TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME PEMBELAJARAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Agar pembaca memahami apa yang disebut dengan Integral Lipat Dua
atas Persegipanjang dan bukan Persegipanjang, selanjutnya dapat
memahami penggunaan Integral Lipat Dua untuk menghitung Volume
Bidang Empat, Massa suatu Benda dan Pusat Massa suatu BendaOUTCOME PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat : 1.
Memahami dan mampu menyelesaikan Integral Lipat Dua atas Persegipanjang dan Bukan Persegipanjang
2. Memahami dan mampu menggunakan Integral Lipat Dua untuk menentukan Volume Bidang Empat, Massa Suatu Benda, Pusat massa suatu benda
5.1. Integral Lipat Dua atas Persegipanjang
Adalah Henry Lebesque yang menyumbang tentang pengintegralan
dalam dimensi satu dan dimensi n yang dikenal dengan Integral
Lebesque yaitu yang memberikan sumbangan pada integral Riemann.
Integral Riemann untuk fungsi satu peubah yang telah kita pelajari
adalah dalam interval dibagi menjadi n buah partisi yang
a, b P panjangnya , dimana 1 , 2 , 3 ... , jika kita mengambil suatu titik
x k n k
dari sub interval ke- , maka menurut Riemann didefinisikan : c k k b n f ( x ) dx Lim f ( c ) x k k
P
1 k a
Diketahui R suatu persegipanjang dengan sisi-sisi sejajar dengan
sumbu-sumbu koordinat, misalkan R x , y : a x b , c y d
jika dibuat partisi P dari R dengan cara membuat garis-garis yang
sejajar dengan sumbu x dan sumbu y seperti Gambar 6.1. c d a b x , y k k R R k
Gambar 5.1. Pembagian Daerah R Terlihat daerah R dengan batas R x , y : a x b , c y d
dibagi menjadi n buah partisi yang berbentuk persegipanjang kecil
yaitu dimana 1 , 2 , 3 ,..... , jika kita mengambil satu buah partisi R k n k yaitu yang panjang sisinya dan , maka luas partisi
R x y R k k k k
adalah . , jika didalam kita mengambil sebuah titik
A x y A k k k k
yaitu kemudian kita substitusikan kedalam fungsinya yaitu
x , y k k, maka diperoleh tinggi satu buah partisi yaitu z f x , y
, , sehingga volume satu buah partisi diperoleh
z f x y k k
, karena semuanya terdapat buah partisi, maka
f x y A n k k k menurut penjumlahan Riemann diperoleh : n
,
f x y A
k k k k 1 Seperti pada Gambar 5.2
,
f x y A k k k c d a b
x , y k k R R k
Gambar 5.2. Volume satu partisiDefinisi Integral Lipat Dua : Andaikan f ( x , y ) suatu fungsi dua variable bebas yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R , jika : n ,
Lim f x y A
k k k P k 1Ada, kita katakana f ( x , y ) dapat diintegralkan pada R , lebih
,
lanjut integral yang dituliskan yang disebut f x y dA
R
Integral Lipat Dua f ( x , y ) pada R diberikan : n
, ,
f x y dA Lim f x y A k k k
P R
k 1 b Seperti halnya integral lipat satu, yaitu jika , maka f x f x dx a menyatakan luas daerah dibawah kurva dalam interval y f x
a, b
, dalam integral lipat dua juga menyatakan hal yang sama, jika
maka , menyatakan Volume benda pejal di f x , y f x y dA R bawah permukaan z f x , y dan di atas persegi panjang .
R Sifat-Sifat Integral Lipat Dua : 1.
Integral lipat dua adalah linier
a. , , kf x y dA k f x y dA
R R
b. , , , , f x y g x y dA f x y dA g x y dA
R R R 2.
Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis a. , , , f x y dA f x y dA f x y dA
R R R 1
2
3. untuk semua f x , y g x , ySifat pembandingan berlaku, jika x, y di R , maka
a. , , f x y dA g x y dA
R R
4. jika pada , maka integral lipat dua merupakan luas
f x , y 1 R
daerah R a. kdA k
1 dA kA R
R R
Contoh 5.1 : Andaikan f x , y berupa fungsi tangga yaitu :
1 3 ,
1
x y
,
2 3 ,
1
2
f x y x y
3 3 ,
2
3 x y
Hitung , dengan f x y dA R x , y : x
3 , y
3
R
Penyelesaian 5.1 : Jika fungsi kita gambar, maka seperti Gambar 5.3 f x , y
Z
3
2
1
1
2
3
3 R 1 R 2 Y R 3 X
Gambar 5.3. Fungsi Tangga Diketahui ada tiga daerah persegi panjang, yaitu :.
R x , y : x
3 , y
1 1
. R x , y : x
3 , 1 y
2 2 , : 3 ,
2
R x y x y 3 , , , , f x y dA f x y dA f x y dA f x y dA
3 .
R R R R 1 2 3 1 .
2 . 3 . A R A R A R 1 2 3
1 . 3 1 2 . 3 1 3 . 3
1
3 .
2 ,
4 , 2 : 5
y x y x R
, dengan titik tengah
1 , 3 , 5 5 y x 6.
4 2 ,
4 , 2 : 6
y x y x R
, dengan titik tengah
3 , 3 , 6 6 y x 7.
6 4 ,
, dengan titik tengah
4 , 2 : 7
y x y x R
, dengan titik tengah
5 , 3 , 7 7 y x 8.
8 6 ,
4 , 2 : 8
y x y x R
, dengan titik tengah
7 , 3 , 8 8 y x
Jika ke delapan daerah bujur sangkar kita gambar, maka seperti Gambar 5.4 Contoh 5.2 : Penyelesaian 5.2 :
(4,0,2)
(4,8,6) (0,8,8) (0,0,4)
7 , 1 , 4 4 y x 5.
8 6 , , 2 : 4 y x y x R
3 3 .
Jika daerah R kita bagi menjadi delapan buah bujur sangkar yang
sama, dengan sebuah titik tengah k k y x , yaitu : 1.2 3 . 1 18
Tentukan
R dA y x f
, jika diketahui
16
8
64 , 2
y x y x f
dimana
8 , , 4 : y x y x R
2 , , 2 : 1 y x y x R , dengan titik tengah
1 , 1 , 1 1 y x 2.
4 2 , , 2 : 2
R y x y x , dengan titik tengah
3 , 1 , 2 2 y x 3.
6 4 , , 2 : 3
y x y x R
, dengan titik tengah
5 , 1 , 3 3 y x 4.
Z Untuk melakukan penjumlahan Riemann, maka titik tengah 2 x , y k k
64
8 x y
kita substitusikan ke dalam fungsi , untuk f x y
16
memperoleh tinggi masing-masing balok yang alasnya berbentuk bujur sangkar, diperoelh : 2
64 8 ( 1 ) ( 1 )
64
8
1
57
1. , x , y
1 , 1 f x y
1 1 1 1
16 2
16
16
64 8 ( 1 ) ( 9 )
64
8
9
65
2. , x , y
1 , 3 f x y
2 2 2 2
16 2
16
16
64 8 ( 1 ) ( 5 )
64
8
25
81
3. ,
1 , 5 ,
x y f x y 3 3 3 3
16 2
16
16
64 8 ( 1 ) ( 7 )
64
8 49 105
4. , x , y
1 , 7 f x y
4 4 4 4
16 2
16
16
64 8 ( 3 ) ( 1 )
64
24
1
41
5. ,
3 , 1 ,
x y f x y 5 5 5 5
16 2
16
16
64 8 ( 3 ) ( 3 )
64
24
9
49
6. ,
3 , 3 ,
x y f x y 6 6 6 6
16 2
16
16
64 8 ( 3 ) ( 5 )
64
24
25
65
7. ,
3 , 5 ,
x y f x y 7 7 7 7
16 2
16
16
64 8 ( 3 ) ( 7 )
