TUJUAN PEMBELAJARAN OUTCOME PEMBELAJARAN

TUJUAN PEMBELAJARAN

  Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang beserta penafsiran secara geometri

OUTCOME PEMBELAJARAN

  Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat : 1.

  Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga, antara lain Titik, Jarak dua Titik, Persamaan Bola, Posisi dua buah Bola, Persamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar

  2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

  3. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang

4.1. Sistem Koordinat Dimensi Tiga

  Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.

  Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih.

  Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu- sumbu

  X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O

  yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar 4.1 Z O Y

  X Gambar 4.1. Sistem Koordinat Dimensi 3 Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang ,

  yz

  bidang dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan

  xz

  oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu P ( x , y , z ) Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu : 1. yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x bidang 2. yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y

  xz

  bidang 3. yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z

  xy

  bidang ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4.2 berikut

  Z Z O O Y Y

  X X (a) Bidang yz

  (b) Bidang xy Z O Y

  X (c) Bidang xz

Gambar 4.2. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga

  Contoh 4.1 :

  Diketahui dua Titik yaitu titik P (

  2 ,

1 ,

2 ) dan titik Q (  2 ,  3 , 4 ) dimana

  letak kedua titik tersebut

  Penyelesaian 4.1 :

  . Titik P (

  2 , 1 , 2 ) , maka artinya titik P terletak pada 2 satuan dari

  , 1 satuan dari dan 2 satuan dari

  Sumbu 

  X Sumbu  Y Sumbu  Z artinya titik P terletak pada Oktan pertama

  . Titik Q (

  2 , 3 , 4 ) , maka artinya titik terletak pada -2 satuan   Q

  dari , -3 satuan dari dan 4 satuan dari

  Sumbu 

  X Sumbu  Y Sumbu  Z artinya titik terletak pada Oktan ketiga Q Jika titik P ( x , y , z ) sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang tersebut, titik ( , , ) berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y

  P x y z

  dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.3.

  Z

   (x,y,z) x z

   O

  Y

  X

  y

Gambar 4.3. Jarak ke tiga bidang

  Contoh 4.2 :

  Diketahui titik P ( 

  4 , 3 ,  5 ) gambarkan dalam sistem koordinat dimesi

  tiga

  Penyelesaian 4.2 :

  Gambar titik ( 

  4 , 3 ,  5 ) seperti bangun sebuah balok P

  Z

• 4 O

  3 Y

  X

   (-4,3,-5)

• 5

4.1.1. Jarak Dua Titik

  Misalnya ada dua titik yaitu dan dalam

  P x , y , z P x , y , z _{1 }

₁

_{1 1  2  2 2 2 }

  ruang dimensi tiga dimana , dan , dan

  x  x y  y z  z P P ₁

₂

_{1 2 1 2 1 2}

  merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti pada Gambar 4.4.

  Z

   P x , y , z _{2  2 2 2 }

   P x , y , z _{1  1 1 1 }

  Y

  Q

  X R

Gambar 4.4. Jarak Dua Titik

  Jika kita letakan sebuah titik dan titik R ternyata masing-masing

  Q

  titik mempunyai koordinat dan titik R mempunyai

  

Q x , y , z



²

^{2 1 }

  koordinat , karena segiriga siku-siku di dan

  ,  P QP R x y z

  Q  ^{2 1 , 1  2 1}

  segitiga  QRP siku-siku di R , maka akan diperoleh panjang garis ₁ dan panjang garis menurut rumus Pytagoras yaitu

  P P QP _{1 2 2 2 2 1}

  .  

  P P P Q QP _{1 2 2 1} Dan _{2 2 2} sehingga panjang garis

  . QP  QR  RP _{1 2 2 1 2 2}    

  P P P Q QR RP _{1 2 2 2 2 1 2 2}

   atau

  P P   z  z    y  y    x  x  _{1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1}

  

  P P   x  x    y  y    z  z  _{1 2 2 1 2 2 1 2}

₂

_{1 2}

  

  P P   x  x    y  y    z  z  _{1 2 2 1 2 1 2 1} Secara umum jika diketahui dua titik dan

