Dasar Sistem Kendali BAB VII
BAB VII
KONSEP KESTABILAN DAN KRITERIANYA
1. Konsep Kestabilan
Berangkat dari sistem linear di mana awal kondisi mantapnya memiliki
kesalahan nol dan akan tidak sarna dengan nol bila sistem mendapat sejumlah
gangguan dengan keluaran co(t). jika sistem tersebut terkena gangguan pada saat
t = - t 1 (t1>0), yang dapat beraksi sampai waktu tak terhingga dan selanjutnya
= 0, maka muncul pertanyaan: "Apakah sistem dapat kembali ke
berhenti pada tVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
respon aslinya (sebelum terjadi gangguan), yaitu co(t)?" Sebagai jawaban atas hal
terse but kembaJi pada masalah kestabilan.
Kini akan kita buktikan seberapa besar perbedaan respon setelah dan
sebelum ada gangguan: [c(t) - co(t)] hingga t tak terhingga. Respon untuk sistem
linear (superposisi):
c(t) = co(t) + cd(t)
(VII-I)
Disini cd(t) adalah respon dari sistem yang terkena gangguan, dengan demikian
persamaan (VII -1) dapat dinyatakan sebagai:
lim [c(t) - co(t)]
=
t~co
lim cd(t)
=
?
t--+«:I
Untuk menjawab pertanyaan mengenai kestabilan sistem tersebut perlu
melakukan pengujian atau pembuktian, yaitu dengan membandingkan respon
keluaran setelah terjadi gangguan terhadap respon keluaran aslinya. Dalam hal ini
ada 3 (tiga) jawaban pokok, yaitu:
(i)
Jim cd(t)
1-700
(ii)
lim cd(t)
=0
= ± 00 (fungsi osilasi amplitudo tinggi)
1-700
(iii)
lim cd(t)
=
Ko; (suatu konstanta)
t~oo
=
O(t); (osilasi dengan amplitude takterhingga)
= Ko + O(t)
Jawaban tersebut memudahkan kita untuk mencapai stabilitas sistem yaitu:
.:. Stabil:
Jika respon sistem terhadap pengganggunya berlangsung cepat, dan
akhirnya hilang.
173
.:. Tidak
stabil:
Jika respon sistem terhadap pengganggunya
hilang menjadi
amplitude tak terhingga atau osilasi menerus maupun kombinasinya
•:. Stabil terbatas:
Jika respon sistem terhadap
pengganggunya
(t _ ~) .
berlangsung
cepat,VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
'd a n akhirnya kembali konstan.
s~'t
Bagian
lain dari konsep
dikarakteristikan
kestabilan
berupa
sistem
linear yang
sebagai berikut:
.:. Stabil absolute:
Apabila harga dari semua parameter sistem stabil.
.:. Stabil kondisional:
Apabila harga dari semua parameter sistem konstan/sta-
bil pada daerah kurva/lengkung
Seandainya
adalah
sinyal
impulsa
tertentu.
dikenakan
pada sistem terse but (saat aktif), maka
respon yang terjadi dari sistem terse but adalah:
cd(t) = (I
T(s);
dimana T(s) = fungsi alih sistem.
Sistem dimaksud selengkapnya
P ( )s
T(s) = -=
q(s)
b
m
dapat ditulis sebagai berikut:
b
b
m -I
oS + IS +...
+ m
di
n
n-I
; lmana m > n
aos +als
+ ... +an
(VII-2)
Dengan demikian cd(t) yang terjadi akibat sinyal gangguan berupa impulsa alami
ini bergantung
pada fungsi alih dari sistem, yang dalam
kuadrat dari persamaan karakteristik
riil maupun conjugate
Respon
kompleks
sistem q(s) = O. Akar-akar
dan bisa juga mempunyai
alami dari sistem akan dibantu
sebagaimana
hal ini berupa akar
melalui
sejumlah
ini bisa berharga
banyak variasi orde.
tipe dari akar-akar
dimuat pada tabel berikut ini.
Tabel VII-I. Respon yang dapat diberikan
Tipe Akar
oleh beberapa
tipe akar.
Respon alami yang diberikan
1. Akar tunggal pada bidang s = o
Ae"
....................
(VII-Ia)
2. Akar-akar keiipatan k pada bidang
(AI+A2t+ ... +Aktk-I) e
U
! ....
(VII-Ib)
s=cr
3. Akar
conjugate
kompleks
pada
Ae'" sinuot+B) ............
(VII-Ie)
bidang s = cr ± jm
4. Akar
conjugate
kelipatan k pada s = o
±
kompleks
[AI sinerot+~I)+A2t sinerot+~2)+ ......
jm
....
+Aktk-'sin(rot-Pk) eut ....
(VII-ld)
(bersambung)
174
(sambungan)
5.
Akar conjugate
kompleks tunggal
pada sumbu jro (pada s = cr ±jro)
6. Akar
conjugate
kompleks
dari
kelipatan k pada sumbu jro
7.
Asin( rot+P) ...............
(VII -1 e)
[AI sin(rot+PI)+A2 sin(rot+p2)+ ......
. ... +Aktk-lsin(rot+Pk) ......
(VII-If)
A ......................
(VII-lg)
Akar tunggal pada titik awal (s =
0)
8.
Akar-akar
kelipatan
k pada titik
awal (s = 0)
Respon-respon
k I
(A,+A 2t+ ... +AktVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
- )
.......
(VII-lh)
(1) sampai dengan (8) sebagaimana
pula diilustrasikan
dimuat pada Tabel VII-l dapat
melalui kurva respon sebagaimana
ditunjukan
pada gambar
berikut ini:
Roots in the s-plane
-J
jm
•
0'
--J
•t
-~
jm
)(
•
0'
-H
impulse responseCBA
Corresponding
~
-f
•t
jm
•
0'
A--7--\-7« .
,/
.--
-
Y--~---"-t
¥
I
I
I
I
~
)I:
•
0'
~ -r\-r\--I_
~-U_-V_
t
-.. -,
(bersambung)
175
(sambungan)
jmVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
S in g le p a ir o f r o o t s
jm
D o u b le p a ir o f r o o t s CBA
-t
-~ r
~
-r-~ t
S in g le r o o t
~ D o u b le
ro o t
Gambar. VII. 1. Respon sistem yang diberikan oleh beberapa tipe akar.
Dari Tabel VII-I tadi dapat diberikan catatan khusus, dalam hal ini tipe
akar (1) sampai dengan (8) yang memberikan
respon dengan faktor kelipatan em
adalah sebagi berikut:
< 0, akar-akarnya
mempunyai harga riil negatif (kurva respon linear) .
0, akar-akarnya
mempunyai harga riil positif (kurva respon linear) .
.:. Bila
(J
•:. Bila
(J >
•:. Bila
akar-akar
menghasilkan
dari
respon
sumbu
dengan
jro
dengan
amplitudo
kelipatan
konstan
dua
atau
lebih,
atau amplitudo
akan
berosilasi
konstan .
•:. Bila akar tunggal pada titik awal atau tanpa kelipatan k pada sumbu jro, akan
memberikan
respon
dengan
amplitudo
konstan
atau
amplitudo
berosilasi
konstan.
Dari catatan
khusus di atas tadi dapat ditarik kesimpulan
kestabilan suatu sistem sebagai berikut:
umum unuk
176
(1)
Bila semua akar dari persamaan
karakteristik
sistem mempunyai
harga riil
sistem mempunyai
harga riil
negatif, maka sistem tersebut stabil.
