Dasar Sistem Kendali BAB III

B A B llI
M ODEL

1.

D e s k r ip s i

K a r a k te r is tik

Beberapa
sebagainya

M A T E M A T IK

S is te m

diperoleh

dengan

dengan

F IS IK

F i s i k utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

sistem dinamik, seperti mekanik,

dapat dikarakteristikan

terse but dapat

S IS T E M

listrik, termal, hidraulik

persamaan

menggunakan

diferensial.

beberapa

hukum

berlaku pada sistem yang ditinjau, misalnya hukum Newton

dan

Persamaan
fisika

yang

untuk sistem fisik,

hukum Kirchhoff untuk sistem listrik dan sebagainya.
Deskripsi matematik dari karakteristik
matematik.

Langkah

menurunkan

pertama

dalam

modelnya terlebih dahulu.

dalam bentuk yang berbeda,

dinamik suatu sistem disebut model

analisis

suatu

sistem

dinamik

adalah

Model matematik tersebut dapat disajikan

tergantung

pada sistem beserta kondisi

sekeliling

objek yang ditinjau.

Sebagai contoh dalam persoalan optimasi sistem misalnya,

cocok

persamaan

menggunakan

diferensial

orde pertama.

Sementara

analisis respon transien atau frekuensi suatu sistem satu masukan
menggunakan
diperoleh,

fungsi alih akan lebih tepat.

maka berbagai

dalam

satu keluaran

Setelah model matematik suatu sistem

piranti analisis termasuk

komputer

dapat digunakan

dalam analisis maupun sintesis.
Keterlibatan

alat bantu komputer

yang ditinjau demikian kompleks
ketelitian tinggi.
sangat tinggi,

sangat tepat apabila model matematik

dan dituntut agar hasil yang didapat memiliki

Sebaliknya, jika tidak dituntut atau diperlukan

cukup

dengan

mementukan

model yang disederhanakan

layak. Dalam hal ini kita dapat mengabaikan
ditinjau,

namun

diinginkan
Pengabaian

model

dapat tersusun
pengaruh

matematik

linear

secara

beberapa sifat fisis dari sistem yang
(persamaan

melalui parameter-parameter

sifat-sifat

ketelitian yang

fisis tersebut benar-benar

diferensial

biasa)

yang

yang sangat diperlukan.
telah dipertimbangkan

terlebih dahulu, sehingga didapat kesesuaian yang baik antara hasil analisis model
matematik
kata

dengan hasil studi eksperimen

lain model

matematik

pada sistem fisik yang dikaji.

linear parameter

bentuk persamaan diferensial linear pula.

terkumpul

dapat

disusun

Dengan
dalam

47utsrqponmlkjihgfedcbaZ

Model matematik suatu sistem dikatakan linear apabila memenuhi prinsip
Superposisi dan homogenitas.

Dalam hal ini respon yang dihasilkan oleh

penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sarna
dengan respon dari dua buah respon individualnya.

Model tersebut dapat

diilustrasikan sebagai suatu sistem yang memiliki respon YllkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(t) dan ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF
Y 2 (t) dengan
dua masukan

Xl

(t) dan

X2

(t) sedemikian rupa. Selanjutnya respon sistem tersebut

terhadap masukannya dapat disusun:
a1x 1 (I) kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ a 2 x 2 (I) ; akan didapat keluaran misal saja:
alY I (I)

+ a 2 Y 2 (I) ; dimana

al

dan

a,

konstan.

Dari rumusan tersebut di atas mudah dipahami bahwa pada sistem linear,
respon terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan mencari respon
terhadap tiap-tiap masukan dan menjumlahkan hasilnya.

