Pengantar Analisis dan Komputasi Metode Numerik

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

PERSAMAAN DAN BAB

  

SISTEM PERSAMAAN NON

1. LINIER

1.1Rasionalisasi

  Matematika merupakan alat ilmu pengetahuan untuk menyelesaikan berbagai persoalan kehidupan. Dalam hal tersebut, umumnya matematika memiliki tiga cara penyelesaian, yaitu metode Analitik, Numerik dan Simulasi.

  Metode analitik merupakan cara penyelesaian permasalahan

  matematika dengan menguraiakan atau menjabarkan variabel- variabelpada model matematika tersebut. Sebagai contoh misalkan dalam menentukan berapa nilai x yang memenuhi ₂ agar f(x) = x – 5x +6 bernilai 0 (nol). Metode analitik yang dapat digunakan adalah degan menfaktorkan sebagai berikut: ₂ f(x) = 0  x – 5x +6=0  (x -3) (x-2) =0

  Pernyataan (x-3)(x-2) = 0 bernilai benar jika x = 3 atau x = 2. Oleh karena itu solusi agar f(x) bernilai 0 diberikan oleh x = 2 atau x = 3. Dalam hal ini, x = 2 dan x = 3 merupakan solusi analitik dari permasalahan tersebut di atas, dan nilai yang diperoleh tersebut bersifat eksak, artinya bahwa solusi yang diperoleh merupakan penyelesaian yang sebenarnya (real) tanpa ada kesalahan (error).

  Metode analitik tersebut umumnya hanya dapat menyelesaikan masalah yang sederhana, karena sangat terbatas pada model matematika yang dimiliki dan kemampuan kecepatan berfkir manusia. Sebagai contoh

• _-x misalnya, berapakah nilai x yag memenuhi agar f(x) = xe

• cos(x) bernilai 0 (nol). Tentu saja cara analitik dalam hal ini sulit dapat ditepakan, karena model dari f(x) tidak berbentuk polynomial sementara metode faktorisasi, melengkapi kuadrat sempurna dan lainnya hanya dapat diterapkan pada model fungsi polynomial. Oleh karena itu, diperlukan cara lain, yaitu metode numerik. Metode numerik merupakan cara penyelesaian permasalahan matematika dengan menguraiakan atau menjabarkan bilangan-bilangan pada model matematika tersebut. Beberapa metode yang umumnya digunakan adalah metode Bisection, Regula Falsi, Secant, Newton Raphson dan Fixet Point.

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

1.2Solusi Persamaan Non Linier

  Solusi dari suatu Persamaan Non Linier (PNL) adalah nilai x sehingga suatu fungsi non linier f(x) = 0. Nilai x tersebut akan diperoleh saat kurva f(x) memotong sumbu x.

Gambar 1.1 Solusi persamaan non linier

  Andaikan pada sistem koordinat tersebut, sumbu x dipandang sebagai permukaan tanah dan kurva f(x) sebagai pohon, maka solusi dari persamaan non linier tersebut dapat disebut sebagai suatu akar persamaan f(x). Hal ini disebabkan karena kenyataan bahwa nilai x sehingga f(x) = 0 terjadi posisi titik potong kurva f(x) dengan sumbu x. Jadi sesungguhnya terdapat tiga buah pengertian dari solusi persamaan non linier, yaitu: 1). nilai x sehingga f(x) = 0 2). titik potong fungsi f(x) dengan sumbu x 3). akar persamaan suatu fungsi Terdapat banyak metode yang dapat digunakan untuk mendapatkan solusi dari persamaan non linier tersebut. Lima metode yang paling popular adalah metode Bisection, Regula Falsi, Secant, Newton Raphson dan Fixet Point. Metode Bisection dan Regula Falsi bersifat tertutup sedangkan Secant, Newton Raphson dan Fixet Point bersifat terbuka. Masing- masing metode memiliki kelebihan dan kekurangan masing- masing. Berikut diberikan penjelasan matematis dari kelima metode tersebut.

1.2.1 Metode Tertutup

  Metode tertutup adalah cara penentuan akar persamaan fungsi dengan mengurung akar tersebut dalam suatu interval. Kondisi _{1 2} ini akan terjadi manakala nilai f(x ) f(x ) < 0 atau dengan kata lain f(x ^{1 ) berlainan tanda dengan f(x 2 ). Berlainan tanda dalam} hal ini maksudnya ada yang positif dan yang lainnya negatif. _{1 2} Jika hal tersebut terjadi, maka IsyaAllah pada interval [x x ]

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  akan memuat x sehingga f(x) = 0. Dua buah jenis metode tertutup akan dibahas berikut ini, yaitu metode Bisection dan

  Regula Falsi.

1.2.1.1 Metode Bisection

  Bisection tediri dari dua kata, yakni bi = dua dan section =

  bagian, sehingga metode bisecton merupakan cara penyelesaian persamaan non linier dengan membuat dua buah bagian interval dari domain penyelesaian persamaan non linier tersebut. Proses pembagian interval tersebut mula-mula di awali dengan penentuan interval yang memuat solusi (akar) untuk f(x). Berikut diberikan ilustrasi grafs metode Bisection.