(2)
Bila terdapat akar dari persamaan karakteristik
positif dan terjadi pengulangan
akar pada sumbu jro, maka sistem tersebut
tidak stabil.
(3)
Bila kondisi (1) di atas mantap dari satu akar atau lebih yang tidak terulang
pada sumbu jro, maka sistem disebut stabil terbatas.
Daerah atau lokasi kedudukan
akar-akar dari ketiga kondisi (stabil, tidak stabil,
dan stabil terbatas) tersebut dapat dilukiskan seperti gambar berikut ini.
Dari
jm
suatu
uraian
di atas,
sistem
bahwa
dapat
dikembangkan
dengan cara menentukan
persamaan
stabilitas
akar-akar
karakteristiknya.
dari
Kondisi
stabil dari sistem linear, semua koefisien
persamaan
karakteristiknya
dinyatakan
dengan q(s) = 0 (riil dan bertanda sama).
Gambar VII.2. Daerah lokasi akar dari suatu sistem.
Secara utuh persamaan karakteristik
sistem tadi dapat ditulis:
nVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
q(s) = aos + a.s"" + . . . + an-IS + an = 0; dimana ao > 0 . . . . . . .
Catatan :
ao > 0, pasti positif
ao < 0, akan positifbila
Koefisien
(VII-3)
positif dari persamaan
dikalikan
karakteristik
(-1 )
orde satu, orde dua, dan orde tiga
misalnya, dapat dinyatakan:
.:. Orde satu: aos + al = 0; di sini hanya ada satu akar, yaitu s, = -~
.:.
,.
Orde dua:CBA
/lo S I
SI,S2 = [-at
±
+
(VIlA)
ao
,
aj s + a2 = 0; akar-akarnya adalah:
~(at2 - 4aoa
2ao
J]. ............................
(VII-5)
177
.:. Orde tiga: S3 + S2 + 2s + 8VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 0; dapat
dipecah atas faktor-faktor, yaitu:
(s
+2)[S- +j~][S - -j~]
0,5
0,5
=
°
(VII-6)
Oi atas tampak bahwa harga riil dari akar-akar
tapi sistem tersebut menyatakan
kondisi yang tidak stabil.
tiga atau lebih ini disebut orde tinggi dan pemecahan
dan cepat
bila memakai
"Simuling".
Langkah awal kearah itu dikembangkan
kondisi
stabilitas
penekanannya
software,
sistem
kompleks
oleh
"Matlab"
"Hurwitz"
pada aspek determinan,
Untuk sistem berorde
atau anaiisisnya
atau
dan
adalah positif,
akan cocok
pengembangannya
seperti
melalui metode "investigasi"
"Routh".
Kriteria
Hurwitz
sedang Routh pada aspek formulasi runtun
(array).
2. Kriteria Stabilitas Hurwitz
Persamaan
karakteristik
sistem orde ke-n (tinggi),
dinyatakan
memakai
formulasi umum :
(VII-7)
Susunan determinan
dari Hurwitz tersebut adalah:
I
al
__
I
I
ao
.JI
0
I
I
0
0
0
-------
0
0
ao
0
0
-------
0
0
a2
al
ao -------
I
a3
a2
al
-----as
a4
Catatan:
I
I
a3
-,---r--TI
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
a2n.1 a2n-2
I
I
I
I
I
I
0
0
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
~~-----------------
koefisien-koefisien
yang mempunyai
(VII-8)
an+1 an
harga lebih besar dari n atau
bertanda negatif harus diganti dengan nol.
Dengan kata lain, kondisi penting untuk stabilitas ini dinyatakan:
~l=al>O;
.....
178
a,
a,
0 a1CBA
aO
~3 = a3
a2
a1 a 3
a2 >0
~n = disusun seluruhnya seperti persamaan (VII-8»0
ApabilaVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~n - I =
0, maka sistem terse but adalah stabil terbatas.
Contoh:
Misal orde-4 dengan persamaan karakteristik
S4
sistem sebagai berikut:
3
+ 8s + 18s2 + 16s + 5 = 0
Susunan determinan menurut metode kriteria Hurwitz adalah:
I
a)
I
8
1
0
18
8
I
0
---'
a3
16
------
as
0
5
16
18
--------0
a7
0
0
5
-----------Oleh karena itu,
~l = 8>0;
8
1
18
8
1
~3 = 16
18
8 16
18
0
5
16 0
5
.114=
Catatan
3.
1=
1 16
~2=
128 >
o
8
O'
'
1
= 1728 >0
8
1
0
0
8
1
16
18
8
1
16
18
0
5
16
18
0
5
0
0
0
5
0
0
=
5.113> 0
: Dari hasil di atas dapat disimpulkan sistem adalah stabil.
Kriteria
Kestabilan
Kriteria
karakteristik
tersebut
Routh
berdasarkan
sistem orde yang dituangkan
lazim disebut "Runtun-Routh"
pada
koefisien-koefisien
persamaan
ke dalam bentuk runtun (array), yang
(Routh Array) dengan formulasi umum:
1 7 9 wvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
q(s) = aosn + a.s"" + a2Sn-2+
Persamaan
+
an-IS + an = 0
umum (VII-9) di atas selanjutnya
(VII-9)
disusun sesuai metode Runtun-
Routh sebagai begikut:
s"
sn-I
sn-2
S"-3
S"-4
I
._-----
I
I
I
I
S2
Sl
SO
Koefisien b., b2, ... , dan seterusnya dapat dievaluasi sebagai berikut:
bl = (ala2 - aoa3)!al;
b2 = (a.a, - aoaS)!al;
b,
=
0;
CI = (b.a, - alb2)1b1;
C2= (bias - a1 b3 )1b1 ;
dl = (clb2 - blC2)!Ct;
d 2=
(c\b3-btC3)lct;
Kriteria kestabilan Routh identik dengan kriteria dari Hurwitz di atas, yaitu:
at
Demikian pula untuk
C
-
~3/ .
1-CBA
/1 1 2 '
d, = ~%.3;
ao
180
(S4VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 8s3 + 18s2 + 16s + 5 = 0),
Jadi untuk contoh soal di atas q(s) =
dapat
diselesaikan sebagai berikut:
1
54
18
53
8
(8xI8)-(lxI6)
52
8
51 (16x16)-(8x5)
16
SO
5
16
(8x5)-(lxO)
8
= 16
=
5
13 5
'
0
=
5
0
Pada kolom pertama semua elemennya positif, maka sistem terse but
Catatan:
adalah stabil.
Persamaan karakteristik sistem:
Contoh:
3s4 + 10s3 + 5s2 + 5s + 2
=
0
Selesaikan soal tersebut dengan cara seperti di atas!
Dengan metode runtun Routh didapat:
S4
3
5
S3
10
5
2
2x5-3xl
S3
S2
s'
2
3,5xl-2x2
3,5
SO
2
1
= 3,5
2x2-0x3
2
=2
-
0,5
=3,5
2
Untuk menyederhanakan pengerjaan baris ketiga (S3) dari runtun Routh
telah dimodifikasi dengan membagi 5 secara langsung. Modifikasi (S3) ini
digunakan untuk melengkapi proses dari formasi runtun.
Pengujian pada kolom pertama dijumpai 2 buah perubahan tanda, yaitu
(dari 3,5 ke -0,5/3,5 dan dari -0,5/3,5 ke 2). Dengan demikian sistem tersebut
tidak stabil (ada 2 pole separuh kuadran kanan bidang -s).
Dapat dicatat bahwa
kriteria kestabilan Routh hanya memberikan sejumlah akar pada separuh bagian
kanan bidang
+S.