  P x , y , z P x , y , z _{1  1 1 1  2  2 2 2 }

  maka panjang atau jarak antara titik dan dirumuskan sebagai

  P P _{1 2}

  berikut :

  2

  2

  2 P P  x  x  y  y  z  z

       

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1 Contoh 4.3 : Diketahui titik dan tentukan jarak titik ke

  P 3 , 4 , 

  2 Q  4 ,  2 ,

  5 P    

  titik atau PQ

  Q Penyelesaian 4.3 :

  Diketahui P

  3 , 4 ,  2 dan Q  4 , 

2 ,

5 , maka jarak kedua titik itu    

  adalah : _{2 2 2}  PQ x x y y z z

              _{2 1 2 2 1 2 2 1 2}

  4

  3

  2

  4 5 ( 2 )

   PQ

                 _{2 2 2}

  7

  6

  7

   PQ

            

  

  42

  36

42 PQ   

   120

  PQ 

   

  10 ,

95 PQ

  Contoh 4.4 :

  Diketahui titik dan tentukan jarak titik

  P 4 ,  5 , 

  3 Q  2 ,  1 , 

  7 P    

  ke titik atau PQ

  Q

  Penyelesaian 4.4 :

  Diketahui titik dan titik , maka jarak kedua

  P 4 ,  5 , 

  3 Q  2 ,  1 , 

  7    

  titik itu adalah : _{2 2 2} 

  PQ   x  x    y  y    z  z  _{2 1 2 2 1}

₂

_{2 1 2}

  

  2

  4

  1

  5 7 ( 3 ) PQ                    _{2 2 2}

  

  6

  4

  4 PQ           

   

  36  14 

  14 PQ

  

  64 PQ 

  8

  

  PQ  4.1.2.

   Bola dan Persamaanya

  Pada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa jarak dua buah titik misalnya titik P x , y , z dan titik _{2 1}   _{1 1 1 2 2} P x , y , z adalah , ₂

  P P   x  x    y  y    z  z 

_{2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1} karena sebuah bola merupakan himpunan titik , , yang

  P  x y z 

  berjarak sama atau konstan yaitu R atau jari-jari dari suatu titik tetap Q a , b , c sebagai titik pusat bola, maka jarak setiap titik

    , , ke titik pusat menurut rumus jarak dua titik

  P  x y z  Q a , b , c ₂   _{2 2}

  adalah , karena jarak titik P ke

  PQ   x  a    y  b    z  c 

  titik atau sama dengan jari-jari sebuah bola , maka

  Q PQ _{2 2 2} PQ  R

  dan karena , maka ₂ PQ   x  a    y  b    z  c  _{2 2}

₂

        karena , maka didapat PQ  x a   y b   z c  PQ  R _{2 2 2 2 2 2}

  , sehingga diperoleh      

  

PQ  R R  x a   y b   z c 

  maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut :

  2

  2

  2

  2 x  a  y  b  z  c  R

        Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat dengan

  a , , b c   jari-jari R seperti pada Gambar 4.5.

  Z  x , y , z

    R

   a , , b c  

  Y

  X Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c) _{2 2 2 2} Jika persamaan kita uraikan, maka

   x  a    y  b    z  c   R

  akan menjadi persamaan : _{2 2 2 2}

  x  a  y  b  z  c  R       _{2 2 2 2 2 2 2}

  

  2

  2

  2 x  ax  a  y  by  b  z  cz  c  R _{2 2 2 2 2 2 2}

  

  2

  2

  2 x  y  z  ax  by  cz  a  b  c  R _{2 2 2 2 2 2 2}

  

  2

  2

  2 x  y  z  ax  by  cz  a  b  c  R  _{2 2 2 2} Jika , , dan     , maka A  

  2 a B   2 b C   2 c D a b c R

  persamaan akan menjadi : _{2 2 2} 

  x  y  z  Ax  By  Cz  D 

  Sehingga persamaan bola dengan titik pusat di dengan jari-

  a , , b c  

  jari R adalah :

  2

  2

  2

x  y  z  Ax  By  Cz  D 

  Dengan Catatan :

  A   2 a B 2 b  

  C   2 c _{2 2 2 2}    

  D a b c R

  Contoh 4.5 :

  Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik dengan jari-

  2 , 4 , 

  2   jari 4.

