Chapter II Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan

9

Gambar 1.1

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar

Andrei Kolgomorov (1903-1987) meletakkan landasan matematis teori
peobabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori
probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.
Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik
dan dinamika nonlinear.
Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika
deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi
peluang permainan, pada pengambilan kartu dari satu set kartu atau permainan
dadu. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan Pierre de
Fermat dalam menentukan peluang dari suatu permainan. Sejak kolaborasi
tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga abad ke-


10
18, ketika Pierre de Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar
probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.
Beberapa definisi dan aksioma yang akan digunakan dalam hal ini
berkaitan dengan peristiwa dan probabilitas acak.
Definisi 2.1
Eksperimen adalah suatu proses yang hasil dari keluarannya tidak diketahui secara
pasti di mana eksperimen tersebut diasumsikan dapat di ulang dalam suatu waktu
dan dibawah kondisi yang identik. Setiap pengulangan disebut sebagai repetisi.
Eksperimen acak memenuhi tiga keadaan berikut:

a) Himpunan seluruh keluaran tidak diketahui pasti dalam tiap percobaan.
b) Dalam kedaan khusus, tidak diketahui keluaran mana yang akan terjadi.
c) Eksperimen dapat diulang dengan keadaan yang mirip.

2.2 Peubah Acak
Suatu eksperimen memuat sejumlah karakteristik yang terukur. Tetapi peneliti
pada umumnya berkonsentrasi pada beberapa karakteristik tertentu pada suatu
eksperimen. Apakah pada nilai karakteristik di sekitar pusat data atau pada

penyebaran data. Pengelompokan keluaran suatu eksperimen diwakili oleh
bilangan sederhana bertujuan untuk memudahkan deskripsi. Deskripsi tersebut
diperlukan, tetapi di lain kasus hal itu berguna untuk menyatakan suatu bilangan
sebagai perwakilan suatu keluaran di ruang sample.
Definisi 2.2
Peubah acak adalah seluruh nilai bernilai riil yang tiap-tiap nilainya diasosiasikan
dengan keluaran dari suatu eksperimen acak.

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

Definisi 2.3

11
Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak � adalah suatu

himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa, �1 , �2 , �3 , … , �� atau

�1 ,

�2 , �3 , … sehingga X disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak


diskrit �, didefinisikan fungsi massa peluang �� (�) sebagai:
�� (�) = �(� =
�)

2.

Fungsi massa peluang �(�) bernilai positif , untuk sejumlah nilai � tercacah.
Dengan kata lain, jika � mengambil salah satu dari nilai�1 , �2 , … maka peubah

acak diskrit X dengan nilai yang mungkin �1 , �2 , �3 , … , �� fungsi massa peluang

adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:
1). �(�� ) ≥ 0, � = 1,2, …


2). � �(�� ) = 1
�=1

3). �(�� ) = �(� = �� )


2.2.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.5
Suatu peubah acak � berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi � taknegatif,

terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil
(berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yang berada pada interval
tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh,
keadaan yang menggambarkan definisi diatas, dengan batas dalam interval
tertutup [�, �].



�(� ≤ � ≤ �) = ∫� �(�)��

Berimplikasi pada:

12



�(� ≥ �) = ∫� �(�) dan


∫−∞ �(�)��

�(� ≤ �) =

2.2

Berdasarkan karakteristik f distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang
sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah
acak

kontinu.

Fungsi

kepadatan


peluang



dapat

digunakan

untuk

menggambarkan distribusi probabibilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval
memuat kemiripan nilai X, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan
�(�). Memenuhi ketiga kaidah berikut:
1). �(�) ≥ 0


2). � �(�) �� = 1
−∞




3). �(� ≤ � ≤ �) = � �(�) ��


Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak � dalam bentuk

kurva. Ketika � merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang

digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut distribusi probablitas �.

Jika � adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai �1 , �2 , … maka daftar

distribusi probabilitas berkaitan dengan � = �1 , � = �2 , …. Jumlah seluruh
probabilitas selalu sama dengan 1.

Ingat bahwa � merupakan variabel acak, sedangkan � merupakan nilai spesifik
dari variabel acak �. Berakibat jika � = 2 maka probabilitas �(� = �) berarti

�(� = 2), probabilitas bahwa � adalah 2. Hal yang sama jika � merupakan
peubah acak maka �(� = �) probabilitas � dengan nilai khusus �.