Jika parametemya

konstan (time invariant), akan diselesaikan dengan persamaan diferensial linear
parameter konstan (linear time invariant = linear koefisien konstan).
Sekalipun

beberapa

hubungan fisis sering kali dinyatakan

dengan

persamaan linear, namun dalam kebanyakan kasus hubungan yang sebenamya
adalah tidak benar-benar linear. Pada kenyataannya, suatu studi sistem fisik yang
cermat menyatakan bahwa sistem linear hanya benar-benar linear pada daerah
kerjanya. Masalah peredam (damping) yang terjadi pada sistem fisik, mungkin
linear untuk operasi kecepatan rendah dan menjadi non linear pada kecepatan
tinggi dan gaya redaman mungkin jadi sebanding dengan kuadrat kecepatan
kerjanya. Contoh kurva ketidaklinearan ini ditunjukkan pada Gambar III.I.
Output

Output

Output
hukum
kuadrat

jenuh

jenuh

w
G am bar

~

1 1 1 .1 . K u r v a

K a r a k te r is tik

m a ti, (c ) H u k u m

k e tid a k lin e a r a n

k u a d r a t.

~ XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(a ) S a tu r a s i,

(b ) D a e r a h

48utsrqponmlkjihgfedcbaZ

2.

P e r s a m a a n D ife r e n s ia l S is te m F is ik .

Sistem dinamik seperti mekanik, listrik, hidraulik, thermal, dan sebagainya, dapat "dikarakteristikan" dengan persamaan diferensial. Respon suatu sistem
dinamik terhadap suatu masukan (fungsi penggerak) dapat diperoleh dengan
persamaan diferensial. Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan
hukum fisika seperti Newton dan Kirchhoff.
a.

T r a n s la s i M e k a n ik

Pada sistem translasi mekanik terdapat tiga (3) elemen pokok, yaitu masa,
gaya, dan friksi (gesekan).

Masa adalah elemen inertia; apabila suatu gaya

dikenakan padanya, maka akan menghasilkan gaya reaksi yang besarnya sarna
dengan hasil kali antara masa dan percepatannya, sedang arahnya berlawanan
dengan pereepatannya itu sendiri.
Persamanan gaya tersebut adalah:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

M kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM
= masa (kg)
M = Ma
dimana
F ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a

=

percepatan (rn/dtk')

PM

=

gaya (N)

Apabila pegas dikenai gaya luar, maka akan dihasilkan gaya reaksi yang
meneoba untuk mengembalikan kondisi pegas ke panjang yang asli seperti
semula.

Selama deformasi keeil dapat dipertahankan, maka pegas seolah-olah

merupakan elemen linear, yang karakteristiknya seperti Gambar III.2.
Pada

daerah

gesekan

yang

linear

persamaan gayanya adalah:
Fs = K x

Dimana

x

perubahan kondisi
pegas (m)
gaya pegas (N)

o

x

G a m b a r 1 1 1 .2 . K a r a k t e r is t ik p e g a s .

konstanta kekakuan
pegas (N/m).

Pada gerakan sistem mekanik yang bersentuhan dengan dinding permukaan
mekanik itu sendiri akan menimbulkan gesekan (friksi). Dalam sistem kendali

49utsrqponmlkjihgfedcbaZ

gesekan tersebut lazim disebut friksi viskos (viscous friction).

Gaya friksi

tersebut dirumuskan:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F

f

= .fo , dimanakjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= kecepatan gesekan relative (m /d tk)
v

gaya friksi viskos (N)

Ff

=

f

= koefisien friksi viskos

(N /m /d tk).

Gaya friksi akan melawan kecepatan dengan arah yang berlawanan.
Untuk mempermudah pemahaman tentang gaya friksi ini dapat diilustrasikan pada
pemakaian dan proses kerja dari sebuah "dashpot" seperti Gambar IIL3.
filled with oil-,/. Piston

!~

Gambar 111.3. Konstruksi dash pot
Dashpot terdiri dari sebuah piston dan silinder berisi bahan bakar, antara
keduanya dipisahkan oleh celah yang sangat sempit. Setiap gerakan antara piston
dan silinder dihalangi/dihambat oleh bahan bakar dengan gaya friksi (F f ).
Sistem mekanik dari kerja dashpot di atas ditunjukkan pada gambar
berikut ini.