  Penyelesaian 4.5 :

  Diketahui titik pusat bola jari-jarinya R 

  4 , maka 2 , 4 , 

  2

 

  persamaanya : _{2 2 2 2} 

   x  a    y  b    z  c   R _{2 2 2}

₂

  

  2

  4

  2

  

4

x   y   z  

       

  Sehingga persamaan bolanya adalah : _{2 2 2}

  2

  4

  2

  16  x     y     z   

  Contoh 4.6 :

  Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik dengan jari-

  , ,   jari 3.

  Penyelesaian 4.6 :

  Diketahui titik pusat bola , , jari-jarinya R 

  3 , maka  

  persamaanya : _{2 2 2 2} 

  x  a  y  b  z  c  R       _{2 2 2}

₂

        

  

3

 x   y   z  _{2 2 2} Sehingga persamaan bolanya adalah :

  9 x  y  z 

  Contoh 4.7 : _{2 2 2} Diketahui bola

  10

  8

  12 68 , tentukan pusat x  y  z  x  y  z  

  dan kari-jarinya

  Penyelesaian 4.7 : _{2 2 2} Diketahui persamaan bola

  10

  8

  12 68 , x  y  z  x  y  z  

  maka diperoleh data , , dan , karena

  A  

10 B  

  8 C  

  12 D 

  68

  . A  

  2 a   a 2   10  a 

  5 . 2 

  2

8 

  4 B   b  b   b 

  .  

  C   2 c  c _{2 2 2 2} 2   12 c 

  6 _{2 2 2 2}

  . D  a  b  c  R 

  68  ₂ 5  4  6  R

   R  ₂ 25  16  36 

  68

  

  9 R 

   R 

  3 Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat

  di titik

  5 , 4 , 6 dengan jari-jari R 

  

3

 

  Grafiknya seperti Gambar 4.6 Z

  

3

   5 , 4 ,

  

6

 

  4 Y

  5 X

Gambar 4.6. Bola dengan pusat (5,4,6) dan R=3 4.1.3.

   Titik Tengah

  Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik tengah, misalkan diketahui dua titik P x , y , z dan P x , y , z ₁     _{1 1 1 2 2 2 2} yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika

  , ,

  titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai M m m m

    _{1 2 3}

  dimana m , m dan diperoleh dari rumus : _{1 2} m ₃ x  x y  y z  z _{1 2 1 2 1 2} m  m  m  _{1 2 3}

  2

  2

  2 , , . Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7 Z

  y ₁ m ₂ y ₂ x ₂ m ₁ Y z ₂ x

  X ¹ 

  

m

₃ P x , y , z _{2  2 2 2 } z

   ¹ , ,

  M  m m m 

¹

^{2 3}

   P x , y , z _{1  1 1 1 }

Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis

  Contoh 4.8 :

  Tentukan titik tengah antara titik dan titi

  

P

_{1  } 2 , 4 , 

  2 P _{2  } 6 ,  4 , 

  8 Penyelesaian 4.8 :

  Diketahui titik

  2 , 4 , 2 dan titik 6 , 4 , 8 maka koordinattitik P  P   _{1   2  }

  tengahnya adalah , , dimana :

  M  m m m  _{1 2 3} x  x _{1 2 }

  2

  6

  8 .

  4  m   m    _{1 1}

  2

  2

  2 y  y

  4

  4 _{1 2}

   

.

   m   m _{2    2}

  2

  

2

  2 z  z

  2

  8

  10 _{1 2}      

  . m 

  5   m     _{3 3}

  2

  2

  2 Sehingga titik tengah mempunyai koordinat M 4 , ,  5 , jika  

  kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8

  Z

• 4

  4

  2 Y

  X

  6

• 5

   2 , 4 , 

  2  

   M 4 , , 

  5  

   6 ,  4 , 

  8  

Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis

  Contoh 4.9 :

  Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah dari suatu garis yang dibentuk dari dua titik dan titik

  P  _{1  } 1 , 2 ,

  3 P 5 ,  2 ,

  7 ₂   Penyelesaian 4.9 :

  Persoalan yang kita hadapi adalah pusat bola belum diketahui, jari- jari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan pusat bola dan jari-jari.