2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1 Ekspektasi

13
Dalam suatu pengukuran eksperimen, hasil pengukuran eksperimen
seringkali

menghasilkan

variasi.

Ukuran-ukuran

yang

menggambarkan

karakteristik sampel berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara
sederhana karakteristik tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih
dikenal dengan mean. Secara matematis dinyatakan oleh formula berikut:

1). Peubah acak diskrit
�� = �[�]


= � �� �(�� )

2.3

�=1

2). Peubah acak kontinu
�� = �[�]


= � ��(�)��

2.4

−∞


Sifat-sifat nilai ekspektasi
�[�] = �

1.

�[�� + �] = ��[�] + �

2.

�[�1 + ⋯ + �� ] = �[�1 ] + ⋯ + �[�� ]

3.

�[�(�, �) ± h(�, �)] = �[�(�, �)] ± E[h(�, �)]

4.

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± E[h(�)]

5.

6.
Bukti sifat 1.

�(�. �) = �(�) E(�)

Pada peubah acak kontinu berlaku;


�[�] = � ��(�)��
−∞

Sustitusi
berlaku

�[�] = �



� = � maka �[�] = ∫−∞ ��(�)�� , karena b merupakan konstanta


�[�] = � � �(�)��
−∞

14


� �(�)�� = 1

−∞

�[�] = �
Bukti sifat 5.

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± E[h(�)]


�[�] = � ��(�)��
−∞

Substitusi Y = �(�) ± h(�)




−∞

−∞

�[�] = � ��(�)�� = � [ �(�) ± h(�)]�(�)��

Berlaku





−∞

−∞

�[�] = � �[�]�(�)�� ± � ℎ[�]�(�)��




�[�(�) ± h(�)] = � �[�]�(�)�� ± � ℎ[�]�(�)��
−∞

−∞

�[�(�) ± h(�)] = �[�(�)] ± �[ℎ(�)]
2.3.2 Varians.

Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman
mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas
sampel yang berhubungan dengan populasi dinyatakan didefinisikan oleh
Var[X] = �[(� − �)2 ], secara jelas diperlihatkan oleh:

1). Variabel acak diskrit


2





= Var[X] = � (�
�=10

− �)2 �(�� )

2). Variabel acak kontinu

2.5

15


� 2 � = Var[X] = �(�
−∞

− �)2 �(�)��

2.6

Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut
Var[X] = �[(� − �)2 ]


Var[X] = � (� − �)2 �(�)��
−∞



= � (� 2 − 2�� + � 2 )�(�)��
−∞







−∞

−∞

−∞

= � � 2 �(�)�� − 2� � ��(�)�� + � 2 � �(�)��
Var[X] = �[� 2 ] − 2��[�] + � 2

Karena � = �[X] maka diperoleh:
Var[X] =

�[� 2 ] − (�[X])2

Sifat-sifat varians:
1.

Var[c] = 0

2.

Var[�X] = � 2 Var[X]

3.
4.

Var[X + c] = Var[X]

Var[X1 + ⋯ + X� ] = Var[X1 ] + ⋯ + Var[X� ]

2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
Definisi 2.4

2.7

16
Jika � adalah sebuah fungsi dan � merupakan satu titik interior pada domain �.
Jika � memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di �, maka
� ′ (�) = 0 atau � ′ (�) tidak ada

2.8

Teknik pengintegralan parsial

[�(�)�(�)]
��

= �(�)�′ (�)

+ �(�)� ′ (�)

2.9

Misalkan
� = �(�) dan � = �(�)

�� = � ′ (�) dan �� = �′ (�)��

Persamaan 2.9 menjadi

[��]
��

= �′ �
+ �� ′

Perhatikan persamaan (2.9) untuk memperoleh formula integral parsial, ruas kiri
dan kanan dilakukan pengintegralan, sehingga diperoleh:



[�(�)�(�)] = � �(�)�′ (�)�� + � �(�)� ′ (�)��
��

� � ′ (�)�(�)�� + � �(�)� ′ (�)�� = �(�)�(�)
� �(�)�′ (�)�� = �(�)�(�)

− � �(�)� ′ (�)��

17
� � ��

= �� − � � ��

2.10

Definisi improper integral tipe-I


(a) Jika ∫� �(�)�� ada untuk setiap bilangan � ≥ �, maka;


� �(�)��




= lim � �(�)��
�→∞ �

Menyatakan bahwa limit tersebut eksis.