Dari penyederhanaan sistem mekanik di bawah, masa (M)

ditempatkan pada pegas yang memiliki tingkat "kekakuan" (K) dan dashpot yang
berkoefisien friksi viskos (f) dengan gaya luar (F). Arah pemindahan masa (X) ini
adalah positif. Sementara posisi nol diambil dimana masa dan pegas berada pada
titik setimbang statisnya.

Kx

f lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dxldt

x
L...-_...-_...I-!- 0

Gambar 111.4. Sistem masa-pegas-dashpot (a) dan diagram bodi (b)

50

Dengan

menerapkan

hukum

Newton

untuk

gerakan

masa

pada

bodi,

persamaannya dapat ditulislkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d 2x
dx
F kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= M dt 2 + ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f dt + Kx
(III -1 )

Persamaan terse but adalah persamaan diferensial orde dua yang linear dan
berkoefisien konstan.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b.

A s s e le r o m e te r M e k a n ik .

Dalam bentuk yang disederhanakan sebuah asselerometer terdiri dari
sebuah sistem pegas-massa-dashpot sebagaimana ditunjukkan pada Gambar I1L5.
Biasanya

rangka

bergerek/berputar

asselerometer

ditfmpatkan

mi

pada kendaraan bermotor.

Tatkala

pada

bagian

yang

kendaraan bergerak

membuat asselerometer juga turut digerakan, sehingga pegaspun bergeser dan
menghasilkan gaya yang cukup untuk mempercepat geseran massa secepat
gerakan rangka asselerometemya.
Geseran atau simpangan pegas ini terukur langsung melalui sebuah
potensiometer geser linear yang sebanding dengan percepatannya.
Keterangan:
x = perpindahan slider (kontak gaser)
karena gerakan mesin kendaraan
x,

..i O ? O

z:

\

0

•

--+x

Md'

L

(y -

M

xl/dt'.

I
I

f

(bodi asselerometer) yang bertitik

df/dt.

i1

stel di pangkal rangka.

~f

0

y

=

perpindahan slider (kontak gaser)
karena gerakan massa yang bertitik

+

stel di rangka asselerometer.
G am bar

1 1 1 .5 . D ia g r a m a s s e le r o -

m e te r y a n g d is e d e r h a n a k a n .

Arah gerakan (+) dan (-) untuk x dan y
seperti gambar.

51 utsrqponmlkjihgfedcbaZY

geseran y dari titik stel terukur, maka gaya masaihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ
(M ) terhadap

Karena
pegas

=

-Ky dan terhadap

friksi viskos

=

-f.dy/dt.

Gerakan massa (y) ke arah

positif dari titik stelnya adalah sejauh (y - x). Dengan demikian persamaan gaya
dari sistem tersebut menjadi:

ataulkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2

dy

M -2

dt

d 2x

dt

dt

(III-2)

=M a

= percepatan masukan.

dimana: a
Bila

dy

+ j-+ K y = M - 2

asselerometer

perpindahan

y juga

mendapat

(dikenai)

konstan

(steady

atau

a

percepatan

state), sehingga

yang
derivatif

konstan,

maka

y menjadi

nol.

Dalam hal ini adalah:
Ma

= Ky

= ( KIM ) y.

Disini berarti pula bahwa geseran y yang tetap (steady state) merupakan pengukur
percepatan masukan yang konstan.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c.

S is te m R o ta s i M e k a n ik .

Tiga komponen
torsi pegas
berbeban),

dan friksi viskos.

Apabila

maka akan menghasilkan

antara momen
(menentang)
Tj

dasar dari sistem rotasi mekanik
sebuah benda

yaitu momen
berputar

(motor

torsi lawan yang sarna dengan

inersia dan percepatannya.

Torsi tersebut

arahnya

= Ja,

hasil kali
berlawanan

dimana:

J

= Momen inersia (kg-rrr')

a

=

Percepatan sudut putar (rad/sec/)

= torsi (N-m).