64
24
49
89
8. ,
3 , 7 ,
x y f x y 8 8 8 8
16
16
16 Sehingga menurut Sifat penjumlahan diperoleh : 8
, , f x y dA f x y dA k k
k 1 R R k
, , , f x y dA f x y dA f x y dA 1 1 2 2 3 3 R R R 1 2 3
, , , f x y dA f x y dA f x y dA 4 4 5 5 6 6
R R R 4 5 6 , , f x y dA f x y dA
7 7 8 8 R R 7 8
57
65 81 105
41 dA dA dA dA dA
R R R R R 1
16 2
16 3
16 4
16 5
16
49
65
89
dA dA dA R R R 6
16 7
16 8
16
57
65 81 105 A R A R A R A R 1 2 3 4
16
16
16
16
41
49
65
89 A R A R A R A R 5 6 7 8
16
16
16
16 Karena
4 A R A R A R A R A R A R A R A R 1 2 3 4 5 6 7 8 Maka integral di atas dapat ditulis menjadi :
4
4
57
65 81 105
41
49
65 89 552
16
16
, 138
f x y dA
R
5.1.1. Soal-Soal Latihan A.
y x f ,
4
2 1 ,
,
2
3
1
2 1 ,
y x y x y x 4.
1
3
1 1 ,
3
3
3
3
,
menghitung penjumlahan Riemann dengan menganggap titik
, dengan
R dA y x f
, hitung nilai pendekatan dari
dan 2 y
4 x
2 x
1 1 ,
dan P adalah partisi dari R menjadi enam bujursangkar yang sama oleh garis
4 , , 6 : y x y x R
Diketahui
y x y x y x B.
1
4
2 1 ,
Diketahui
2 ,
y x f ,
3
3 2 ,
4
2 ,
2 ;
3
2.
, y x f sebagai berikut : 1.
dengan fungsi
,
R dA y x f
hitunglah
4 , 1 : y x y x R
1 y x y x
2 ,
3.
,
2
1
3
y x f ,
1 y x y x
4
1 1 ,
4
2 1 ,
1 ;
2
, y x f
4 sebagai titik tengah bujur sangkar, jika sebagai x , y f x , y k k
berikut : 1. f x , y 12 x y
2 2. ,
10
f x y y 2 2 3. ,
2
f x y x y 4. f x , y
2 x 2 y
5.2.
Integral Lipat Untuk menghitung masalah , dengan berupa f x y dA R
R persegipanjang yaitu :
R x , y : a x b , c y d
Jika kita asumsikan bahwa pada R sehingga kita dapat
f x , y
menafsirkan integral lipat dua sebagai Volume dari benda pejal di
bawah permukaan, seperti pada Gambar 6.3Z z f x , y
c d Y a R b
X Gambar 5.5. Volume Benda Pejal di Bawah Permukaan
Volume benda pejal di bawah permukaan didefinisikan sebagai berikut
:,
V f x y dA
R
Dengan kata lain bahwa volume benda pejal seperti Gambar 5.5 dapat
ditentukan dengan integral lipat dua yaitu :d b
, ,f x y dA f x y dx dy
R c a
Atau dapat kita tulis :
b d
, ,
f x y dA f x y dy dx
R a c
Contoh 5.3 : 3 2 Tentukan integral berikut
2
3
x y dxdy
1 Penyelesaian 5.3 :
Pada integral di atas, cara pengintegralan yang pertama (di dalam