Dengan kata lain tak ada informasi nilai dari akar-akar secara
jelas yang membedakan antara akar-akar yang riil dan kompleks.
181
4. Kasus Khusus.
Pada
pemakaian
kesukaran-kesukaran
yang
Kesukaran-kesukaran
a.
kriteria
kestabilan
mengkibatkan
Routh,
kadang-kadang
diperlukannya
muneul
test/uji
khusus.
yang dijumpai umumnya seperti dijelaskan berikut ini.
= nol, padahal
batas akhimya
Apabila batas awal pada setiap runtun RouthVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
walau keeil mempunyai
yang
akan
perlunya
batas yang tidak sarna dengan
pemecahan
"uji
Routh"
Gantilah
tak
terhingga.
metode berikut:
bilangan positif e (keci\) dengan nol, dilanjutkan
mengevaluasi
(2)
Hal inilah
yang
Kesukaran tersebut dapat ditempuh dengan menggunakan
(1)
nol.
Ubahlah
dengan
baris akhir dari runtun Routh.
persamaan
karakteristik
Y z.
mengganti
s denganCBA
baris-baris
dari z. Banyaknya
sistem yang asli (semula)dengan
Gunakan
uji-Routh
dalam
penggantin
akar-akar dari z yang positif dan riil
adalah sarna dengan banyaknya akar-akar dari s yang positif dan riil
pula. Metode penyesuaian
ini adalah yang paling banyak digunakan,
namun tidak berarti berlaku untuk semua kasus.
Contoh:
Persamaan karakteristik
S5
+
S4
sistem dinyatakan sebagai berikut:
+ 2s3 + 2S2 + 3s + 5 =
0
Sesuai meta de runtun Routh dapat diselesaikan sebagai berikut:
S5
1
2
3
S4
1
2
5
S3
e
-2
S2
Sl
2e+2
e
- 4-4e-5e2
2e+2
sa
= 3,5
5
= -2
5
Dari runtun Routhdi atas, tampak bahwa elemen pertama pada baris
ketiga = O. Penggantian
positif.
bilangan e merupakan bilangan kecil bertanda
1 8 2 wvutsrqponmlkjihgfedcbaZ
Elemen pertama pad a baris ke empat menjadi (2e + e)/e, yang bertanda
positif, yakni e mendekati noJ.
Elemen pertama pada baris ke lima adalah (-4e - 4 - 5e2)/(2e + 2),
yang mempunyai harga akhir -2, yakni e mendekati noJ.
Pengujian pertama dari runtun-Routh
tanda,
oleh
sebab
itu sistem
ini diperoleh dua buah perubahan
terse but tidak
stabil,
dalam
mempunyai dua buah pole pada separuh bagian kanan bidang
Sekarang marilah kita perhatikan
kesukaran
yang disebabkan
runtun-Routh.
karakteristik
5
4
Dengan
pemakaian
hal ini
+-S.
metode kedua untuk rnengatasi
oleh adanya harga nol pada kolom pertama dari
cara
s denganCBA
mengganti
Yz
pada
persamaan
sistem yang disusun ulang sebagai berikut:
3
5z + 3z + 2z + 2Z2 + z + 1 = 0
Runtun-Routh
untuk persamaan karakteristik tersebut adalah:
ZS
5
2
1
Ada dua buah perubahan
Z4
3
2
1
pertama
-~
-7 j
-
mengisyaratkan
Ii
1
Z3
Z5
Zl
2
ZO
1
pada
dari
separuh
semua elemen runtun-Routh
kondisi ini rnengindikasikan
bagian
kanan
dari bidang -z .
dari akar-akar
kanan
bidang
yang
bemilai
nol,
dua.
pada setiap barisnya
bahwa terdapat akar-akar yang kedudukannya
akar-akar
conjugate
pada surnbu irnajiner dan atau akar-akar
kompleks
berbentuk
kuadratlpersegi
muka
Bantu".
yang
setiap
Polinomial
-s pada
-s
simetris pada bidang -s (akar nyata dengan tanda berlawanan
koefisien-koefisiennya
yang
kita bahwa ada dua buah akar
bagian
jumlahnyajuga
b. Apabila
runtun-Routh
oleh karena itu jumlah
separuh
tanda pada kolorn
pada bidang -s).
berupa elemen-elemen
kondisinya
terdapat
ini akan menentukan
akar suatu persarnaan karakteristik
dan atau
conjugate
polinomial
yang
baris seperti ditunjukan
niali nol, disebut
jumlajah
di
"polinomial
akar maupun
lokasi
sistern yang sarna-sarna berkedudukan
sirnetris pad a bidang +S. Susunan dari polinomial bantu ini selalu genap.
183
Dikarenakan
dalam runtun-Routh
Routh dapat dilakukan.
terdapat baris yang bemilai nol maka iji
Cara mengatasi situasi ini yaitu dengan mengganti baris-
baris yang bemilai
nol dengan koefisien-koefisien
dihasilkan
derivatif
melalui
pertama
baris dari polinomial
poiinomial
gantinya.
Berikut
yang
ini adlah
contoh prosedur pemecahan mode kesukaran kedua.
Contoh: Persamaan karaktersistik
sistem (orde enam) adalah sebagai berikut:
+ 2s5 + 8s4 + 12s3 + 20S2 + 16s + 16 = 0
S6
Runtun-Routh
dari persamaan di atas adalah
S6
1
8
20 16
S5
2
12
16
-
S5
1
2
6
12
8
16
-
1
6
8
o
0
Mengingat
nilai-nilai
pada
baris
S3
=
nol, maka perlu pemecahan lanjut
semuanyaVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dngan uji Routh.
Polinomial
dari koefisien-koefisien
bantunya
dibentuk
baris S4 yang diberikan
oleh:
A(s) = S4+ 6s2 +8
Derivative poiinomialnya
(dengan memperhatikan
s) adalah:
= 4s3 + 12s
-.!A(s)
ds
Kini nilai-nilai
nol pada baris S3 digantikan
oleh koefisien-koefisien
4 dan 12,
6
sehingga ~untun-Routh selanjutnya dapat disusun sebagai berikut:
1
8
20
1
6
8
bahwa tidak ada perubahan
S4
1
pertama.
4
6
12
8
S3
S3
1
3
S2
3
8
s'
X
SO
8
S5
16
Dari runtun-Routh
pengganti disamping tampak
Akar-akar
tanda pada kolom
poiinomial
Bantu
yang
akan diselesaikan adalah:
S4
+ 6s2 +8 = 0
Didapat akar-akamya
s
Kedua akar tersebut juga merupakan
=CBA
±j..fi
dan s
yaitu:
=
±j2
akar dari persamaan
karakteristik
sistem
yang asli (semula).
Mengingat
(pengganti)
tidak adanya perubahan
yang dibentuk
melalui
tanda pada runtun-Routh
polinomial
yang baru
bantu maka dapat disimpulkan
bahwa tidak terdapat akar persamaan karakteristik yang bertempat kedudukan
184
pada bagian positif dan nyata (riil).
Dengan demikian sistem tersebut berkondisi
stabil terbatas.
5. Aplikasi Kriteria Kestabilan Routh Pada Sistem Linear Berumpan-Balik.
Kriteria
kendali
ketsabilan
Routh
linear berumpan-balik.
sering
digunakan
untuk
determinasi
Untuk sebuah sistem loop tertutup
sistem
berumpan-
balik (lihat gambar), dapat ditentukan rentang konstanta K, dimana sistem tersebut
berkondisi stabil.