(b) Jika ∫� �(�)�� eksis untuk setiap bilangan � ≤ �, maka


� �(�)��
−∞



= lim � �(�)��
�→−∞ �

Menyatakan limit tersebut eksis




Improper integral ∫� �(�)�� dan ∫−∞ �(�)�� dikatakan konvergen jika limit

yang dikaitkan ada dan divergen jika limitnya tidak ada.




(c) Jika ∫� �(�)�� dan ∫−∞ �(�)�� konvergen, maka didefinisikan:




� �(�)�� = � �(�)��
−∞

−∞



+ � �(�)��


2.4.1 Distribusi dan Fungsi Gamma
Andaikan suatu peristiwa Poisson terjadi dengan konstanta rate � per unit waktu.

Misalkan variabel acak X menyatakann sebagai waktu tunggu kejadian ke − �.
Maka X memiliki pdf �� (�), di mana
��

�� (�) = (�−1)! � �−1 � −�

�>0

Bukti

,

2.10

18
Pembuktian formula untuk �� (�) dilakukan dengan mendifferensialkan fungsi

kumulatif, �� (�). Misalkan � sebagai waktu tunggu peristiwa ke-r. Maka,

�� (�) = �(� ≤ �) = 1 − �(� > �)
�� (�)

= 1 − (sedikitnya ada � kejadian terjadi pada interval [0, �])

=1

�−1

− � � −(�� )
�=0

(��)�
�!

2.11

Untuk memperoleh fungsi padat peluannya maka fungsi kumulatif pada kejadian
yang berlangsung dalam interval [0, x] adalah variabel acak Poisson dengan

parameter λx, diturunkan terhadap x, diperoleh fungsi padat peluang sebagai
berikut
�� (�) = � ′ � (�)

=


�1
��

�−1

− � � −��
�=0

(��)�

�!

2.12

Berdasarkan aturan differensial dari perkalian dua buah fungsi pada persamaan
(2.9), misalkan � = � −�� , � =
�−1

�� (�) = ��� �� −��
�=0

�−1

= � ���
�=0

−��

� −2

�−1

�=0

�−1

(��)�−1
(��)�
� − � ��� −��

(� − 1)!
�!
�=1

�−2

(��)�
(��)�
(��)�−1
�� − �� �� −��
� + ��� −��
��
(� − 1)!
�!
�!

�−2
= ���∑�=0
�� −��

= ��� −��

�!

(��)�
(��)�−1
−��
� − �� ��
��
�!
(� − 1)!

= ���� �� −��
�=0

(�� )�

(�� )�

(��)�−1

(� − 1)!

�!

� + ��� −��

(�� )�−1

�=0

�−2
�� − �∑�=0
�� −��
(� −1)!

(�� )�
�!

��

19
=

�� −�� (�)�−1 (�)�−1
(� − 1)!

(�)�−1+1 (�)�−1 � −��
=
(� − 1)!

��
�� (�) =
� � −1 � −��
(� − 1)!

,� > 0

Definisi 2.5
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, peubah acak X dikatakan sebagai fungsi
gamma pdf dengan parameter r dan λ jika:
��
� � −1 � −��
�� (�) =
(� − 1)!

Fungsi Gamma

�� �−1 −��
, � > 0 atau �(�: �, �) =
� �
,� > 0
Γ(�)

Γ(�)



= � � �−1 � −� ��

2.13

0

Beberapa pembuktian fungsi gamma untuk membantu penurunan rumus dalam
1

1

distribusi gamma. Mula-mula akan dicari nilai dari Γ �2�, substitusi nilai � = 2
ke pers. (2.13)



1
1
Γ � � = � � 2−1 � −� ��
2
0

1
Γ� �
2



1

= lim � � −2 � −� ��
�→∞

2.14

0

Fungsi diatas dijadikan kedalam bentuk polar, maka pertama-tama misalkan
sebagai berikut:
��

Substitusi � = �2 → �� = 2� ke persamaan (2.14)