kurung) dengan menganggap variable sebagai konstanta, sehingga
y integral lipat di atas dapat diselesaikan sebagai berikut : 3 2 3 2
2
3
2
3 x y dxdy x y dx dy
1 1 3 2 2
3 x yx dy
3 2 1 2
2 3 ( 2 )
1 3 ( 1 ) y y dy
34
6
1
3 y y dy
3
3
3 y dy
3 2
1
16
64
4
8 4 2 2
1
dy dx y x
16
64
8
8 4 2
dxdy y x
dy x y x x
16
16
4
1
4
8 2
dy y
1
16
64
) 4 ( 4 ( 4 ) 4 (
8 2 2 )
1
64
2
2
2
3
3 ) 3 (
2
3 (
3 ) ( 3 )
2 2 ) (
9
y y
3
3
27
2
8
8 4 2
8 4 2
dxdy y x
Pada integral di atas, cara pengintegralan yang pertama (di dalam
kurung) dengan menganggap variable y sebagai konstanta, sehingga
integral lipat di atas dapat diselesaikan sebagai berikut1
16
64
8
45 Sehingga
dxdy y x Tentukan Integral berikut
2
3
45
2
3 2 1
dy y Contoh 5.4 : Penyelesaian 5.4 :
) 1 ( 1 (
2 1 3
3
1
4
dy yx x x
2 3 3 ) ( ) (
3
1 ) ( 4 )
3
4
11
3
2
dy y
1
1 ) 1 (
3
2
dy y y
4
4
12
12
1
)
8 (12
8 (
3 )
y y
1
3
12
dy y 8 3
12
1
4
8 2
12
512
96
2
138 V 2 1 2
Tentukan Volume dari benda pejal yang dibatasi oleh y x z 2
R dy dx y x zdxdy
Volume benda pejal tersebut adalah :
2 ; , 1 ; y x y x R
dan di bawah oleh persegipanjang
4
dxdy y x
Sehingga
1 8 4 2
16
64
8
2 138
3
dy y Contoh 5.5 : Penyelesaian 5.5 :
2
11
1 2 y y
3
2
11
1 2
11
1
2 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )
3
2
3
2
22
4
3
2
44
12
6
32
6 2 Sehingga Volume benda yang dibatasi oleh
4 dan di
z x y
32 bawah persegipanjang adalah
R x , y ; x
1 ; y
2
2 5.2.1.
Soal-Soal Latihan
A. Hitung Integral di bawah ini : 2 3 2 4 2 2 1.
2. x ydxdy
x y dxdy 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2
3. xy y dxdy 4.
x y dxdy
1 1 1 2 3 2 3 2 2 5.
2
2 6.
3
3 x y dxdy x y dxdy 1 1 1 1 1 1 2 2 2
2
7. y x dxdy 8.
1
3
x y dxdy
1 1 2 2 3 2 2 9.3
3 10.
2 x y dxdy x y dxdy
1 1 1 2
B. Hitung Integral Lipat Dua yang ditunjukan atas R di bawah ini
3 1. xy dA , R ( x , y ); x 1 , 1 y
1
R 2 2
2. , x y dA R ( x , y );
1 x 1 , y
2
R
2 3. 1 , ( , ); 3 , 1
2 xy x dA R x y x y
R
2
4. ,
x y dA R ( x , y ); x 1 , y
1
R 2 5.
4 , y dA R ( x , y ); x 2 , y
2
R
C. Tentukan Volume benda pejal dibawah bidang :
1. z x y 1 atas R ( x , y ); x
1 , 1 y
3
2. 2 3 atas R ( x , y );
1 x 2 , y
4
z x y 5.3.
Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegipanjang
Misalkan ada suatu himpunan tertutup dan terbatas di bidang
S seperti Gambar 5.6 berikut :
S
Gambar 5.6. Himpunan Tertutup S Himpunan tertutup dikelilingi oleh persegi panjang dengan sisi-S R sisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat seperti Gambar 5.7
R
S
Gambar 5.7. Himpunan R atas S
Andaikan f x , y terdefinisi pada S dan didefinisikan f x , y pada
bagian diluar S kita katakan dapat diintegralkan pada S jika ia
R f dapat diintegralkan pada R dan berlaku :
, ,
f x y dA f x y dA S R
Misalkan terdapat himpunan sederhana dimana dan S x x
1 2
adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada interval yang
a, b didefinisikan sebagai berikut :
S x , y : x y x , a x b
1 2 Jika kita gambar himpunan S tersebut seperti Gambar 5.8Y
y x
2
S
y x
1 a bX Gambar 5.8. Himpunan S dibatasi oleh y sederhana Jika kita ingin menghitung integral lipat dua dari suatu fungsi f x , y
atau suatu himpunan yang sederhana, maka kita lakukan
S y
melingkungi dalam suatu persegi panjang dan membuat
S R f x , y diluar S seperti Gambar 5.9
Y
y x
2 R d
S
cy x
1 a bX Dengan demikian integral lipat dua dapat didefinisikan sebagai berikut : b d b x 2
, , , ,
f x y dA f x y dA f x y dy dx f x y dy dx
S R a c a x
1
Secara singkat integral lipat dua untuk himpunan adalah : S
b
x 2, ,
f x y dA f x y dydx S a x
1 Contoh 5.6 :
1 x
2 Hitung integral lipat dua berikut :4
10
x y dydx
x 1 Penyelesaian 5.6 : x 2 1 2 x 2
4
10
4
5
x y dydx xy y dx
x
x 1 2
2
2 24 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 5 ( ) x x x x x x dx
1 3 4 2 2
4
5
4
5 x x x x dx
1 3 42
4
5
x x x dx
1
4 51 3 x x x
3 4 5
1 3
1
1 1 ( 1 )
1
1
3
3
3
1 , jika kita gambar maka bidang empat tersebut seperti pada Gambar 5.10
Diketahui batas S meliputi batas x yaitu
4 ,
, batas y adalah
2 2 , x sedangkan fungsinya adalah
y x z
6
12
12
4
1 sehingga volume benda pejal tersebut adalah :
Contoh 5.7 : Penyelesaian 5.7 : S
3 Y Z
X
2
4
2
2 x
y
3
6
S , kita akan mencari Volume benda pejal di bawah permukaan
y x z 1 2
10
4 x x
dydx y x
3
5
Gunakan integral lipat dua untuk menentukan volume bidang empat
yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang12
4
6 3 z y x
Daerah segitiga di bidang yang membentuk alas bidang empat sebagai
6
y x
3
12
4
1 dan di atas daerah S , bidang yang diberikan memotong bidang xy pada garis
x y
3
12
6
1 dan garis
Gambar 5.10. Volume Benda Pejal di Atas Daerah S V Z dA
S 2 x 4 2
1
12
3
6 x y dydx
4
4 2 x 2
3
3 2
3 y xy y dx
4
4 4 2
3
3
x x x
3 2 2
2 x dx
2
4
2
4
2
4
3
3
3
3
3 2 2
6
3 x x x x x dx
2
2
8
2
16 4
3
3 2
3
x x dx
2
16 4
3 2
3 3
3
x x x
4
48
3 2 3 192 3 3 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )
12
12
4
48
48 V
4 Contoh 5.8 :
Hitung Integral Lipat dua yang diberikan dengan mengubahnya ke
2suatu integral lipat , adalah daerah antara y x dan
x xy dA S 2 S
3
y x x Penyelesaian 5.8 : 2 Untuk menentukan daerah didapat 3 x x x diperoleh batas nilai
S x , yaitu : 2 3 x x x
5
2
4
2 ) 2 (
5
1 ) 2 (
12
2 ) 2 (
4
2 ) (
1 ) (
12
12
) (
6 5 4 6 5 4
x x x
2
4
2
5
) 64 (
1 ) 32 (
12
64
15
dA xy x 2
S
8
64
5
12
5
8
64
5
16
3
15 192 15 120
80
15
2
4
2 ) 16 (
1
dx x x x 2
6
5 43 2 x x x
1 dx xy y x x x x
2
2 3 2 2
2
dydx xy x
2 3 2 2 x x x
dA xy x 2
2 2 2 2 2 2 2 ) (
S
S x x y x x y x sehingga integralnya sebagai berikut :
3 , , 2 ,
2
, sehingga himpunan daerah S adalah
2 x
dan
x
2 2 x x ) 2 ( x x diperoleh nilai
2
2
3
2
1
2
2 5 4 3
dx x x x x x x