C (s )
K
2VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5(5 + 5 + 1)
Gambar VII. 3. Diagram blok sistem kendali loop tertutup.
Fungsi alih sistem loop tertutup ini dapat ditulis:
C(s)
R(s)
K
S(S2
=
+
s-tl)(s + 4) + K
Adapun persamaan karakteristik
sistemnya adalah:
S(S2 + s +1) (s + 4+ + K
=
0
Atau
S4
3
2
+ 5s + 5s +4s + K
Runtun-Routh
=
0
dari persamaan tersebut dapat disusun:
S4
1
5
S3
5
4
2Ys
K
S2
SI
(8
SO
5
4_ 5K
)/~1
K
-
-
K
Untuk sebuah sistem yang stab il, tanda dari setiap elemen pada kolom
pertama runtun-Routh
harus memenuhi
diharapkan
semuanya positif.
syarat, yaitu: K > 0 dan
(8
Kondisi sistem yang stabil
4- 5K ) ) 0 dengan demikian untuk
5
8Ys ) K ) 0
kondisi yang stabil ini K diharapkan berada pada rentang:CBA
185
8 Ys,
Apabila K = CBA
atau dengan kata lain K =
akan berharga nol pada baris ke-4 dari runtun-Routh
8Ys
ini akan menyebabkan
menerus dalam sistem loop tertutup.
diberikan oleh koefisien-koefisien
(~1)
8Ys
Untuk K =
osilasi diri
khusus polinomiai
bantu
baris ke-3, yaitu:
8Ys
VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+
= 0; yang memberikan akar-akar sebagai:
S2
s
dipertahankanya
= ± j J (3 {) = ± j(jJo
Oleh sebab itu frekuensi osilasi diri (osilasi menerus) berada pada sekitar K = 84
25
adalah
J (3 {)
rad/sec.
6. Analisis Kestabilan Relatif
Suatu sistem dinyatakan
kestabilan
relatif secara kuantitatif
akar persamaan
karakteristik
tetap tadi.
yang diperiukan
Kestabilan
dari persamaan
yang telah ditentukan.
stabil, apabila kita dapat menentukan
setelah menentukan
tempat kedudukan
sistemnya yang cenderung tetap.
(setting time) akan berbanding
dominant
berkondisi
terbalik terhadap
Waktu penetapan
harga riil dari akar-akar
relatif dapat ditentukan
akar-
yang
oleh semua akar-akar
karakteristik
yang lebih negatif dari pada harga
Misalnya, kedudukan
akar harus berada pad a bidang s =
-a(a)O).
Persamaan
dimodifikasi
dengan eara menukar bidang -s yang asli (awal) menjadi s =
diganti s = z -
a)
karakteristik
sistem
yang
ditinjau
ini
selanjutnya
- o i,
(lihat gambar).
S b . B id .
Jika persamaan
z
S b . B id .
s
pada
sb.
z
karakteristik
benar-benar
sistem yang baru
coeok
(memenuhi
kriteria) dari Routh, hal ini berarti bahwa akarakar
dari
persamaan
karakteristik
yang
asli
(awal) adalah lebih negative dari -o-.
Gambar. VII. 4. Pergeseran/penggantian
sumbu bidang s menjadi sumbu z
186
Contoh: Persamaan karakteristik sistem orde tiga adalah sebagai berikut:VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 7s2 + 25s + 29
S3
Dengan
menggunakan
=0
metoda
uji-Routh
akan tampak
bahwa
sistem
terse but
memiliki akar-akar yang bertempat kedudukan pada separoh bagian kiri bidang s. Marilah
kita
uji bahwa
semua
kar dari
persamaan
mempunyai
harga riil yang lebih negatif dari -1.
karakteristik
Gantilah s = -1 (yang asll dari persamaan karakteristik
- 1, maka persamaan karakteristik
sistem
di atas dengan s = z
sistem yang baru (variabel-z),
adalah
Z3 + 4Z2 + 14z + 20 = 0
Runtun-Routh
dapat dibuat/disusun
Z3
1
14
-
Z5
4
20
-
Zl
9
ZO
20
sebagai berikut:
Tanda dari semua elemen pada kolom pertama dari runtun-Routh
Akar-akar
persamaan
karakteristik
dalam z bertempak
adalah positif.
kedudukan
bagian kiri bidang-z, yang berarti bahwa semua kar dari persamaan
pada separuh
karakteristik
asli dalam -s bertempat kedudukan di bagian kiri dari s = -1 pada bidang-s.
SoaI-SoaI Latihan.
1. Carilah akar-akar dari persamaan karakteristik
terbukanya
seperti karakteristik
akar terse but pada bidang-s
=(
b. G ()s H ()s =
c. G(s)H(s)
=
1
s+2
(
)(
s+4
)
5(s + 3)
)(
s s + 3 s +84
9
2 (
S
)
S+ 2
Tentukan tempat kedudukan
serta nyatakan
sistemnya.
a. G(s)H(s)
di bawah.
)
sitem, dimana fungsi alih loop
kondisi
kestabilan
akar-
dari setiap
187
2. Persamaan karakteristik sistem servo dinyatakan sebagai berikut:
4VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
aos + a, S3 + a2s + a3S + a, = 0
tentukan kondisi konstanta K yang mantap dari persamaan
dikehendaki
3.
karakteristik j ika
bahwa sistem terse but berkondisi stabil.
Suatu sistem berisolasi dengan frekuensi = m.jika ia mempunyai
±jro dan tidak ada pole pada separuh bagian kanan bidang-s.
dan a, agar sistem dengan diagram
blok seperti di bawah
pole pada s =
tentukan harga K
berosilasi
pada
frekuensi 2 rad/sec.
S3
4.
Tentukan
satu
karakteristik
K(s +1)
+ as2 + 2s + 1
diantara
tetapan
waktu
C (s )
yang
terbesar
sistem di bawah ini. Apakah lebihbesar,
dari
lebih kecil, atau sarna
dengan 1 detik? Persamaan dimaksud adalah: s3 + 4s2 + 6s + 4 =
5. Tentukan
rentang
harga K (K>O) yang persamaan
persarnaan
°
karakteristik
sisternnya
sebagai: S3 + 3(k + l)s2 + (7k + 5)s + (4k + 7) = 0, rnempunyai akar-akar yang
lebih negative daripada s
=
-1
188
DARTAR PUSTAKA
Benjamin, E. Deroy. (1966). Automatic Control Theory.
& Sons, Inc.
WileyVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
New York: John
Dubey, G. K. at. All. (1990). Thyristorised Power Controllers. New Delhi:
Willey Eastern Limited.
Foqiel, M. (1987). The Essentials of Automatic Control System/Robotics. New
York: Research and Education Association (REA).
Edy Leksono, Katsuhika Ogata. (1985). Teknik Kontrol Automatik I, (Sistem
Pengaturan). Jakarta: Erlangga.
Morris, Noel M. (1974). Control Engineering.
Company (UK) Limited.
London:
McGraw-Hill Book
Nagrath, 1. J., Gopal, M. (1978). Control System Engineering.
Willey Eastern Limited.
New Delhi:
Pericles, Emanuel. (1986). Introduction to Feedback Control System. Tokyo:
McGraw-Hill Book Company.
William, David Cooper. (1976). Electronic Instrumentation and Measurement
Techniques. New Delhi: Prentice Hall ofIndia. Private Ltd.
William, L. McNamee, Charles Schuler, A. (1986). Industrial Electronic and
Robotics. New York: McGraw-Hill International Editor.