  1. Mula-mula pilih x ^{1 dan x 2 sembarang sehingga f(x 1 )f(x 2 ) < 0}

Gambar 1.2 Interval yang memuat x sehingga f(x)=0

  Pada tahap ini, prinsipnya adalah menentukan lokasi titik potong f(x) dengan sumbu x. Kondisi ini terjadi apabila x ¹ dan x ^{2 yang dipilih memberikan nilaif(x 1 ) dan f(x 2 ) berlainan} tanda (positif atau negatif) sebagaimana pada gambar 1.2 di atas.Hal ini dapat ditentukan dengan jika f(x ^{1 )f(x 2 ) < 0,} maka diantaranya ada yang negatif dan yang lainnya positif. _{1 2} Ilustrasi grafs yang mengambarkan pilihan x dan x yang salah adalah berikut ini.

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

Gambar 1.3 Interval yang tidak memuat x sehingga f(x)=0

  Pada gambar 1.3 di atas, terlihat kemungkinan pilihan x ¹ dan x ^{2 kurang salah, hal ini disebabkan karena tidak ada x} sehingga f(x) = 0 pada interval x ^{1 < x < x 2 yang dipilih. Cara} matematis untuk memeriksa hal tersebut adalah f(x ^{1 )f(x 2 ) >}

  0. Artinya jika f(x ^{1 )f(x 2 ) > 0, maka pada interval [x 1 x 2 ] tidak} memuat x sehingga f(x) = 0. Jika pada interval tersebut nilai akar f(x) dicari, maka tentunya tidak akan pernah ditemukan.

  2. Hitung nilai x r = 0.5(x ^{1 + x 2 )}

Gambar 1.4 Model Geometris metode Bisection

  Pada tahap ini sesungguhnya dilakukan upaya membagi dua interval akar menjadi dua buah bagian yang sama. Titik baginya disebut x r sehingga bagian-bagian intervalnya menjadi x ^{1 < x < x r dan x r < x < x 2 .}

  3. Periksaposisi nilai x r dengan _r Posisi nilai x ada tiga kemungkinan, yakni (1). sebelah kiri akar, (2) sebelah kanan akar atau (3) tepat pada titik akar.

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

Gambar 1.5 Posisi nilai x r

  4. Perbaharui interval akar persamaan sebelumnya Pada tahap ini dilakukan pemilihan bagian interval yang memuat akar persamaan. Mengacu kepada gambar 1.5 di atas, maka dapat dikontruksi tolak ukur interval yang baru sebagai berikut: a) Berdasarkan nilai f(x ^{1 ).}

  Jika f(x ^{1 )f(x r ) > 0, maka x  1 = x r (geser posisi x ke 1} x r )(gambar 1.5 a) diperoleh interval baru [x ^{1 x 2 ] = [x r x 2 ]} Jika f(x  ^{1 )f(x r ) < 0, amak x 2 = x r (geser posisi x 2 ke} x r )(gambar 1.5 b) diperoleh interval baru [x ^{1 x 2 ] = [x 1 x r ]} Jika f(x ^{1 )f(x r ) = 0, maka akar = x r . (gambar 1.5 c) } interval tidak perlu di buat, karena x r adalah nilai x sehingga f(x) = 0.

  b) Berdasarkan nilai f(x ^{2 ).}

   (gambar 1.5 a) diperoleh interval baru [x ^{1 x 2 ] = [x r x 2 ]} Jika f(x )f(x ^{2 r ) > 0, amak x 2 = x r (geser posisi x}

  Jika f(x )f(x ^{2 r ) < 0, maka x 1 = x r (geser posisi x 1 ke x r )}

   ^{2 ke x r )} (gambar 1.5 b) diperoleh interval baru [x ^{1 x 2 ] = [x 1 x r ]} _{2 )f(x r ) = 0, maka akar = x r . (gambar 1.5 c) r}

   Jika f(x interval tidak perlu di buat, karena x adalah nilai x sehingga f(x) = 0.

  5. Kembali lagi diulangi membagi interval akar yang baru diperoleh dengan mengikuti langkah 2, 3 dan 4 di atas sehingga diperoleh nilai f(x r ) = 0 atau f(x r ) sedekat mungkin dengan 0 (nol).

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Mencermati uraian proses metode Bisection di atas, maka dapat dirumuskan suatu algoritma program sebagai berikut:

  Algortima Program Metode Bisection

  Step 0. Mulai Step 1. Tentukan interval [x ^{1 x 2 ]} Step 2. Hitung nilai f(x ^{1 ) dan f(x 2 )} Step 3. Jika f(x ^{1 )f(x 2 ) < 0, maka kerjakan step 4 sampai 11}

  Step 4. Masukan toleransi error (E) Step 5. Ulangi terus step 6 sampai 11 jika |f(x r )| > e

  Step 6. Hitung nilai x r = 0.5(x ^{1 + x 2 )} Step 7. Hitung nilai f(x r ) Step 8. Jika |f(x r )| > e, maka kerjakan step 9 sampai 11

  Step 9. Hitung nilai f(x ^{1 )} Step 10. Jika f(x ^{1 )f(x r ) < 0, maka x 2 = x r} Step 11. Jika f(x ^{1 )f(x r ) > 0, maka x 1 = x r}

  Step .12 Jika f(x ^{1 )f(x 2 ) > 0, maka tidak ada akar pada [x 1 x 2 ]} Step 13. Selesai

  Teladan 1.1

  Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Bisection _-x sehingga xe + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E=0.001.