  . Koordinat Titik tengah antara titik dan titik

  P  1 , 2 ,

  3 P 5 ,  2 ,

  7

    

_{1 2} , ,

  adalah dimana :

  M  m m m  _{1 2 3}

  1

  5

  4 x  x _{1 2  }

  2 m   m    _{1 1}

  

2

  2

  2

  2

  2 y  y _{1 2    } m   m    _{2 2}

  

2

  2

  2 z  z _{1 2 }

  3

  

7

  10

  5 m   m    _{3 3}

  2

  2

  2 Jadi titik tengahnya dan titik tengah ini merupakan M 2 , ,

  5  

  titik pusat bola

  . Jari-jari bola adalah jarak titik tengah ke titik

   M 2 , ,

  5  

  yaitu atau jarak titik ke titik

  P  1 , 2 ,

  3 P M M 2 , ,

  5 ₁     ₁ P 5 ,  2 , 7 yaitu P M ₂   _{2 2 2 2}

  

  P M   m  x    m  y    m  z  _{1 1 1 2 2}

₂

₁

_{3 2 1}

  

  2

  1

  2

  5

  3 P M                _{1 2 2 2}

  

  3

  2

  2 P M           ₁

  

  9

  4

  4 P M    ₁

  

  17 P M  ₁ Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah : _{2 2 2 2}

   

  2     5 

  

17

 x   y   z  _{2 2 2}

 

  

  2

  5

  17  x    y   z   

  Atau dalam bentuk : _{2 2 2}

  4

  10

  12 x y z x z

        4.1.4.

   Persamaan Bidang Datar

  Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang. Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut :

  

Ax By Cz D

_{2 2}

  

₂

  dengan syarat A B C

    

  jika suatu bidang memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu

  S

  sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik potong sumbu-x yaitu , titik potong sumbu-y yaitu

  P x , , Q 0 y , ,     dan titik potong sumbu-z yaitu , untuk menentukan nilai

  R , , z   x, y dan z

  sebagai berikut : . Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai  dan z

  y 

  . Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai dan

  x  z 

  . Untuk menentukan nilai , maka kita beri nilai dan

  z x  y 

  Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu ,

  P x , , Q 0 y , ,    

  dan R , , z

    Contoh 4.10 :

  Gambarkan grafik dari persamaan

  3 x 4 y 2 z

  12    Penyelesaian 4.10 :

  Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x, y dan z , yaitu : . Untuk menentukan nilai , maka kita beri nilai dan

  x y  z 

  dan kita substitusikan ke persamaan

  3

  4

  2 12 , maka x  y  z 

  diperoleh 

  3 x  4 ( )  2 ( ) 

  12

  

  3

  12 x   

  

  3 x 

  12

   sehingga titik potong sumbu-x adalah

  x 

  4 P 4 , ,  

  . Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai x  dan z  dan kita substitusikan ke persamaan , maka

  3  4  2 

  12 x y z

  diperoleh 

  3 ( )  y 4  2 ( ) 

  12

    y

  4  

  12

  

  4

  12 y 

   

  3 sehingga titik potong sumbu-y adalah Q , 3 , y

   

  . Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x dan 

   y

  dan kitasubstitusikan ke persamaan

  3 x  4 y  2 z  12 , maka

  diperoleh 

  3 ( ) 4 ( ) 2 z

  12   

  

    2 z 

  12

  

  2 z 

  12

   sehingga titik potong sumbu-z adalah

  z 

6 R , ,

  6  

  Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu , dan jika kita letakkan ketiga titik

  P 4 , , Q , 3 , R , ,

  6      

  tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.9

  Z

  

 R , ,

  6  

  3

  4

  2

  12 x  y  z  Q ,

  3 ,  

   Y

   X

  P 4 , ,  

Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan

  Contoh 4.11 :

  Gambarkan grafik dari persamaan

  4  y 6 

  12 x

  Penyelesaian 4.11 :

  Karena persamaannya

  4

  6 12 dimana tidak mengandung x  y 

  variable z , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- ,

  z z

  Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai dan y , yaitu :

  x

  . Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai  dan kita

  y

  substitusikan ke persamaan , maka diperoleh

  

4 x  y

6 

  12

  

  4 6 ( )

  12 x  

  