1
1
2 1
Γ � � = lim �(�2 )−2 � −� ���
�→∞
2
2
0

20




1
1
2 1
2
Γ � � = lim � �−1 � −� ��� = lim � � −� ��
�→∞
2
2 �→∞
2
0



� =��
2

0

−� 2

� =�

0

�� � �
0



2�

2

0



� �
0

−� 2



−� 2





�� = � �� � −�
0

2�

����� = �

0

0



2 −� 2

��� ��

�� � � −� 2��� = 4π
2

0



1
1
1
2 1
2
Γ � � = lim � �−1 � −� ��� = lim � � −� �� = �2√��
�→∞
2
2
2 �→∞
2
0

0

1

Dihasilkan Γ �2� = √�

Substitusi � = 1 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(1) = � �1−1 � −� ��
0



= � � −� ��
0



= lim � � −� ��
�→∞

0

= lim �−� −� |�0 � = lim {(−� −� ) − (−� −0 )}
�→∞

=−

1
+ �0
�∞

�→∞

=0+1
=1
Dihasilkan Γ(1) = 1

Substitusi � = 2 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(2) = � � 2−1 � −� ��
0

21


Γ (2) = � �� −� ��
0



= lim � �� −� ��
�→∞

0

= lim − ��
�→∞

−�



+ lim � � −� ��
�→∞

0



= lim �−�� −� |�0 � + lim � � −� ��
�→∞

�→∞



0

= lim � � −� �� = 1
�→∞

0



Γ(2) = (−∞� −∞ + 0� 0 ) + lim � � −� �� = (0 + 0) + 1
�→∞



0

Γ(2 ) = � �� −� ��
0



Diperoleh nilai Γ(2) = � �� −� �� = 1
0

Substitusi � = 3 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(3) = � � 3−1 � −� ��
0



Γ(3) = lim � � 2 � −� ��
�→∞

0



= − lim � � 2 �� −�
�→∞

0

2 −�

= − lim � �
�→∞



+ 2 lim � �� −� ��
�→∞

0

22

Γ(3) =

− lim �� 2 � −� |�0 �
�→∞



+ lim � �� −� ��
�→∞

0



Γ(3) = −{(∞2 � −∞ ) − (02 � −0 )} + 2 lim � �� −� ��
�→∞



0

Γ(3) = (0 + 0) + 2 lim � �� −� ��

Γ(2) =


∫0

�→∞

0

�� −� �� = 1 maka



Γ(3) = 2 � �� −� ��
0

Γ(3) = 2Γ(2)
Γ(3) = 2



Diperoleh Γ(3) = � � 3−1 � −� �� = 2
0

Substitusi � = 4 ke pers (2.13) diperoleh:


Γ(4) = � � 4−1 � −� ��
0



Γ(4) = lim � � 3 � −� ��
�→∞

0





Γ(4) = lim � � 3 � −� �� = − lim � � 3 �� −�
�→∞

0

�→∞

0



= − lim � 3 � −� |�0 + 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

=

−lim� 3 � −� |�0
�→∞

�→∞

0



+ 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

0



= lim (−� 3 � −� + 03 � −0 ) + 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

�→∞

0

23
3 −∞

= −∞ �

3 −0

+0 �





+ 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

0

= (0 + 0) + 3 lim � � 2 � −� ��
�→∞

0

Γ(4) = (0 + 0) + 3Γ(3)

Γ(4) = 6



Diperoleh Γ(4) = � � 4−1 � −� �� = 6
0

Akan dicari formula ke-r untuk fungsi gamma sebagai berikut:


�(�) = � ��−� �−� ��






Γ(�) = lim � � �−1 � −� �� = − lim � � �−1 �� −�
�→∞

�→∞

0

0



Γ(�) = − lim � �−1 � −� |�0 + lim � � −� �� �−1
�→∞

�→∞

0



= −∞�−1 � −∞ + 0�−1 � 0 + (� − 1) � � � −2 � −� ��
0



Γ(�) = 0 + 0 + (� − 1) lim � � � −2 � −� ��


�→∞

0

Γ(�) = −(� − 1) lim � � �−2 �� −�
�→∞

0



Γ(�) = −(� − 1) � lim � �−2 � −� |�0 − (� − 2) lim � � �−3 � −� �� �
�→∞

�→∞

0

24
Γ(�)

= −(� − 1) �(∞�−2 � −∞ ) − (0�−2 � −0 )