KONSEP KESTABILAN DAN KRITERIANYA
1. Konsep Kestabilan
Berangkat dari sistem linear di mana awal kondisi mantapnya memiliki
kesalahan nol dan akan tidak sarna dengan nol bila sistem mendapat sejumlah
gangguan dengan keluaran co(t). jika sistem tersebut terkena gangguan pada saat
t = - t 1 (t1>0), yang dapat beraksi sampai waktu tak terhingga dan selanjutnya
= 0, maka muncul pertanyaan: "Apakah sistem dapat kembali ke
berhenti pada tVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
respon aslinya (sebelum terjadi gangguan), yaitu co(t)?" Sebagai jawaban atas hal
terse but kembaJi pada masalah kestabilan.
Kini akan kita buktikan seberapa besar perbedaan respon setelah dan
sebelum ada gangguan: [c(t) - co(t)] hingga t tak terhingga. Respon untuk sistem
linear (superposisi):
c(t) = co(t) + cd(t)
(VII-I)
Disini cd(t) adalah respon dari sistem yang terkena gangguan, dengan demikian
persamaan (VII -1) dapat dinyatakan sebagai:
lim [c(t) - co(t)]
=
t~co
lim cd(t)
=
?
t--+«:I
Untuk menjawab pertanyaan mengenai kestabilan sistem tersebut perlu
melakukan pengujian atau pembuktian, yaitu dengan membandingkan respon
keluaran setelah terjadi gangguan terhadap respon keluaran aslinya. Dalam hal ini
ada 3 (tiga) jawaban pokok, yaitu:
(i)
Jim cd(t)
1-700
(ii)
lim cd(t)
=0
= ± 00 (fungsi osilasi amplitudo tinggi)
1-700
(iii)
lim cd(t)
=
Ko; (suatu konstanta)
t~oo
=
O(t); (osilasi dengan amplitude takterhingga)
= Ko + O(t)
Jawaban tersebut memudahkan kita untuk mencapai stabilitas sistem yaitu:
.:. Stabil:
Jika respon sistem terhadap pengganggunya berlangsung cepat, dan
akhirnya hilang.
173
.:. Tidak
stabil:
Jika respon sistem terhadap pengganggunya
hilang menjadi
amplitude tak terhingga atau osilasi menerus maupun kombinasinya
•:. Stabil terbatas:
Jika respon sistem terhadap
pengganggunya
(t _ ~) .
berlangsung
cepat,VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
'd a n akhirnya kembali konstan.
s~'t
Bagian
lain dari konsep
dikarakteristikan
kestabilan
berupa
sistem
linear yang
sebagai berikut:
.:. Stabil absolute:
Apabila harga dari semua parameter sistem stabil.
.:. Stabil kondisional:
Apabila harga dari semua parameter sistem konstan/sta-
bil pada daerah kurva/lengkung
Seandainya
adalah
sinyal
impulsa
tertentu.
dikenakan
pada sistem terse but (saat aktif), maka
respon yang terjadi dari sistem terse but adalah:
cd(t) = (I
T(s);
dimana T(s) = fungsi alih sistem.
Sistem dimaksud selengkapnya
P ( )s
T(s) = -=
q(s)
b
m
dapat ditulis sebagai berikut:
b
b
m -I
oS + IS +...
+ m
di
n
n-I
; lmana m > n
aos +als
+ ... +an
(VII-2)
Dengan demikian cd(t) yang terjadi akibat sinyal gangguan berupa impulsa alami
ini bergantung
pada fungsi alih dari sistem, yang dalam
kuadrat dari persamaan karakteristik
riil maupun conjugate
Respon
kompleks
sistem q(s) = O. Akar-akar
dan bisa juga mempunyai
alami dari sistem akan dibantu
sebagaimana
hal ini berupa akar
melalui
sejumlah
ini bisa berharga
banyak variasi orde.
tipe dari akar-akar
dimuat pada tabel berikut ini.
Tabel VII-I. Respon yang dapat diberikan
Tipe Akar
oleh beberapa
tipe akar.
Respon alami yang diberikan
1. Akar tunggal pada bidang s = o
Ae"
....................
(VII-Ia)
2. Akar-akar keiipatan k pada bidang
(AI+A2t+ ... +Aktk-I) e
U
! ....
(VII-Ib)
s=cr
3. Akar
conjugate
kompleks
pada
Ae'" sinuot+B) ............
(VII-Ie)
bidang s = cr ± jm
4. Akar
conjugate
kelipatan k pada s = o
±
kompleks
[AI sinerot+~I)+A2t sinerot+~2)+ ......
jm
....
+Aktk-'sin(rot-Pk) eut ....
(VII-ld)
(bersambung)
174
(sambungan)
5.
Akar conjugate
kompleks tunggal
pada sumbu jro (pada s = cr ±jro)
6. Akar
conjugate
kompleks
dari
kelipatan k pada sumbu jro
7.
Asin( rot+P) ...............
(VII -1 e)
[AI sin(rot+PI)+A2 sin(rot+p2)+ ......
. ... +Aktk-lsin(rot+Pk) ......
(VII-If)
A ......................
(VII-lg)
Akar tunggal pada titik awal (s =
0)
8.
Akar-akar
kelipatan
k pada titik
awal (s = 0)
Respon-respon
k I
(A,+A 2t+ ... +AktVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
- )
.......
(VII-lh)
(1) sampai dengan (8) sebagaimana
pula diilustrasikan
dimuat pada Tabel VII-l dapat
melalui kurva respon sebagaimana
ditunjukan
pada gambar
berikut ini:
Roots in the s-plane
-J
jm
•
0'
--J
•t
-~
jm
)(
•
0'
-H
impulse responseCBA
Corresponding
~
-f
•t
jm
•
0'
A--7--\-7« .
,/
.--
-
Y--~---"-t
¥
I
I
I
I
~
)I:
•
0'
~ -r\-r\--I_
~-U_-V_
t
-.. -,
(bersambung)
175
(sambungan)
jmVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
S in g le p a ir o f r o o t s
jm
D o u b le p a ir o f r o o t s CBA
-t
-~ r
~
-r-~ t
S in g le r o o t
~ D o u b le
ro o t
Gambar. VII. 1. Respon sistem yang diberikan oleh beberapa tipe akar.
Dari Tabel VII-I tadi dapat diberikan catatan khusus, dalam hal ini tipe
akar (1) sampai dengan (8) yang memberikan
respon dengan faktor kelipatan em
adalah sebagi berikut:
< 0, akar-akarnya
mempunyai harga riil negatif (kurva respon linear) .
0, akar-akarnya
mempunyai harga riil positif (kurva respon linear) .
.:. Bila
(J
•:. Bila
(J >
•:. Bila
akar-akar
menghasilkan
dari
respon
sumbu
dengan
jro
dengan
amplitudo
kelipatan
konstan
dua
atau
lebih,
atau amplitudo
akan
berosilasi
konstan .
•:. Bila akar tunggal pada titik awal atau tanpa kelipatan k pada sumbu jro, akan
memberikan
respon
dengan
amplitudo
konstan
atau
amplitudo
berosilasi
konstan.
Dari catatan
khusus di atas tadi dapat ditarik kesimpulan
kestabilan suatu sistem sebagai berikut:
umum unuk
176
(1)
Bila semua akar dari persamaan
karakteristik
sistem mempunyai
harga riil
sistem mempunyai
harga riil
negatif, maka sistem tersebut stabil.