  Solusi:

  Dengan mengembangkan bahasa program standar pada table 1.1 di atas, maka diperoleh output numerik dari solusi masalah teladan 1.1 di atas adalah sebagai berikut: f(x) = x*exp(-x)+1 [x1 x2] = [-1 0] f(-1) = -1.7183 f(0) = 1 Karena f(x1)f(x2)<0, maka x shg f(x)= 0 pada interval [-1 0] Toleransi Kesalahan = 0.001 Iterasi ke-1 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-1 + 0) = 0.5(-1) = -0.5 f(xr)= 0.17564

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Karena |f(xr)| = 0.17564>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.5] Iterasi ke-2 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-1 + -0.5) = 0.5(-1.5) = -0.75 f(xr)= -0.58775 Karena |f(xr)| = 0.58775>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.75 -0.5] Iterasi ke-3 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.75 + -0.5) = 0.5(-1.25) = -0.625 f(xr)= -0.16765 Karena |f(xr)| = 0.16765>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.58775 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.625 -0.5] Iterasi ke-4 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.625 + -0.5) = 0.5(-1.125) = -0.5625 f(xr)= 0.012782 Karena |f(xr)| = 0.012782>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.16765 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-0.625 -0.5625] Iterasi ke-5 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.625 + -0.5625) = 0.5(-1.1875) = -0.59375 f(xr)= -0.075142 Karena |f(xr)| = 0.075142>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.16765 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.59375 -0.5625]

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Iterasi ke-6 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.59375 + -0.5625) = 0.5(-1.1563) = -0.57813 f(xr)= -0.030619 Karena |f(xr)| = 0.030619>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.075142 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.57813 -0.5625] Iterasi ke-7 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.57813 + -0.5625) = 0.5(-1.1406) = -0.57031 f(xr)= -0.00878 Karena |f(xr)| = 0.00878>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.030619 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.57031 -0.5625] Iterasi ke-8 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.57031 + -0.5625) = 0.5(-1.1328) = -0.56641 f(xr)= 0.0020354 Karena |f(xr)| = 0.0020354>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.00878 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-0.57031 -0.56641] Iterasi ke-9 xr = 0.5(x1 + x2) = 0.5(-0.57031 + -0.56641) = 0.5(-1.1367) = -0.56836 f(xr)= 0.0033637 Karena |f(xr)| = 0.0033637>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -0.00878 maka f(x1)f(xr)>0, shg x1=xr Jadi interval baru adalah [-0.56836 -0.56641] Iterasi ke-10 xr = 0.5(x1 + x2)

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  = 0.5(-0.56836 + -0.56641) = 0.5(-1.1348) = -0.56738 f(xr)= -0.00066198 Karena |f(xr)| = 0.00066198<0.001=e maka proses berhenti Jadi akar persamaan adalah x = -0.56738 dengan f(xr) = - 0.00066198 Dari hasil perhitungan di atas, untuk mendapatkan nilai x sehingga f(x) dekat dengan 0.001 dibutuhkan 10 iterasi (proses pengulangan perhitungan) dengan nilai x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066198. Garfk konvergensi error atau seleisih antara f(x) dengan sumbu x untuk tiap iterasi serta grafk pendekatan solusi akar persamaan f(x) adalah sebagai berikut:

Gambar 1.6. Koordinat akar persamaan f(x)Gambar 1.7 Grafk konvergensi error

1.2.1.2 Metode Regula Falsi

  Metode Regula Falsi merupakan cara menentukan akar persamaan suatu fungsi, dengan melakukan pengulangan akar falsu yang dibentuk dari perpotongan garis yang melalui titik

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  (x ^{1 ,f(x 1 )) dan (x 2 , f(x 2 )) dengan sumbu x. Ilustrasi grafs sebagai} berikut:

Gambar 1.8 Posisi akar falsu dengan

  Persamaan garis yang melalui titik (x ^{1 ,f(x 1 )) dan (x 2 ,f(x 2 ))} adalah

  ) ^{2 − x 1 ( y−f ( x}

^{1 ) )}

x−x ^{1 y−f ( x 1 ( x )}

  = ⇒ ₁ x= x

• x ^{2 − x}
¹ )− ) )− ) f ( x ^{2 f ( x 1 f ( x 2 f ( x 1} Jika x = x r , maka diperoleh nilai y = 0. Kenyataan ini

  memberikan persamaan regula falsi sebagai berikut:

  f ( x ) x − x _{1 ( 2 1 )} = − x x _{r 1} f ( x )− f ( x ) _{2 1} Selanjutnya tahapan-tahapan pengerjaan penentuan akar

  persamaan f(x) dengan metode Regula Falsi sama dengan tahapan-tahapn sebagaimana metode Bisection.