− (� − 2) lim � � � −3 � −� �� �
�→∞

0



Γ(�) = −(� − 1) �0 − 0 − (� − 2) lim � � � −3 � −� �� �
�→∞



0

Γ(�) = (� − 1)(� − 2) � lim � � �−3 � −� ���
�→∞

0



Γ(�) = −(� − 1)(� − 2) � lim � � � −3 �� −� �
Γ(�)

�→∞

0

= −(� − 1)(� − 2) �lim⁡� � −3 � −� |�0 − (�
�→∞



− 3) lim � � � −4 � −� ���
�→∞

0

Γ(�) = −(� − 1)(� − 2) �(∞�−3 � −∞ ) − (0�−3 � −0 ) − (�


− 3) lim � � �−4 � −� ���
�→∞

0



Γ(�) = −(� − 1)(� − 2) �0 − 0 − (� − 3) lim � � �−4 � −� ���


�→∞

0

Γ(�) = (� − 1)(� − 2)(� − 3) � lim � � �−4 � −� ���
�→∞


0

Γ(�) = (� − 1)(� − 2)(� − 3) �� � (�−3)−1 � −� ���
0

25
Pada persamaan terakhir diketahui bahwa nilai terakhir adalah perkalian berulang
menurun maka untuk nilai � > 1 maka gamma � menjadi:
Γ(�) = (� − 1)(� − 2)(� − 3){Γ(� − 3)}
Γ(�) = (� − 1)Γ(� − 1)
Γ(�) = (� − 1)(� − 2)(� − 3) … 3.2.1
Γ(�) = (� − 1)!, di mana � > 1
Γ(� + 1) = �Γ(�) = �!

Γ(� + 1)

Γ(� + �)
Γ(�) =
�(� + 1) … (� + � − 1)
(� + �)!
�! =
(� + 1)�
Γ(�) =

�+� >0

di mana (� + 1)� = �(� + 1) … (� + � − 1) untuk � > 0

�! =

�! (� + 1)�
�! � � (� + 1)�
=
(� + 1)�
(� + 1)�
��

�! � �
�! � �
= lim
�→∞ (� + 1)�
�→∞ �(� + 1) … (� + � − 1)
lim

Diperoleh identitas

�! � �
�→∞ �(� + 1) … (� + � − 1)

Γ(�) = lim

Identitas Weierstrass

�! � �
�(� + 1) … (� + � − 1)
=







�1
�2
��

� 1 + �/1 1 + �/2 1 + �/�

1 1
1
(�)−1− − −⋯− � 1
2 3

� ����

26
�! � �
lim
�→∞ �(� + 1) … (� + � − 1)
=

Γ(�) =

Γ(�) =

1 1
1
(�)−1− − −⋯− � 1
2 3

lim � ����
� →∞
�1

1
1 1
(�)−1− − −⋯− � 1

2 3
lim � ����
�→∞
�1
�=�
1
� �/�
� −�� lim �
� �→+∞
1 + �/�
�=1

1
� �/�
−��

Γ(�) = �




1+

Kedua ruas dilogaritmakan diperoleh


� =1













�1
�2
��

+ �/1 1 + �/2 1 + �/�

�1
�2
��

+ �/1 1 + �/2 1 + �/�





��{Γ(�)} = −log(�) − γ� + � � − �� �1 + ��


�=1

Berdasarkan persamaan terakhir diperoleh ��� atau ������ ������� yang
dinotasikan oleh ψ(�) untuk suatu bilangan bulat tak nol atau negatif dinyatakan
dalam turunan logaritma Γ(�)

{log⁡
[Γ(�)]}
��

Γ′(�)
1
1
1
ψ(x) =
= −γ − + � −
Γ(�)

� �+�
ψ(x) =



�=1

1
1
Γ′(�)
= −γ + � −
� �+�−1
Γ(�)
�=1

� ≠ 0, 1, 2, …

1
1
(�)� = 0.5772156649 …
� = lim �1 + + ⋯ + − log⁡
�→∞

2

2.5 Estimasi

Estimator dalah kuantitas yang didasarkan dari observasi sampel yang nilainya
diambil
sebagai indikator dari nilai parameter populasi yang tidak diketahui (sebagai
contoh, rata-rata
sampel �̅ sering digunakan sebagai estimator dari mean populasi yang tidak

diketahui �) semakin lama semakin besar. Peubah acak dalam bentuk fungsi

massa atau padat peluang adalah diketahui, tetapi distribusi bergantung pada

27
parameter tak diketahui yang memiliki nilai dalam himpunan yang disebut ruang
parameter.