(2)
Bila terdapat akar dari persamaan karakteristik
positif dan terjadi pengulangan
akar pada sumbu jro, maka sistem tersebut
tidak stabil.
(3)
Bila kondisi (1) di atas mantap dari satu akar atau lebih yang tidak terulang
pada sumbu jro, maka sistem disebut stabil terbatas.
Daerah atau lokasi kedudukan
akar-akar dari ketiga kondisi (stabil, tidak stabil,
dan stabil terbatas) tersebut dapat dilukiskan seperti gambar berikut ini.
Dari
jm
suatu
uraian
di atas,
sistem
bahwa
dapat
dikembangkan
dengan cara menentukan
persamaan
stabilitas
akar-akar
karakteristiknya.
dari
Kondisi
stabil dari sistem linear, semua koefisien
persamaan
karakteristiknya
dinyatakan
dengan q(s) = 0 (riil dan bertanda sama).
Gambar VII.2. Daerah lokasi akar dari suatu sistem.
Secara utuh persamaan karakteristik
sistem tadi dapat ditulis:
nVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
q(s) = aos + a.s"" + . . . + an-IS + an = 0; dimana ao > 0 . . . . . . .
Catatan :
ao > 0, pasti positif
ao < 0, akan positifbila
Koefisien
(VII-3)
positif dari persamaan
dikalikan
karakteristik
(-1 )
orde satu, orde dua, dan orde tiga
misalnya, dapat dinyatakan:
.:. Orde satu: aos + al = 0; di sini hanya ada satu akar, yaitu s, = -~
.:.
,.
Orde dua:CBA
/lo S I
SI,S2 = [-at
±
+
(VIlA)
ao
,
aj s + a2 = 0; akar-akarnya adalah:
~(at2 - 4aoa
2ao
J]. ............................
(VII-5)
177
.:. Orde tiga: S3 + S2 + 2s + 8VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 0; dapat
dipecah atas faktor-faktor, yaitu:
(s
+2)[S- +j~][S - -j~]
0,5
0,5
=
°
(VII-6)
Oi atas tampak bahwa harga riil dari akar-akar
tapi sistem tersebut menyatakan
kondisi yang tidak stabil.
tiga atau lebih ini disebut orde tinggi dan pemecahan
dan cepat
bila memakai
"Simuling".
Langkah awal kearah itu dikembangkan
kondisi
stabilitas
penekanannya
software,
sistem
kompleks
oleh
"Matlab"
"Hurwitz"
pada aspek determinan,
Untuk sistem berorde
atau anaiisisnya
atau
dan
adalah positif,
akan cocok
pengembangannya
seperti
melalui metode "investigasi"
"Routh".
Kriteria
Hurwitz
sedang Routh pada aspek formulasi runtun
(array).
2. Kriteria Stabilitas Hurwitz
Persamaan
karakteristik
sistem orde ke-n (tinggi),
dinyatakan
memakai
formulasi umum :
(VII-7)
Susunan determinan
dari Hurwitz tersebut adalah:
I
al
__
I
I
ao
.JI
0
I
I
0
0
0
-------
0
0
ao
0
0
-------
0
0
a2
al
ao -------
I
a3
a2
al
-----as
a4
Catatan:
I
I
a3
-,---r--TI
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
a2n.1 a2n-2
I
I
I
I
I
I
0
0
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
~~-----------------
koefisien-koefisien
yang mempunyai
(VII-8)
an+1 an
harga lebih besar dari n atau
bertanda negatif harus diganti dengan nol.
Dengan kata lain, kondisi penting untuk stabilitas ini dinyatakan:
~l=al>O;
.....
178
a,
a,
0 a1CBA
aO
~3 = a3
a2
a1 a 3
a2 >0
~n = disusun seluruhnya seperti persamaan (VII-8»0
ApabilaVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~n - I =
0, maka sistem terse but adalah stabil terbatas.
Contoh:
Misal orde-4 dengan persamaan karakteristik
S4
sistem sebagai berikut:
3
+ 8s + 18s2 + 16s + 5 = 0
Susunan determinan menurut metode kriteria Hurwitz adalah:
I
a)
I
8
1
0
18
8
I
0
---'
a3
16
------
as
0
5
16
18
--------0
a7
0
0
5
-----------Oleh karena itu,
~l = 8>0;
8
1
18
8
1
~3 = 16
18
8 16
18
0
5
16 0
5
.114=
Catatan
3.
1=
1 16
~2=
128 >
o
8
O'
'
1
= 1728 >0
8
1
0
0
8
1
16
18
8
1
16
18
0
5
16
18
0
5
0
0
0
5
0
0
=
5.113> 0
: Dari hasil di atas dapat disimpulkan sistem adalah stabil.
Kriteria
Kestabilan
Kriteria
karakteristik
tersebut
Routh
berdasarkan
sistem orde yang dituangkan
lazim disebut "Runtun-Routh"
pada
koefisien-koefisien
persamaan
ke dalam bentuk runtun (array), yang
(Routh Array) dengan formulasi umum:
1 7 9 wvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
q(s) = aosn + a.s"" + a2Sn-2+
Persamaan
+
an-IS + an = 0
umum (VII-9) di atas selanjutnya
(VII-9)
disusun sesuai metode Runtun-
Routh sebagai begikut:
s"
sn-I
sn-2
S"-3
S"-4
I
._-----
I
I
I
I
S2
Sl
SO
Koefisien b., b2, ... , dan seterusnya dapat dievaluasi sebagai berikut:
bl = (ala2 - aoa3)!al;
b2 = (a.a, - aoaS)!al;
b,
=
0;
CI = (b.a, - alb2)1b1;
C2= (bias - a1 b3 )1b1 ;
dl = (clb2 - blC2)!Ct;
d 2=
(c\b3-btC3)lct;
Kriteria kestabilan Routh identik dengan kriteria dari Hurwitz di atas, yaitu:
at
Demikian pula untuk
C
-
~3/ .
1-CBA
/1 1 2 '
d, = ~%.3;
ao
180
(S4VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 8s3 + 18s2 + 16s + 5 = 0),
Jadi untuk contoh soal di atas q(s) =
dapat
diselesaikan sebagai berikut:
1
54
18
53
8
(8xI8)-(lxI6)
52
8
51 (16x16)-(8x5)
16
SO
5
16
(8x5)-(lxO)
8
= 16
=
5
13 5
'
0
=
5
0
Pada kolom pertama semua elemennya positif, maka sistem terse but
Catatan:
adalah stabil.
Persamaan karakteristik sistem:
Contoh:
3s4 + 10s3 + 5s2 + 5s + 2
=
0
Selesaikan soal tersebut dengan cara seperti di atas!
Dengan metode runtun Routh didapat:
S4
3
5
S3
10
5
2
2x5-3xl
S3
S2
s'
2
3,5xl-2x2
3,5
SO
2
1
= 3,5
2x2-0x3
2
=2
-
0,5
=3,5
2
Untuk menyederhanakan pengerjaan baris ketiga (S3) dari runtun Routh
telah dimodifikasi dengan membagi 5 secara langsung. Modifikasi (S3) ini
digunakan untuk melengkapi proses dari formasi runtun.
Pengujian pada kolom pertama dijumpai 2 buah perubahan tanda, yaitu
(dari 3,5 ke -0,5/3,5 dan dari -0,5/3,5 ke 2). Dengan demikian sistem tersebut
tidak stabil (ada 2 pole separuh kuadran kanan bidang -s).
Dapat dicatat bahwa
kriteria kestabilan Routh hanya memberikan sejumlah akar pada separuh bagian
kanan bidang
+S.