  4 x  

  12

  

  4 x 

  12

  

  3 sehingga titik potong sumbu-x adalah x 

  P 3 , ,  

  . Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai dan kita

  x 

  substitusikan ke persamaan

  

4 x  y

6  12 , maka diperoleh

  

  4 x  y 6 

  12

  

  4 ( )  y 6 

  12

  

  6 y

  12 

   y

   

  2 sehingga titik potong sumbu-y adalah  Q , 2 ,

  Karena dalam persamaan

  4 x  y

6 

12 tidak ada variabel z , maka

  berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-z, sehingga tidak ada titik potong sumbu-z, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu P

  3 , , , dan titik potong sumbu-y yaitu  

  jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat

  Q , 2 ,  

  dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.10 Z

  4  y 6 

  12 x

  Q , 2 ,  

   Y

   P 3 , ,

  X  

Gambar 4.10. Bidang Sejajar Sumbu-z

  Contoh 4.12 :

  Gambarkan grafik dari persamaan

  2 x  z 4 

  8 Penyelesaian 4.12 :

  Karena persamaannya dimana tidak mengandung

  2 x  z 4 

  8

  variable y , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- y , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- y ,

  Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai

  4 2   z x

  2   z x

  

  8 ( 4 ) 2   z

  

  8

  4  z

  

  2  z

  sehingga titik potong sumbu-z adalah  

  , 2 , R

  Karena dalam persamaan

  8

  tidak ada variabel

  x

  y

  , maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu

    , ,

  , dan titik potong sumbu-z yaitu

    , 2 , R

  jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.11

     , 2 , Q

  Z

  X Y

     , ,

  8

  4 2   z x

Gambar 4.11. Bidang Sejajar Sumbu Y

  4

  8

  , maka diperoleh 

  8 2   x

  dan z , yaitu : . Untuk menentukan nilai

  x

  , maka kita beri nilai

   z

  dan kita substitusikan ke persamaan

  8

  4 2   z x

  , maka diperoleh 

  ( 8 )

  4

  2   x

  

  

  4 2   z x

  8

  2  x

  

  4  x

  sehingga titik potong sumbu-x adalah

    , ,

  4 P

  . Untuk menentukan nilai

  z

  , maka kita beri nilai

   x

  dan kita substitusikan ke persamaan

  8

4 P

4 P

4.1.5. Soal-Soal Latihan

  1. ke titik

  P 6 ,  1 ,

  3 Q 2 ,  2 , 

  5 Tentukan jarak titik    

  2. , dan merupakan titik

  4 , 5 ,

  2 1 ,

7 ,

  3 2 , 4 ,

  5 Diketahui titik-titik      

  sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi

  3.

  1 , , 5 , 3 ,

6 ,

8 dan 7 , 4 ,  7 merupakan titik-

  Diketahui titik-titik       titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema Phytagoras 4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah

  2 , 3 ,

  4  

  dan , Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan

  5 ,  2 ,  

  titik sudutnya 5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut : a. , 5

  b. ,

  4    

  6 3 , 1 , 4 

1 , ,

  c. , 2

  d. , 3

   6 , 2 , 

  3

3 , ,

    6.

  dan menyinggung

  2 , 4 ,

  5 Cari persamaan bola yang pusatnya  

  bidang xy 7. Tentukan pusat bola dan jari-jarinya dari persamaan bola di bawah ini _{2 2 2} a.

  12

  14

  8

  1 x  y  z  x  y  z   _{2 2 2} b.

  2

  6

  10

  34 x  y  z  x  y  z   _{2 2 2} c.

  4

  4

  4

  4

  8

  

16

  12 x  y  z  x  y  z   _{2 2 2} d.

  8

  4

  22

  77 x  y  z  x  y  z   8.

  Buatkan sketsa grafik dari persamaan yang diketahui a.

  2

  6

  3

  12 b.

  3

  4

  2

  24 x  y  z  x  y  z 

  c. x 

  3 y  z 

  6

  d. 

  

3 x 

2 y  z 

  6 9.

  Tentukan persamaan bola yang mempunyai ruas garis yang menghubungkan titi 

  2 , 3 , 6 dan 4 ,  1 , 5 sebagai garis tengah

   