c [1] ⋄ c [0]) + 0(c [1] ⋄ c [1]).

1 Sehingga basis dari Γ dapat ditulis dalam bentuk matriks

    −1 −1   .

  ∂

  1 =

  1

  1

  1 Untuk memperoleh Z 1 (Γ ), akan dicari ker ∂ 1 dengan menyelesaikan persamaan

      −1 −1

  α

  1

    =  1  , α

  2

  1  

  −α −α

  

1

  2

    , = α

  

2

  α

  

1

  yang memberikan α

  1 = α 2 = 0.

  1

1 Karena Z (Γ ) = 0, B (Γ ) = 0, akibatnya

  1

  1

  

1

H (Γ ) ∼

1 = 0.

1 Selanjutnya akan dihitung H (Γ ). Pertama-tama, amati bahwa tidak ada solusi

  untuk persamaan    

  −1 −1

  1 α

  1

   1  =   .

  α

  2

  1

1 Ini berimplikasi bahwa c [0] ⋄ c [0] 6∈ B (Γ ). Dengan cara lain,

  ∂( d [0, 1] ⋄ c [0]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1], ∂(c [0] ⋄ d [0, 1]) = −c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [0]. ∂(− d [0, 1] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ d [0, 1]) = −∂( d [0, 1] ⋄ c [1]) + ∂(c [0] ⋄ d [0, 1])

  = −(−c [0] ⋄ c [0] + c [1] ⋄ c [0]) − c [0] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1] = c [0] ⋄ c [0] − c [1] ⋄ c [0] − c [0] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1] = −c [1] ⋄ c [0] + c [0] ⋄ c [1].

  Maka n o

  1

  c ⊂ B (Γ ). [0] ⋄ c [0] − c [0] ⋄ c [1], c [0] ⋄ c [0] − c [1] ⋄ c [0], c [1] ⋄ c [0] − c [0] ⋄ c [1] Siska Nurmala Sari

  Khususnya, semua rantai-rantai dasar bersifat homologous, sehingga c [0] ⋄ c [0] ∼ c [0] ⋄ c [1] ∼ c [1] ⋄ c [0].

  1 Selanjutnya, misalkan sebarang rantai z ∈ C (Γ ). Maka

  c c c z = α

  1 [0] ⋄ c [0] + α 2 [0] ⋄ c [1] + α 3 [1] ⋄ c [0].

  Sehingga pada tingkat homologi, ₁ h i c c c [z] =

  Γ α 1 [0] ⋄ c [0] + α

2 [0] ⋄ c [1] + α

3 [1] ⋄ c [0] ₁ Γ

  h i h i h i = α c + α c + α c

  1 [0] ⋄ c [0] ₁ 2 [0] ⋄ c [1] ₁ 3 [1] ⋄ c [0] ₁ Γ Γ Γ

  h i c = (α

  1 + α 2 + α

3 ) .

  [0] ⋄ c [0] ₁

  Γ

  

1

  1

  1 Oleh karena itu, setiap anggota dari H (Γ ) = Z (Γ )/B (Γ ) dibangun oleh c [0]⋄c [0],

  1

  dan karenanya dimH (Γ ) = 1. Lebih khusus, Z, jika k = 0, 1,

1 H k (Γ ) ∼

  = 0, selainnya.

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Dr. Yanita, Ibu Nova Noliza Bakar, M.Si, dan Bapak Budi Rudianto, M.Si yang telah mem- berikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2004. Computational Homology.

  Springer-Verlag New York.