Gambar 1.9 Proses update interval metode Regula Falsi

  Oleh karena itu, algoritma program metode Regula Falsi dapat diberikan sebagai berikut: Berdasarkan teori di atas, maka algoritma program metode regula falsi dapat dirumuskan sebagai berikut:

  Algortima Program Metode Regula Falsi

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Step 0. Mulai Step 1. Tentukan interval [x ₁ ^{1 x 2 ]} ₂ Step 2. Hitung nilai f(x ) dan f(x )

  Step 3. Jika f(x ^{1 )f(x 2 ) < 0, maka kerjakan step 4 sampai 11} Step 4. Masukan toleransi error (E) _r Step 5. Ulangi terus step 6 sampai 11 jika |f(x )| > e

  )− ) x 2 f ( x 1 x 1 f (x

  1 x = x −

r

  1 )− ) f ( x f ( x

  2

  1 Step 6. Hitung nilai

  Step 7. Hitung nilai f(x r ) Step 8. Jika |f(x r )| > e, maka kerjakan step 9 sampai 11

  Step 9. Hitung nilai f(x ^{1 )} Step 10. Jika f(x ^{1 )f(x r ) < 0, maka x 2 = x r} Step 11. Jika f(x ^{1 )f(x r ) > 0, maka x 1 = x r}

  Step .12 Jika f(x ^{1 )f(x 2 ) > 0, maka tidak ada kar pada [x 1 x 2 ]} Step 13. Selesai

  Teladan 1.2

  Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Regula Falsi _-x sehingga xe + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E=0.001.

  Solusi:

  Penyelesaian dengan program computer setelah mengkonversi algoritma program di atas menjadi algoritma komputasi, maka diperoleh output sebagai berikut: f(x) = x*exp(-x)+1 [x1 x2] = [-1 0] f(-1) = -1.7183 f(0) = 1 Karena f(x1)f(x2)<0, maka x shg f(x)= 0 pada interval [-1 0] Toleransi Kesalahan = 0.001 Iterasi ke-1 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(0 - -1)f(-1)/(f(0)-f(-1)) = -1-(1)(-1.7183)/(1 - -1.7183) = -1-(-1.7183)/(2.7183) = -1-(-0.63212) = -0.36788 f(xr)= 0.46854 Karena |f(xr)| = 0.46854>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Jadi interval baru adalah [-1 -0.36788] Iterasi ke-2 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.36788 - -1)f(-1)/(f(-0.36788)-f(-1)) = -1-(0.63212)(-1.7183)/(0.46854 - -1.7183) = -1-(-1.0862)/(2.1868) = -1-(-0.49669) = -0.50331 f(xr)= 0.16742 Karena |f(xr)| = 0.16742>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.50331] Iterasi ke-3 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.50331 - -1)f(-1)/(f(-0.50331)-f(-1)) = -1-(0.49669)(-1.7183)/(0.16742 - -1.7183) = -1-(-0.85345)/(1.8857) = -1-(-0.45259) = -0.54741 f(xr)= 0.053649 Karena |f(xr)| = 0.053649>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.54741] Iterasi ke-4 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.54741 - -1)f(-1)/(f(-0.54741)-f(-1)) = -1-(0.45259)(-1.7183)/(0.053649 - -1.7183) = -1-(-0.77767)/(1.7719) = -1-(-0.43888) = -0.56112 f(xr)= 0.016575 Karena |f(xr)| = 0.016575>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.56112] Iterasi ke-5 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.56112 - -1)f(-1)/(f(-0.56112)-f(-1)) = -1-(0.43888)(-1.7183)/(0.016575 - -1.7183) = -1-(-0.75413)/(1.7349)

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  = -1-(-0.43469) = -0.56531 f(xr)= 0.0050629 Karena |f(xr)| = 0.0050629>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.56531] Iterasi ke-6 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.56531 - -1)f(-1)/(f(-0.56531)-f(-1)) = -1-(0.43469)(-1.7183)/(0.0050629 - -1.7183) = -1-(-0.74692)/(1.7233) = -1-(-0.43341) = -0.56659 f(xr)= 0.001541 Karena |f(xr)| = 0.001541>0.001=e maka update [x1 x2] Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr Jadi interval baru adalah [-1 -0.56659] Iterasi ke-7 xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1)) = -1-(-0.56659 - -1)f(-1)/(f(-0.56659)-f(-1)) = -1-(0.43341)(-1.7183)/(0.001541 - -1.7183) = -1-(-0.74473)/(1.7198) = -1-(-0.43303) = -0.56697 f(xr)= 0.00046855 Karena |f(xr)| = 0.00046855<0.001=e maka proses berhenti Jadi akar persamaan adalah x = -0.56697 dengan f(xr) = 0.00046855 Hasil komputasi di atas, menujukkan bahwa solusi pendekatan untuk x sehingga f(x) = 0 adalah x = -0.56697. Nilai tersebut diperoleh setelah melakukan perhitungan hingga iterasi ke-7. Konvergensi iterasi ini lebih cepat jika dibandingkan dengan metode Bisection. Grafk laju konvergensi dan akar persamaan fungsi diberikan sebagai berikut:

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Metode Numerik}

  1 ^{2 3 4 5 6 7 0.2 0.4 0.6 0.8} _Iterasi ^{J a r a k f ( x ) d e n g a n Grafik konvergensi error}

• 3 -2 -1
¹
• ^{-60 2 -80 -40 -20} _x ^{x/exp(x) + 1 x = -0.56697 f(xr)= 0.00046855}
Gambar 1.10. Grafk konvergensi dan akar persamaan dengan metode Regula Falsi

1.2.2 Metode Terbuka

  Metode terbuka adalah cara penentuan nilai x sehingga f(x) = 0 dengan tidak harus mengurung akar persamaan. Dalam hal ini, interval pencarian atau nilai awal yang diberikan tidak perlu muat akar persamaan. Tiga jenis metode yang tergolong metode terbika diantaranya adalah Metode Secant, Newton Raphson dan Fixet Point.

