Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Endang Sri Kresnawati

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka

Menggunakan Deret Matematika

  

Endang Sri Kresnawati

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya

endangsrikresnawati@yahoo.co.id

  

Abstrak.Model pertumbuhan benefit asuransi jiwa berjangka adalah suatu fungsi variabel

acak benefit pada asuransi jiwa berjangka. Terdapat dua bentuk pertumbuhan, yaitu

menaik dan menurun. Pola kenaikan penurunan benefit mengikuti prinsip bunga

sederhana dan bunga majemuk. Prinsip bunga sederhana sesuai dengan pola barisan

aritmatik, sedangkan prinsip bunga majemuk sesuai dengan pola barisan geometri.

  

Model benefit diperoleh dari penentuan pola kenaikan dan penurunan benefit yang sesuai

dengan deret aritmatik dan deret geometri, menentukan suku pertama, menentukan beda

antar suku dan rasio antar suku, merumuskan suku ke-n deret aritmatik dan geometri.

Selain itu, penurunan rumus juga dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika.

Model benefit menaik dan . Model benefit menurun dan .

  Kata Kunci.Benefit, deret aritmatik, deret geometri PENDAHULUAN

  Asuransi merupakan perjanjian perpindahan sebagian risiko dari pihak penanggung (perusahaan asuransi) ke pihak tertanggung (nasabah). Menurut UU No. 2 tahun 1992, asuransi adalah suatu perjanjian antara pihak penanggung kepada tertanggung, dengan menerima

   asuransi, untuk memberikan

  penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Jika risiko yang dipertanggungkan kematian, maka asuransinya disebut Asuransi Jiwa.

  Banyak jenis asuransi jiwa, yaitu Asuransi Jiwa Seumur Hidup, Asuransi Jiwa Berjangka, Asuransi Jiwa Dwiguna Murni, dan Asuransi Jiwa Dwiguna. Dari beberapa produk tersebut, Asuransi Jiwa Berjangka adalah jenis yang paling popular. Bentuk pengembangan produk

  Asuransi Jiwa Berjangka banyak dan dipasarkan dengan berbagai kemasan.Menurut [2], model Asuransi Jiwa dibangun dari dua variable, yaitu fungsi benefit dan fungsi diskonto sehingga

  Pada model umum ini, benefit diasumsikan sebesar satu unit untuk kejadian kematian di periode manapun. Artinya, jika tertanggung meninggal di tahun pertama, atau di tahun kedua, atau di tahun manapun dalam kontrak, akan mendapatkan besar benefit kematian (Uang Pertanggungan/UP) sebesar satu. Pada perkembangannya, benefit kematian bisa berubah-ubah, menaik dan menurun. Inilah yang disebut pertumbuhan benefit. Besar kenaikan dan penurunan benefit beragam. Secara umum, [4] menyatakan pertumbuhan benefit mengikuti pola pertumbuhan bunga sederhana dan bunga majemuk. Benefit akan bertumbuh mengikuti prinsip bunga sederhana jika besar pertumbuhan di tiap periode sama. Sedangkan, benefit bertumbuh mengikuti prinsip bunga sederhana jika rasio pertumbuhan di tiap periode sama.

  

Endang Sri Kresnawati: Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka

Menggunakan Deret Matematika

  Secara matematis, kedua pola tersebut analog dengan pola deret matematika, yaitu deret aritmatik dan deret geometri. Dalam pemodelan matematika, deret matematika adalah salah satu alat penting yang digunakan untuk memodelkan pertumbuhan di bidang ekonomi, seperti pertumbuhan investasi, pertumbuhan penduduk dan pendapatannya, pertumbuhan annuitas, dan juga pertumbuhan benefit. [1] menyebutkan bahwa deret adalah sehimpunan bilangan yang dihubungkan satu sama lain oleh suatu aturan tertentu. Ketika suatu deret memiliki perbedaan yang tetap antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut deret aritmatik. Jika suku pertama deret aritmatik,

METODE PENELITIAN

  , bedanya, , maka rumus suku adalah

HASIL DAN PEMBAHASAN

  Kemudian, [1] juga menyatakan deret geometri adalah suatu deret yang memiliki rasio konstan antara suku-sukunya yang berurutan. Jika suku pertama deret geometri adalah dan rasionya adalah , maka rumus suku adalah

  Besar kenaikan dan penurunan benefit sangat beragam dengan masa kontrak yang cukup panjang. Untuk itu diperlukan suatu model matematika untuk menggambarkan kenaikan dan penurunan benefit secara sederhana dan dapat berlaku umum. Penelitian [3] hanya menyusun model kenaikan benefit mengikuti prinsip bunga sederhana dengan besar benefit semula 1000 dan kenaikan 10% per tahun. Modelnya

  Besar benefit dan kenaikannya ditentukan. Hasil ini belum lengkap dan belum menyatakan pertumbuhan secara umum. Berdasarkan hal tersebut, penelitian ini bertujuan menyusun model matematika untuk kenaikan dan penurunan benefit menggunakan deret aritmatika dan deret geometri, dengan besar benefit dan besar pertumbuhan umum.

  Alat bantu yang digunakan dalam penyusunan model adalah deret aritmatika dan deret geometri. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan besaran dari kenaikan dan penurunan benefit. Kemudian menentukan pola kenaikan yaitu, pola bunga sederhana dan bunga majemuk. Hal yang sama juga ditentukan untuk benefit menurun. Selanjutnya tentukan sukku awal, beda suku, dan rasio suku, tentukan bentuk umum suku ke-n hingga diperoleh bentuk umum benefit menaik dan benefit menurun.