Sebagai contoh torsi lawan berupa puntiran poros yang dikenai torsi luar.
lawan poros ini dapat dikarakteristikan
=

listrik

percepatan sudut putarnya, dan dirumuskan:

Tj

T,

inersia,

K8,

dimana:

dengan persamaan:

T,

=

Torsi lawan (N-m)

e

= Puntiran (radian)

K

= Konstanta torsi (N-m/rad).

Torsi

52

Sementara

friksi viskos terjadi saat rangka bodi berputar dan bergesekan

bodi rangka yang lain.Torsi lawan akan berlawanan

dengan

arah dengan kecepatan sudut

putarnya, dan diformulasikan:
f = fro,
dim ana: T f = torsi lawan friksi viskos (N-m)
T kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(0

=

keeepatan sudut putar relatif diantara sisi
rangka bodi (rad/see)

f

=

koefisien friksi viskos (N-m/rad/sec).

Gambar III. 6 memiliki konstanta-konstanta:
tingkat kehalusan/kekasaran

momen inersia roda/beban J,

poros K, koefisien friksi/viskos

f dan torsi luar yang

digunakan penyebab puntiran poros T.
~

K8
===TS=)=l= ==lL--J

---,J

T f= fd8/dt
(a)

(b)

Gambar 111.6.(a) Sistem rotasi mekanik (b) Diagram rangka bodi

Dari Gambar. III. 6. b, persamaan torsinya adalah:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
T-

T

fdB
-KB
dt
2
d B

= J -2

dt

=J

d2B
dt 2

atau

dB ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ f - + KB
(III-3)
dt

Persamaan sistem di atas merupakan persamaan diferensiallinear

orde dua dengan

koefisien konstan.

d. Roda Gerigi Pereduksi Kecepatan Putar.
Roda gerigi (gear train) ini banyak digunakan
memperoleh

kecepatan putar yang sesuai antara motor dan unit beban.

pada operasi servo motor yang berkecepatan
demikian

pada sistem kendali untuk

tinggi tapi torsinya rendah.

sistem mekanik roda gerigi ini merupakan

halnya pada trafo pada sistem listrik.

piranti penyesuaian

Biasanya
Dengan
seperti

53

Gambar .III.7. berikut ini menunjukan

sebuah motor yang memutar beban

melalui 2 roda gerigi yang dikopel menjadi satu.
gerigi N2 sekunder
Pemindahan

(analog dengan kumparan

Gerigi N] disebut primer dan

primer dan sekunder

pada trafo).

sudut putar dari poros 1 dan 2 dinyatakan dengan 8] dan 82. Momen

inersia dan friksi viskos motor dan gerigi 1 dinyatakan

dengan JkjihgfedcbaZYXWVU
I dan fJ, sedang

gerigi 2 dan beban dinyatakan dengan J2 dan f2.

J: J r:q8" f,

N, teeth

Gear 1 (primary gear)
Shaft 2
8

8

Input torque'
from motor

Shaft 1

TM

2

h:~=+====~===+=

Gear 2 (secondary gear)XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

G am bar

1 1 1 .7 . S is t e m g e r ig i m e k a n ik

Untuk paras pertama, persamaannya
J]B ] + !tB ] + T,

adalah:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= TM

(III-4)

Dimana T M adalah torsi yang dikembangkan

oleh motor dan Tl adalah torsi beban

pada roda gerigi 1.
Untuk poros yang kedua
J lJ lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2 + 1282 + TL = T2

Dimana T2 adalah torsi yang ditrasmisikan
Dimisalkan

radius

pemindahan

pada permukaan

8lrl

= 82r2.

proporsional
82
81

Disini

=

sementara

1

ke roda gerigi 2 dan TL

= r) dan roda gerigi 2 = r2.

masing-masing

jumlah

gerigi

=

torsi beban.

karena jarak

roda gerigi sarna dan linear, maka

pada

setiap

permukaan

roda

selalu

terhadap radius gerigi, maka didapat rasio:
N,

(III-6)

N2

tingkat

sehingga

roda gerigi

(IIl-5)

kehalusan

gesekan

poros

roda gerigi

dianggap

tidak ada daya hilang dalam proses transformasi

tak berhingga

dan akibatnya

hasil

kerja roda gerigi 1 dan 2 adalah sarna. Oleh sebab itu:
(III-7)

54

Bila persamaan (11I-6) clan (IIl-7) clikombinasikan cliclapat:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

r;

B2

N\ kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF
(III-8)

-= -= -

T2 ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
B\
N2
Selanjutnya

persamaan

(III-8) didiferensiir

dua kali, sehingga

diperoleh

relasi

kecepatan putaran dan percepatan, yaitu:

..