1.2.2.1 Metode Secant

  Metode secant merupakan cara untuk mendapatkan nilai x sehingga f(x) = 0 yang bersifat terbuka, yakni penentuan nilai x ^{1 dan x 2 tidak perlu harus mengurung akar persamaan} sebagaimana pada metode Bisection dan Regula Falsi. Proses penentuak akar persamaan dengan metode Sevant adalah sebagai berikut:

  1. Mula-mula pilih x ¹ dan x ² sembarang

  2. Melalui titik (x ^{1 , f(x 1 )) dan (x 2 , f(x 2 )) tarik garis hingga} memotong sumbu x. Titik potongnya disebut sebagai x ^{3 .}

Gambar 1.10 a.

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Metode Numerik}

  

)

f ( x _i

  Algoritma Program Metode Secant

  x _i+1 = x _i − ( x _i − x _i−1 ) f ( x _i ) f (x _i )− f ( x _i−1 ) .

  Jadi persamaan iterative dari metode secant adalah

  )

  )− f ( x _i−1

  ) f ( x _i

  ) f ( x _i

  − x _i−1

  ( x _i

  ) ⇒ x _{i+1 =} x _{i −}

  

)−

f ( x _i

  ) f ( x _i−1

  − x

_i−1

  3. Melalui titik (x ^{2 , f(x 2 )) dan (x 3 , f(x 3 )) tarik garis hingga} memotong sumbu x. Titik potongnya disebut sebagai x ^{4 .}

  ( x _i

  ) ⇒ x _{i+1 =} x _{i +}

  )− f ( x _i

  ) f ( x _i−1

  = f ( x _i

  − x _i−1

  x _i+1 − x _i x _i

  Dari dua buah segitiga yang dikontruksi, maka dapat dibuat nilai perbandingan sebagai berikut:

Gambar 1.12 Tafsiran geometris metode Secant

  4. Proses tersebut dilanjutkan terus hingga diperoleh nilai f(x ⁿ ) = 0 atau f(x ⁿ ) sedekat mungkin dengan 0 (nol). Untuk mendapatkan persamaan iterative dari metode secant, maka berikut diberikan dengan memanfaatkan konsep kesebangunan segitiga.

Gambar 1.11 Proses metode SecantGambar 1.10 b.

  Step 0. Mulai Step 1. Defnisikan fungsi f(x) Step 2 Pilih x ^{1 dan x 2 sembarang} Step 3. Tetapkan toleransi kesalahan E

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Step 4. Ulangi terus step 5 dan 6 jika |f(x i+1 )| > e

  ( x − x ) f ( x ) i i−1 i x x

  

= −

i+1 i f (x )− f ( x ) i i−1

  Step 5. Hitung nilai Step 6. Hitung nilai f(x i+1 )

  Step 7. Selesai

  Teladan 1.3

  Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Secant _-x sehingga xe + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E = 0.001.

  Solusi:

  Penyelesaian dengan program komputer setelah mengkonversi algoritma program metode Secant di atas menjadi algoritma komputasi, maka diperoleh output sebagai berikut: f(x) = x*exp(-x)+1 [x1 x2] = [-1 0] Toleransi error = 0.001 Iterasi ke-1 x3 = x2-(x2-x1)f(x2)/(f(x2-x1) = 0-(0 - -1)(1)/(1 - -1.7183) = 0-(1)(1)/(2.7183) = 0-(0.36788) = -0.36788 |f(x3)| = |0.46854| = 0.46854 > 0.001 = e, maka Lanjut Iterasi ke-2 x4 = x3-(x3-x2)f(x3)/(f(x3-x2) = -0.36788-(-0.36788 - 0)(0.46854)/(0.46854 - 1) = -0.36788-(-0.36788)(0.46854)/(-0.53146) = -0.36788-(0.32432) = -0.6922 |f(x4)| = |-0.38309| = 0.38309 > 0.001 = e, maka Lanjut Iterasi ke-3 x5 = x4-(x4-x3)f(x4)/(f(x4-x3) = -0.6922-(-0.6922 - -0.36788)(-0.38309)/(-0.38309 - 0.46854) = -0.6922-(-0.32432)(-0.38309)/(-0.85163) = -0.6922-(-0.14589) = -0.54631 |f(x5)| = |0.056595| = 0.056595 > 0.001 = e, maka Lanjut

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Iterasi ke-4 x6 = x5-(x5-x4)f(x5)/(f(x5-x4) = -0.54631-(-0.54631 - -0.6922)(0.056595)/(0.056595 - - 0.38309) = -0.54631-(0.14589)(0.056595)/(0.43969) = -0.54631-(0.018778) = -0.56509 |f(x6)| = |0.0056689| = 0.0056689 > 0.001 = e, maka Lanjut Iterasi ke-5 x7 = x6-(x6-x5)f(x6)/(f(x6-x5) = -0.56509-(-0.56509 - -0.54631)(0.0056689)/(0.0056689 - 0.056595) = -0.56509-(-0.018778)(0.0056689)/(-0.050926) = -0.56509-(0.0020903) = -0.56718 |f(x7)| = |-9.7691e-005| = 9.7691e-005 < 0.001 = e, maka Stop Jadi akar persamaan adalah x = -0.56718 dengan f(x) = - 9.7691e-005 Hasil komputasi di atas diperoleh bahwa, nilai x sehingga f(x) m = 0 atau mendekati 0 (nol) adalah x = -0.56718 dengan f(x) = -0.000097691. Nilai tersebut diperoleh setelah melakukan komputasi hingga iterasi ke-5. Jika dibandingkan dengan tingkat laju konvergensi dengan metode Bisectioan dan Regula