Dengan kata lain tak ada informasi nilai dari akar-akar secara
jelas yang membedakan antara akar-akar yang riil dan kompleks.
181
4. Kasus Khusus.
Pada
pemakaian
kesukaran-kesukaran
yang
Kesukaran-kesukaran
a.
kriteria
kestabilan
mengkibatkan
Routh,
kadang-kadang
diperlukannya
muneul
test/uji
khusus.
yang dijumpai umumnya seperti dijelaskan berikut ini.
= nol, padahal
batas akhimya
Apabila batas awal pada setiap runtun RouthVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
walau keeil mempunyai
yang
akan
perlunya
batas yang tidak sarna dengan
pemecahan
"uji
Routh"
Gantilah
tak
terhingga.
metode berikut:
bilangan positif e (keci\) dengan nol, dilanjutkan
mengevaluasi
(2)
Hal inilah
yang
Kesukaran tersebut dapat ditempuh dengan menggunakan
(1)
nol.
Ubahlah
dengan
baris akhir dari runtun Routh.
persamaan
karakteristik
Y z.
mengganti
s denganCBA
baris-baris
dari z. Banyaknya
sistem yang asli (semula)dengan
Gunakan
uji-Routh
dalam
penggantin
akar-akar dari z yang positif dan riil
adalah sarna dengan banyaknya akar-akar dari s yang positif dan riil
pula. Metode penyesuaian
ini adalah yang paling banyak digunakan,
namun tidak berarti berlaku untuk semua kasus.
Contoh:
Persamaan karakteristik
S5
+
S4
sistem dinyatakan sebagai berikut:
+ 2s3 + 2S2 + 3s + 5 =
0
Sesuai meta de runtun Routh dapat diselesaikan sebagai berikut:
S5
1
2
3
S4
1
2
5
S3
e
-2
S2
Sl
2e+2
e
- 4-4e-5e2
2e+2
sa
= 3,5
5
= -2
5
Dari runtun Routhdi atas, tampak bahwa elemen pertama pada baris
ketiga = O. Penggantian
positif.
bilangan e merupakan bilangan kecil bertanda
1 8 2 wvutsrqponmlkjihgfedcbaZ
Elemen pertama pad a baris ke empat menjadi (2e + e)/e, yang bertanda
positif, yakni e mendekati noJ.
Elemen pertama pada baris ke lima adalah (-4e - 4 - 5e2)/(2e + 2),
yang mempunyai harga akhir -2, yakni e mendekati noJ.
Pengujian pertama dari runtun-Routh
tanda,
oleh
sebab
itu sistem
ini diperoleh dua buah perubahan
terse but tidak
stabil,
dalam
mempunyai dua buah pole pada separuh bagian kanan bidang
Sekarang marilah kita perhatikan
kesukaran
yang disebabkan
runtun-Routh.
karakteristik
5
4
Dengan
pemakaian
hal ini
+-S.
metode kedua untuk rnengatasi
oleh adanya harga nol pada kolom pertama dari
cara
s denganCBA
mengganti
Yz
pada
persamaan
sistem yang disusun ulang sebagai berikut:
3
5z + 3z + 2z + 2Z2 + z + 1 = 0
Runtun-Routh
untuk persamaan karakteristik tersebut adalah:
ZS
5
2
1
Ada dua buah perubahan
Z4
3
2
1
pertama
-~
-7 j
-
mengisyaratkan
Ii
1
Z3
Z5
Zl
2
ZO
1
pada
dari
separuh
semua elemen runtun-Routh
kondisi ini rnengindikasikan
bagian
kanan
dari bidang -z .
dari akar-akar
kanan
bidang
yang
bemilai
nol,
dua.
pada setiap barisnya
bahwa terdapat akar-akar yang kedudukannya
akar-akar
conjugate
pada surnbu irnajiner dan atau akar-akar
kompleks
berbentuk
kuadratlpersegi
muka
Bantu".
yang
setiap
Polinomial
-s pada
-s
simetris pada bidang -s (akar nyata dengan tanda berlawanan
koefisien-koefisiennya
yang
kita bahwa ada dua buah akar
bagian
jumlahnyajuga
b. Apabila
runtun-Routh
oleh karena itu jumlah
separuh
tanda pada kolorn
pada bidang -s).
berupa elemen-elemen
kondisinya
terdapat
ini akan menentukan
akar suatu persarnaan karakteristik
dan atau
conjugate
polinomial
yang
baris seperti ditunjukan
niali nol, disebut
jumlajah
di
"polinomial
akar maupun
lokasi
sistern yang sarna-sarna berkedudukan
sirnetris pad a bidang +S. Susunan dari polinomial bantu ini selalu genap.
183
Dikarenakan
dalam runtun-Routh
Routh dapat dilakukan.
terdapat baris yang bemilai nol maka iji
Cara mengatasi situasi ini yaitu dengan mengganti baris-
baris yang bemilai
nol dengan koefisien-koefisien
dihasilkan
derivatif
melalui
pertama
baris dari polinomial
poiinomial
gantinya.
Berikut
yang
ini adlah
contoh prosedur pemecahan mode kesukaran kedua.
Contoh: Persamaan karaktersistik
sistem (orde enam) adalah sebagai berikut:
+ 2s5 + 8s4 + 12s3 + 20S2 + 16s + 16 = 0
S6
Runtun-Routh
dari persamaan di atas adalah
S6
1
8
20 16
S5
2
12
16
-
S5
1
2
6
12
8
16
-
1
6
8
o
0
Mengingat
nilai-nilai
pada
baris
S3
=
nol, maka perlu pemecahan lanjut
semuanyaVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dngan uji Routh.
Polinomial
dari koefisien-koefisien
bantunya
dibentuk
baris S4 yang diberikan
oleh:
A(s) = S4+ 6s2 +8
Derivative poiinomialnya
(dengan memperhatikan
s) adalah:
= 4s3 + 12s
-.!A(s)
ds
Kini nilai-nilai
nol pada baris S3 digantikan
oleh koefisien-koefisien
4 dan 12,
6
sehingga ~untun-Routh selanjutnya dapat disusun sebagai berikut:
1
8
20
1
6
8
bahwa tidak ada perubahan
S4
1
pertama.
4
6
12
8
S3
S3
1
3
S2
3
8
s'
X
SO
8
S5
16
Dari runtun-Routh
pengganti disamping tampak
Akar-akar
tanda pada kolom
poiinomial
Bantu
yang
akan diselesaikan adalah:
S4
+ 6s2 +8 = 0
Didapat akar-akamya
s
Kedua akar tersebut juga merupakan
=CBA
±j..fi
dan s
yaitu:
=
±j2
akar dari persamaan
karakteristik
sistem
yang asli (semula).
Mengingat
(pengganti)
tidak adanya perubahan
yang dibentuk
melalui
tanda pada runtun-Routh
polinomial
yang baru
bantu maka dapat disimpulkan
bahwa tidak terdapat akar persamaan karakteristik yang bertempat kedudukan
184
pada bagian positif dan nyata (riil).
Dengan demikian sistem tersebut berkondisi
stabil terbatas.
5. Aplikasi Kriteria Kestabilan Routh Pada Sistem Linear Berumpan-Balik.
Kriteria
kendali
ketsabilan
Routh
linear berumpan-balik.
sering
digunakan
untuk
determinasi
Untuk sebuah sistem loop tertutup
sistem
berumpan-
balik (lihat gambar), dapat ditentukan rentang konstanta K, dimana sistem tersebut
berkondisi stabil.