.

B2

B2

B\

BI

N\
N

'.....

-;;=-. =

(III-9)

2

Oleh sebab itu bila (N] / N2 < 1), dari persamaan
terjadi pengurangan/penurunan

(III-8) dan (III-9) di atas akan

kecepatan putaran dan memperkuat

torsinya.

Dengan meniaclakan TI clan T2 clari persamaan (III-4) clan (III-5) clengan bantuan
dari persamaan (III -6), didapat:

J\BI+f.BI+;:(J)}2+f2B2+TL)=TM
Bila 82 ditiadakan

dari persamaan

(III-I0)

(111-10) dengan

bantuan

persamaan

(III-9),

cliperoleh hasil:

+(zJ J, ]0,+ +(zJ

[J,

Jadi ekivalen

dari momen

J,

]ii,+(Z}

=

TM

...•...

(III-II)

inersia dan friksi viskos roda gerigi pada poros

1

adalah:

J , .,= J ,

Sehubungan

+(Z:)'

J , dan

/,

,,= /,

+(zJ

J,

dengan itu, ekivalen momen inersia dan friksi pada persamaan

(III-

11) dapat ditulis sebagai:

J,

ek

Disini ( N

I /

8, + f.

ek (;,

+ ( ;~)

T L = TM

N2 ) T L adalah forsi beban pada poras 1. demikian

halnya untuk 8 1

clan 82 dari persamaan (III-l 0) dengan bantuan persamaan (Ill-9), ekivalen momen
inersia clan friksi viskos roda gerigi di bagian poros beban adalah:

Jz

ek

=

J

Z

+ ( ~ ~

r

J

I

dan

Iz

ek

=

r

r; + ( ~ ~ II

55

Adapun persamaan torsi pada poros beban, dapat diekspresikan

sebagai:

e. Sistem Listrik
Resistor, induktor dan kapasitor adalah tiga komponen

listrik.

Rangkaian tersebut dapat dianalisis dengan menggunakan

Kirchhoff
dalam

pokok dalam untai

tegangan

maupun arus.

seri (Gambar.

Berikut ini akan dianalisis

III. 8a dan 8b) dengan

menggunakan

rangkaian
hukum

hukum
L-R-C

Kirchhoff

tegangan.kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

vOlm g
.source

ecf01
~

~

(a)
Gambar 111.8. Rangkaian L-R-C (a) Seri (b) Paralel.
Bentuk persamaan sistem terse but adalah:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L :: + Ri + ~ fidt

~ fidt

Karena

fidt

=

d 2q

L dt 2

=

=

e

(III-12)

(III-13)

eo

q, maka persamaan (I1I-12) menjadi:

dq
1
+ R dt + C q= e

(III-14)

Identik dengan cara di atas, untuk untai parallel dianalisis
hukum Kirchhoff arus. Persamaannya

~ fedt+ ~ +c~;
Karena

fedt

= ,maka

=

dengan menggunakan

adalah:

ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
i
(III-I 5)

persamaan (III-I 5) dapat ditulis:

56kjihgfedcbaZYXWVU

f.

Sistem Analogi
Dengan membandingkan persamaan (III-I) untuk translasi sistem mekanik

(Gambar III. 4. a), atau persamaan (III-3) untuk sistem rotasi mekanik (Gambar
iii. 8. a), temyata memiliki kesamaan bentuk.

Dalam hal ini pemakaian

persamaan deferensial orde 2, sehingga disebut juga sistem analogi.