  Falsi, maka metode Secan lebih cepat laju konvergensinya _-x

  untuk mendapatkan akar persamaan f(x) = xe + 1. Garik laju konvergensi tersebut dan posisi titik akar persamaan terlihat pada gambar 1.12 di bawah.

  ₂ Pengantar Analisis dan Komputasi _{Grafik konvergensi error Metode Numerik ( n g a n e k r f a x ) d}

  1.5 _{0.5 1 J} a _{1 2 3 x/exp(x) + 1 Iterasi 4 5 6 7 -40 -20 -60 f(xr)= -9.7691e-005} x = -0.56718

• 80 _{-3 -2 -1 x}
_{1 2} Gambar 1.13 Garik konvergensi dan akar persamaan

  dengan metode Secant

1.2.2.2 Metode Newton Raphson

  Metode Newton Raphson merupakan metode terbuka yang hanya membutuhkan sebuah nilai tebakan awal (x ) untuk mendapatkan solusi dari persamaan non linier. Tahapan- tahapan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:

  1. Tentukan sebuah nilai awal sembarang, missal sebut sebagai x o .

  2. Melalui titik (x , f(x )), tarik suatu garis singgung kurva hingga memotong sumbux. Titik potong garis singgung ₁ tersebut dengan sumbu x disebut sebagai x .

  3. Selanjutnya melalui titik (x ^{1 , f(x 1 )) tarik garis singgung} kedua hingga memotong sumbu x. Titik potong garis ₂ singgung kedua dengan sumbu x dinamakan x . Berikut ilustrasi grafs tahapan metode Newton Raphson tersebut.

  4. Proses pembuatan garis singgung dan penentuan titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu x dilakukan hingga diperoleh nilai f(x n ) = 0 atau mendekati 0 (nol).

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

Gambar 1.14 Tafsiran geometris metode Newton Raphson

  Berdasarkan model geometris tersebut, dapat diturunkan persamaan iterative untuk metode newton raphson sebagai berikut: Dari persamaanumum garis melalui titik (a,b) dengan gradient m, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

  ) y−f ( x y−b i y−b=m( x−a )⇒ x= x + _{' i} m +a= f ( x ) _i

  Untuk kasus pada metode Newton Raphson sebagaimana pada

gambar 1.13 di atas, maka jika x= x i+1 , maka y = 0 sehingga

  f ( x ) f ( x ) _{i i} = − = − x x x x _{i+1 i ' i+1 i '} f ( x ) f ( x ) _{i i}

  diperoleh . Persamaan disebut sebagai formula Newton Raphson.Dari persamaan tersebut, jika jika f’(x i ) = 0 atau mendekati nol, maka x i+1 tidak terdefnisi atau tidak konvergen. Oleh karena itu, dalam pemilihan nilai awal x hendaklah dapat memberikan nilai f’(x ) menjauh dari nilai 0 (nol). Dari uraian di atas, maka algoritma program metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:

  Algoritma Program Metode Newton Raphson

  Step 0. Mulai Step 1. Defnisikan fungsi f(x) Step 2. Tentukan f’(x) Step 3 Pilih x Step 4. Tetapkan toleransi kesalahan E Step 5. Ulangi terus step 6 dan 7 jika |f(x i+1 )| > e

  f ( x ) _i x = x − _{i+1 i '} ( ) f x _i

  Step 6. Hitung nilai Step 7. Hitung nilai f(x i+1 )

  Step 8. Selesai

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode} Teladan 1.4

  Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Newton _-x

  Raphson sehingga xe + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E = 0.001.

  Solusi:

  Penyelesaian dengan program komputer setelah mengkonversi algoritma program metode Newton Raphson di atas menjadi algoritma komputasi, maka diperoleh output sebagai berikut: f(x) = x*exp(-x)+1

  Turunan Pertama dari f(x) 1 x

• exp(x) exp(x) x0 = -1 Toleransi error = 0.001 x(1) = x0 - f(x0)/df(x0) = -1 - f(-1)/df(-1) = -1 - (-1.7183)/(5.4366) = -1- (-0.31606) = -0.68394

  f(x1) = -0.35534 Karena |f(x3|>0.001 = e maka iterasi berlanjut x(2) = x1 - f(x1)/df(x1) = -0.68394 - f(-0.68394)/df(-0.68394) = -0.68394 - (-0.35534)/(3.337) = -0.68394- (-0.10649) = -0.57745 f(x2) = -0.028734 Karena |f(x4|>0.001 = e maka iterasi berlanjut x(3) = x2 - f(x2)/df(x2) = -0.57745 - f(-0.57745)/df(-0.57745) = -0.57745 - (-0.028734)/(2.8102) = -0.57745- (-0.010225) = -0.56723 f(x3) = -0.00023889 Karena |f(x5|<0.001 = e maka iterasi berakhir