C (s )
K
2VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5(5 + 5 + 1)
Gambar VII. 3. Diagram blok sistem kendali loop tertutup.
Fungsi alih sistem loop tertutup ini dapat ditulis:
C(s)
R(s)
K
S(S2
=
+
s-tl)(s + 4) + K
Adapun persamaan karakteristik
sistemnya adalah:
S(S2 + s +1) (s + 4+ + K
=
0
Atau
S4
3
2
+ 5s + 5s +4s + K
Runtun-Routh
=
0
dari persamaan tersebut dapat disusun:
S4
1
5
S3
5
4
2Ys
K
S2
SI
(8
SO
5
4_ 5K
)/~1
K
-
-
K
Untuk sebuah sistem yang stab il, tanda dari setiap elemen pada kolom
pertama runtun-Routh
harus memenuhi
diharapkan
semuanya positif.
syarat, yaitu: K > 0 dan
(8
Kondisi sistem yang stabil
4- 5K ) ) 0 dengan demikian untuk
5
8Ys ) K ) 0
kondisi yang stabil ini K diharapkan berada pada rentang:CBA
185
8 Ys,
Apabila K = CBA
atau dengan kata lain K =
akan berharga nol pada baris ke-4 dari runtun-Routh
8Ys
ini akan menyebabkan
menerus dalam sistem loop tertutup.
diberikan oleh koefisien-koefisien
(~1)
8Ys
Untuk K =
osilasi diri
khusus polinomiai
bantu
baris ke-3, yaitu:
8Ys
VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+
= 0; yang memberikan akar-akar sebagai:
S2
s
dipertahankanya
= ± j J (3 {) = ± j(jJo
Oleh sebab itu frekuensi osilasi diri (osilasi menerus) berada pada sekitar K = 84
25
adalah
J (3 {)
rad/sec.
6. Analisis Kestabilan Relatif
Suatu sistem dinyatakan
kestabilan
relatif secara kuantitatif
akar persamaan
karakteristik
tetap tadi.
yang diperiukan
Kestabilan
dari persamaan
yang telah ditentukan.
stabil, apabila kita dapat menentukan
setelah menentukan
tempat kedudukan
sistemnya yang cenderung tetap.
(setting time) akan berbanding
dominant
berkondisi
terbalik terhadap
Waktu penetapan
harga riil dari akar-akar
relatif dapat ditentukan
akar-
yang
oleh semua akar-akar
karakteristik
yang lebih negatif dari pada harga
Misalnya, kedudukan
akar harus berada pad a bidang s =
-a(a)O).
Persamaan
dimodifikasi
dengan eara menukar bidang -s yang asli (awal) menjadi s =
diganti s = z -
a)
karakteristik
sistem
yang
ditinjau
ini
selanjutnya
- o i,
(lihat gambar).
S b . B id .
Jika persamaan
z
S b . B id .
s
pada
sb.
z
karakteristik
benar-benar
sistem yang baru
coeok
(memenuhi
kriteria) dari Routh, hal ini berarti bahwa akarakar
dari
persamaan
karakteristik
yang
asli
(awal) adalah lebih negative dari -o-.
Gambar. VII. 4. Pergeseran/penggantian
sumbu bidang s menjadi sumbu z
186
Contoh: Persamaan karakteristik sistem orde tiga adalah sebagai berikut:VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 7s2 + 25s + 29
S3
Dengan
menggunakan
=0
metoda
uji-Routh
akan tampak
bahwa
sistem
terse but
memiliki akar-akar yang bertempat kedudukan pada separoh bagian kiri bidang s. Marilah
kita
uji bahwa
semua
kar dari
persamaan
mempunyai
harga riil yang lebih negatif dari -1.
karakteristik
Gantilah s = -1 (yang asll dari persamaan karakteristik
- 1, maka persamaan karakteristik
sistem
di atas dengan s = z
sistem yang baru (variabel-z),
adalah
Z3 + 4Z2 + 14z + 20 = 0
Runtun-Routh
dapat dibuat/disusun
Z3
1
14
-
Z5
4
20
-
Zl
9
ZO
20
sebagai berikut:
Tanda dari semua elemen pada kolom pertama dari runtun-Routh
Akar-akar
persamaan
karakteristik
dalam z bertempak
adalah positif.
kedudukan
bagian kiri bidang-z, yang berarti bahwa semua kar dari persamaan
pada separuh
karakteristik
asli dalam -s bertempat kedudukan di bagian kiri dari s = -1 pada bidang-s.
SoaI-SoaI Latihan.
1. Carilah akar-akar dari persamaan karakteristik
terbukanya
seperti karakteristik
akar terse but pada bidang-s
=(
b. G ()s H ()s =
c. G(s)H(s)
=
1
s+2
(
)(
s+4
)
5(s + 3)
)(
s s + 3 s +84
9
2 (
S
)
S+ 2
Tentukan tempat kedudukan
serta nyatakan
sistemnya.
a. G(s)H(s)
di bawah.
)
sitem, dimana fungsi alih loop
kondisi
kestabilan
akar-
dari setiap
187
2. Persamaan karakteristik sistem servo dinyatakan sebagai berikut:
4VUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
aos + a, S3 + a2s + a3S + a, = 0
tentukan kondisi konstanta K yang mantap dari persamaan
dikehendaki
3.
karakteristik j ika
bahwa sistem terse but berkondisi stabil.
Suatu sistem berisolasi dengan frekuensi = m.jika ia mempunyai
±jro dan tidak ada pole pada separuh bagian kanan bidang-s.
dan a, agar sistem dengan diagram
blok seperti di bawah
pole pada s =
tentukan harga K
berosilasi
pada
frekuensi 2 rad/sec.
S3
4.
Tentukan
satu
karakteristik
K(s +1)
+ as2 + 2s + 1
diantara
tetapan
waktu
C (s )
yang
terbesar
sistem di bawah ini. Apakah lebihbesar,
dari
lebih kecil, atau sarna
dengan 1 detik? Persamaan dimaksud adalah: s3 + 4s2 + 6s + 4 =
5. Tentukan
rentang
harga K (K>O) yang persamaan
persarnaan
°
karakteristik
sisternnya
sebagai: S3 + 3(k + l)s2 + (7k + 5)s + (4k + 7) = 0, rnempunyai akar-akar yang
lebih negative daripada s
=
-1
188
DARTAR PUSTAKA
Benjamin, E. Deroy. (1966). Automatic Control Theory.
& Sons, Inc.
WileyVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
New York: John
Dubey, G. K. at. All. (1990). Thyristorised Power Controllers. New Delhi:
Willey Eastern Limited.
Foqiel, M. (1987). The Essentials of Automatic Control System/Robotics. New
York: Research and Education Association (REA).
Edy Leksono, Katsuhika Ogata. (1985). Teknik Kontrol Automatik I, (Sistem
Pengaturan). Jakarta: Erlangga.
Morris, Noel M. (1974). Control Engineering.
Company (UK) Limited.
London:
McGraw-Hill Book
Nagrath, 1. J., Gopal, M. (1978). Control System Engineering.
Willey Eastern Limited.
New Delhi:
Pericles, Emanuel. (1986). Introduction to Feedback Control System. Tokyo:
McGraw-Hill Book Company.
William, David Cooper. (1976). Electronic Instrumentation and Measurement
Techniques. New Delhi: Prentice Hall ofIndia. Private Ltd.
William, L. McNamee, Charles Schuler, A. (1986). Industrial Electronic and
Robotics. New York: McGraw-Hill International Editor.