Gaya F

(Torsi T) dan tegangan e adalah variabel-variabel yang dianalogikan.

Hal ini

lazim disebut Analogi Gaya (Torsi)-Tegangan.

Daftar variabel-variabel yang

dianalogikan terse but sebagaimana tertulis pada Tabel 1.
Demikian pula halnya persamaan-persamaan (III-I) dan (III-3) serta
persamaan (III-16) untuk sistem listrik (Gambar III. 8. b) sangat identik sekali.
Dalam hal ini Gaya F (Torsi T) dan arus i adalah variabel-variabel yang
dianalogikan. Hal ini lazim disebut Analogi Gaya (Torsi)-Arus. Daftar besaran
yang dianalogikan tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 1. Daftar Analogi Gaya (Torsij-Tegangan
Sistem Translasi Mekanik

Sistem Rotasi Mekanik

Sistem Listrik

Gaya, F

Torsi, T

Tegangan, e

Massa, M

Momen Inersia, J

Induktansi, L

Koef. Friksi viskos, f

Koef. Friksi Viskos, f

Resistansi, R

Kekakuan pegas, K

Kekakuan torsi pegas, K

Kapasitansi (ek), lIC

Displacement, x

Angular Displacement, 8

Muatan, qihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML

1\

1\

Arus, i
Kecepatan,lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x
Kecepatan sudut, e
Tabel 2. Daftar Analogi Gaya (Torsi)-Arus
Sistem Translasi
Mekanik

Sistem Rotasi Mekanik

Sistem Listrik

Gaya, F

Torsi, T

Arus,

Massa, M

Momen Inersia, J

Kapasitansi, C

Koef. Friksi viskos, f

Koef. Friksi Viskos, f

Resistansi (ek), lIR

Kekakuan pegas, K

Kekakuan torsi pegas, K

Induktansi (ek), IlL

Displacement, x

Angular Displacement,

1\

Kecepatan, x

1\

Kecepatan sudut,

f)

e

i

Fluksimagnet,
Tegangan,e



57

Konsep

sistem analogi di atas sangat berguna,

mempelajari/menganalisis

variasi-variasi

sebagai

acuan di dalam

sistem yang lain seperti listrik, mekanik,

panas, tinggi muka cairan, dan sebagainya.

Apabila

telah diketemukan,

untuk sistem-sistem

maka dapat dikembangkan

penyelesaian

satu sistem
analogi yang

lain. Pada umumnya cara tersebut banyak dipakai untuk mempelajari
Iistrik

dianalogikan

dengan

sistem

listrik,

karena

relatif

sistem non

lebih

mudah

dieksperimenkan.

g. Sistem Tinggi Muka Cairan.
Pada sistem pengendalian
melalui
aliran.

persamaan

diferensial

tinggi muka cairan hanya dapat digambarkan
linear bila sistem

terse but mempunyai

variasi

Proses ini banyak dijumpai di Industri dimana aliran tersebut disalurkan

lewat pipa-pipa dan tanki.
penyelesaian
Sistem

Gerakan/aliran

sistem tersebut biasanya menghendaki

melalui persamaan diferensiaI tidak linear.
pengendalian

tinggi muka cairan

sederhana

ditunjukkan

seperti

Gambar III. 9., dimana tanki mendapat suplai cairan melalui pipa pendek.

Pada

kondisi tetap tertentu, katakanlah cairan yang mengalir ke dalam tanki Qi

= Qo.

Untuk aliran yang bergerak atau berguncang
dan pengosongan
Gambar

hubungan

antara tinggi permukaan

bersifat tidak linear dan dapat digambarkan

III. 10).

Secara

matematik

keadaan

tersebut

secara grafik (lihat

dapat

diformulasikan

sebagai:
Q=kihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
.fii
Pertambahan
terhadap

cairan yang mengalir

ke dalam

tanki (~Qi)

harga keadaan tetap tinggi muka caiaran semula.