  Dari perolehan hasil komputasi di atas, diketahui bahwa nilai x sehingga f(x) < 0.001 adalah x = -0.56723 dengan f(x) = - 0.00023889. Nilai tersebut diperoleh setelah melakukan

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  komputasi hingga tiga iterasi. Hal ini menunjukkan bahwa _-x untuk penyelesaian akar dari f(x) = xe + 1 mengunakan metode Newton Raphson laju konvergensinya lebih cepat jika dibandingkan dengan metode Bisecton, Regula Falsi dan

  Secan. Garik konvergensi pencapaian nilai f(x) = 0 dan lokasi x

  sehingga f(x) = 0 sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar 1.14 di bawah ini. _{1.5 Grafik konvergensi | e r r o r | 0.5}

  1

  1 ^{1.2 1.4 1.6 1.8} _{x/exp(x) + 1 Iterasi} ^{2 2.2 2.4} _{x = -0.56723} ^{2.6 2.8 3} _{-60 -40} -20 _{f(x) = -0.00023889}

• 80 _{-3 -2 -1 x}
_{1 2} Gambar 1.15. Konvergensi dan lokasi akar persamaan

1.2.2.3 Metode Fixet Point

  Metode fxet point atau titik tetap disebut juga sebagai metode iterasi sederhana merupakan cara menentukan nilai x sehingga f(x) = 0 (akar fungsi) dengan cara menentukan nilai x sehingga garis y = x berpotongan dengan suatu fungsi y = g(x) diman fungsi y = g(x) tersebut dibentuk persamaan solusi x dari fungsi f(x).

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

Gambar 1.16. Tafsiran geometris metode Fixet Point

  Pada gambar 16.a di atas, mencari nilai x sehingga f(x) = 0 sama artinya dengan mencari nilai x sehingga x = g(x). Proses pencarian terlihat pada ilustrasi gambar 15.b dengan tahapan- tahapan sebagai berikut:

  1. Mula-mula pilih nilai tebakan awal, misal sebut sebagai x

  2. Kemudian ditentukan nilai g(x ) dimana nilai ini sama dengan x 1, karena g(x ) berada sejajar dengan y = x ^{1 .}

  3. Selanjutnya dari x ^{1 ditentukan nilai g(x 1 ) dimana nilai} tersebut sama dengan x ^{2 . Hal ini disebabkan karena titik} g(x ^{1 ) sejajar dengan y= x} _{n n-1} ^{2 .}

  4. Proses menentukan x = g(x ) ini dilakukan hingga nilai f(x n ) = 0 atau dekat dengan 0 (nol). Proses tersebut akan konvergen ke suatu solusi akar persamaan apabila nilai x yang dipilih memberikan |g’(x )| <

  1. Berdasarkan tahapan-tahapan tersebut, maka suatu algoritma program metode Fixet Point sebagai berikut:

  Algoritma Program Fixet Point

  Step 0. Mulai Step 1. Defnisikan fungsi f(x) Step 2. Dapat fungsi g(x) dari f(x) Step 3. Tentukan nilai awal (x ) Step 4. Tentukan toleransi kesalahan (e) Step 5. Ulangi terus step 6 dan 7 jika |f(x i+1 )|>e

  Step 6. Hitung nilai x i+1 = g(x i )

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Step 7. Hitung nilai f(x i+1 ) Step 8.Selesai

  Teladan 1.5

  Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Fixet Point _-x sehingga xe + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E = 0.001.

  Solusi:

  Penerapan metode fixet Point di awali dengan mendapatkan fungsi g(x) dari f(x) sebagai berikut:

• _{-x x x} f(x) = 0  xe + 1 = 0  x = -e  g(x) = -e . Selanjunya proses iterasi yang diterapkan hingga diperoleh akar persamaan diberikan sebagai berikut: f(x) = x*exp(-x)+1 g(x) = -exp(x) x0 = -1 Toleransi error= 0.001 Iterasi ke-1 x1 = g(x0)= -0.36788 f(x1) = f(-0.36788) = 0.46854 Karena |f(x1)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-2

  x2 = g(x1)= -0.6922 f(x2) = f(-0.6922) = -0.38309 Karena |f(x2)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-3 x3 = g(x2)= -0.50047 f(x3) = f(-0.50047) = 0.17447 Karena |f(x3)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-4 x4 = g(x3)= -0.60624 f(x4) = f(-0.60624) = -0.11157 Karena |f(x4)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-5 x5 = g(x4)= -0.5454 f(x5) = f(-0.5454) = 0.059034 Karena |f(x5)| > 0.001 = e maka proses lanjut