Dalam estimasi, sampel acak diambil dari distribusi untuk memperoleh
beberapa informasi dari parameter tak diketahui. Dilakukan perulangan sebanyak
� eksperimen independen, sampel observasi

pendugaan

nilai parameter menggunakan

�1 , �2 , … , �� dan lakukan

observasi �1 , �2 , … , �� . Fungsi

�1 , �2 , … , �� digunakan menduga nilai parameter, statistik �(�1 , �2 , … , �� )

disebut sebagai penduga parameter yang dicari. Perhitungan �(�1 , �2 , … , �� )

dilakukan mendekati nilai parameter sebenarnya. Karakteristik populasi oleh
bilangan tunggal berdasarkan pada sampel data

dan mewakili nilai yang

menggambarkan karakteristik populasi disebut dugaan titik.

2.5.1 Moments Estimator (MMes)

Definisi 2.9
Secara sederhana estimasi � parameter berdasarkan metode momen adalah dengan

menyamakan momen populasi dengan momen sampel yang bersesuaian,
dituliskan oleh:
�1 = �1
�2 = �2
� ⋮
�� = ��

Persamaan di sisi sebelah kiri bergantung kepada distribusi parameternya.
Persamaan di sisi sebelah kanan dapat dihiting berdasarkan data yang digunakan.
Momen populasi ke − � didefinisikan sebagai

�� = E(� � )

Momen sampel ke − � disefinisikan oleh:

n

1
�� = � ���
n
i=1

Mengestimasi �� dari sampel (�1 , … , �� ). Momen sampel pertama adalah mean

sampel �

28

Misalkan �1 , �2 , … , �� adalah peubah

merupakan fungsi padat peluang dengan

acak

kontinu

dan �� (�)

� parameter tidak diketahui,

�1 , �2 , … , �� . Momen � pertama peubah �, jika ada diberikan oleh integral

berikut:





��� � = � � � �� (�, �1 , �2 , … , �� )��,
−∞

� = 1,2, … , �

Momen sampel ke − � merupakan aproksimasi terhadap moment teoretis ke − �.

Metode

momen

mengestimasi

parameter

tidak

diketahui

��1 , ��2 , … dan ��� terhadap model yang parameternya tidak diketahui adalah
penyelesaian dari � persamaan simultan




1
� ��� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � ��

�=1

−∞




1
� � 2 �� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � �� 2


−∞







�=1



1
� � �� (�, �1 , �2 , … , �� )�� = � � � � �



−∞

Peubah acak diskrit dengan pmf

�=1

�� (�: �1 , �2 , … , �� ) metode momen

mengestimasi penyelesaian persamaan simultan

1
� � � �� (�: �1 , �2 , … , �� ) = � � � � �





2.5.1.1 Prosedur Metode Moments
Tahapan pendugaan metode moments melibatkan tiga langkah dasar berikut ini:
Misalkan terdapat � paramerter yang akan diestimasi, msalkan � = (�1 , … , �� ).
1. Tentukan � momen pupulasi, �� , � = 1, 2, … , �. �� akan memuat
satu atau lebih parameter �1 , … , ��

29
2. Tentukan hubungkan � momen sampel , �� , � = 1, 2, … , �.

Banyaknya sampel moment harus sama banyak dengan parameter yang
akan di estimasi.

3. Dari sistem persamaan, �� = �� , � = 1, 2, … , �, selesaikan parameter
� = (�1 , … , �� ) yang merupakan penduga momen untuk ��.

2.5.2 Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Definisi 2.6
Misalkan �1 , �2 , … , �� merupakan sampel acak berukuran n dengan variabel acak

diskrit pmf �� (�, �), di mana �(�1 , �2 , … , �� ) adalah parameter tidak diketahui.