  Benefit kematian atau yang dikenal dengan istilah uang pertanggungan (UP), adalah sejumlah dana atau uang yang dibayarkan sebagai bentuk pertanggungan bagi nasabah saat terjadi risiko kematian. Pada umumnya, UP berjumlah sama untuk pengajuan klaim di periode manapun. Pada perkembangannya, UP dapat dibuat terus menaik atau menurun. Besar benefit akan terus bertambah jika pertumbuhannya positif. Sebaliknya, besar benefit semakin menurun, jika pertumbuhannya negatif.

  Pertumbuhan benefit memiliki dua pola. Pertama,pertumbuhannya mengikuti prinsip bunga sederhana. Artinya, besar pertambahan benefit di periode manapun, selalu dihitung berdasarkan benefit di tahun pertama. Pola seperti ini adalah bentuk dari deret aritmatik, sehingga bentuk umum benefitnya menggunakan bentuk umum suku dari deret aritmatik.

  Kedua, pertumbuhannya mengikuti prinsip bunga majemuk. Artinya, besar

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  1 n

  Benefit di akhir tahun adalah Jika dan

  1 n

  3 ... n-

  2

  1

   Benefit Awal Kenaikan Benefit Akhir

  Secara lengkap ditunjukkan pada Table 2. Tabel 2. Induksi Matematika

  Gambar 2. Pola Kenaikan Majemuk Untuk dan , deret geometrinya

  , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun , seperti ditunjukkan Gambar 2.

  Benefit yang dibayarkan pada nasabah akan meningkat setiap tahunnya sebesar dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua

  .

  pertambahan benefit di periode berikutnya, dihitung berdasarkan benefit di periode sebelumnya. Pola seperti ini adalah bentuk dari deret geometri, sehingga bentuk umum benefitnnya menggunakan bentuk umum suku dari deret geometri.

  Model Benefit Menurun

  Asuransi jiwa menurun adalah asuransi jiwa yang benefit kematiannya terus berkurang.

  1 ... n-1

  , di akhir tahun kedua sebesar , ..., di akhir ke-n mendapat benefit sebesar

  3

  1

  2

  1

  1

  1

  k BenefitAwal Kenaikan Benefit Akhir

  Tabel 1. Induksi Matematik

  Gambar 1. Pola Kenaikan Sederhana Untuk dan , deret aritmatikanya Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 1.

  , seperti ditunjukkan Gambar 1.

  Benefit yang dibayaran pada nasabah akan meningkat setiap tahunnya sebesar Q dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun

  Pola Kenaikan Sederhana

  Asuransi jiwa menaik adalah asuransi jiwa yang benefit kematiannya terus bertambah.

  Model Benefit Menaik

  Maka Jika meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar

1 Benefit di akhir tahun

  Pola Kenaikan Majemuk

  Jika meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar , di akhir tahun kedua sebesar

  adalah . Jika dan . Maka .

  Pola Penurunan Sederhana

  Benefit yang dibayarkan pada nasabah akan menurun setiap tahunnya sebesar dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun

  , seperti ditunjukan Gambar 3.

  , ..., di akhir tahun mendapat benefit sebesar .

  

Endang Sri Kresnawati: Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka

Menggunakan Deret Matematika

  Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 4. Tabel 4. Induksi Matematika

  Gambar 3. Pola Penurunan Sederhana

  Kenaikan Benefit Akhir Benefit Awal

  Untuk dan , deret aritmatikanya

  1

  2

  3 ... n-

  1 n

  Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 3.

  Benefit di akhir tahun Tabel 3. Induksi Matematik adalah . Jika

  k BenefitAwal Kenaikan Benefit Akhir

  dan . Maka

  Jika tertanggung meninggal di tahun

  1

  2

  pertama, nasabah akan mendapat benefit

  3

  sebesar , di akhir tahun kedua sebesar ...

  n-

  , , di akhir mendapat

  1 benefit sebesar . n KESIMPULAN

  Benefit di akhir tahun adalah . Jika

  Pertumbuhan benefit, menaik atau dan . Maka menurun, dapat dimodelkan menggunakan

  Jika meninggal di tahun pertama, deret aritmatik jika selisih benefit di setiap nasabah akan mendapat benefit sebesar

  , tahun kontrak sama besar. Kenaikan dan di akhir tahun kedua sebesar

  , ..., di penurunan benefit juga dapat dimodelkan akhir ke-n mendapat benefit sebesar menggunakan deret geometri jika rasio . benefit antar taahun kontrak sama besar.

  Pola Penurunan Majemuk

  Pemodelan menggunakan deret aritmatik Benefit yang dibayarkan pada nasabah dan deret geometri ini hanya berlaku akan menurun setiap tahunnya sebesar untuk pertumbuhan benefit dengan tahun dari benefit semula. Jika benefit di tahun kontrak berhingga. pertama satu unit, maka tahun kedua

  Untuk penelitian selanjutnya, , tahun ketiga , dan sebaiknya menerapkan pola pertumbuhan seterusnya hingga tahun

  , seperti yang lain, agar diperoleh kesimpulan yang ditunjukkan Gambar 4. lebih umum.

  DAFTAR PUSTAKA Bird, John. (2002). Matematika Dasar.

  Gambar 4. Pola Penurunan Majemuk Teori dan Aplikasi Praktis. Edisi

  Untuk dan , deret Ketiga. (diterjemahkan oleh Refina geometrinya Indriasari), Penerbit Erlangga, Indonesia, 2002.

  Bowers and N. L. Jr. (1986). Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Illinois, 1986.

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  Devistyarini. (2010). Premi Asuransi Jiwa Susanta, B. (1993). Model Endowment dengan Benefit Menaik, Matematika, Penerbit Karunika, Skripsi tidak dipublikasikan, Jakarta, 1993.

  Universitas Sriwijaya, 2010.