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  Iterasi ke-6 x6 = g(x5)= -0.57961 f(x6) = f(-0.57961) = -0.034809 Karena |f(x6)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-7 x7 = g(x6)= -0.56012 f(x7) = f(-0.56012) = 0.019308 Karena |f(x7)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-8 x8 = g(x7)= -0.57114 f(x8) = f(-0.57114) = -0.011089 Karena |f(x8)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-9 x9 = g(x8)= -0.56488 f(x9) = f(-0.56488) = 0.0062442 Karena |f(x9)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-10 x10 = g(x9)= -0.56843 f(x10) = f(-0.56843) = -0.0035557 Karena |f(x10)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-11 x11 = g(x10)= -0.56641 f(x11) = f(-0.56641) = 0.002012 Karena |f(x11)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-12 x12 = g(x11)= -0.56756 f(x12) = f(-0.56756) = -0.0011426 Karena |f(x12)| > 0.001 = e maka proses lanjut Iterasi ke-13 x13 = g(x12)= -0.56691 f(x13) = f(-0.56691) = 0.00064752 Karena |f(x13)| < 0.001 = e maka proses berhentit Dari hasil perhitungan di atas, terlihat bahwa nilai x pendekatan unutk x sehingga f(x) = 0 adalah x= -0.56691

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  dengan nilai f(x) = 0.00064752. Nilai tersebut diperoleh setelah menyelesaikan proses iterasi sebanyak 13 kali pengulangan. Hal ini menunjukkan konvergensi metode ini lebih lamban jika dibandingkan dengan metode Bisection,

  Regula Falsi, Secant dan Newton Raphson untuk mendapatkan _-x

  x sehingga xe + 1 = 0. Kan tetapi jika diperhatikan dari sisi model perhitungan, maka tentunya metode Fixet Point tersebut memiliki cara yang lebih sederhana. Grafk konvergensi error tiap iterasi dan lokasi akar persamaan diperlihatkan dalam grafk 1. 16 di bawah ini. _{| r o r 1.5 1 2 Grafik k onvergens i |e} r _{0.5 2 4 6 Iteras i 8 10 12 14 -20 -60 -40} x /ex p(x ) + 1 _{f(x ) = 0.00064752 x = -0.56691}

• 80 _{-3 -2 -1 x}
_{1 2} Grafk 1.17. Konvergensi dan akar persamaan dengan

  metode Fixet Point

1.3 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINIER

  Pada uraian sebelumnya, telah di bahas bagaimana menyelesaikan persaman non linier. Pada bagian ini akan di bahas bagaimana menyelesaikan Sistem Persamaan Non Linier (SPNL). Bentuk umum dari suatu sistem persamaan non linier adalah f ^{1 (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0} f ^{2 (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0}

  ⋮ ⋮

  = f m (x ^{1 , x 2 , x 3,. …, x n ) = 0} _{n n} Selanjunya dengan membuat pemetaan dari R  R , maka diperoleh fungsi dari sistem non linier sebagai berikut:

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode} f x , x , x ,⋯, x

  1

  1

  2 3 n

  ( )

  f x , x ,x ,⋯, x

  2

  1

  2 3 n

  ( )

  F( x , x , x ,⋯, x )=

  1

  2 3 n ⋮ f x , x , x ,⋯,x n (

  1

  2 3 n ) {

  Menurut metode Fixet Point pada bahasan sebelumnya, maka akan terdapat solusi analitik untuk [x ^{1 , x 2 , x 3 , …, x n ] sehingga} F(x ^{1 , x 2 , x 3 , …, x n ) = 0 dengan formula iterasi}

  i+1 i+1 i+1 i i i x , x ,⋯,x = G x , x ,⋯, x

  (

  1 2 n ) (

  1 2 n ) Teladan 1.6

  Dapatkan fungsi analitik dan solusi analitik dari sistem persamaan non linier berikut. 3x – cos (yz) = 0.5 _{2 2} x – 81(y +0.1) + sin z = - 1.06

• _-xy 3−10π

  3

  e + 20z =

  Solusi

   3x – cos (yz) = 0.5 3x – cos (yz) - 0.5 = 0 _{2 2 2 2}

   x – 81(y +0.1) + sin z = - 1.06 x – 81(y +0.1) + sin z

• 1.06 = 0
• _{-xy -xy}

  3−10π 3−10π

  3

  3

   e + 20z = e + 20z - =0 _{3 3} sehingga fungsi analitik untuk F(x) = 0 pada R  R dari SPNL di atas adalah

  3 x−cos( yz)−0.5

  2

  2 x − 81( y+0.1) sin z+1.06

• F( x , y, z)= _{− xy}

  10 π−3 e 20z+ +

3 Sedangkan solusi analitik untuk x, y dan z dari SPNL di atas

  {

  adalah

  0.5+cos yz x=

  3

   3x – cos (yz) = 0.5

  1

  2 y= 1.06+sin z+x −

  0.1 _{2 2} √

  9

   x – 81(y +0.1) + sin z = - 1.06

  − xy 3−10π 3−10 π e z= _-xy −

  

60

  20

  3

  e + 20z =  ₃ sehingga diperoleh fungsi analitik untuk solusi x, y, z pada R ₃ 

  R adalah

   Pengantar Analisis dan Komputasi _{Numerik Metode}

  0.5+cos yz

  3

  1

2 G( x, y ,z )= 1.06+sin z+x −

  0.1

  √

  9 ₋

  xy

  3−10π e −

  60

  20

  {

1.3.1 Metode Jacobian

  Metode Jacobian merupakan cara iteratif menyelesaian sistem persamaan non linier dimana untuk mendapatkan nilai pada iterasi berikutnya digunakan perolehan nilai pada iterasi sebelumnya. Persamaan umum model iterasi meode Jacobian adalah