Fungsi likelihood, L(θ), adalah perkalian pmf yang dikaitkan dengan n ke-k.
�(�) = �(�1 = �1 , … , �� = �� )


�(�) = � �(�� = �� )
�=1


�(�) = � �� (�� : �)
�=1

Andaikan �1 , �2 , … , �� adalah sampel acak berukuran n dari pdf kontinu,

�� (�, �) di mana �(�1 , �2 , … , �� ) merupakan parameter tak diketahui, fungsi

likelihood dituliskan:

�(�) = �(�1 = �1 , … , �� = �� )
�(�) = �(�1 ; �1 , �2 , … , �� ). �(�2 ; �1 , �2 , … , �� ) … . �(�� ; �1 , �2 , … , �� )

Pandang sebagai fungsi �1 , �2 , … , �� , disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan
[�1 ( �1 , �2 , … , �� ), �2 ( �1 , �2 , … , �� ), … , �� ( �1 , �2 , … , �� )]

Adalah tupel-k yang memaksimalkan � ( �1 , �2 , … , �� ) sehingga:
��1 = �1 (�1 , �2 , … , �� )

30
��2 = �2 (�1 , �2 , … , �� )

��3 = �3 (�1 , �2 , … , �� )


��� = �� (�1 , �2 , … , �� )

Adalah penduga kemungkinan maksimum dari �1 , �2 , … , �� . Secara umum dapat

dituliskan sebagai berikut


�(�) = � �� (�� , �)
�=1

2.5.2.1 Prosedur untuk menentukan MLE
Definisikan Fungsi Likelihood, �(�).

1.
2.

Gunakan logaritma natural, ln[�(�)].

3.

Ketika diterapkan, differensialkan ln[�(�)] terhadap �, dan
samakan dengan nol.

Selesaikan parameter � dan akan diperoleh ��.

4.

2.5.3 Sifat-sifat estimator

Sifat yang diharapkan dari sebuah penduga adalah bahwa penduga tersebut berada
sedekat-dekatnya dengan nilai sebenarnya parameter yang tidak diketahui. Bila
diperhatikan mean bukanlah satu-satunya lokasi yang mungkin parameter dimana
parameter berada.. Untuk praktisi statisi, pertanyaan penting adalah mendapatkan
sampel statistik seperti mean, median, observasi terkecil atau obeservasi terbesar,
sebaiknya

dipilih

mempersentasikan

seluruh

sampel.

Untuk

memahami

matematika pendugaan, maka pertama-tama ingat bahwa setiap penduga adalah
fungsi dari sekelompok peubah acak

1. Tidak Bias

31
Estimator tidak bias adalah estimator yang nilai harapannya sama dengan
nilai sesungguhnya dari parameter yang akan ditaksir.
Didefinisikan sebagai berikut
Andaikan �� merupakan estimasi titik untuk suatu parameter �. Maka �� disebut
sebagai estimator tidak bias apabila ����� = �. Jika ����� ≠ �, maka �� dikatakan
bias. Bias suatu penaksir titik �� diberikan oleh ����� = ����� − �.
2. Efisien

Jika distribusi Sampling dari dua buah statistik mempunyai mean atau
ekspektasi yang sama, maka statistik varians yang lebih kecil disebut sebagai
estimator efisien dari mean, sementara statistik yang kedua adalah estimator tak
efisien. Nilai dari kedua statistik masing-masing disebut estimasi efisien dan
estimasi tak efisien. Dan dinotasikan andaikan bahwa ��1 dan ��2 adalah dua
penduga takbias untuk parameter �. suatu penduga adalah efisien terhadap �
apabila penduga memiliki varians yang lebih kecil.
Ef(��2 , ��1 ) =
Ef���2 , ��1 � =
Ef���2 , ��1 � =

��� (��1 )
��� (��2 )

2
E���1 − ��

2
E���2 − ��

2
E���1 − ����1 ��

2
E���2 − ����2 ��

Jika �� > 1 maka ��1 > ��2 artinya secara relative ��2 lebih efisien daripada

��1 , dan jika �� < 1 maka ��1 < ��2 secara relative ��1 lebih efisien daripada

��2 .

3. Konsisten

Estimator konsisten adalah estimator yang cenderung sarna dengan nilai
sebenarnya

32
meskipun ukuran sampel semakin lama semakin besar.
Suatu penduga dikatakan konsisten jika memenuhi syarat berikut:
1. Jika ukuran sampel bertambah maka penduga akan mendekati nilai
parameter sebenarnya. Jika sampel menjadi tak terhingga maka penduga
konsisten harus

dapat memberi suatu titik yang sempurna terhadap

parameternya. Sehingga, � �� � merupakan penduga konsisten, jika dan
hanya jika:

2

� � θ� − E(θ)� → 0 ������ � → ∞

2. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling penduga
akan mengecil menjadi suatu garis normal diatas parameter sama dengan 1