cairan ini akan mengakibatkan

relatif

Pertambahan

kecil
aliran

tinggi muka cairan dalam tanki bertambah sebesar

~H, demikian pula aliran yang keluar bertambah sebesar ~Qo.
Perubahan

aliran cairan yang keluar dari tanki ditandai

oleh perubahan

~H, dan besamya perubahan dapat dideteksi melalui persamaan yang dilinearkan,
yaitu:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

dQ
AH
H o AH
atau ~Q o = ~Q o ~ kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED
dH
R

-I

58

Dimana:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
R = dH kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I = 2JHo(
m
)
.
dQ H o
k
Cub - m / s
Disini R didefinisikan
Apabila

sebagai tahanan aliran.

cairan yang mengalir

keluar dari tanki disalurkan

yang panjang sekali, maka akan memperbesar
ini dapat disamakan
didefinisikan

nilai tahanan aliran, yang dalam hal

dengan besar tahanan pad a tangki penampung

di atas.

melalui pipa

sebagaimana

Dengan demikian R adalah dianggap sebagai tahanan total

aliran cairan pada sistem tanki-pipa terse but.

Head
H-----------------------------

Q

Gambar

Flour rate

Gambar 111.10. Grafik tinggi

111.9. Sistem

u k a cairan versus
m XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

permukaan cairan

kecepatan aliran.
Sistem dinamika aliran ini dapat diuraikan sebagai suatu persamaan setara
khusus kecepatan aliran, yaitu:
perbandingan

~Qi-~Qo

C

d(~)

cairan tersimpan dalam tankiihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(III-I 7)

dt

Satuan C dalam m2, yang didefinisikan

sebagai kapasitansi

tanki pada daerah

luasan yang ditempati air secara efektif.

Bila dilakukan substitusi terhadap ~Qo

dari persamaan (III-I 7), hasilnya didapat:

RCd(~)

+ ~

= R(~Q i)

(III-I 8)

dt

h. Sistem Termal
Persyaratan

dasar

yang

harus

termal dengan model atau seragam.

dipenuhi

menggambarkan

sistem

Dengan demikian untuk melakukan

analisis

yang cukup cermat diperlukan penggunaan

guna

model parameter terdistribusi.

Walau

59

demikian,

untuk

diumpamakan

menyederhanakan

benar-benar

anal isis,

keseragaman

temperatur

harus

dicapai, sehingga sistem tersebut dapat digambarkan

dengan sebuah model parameter blok yang lebih sederhana.
Sistem termal sederhana ditunjukkan

pada Gambar III. 11. Dari gambar

tampak bahwa tangki diberi isolasi guna mengeliminir
Tidak

pula

temperatur
(mixer).

ada

panas

yang

terserap pada

panas yang hilang di udara.

isolasi,

sehingga

cairan dalam tanki terjadi setelah ditempatkannya

Bila tanpa bantuan mixer, pendistribusian

keseragaman

elemen pencampur

temperatur cairan yang merata

dalam tanki sulit dicapai dan bersifat kompleks (menuntut pemecahan

pemakaian

persamaan diferensial parsial).
Dari sistem ini diketahui

bahwa temperature

tetap (steady state) cairan

yang mengalir ke dalam tankikjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB
= ei dan yang menglir keluar dari tanki = e, sedang
panas yang dihasilkan

"heater"

=

H dan besar aliran dari cairan

diyakinkan

konstan.
Pertambahan
nilai

tetapnya

kenaikkan

memang

sangat

kecil,

namun

sebesar ~H (joule/menit)
demikian

akan

dari

menghasilkan

panas pada aliran keluaran sebesar ~Hl dan panas cairan dalam tanki

sebesar ~H2.
demikian

panas masukan dari "heater"

Pada gilirannya

pula temperatur

(0C). Mengingat

temperatur

cairan dalam tanki akan turut naik,

cairan yang keluar dari tanki bertambah

tidak terjadi kebocoran panas pada isolasi tanki, maka kenaikan

temperatur cairan yang keluar dari dalam tanki dapat diformulasikan
~Hl

= qs

dimana

sebesar ~e

sebagai:

~e

q

=

keajegan banyaknya aliran cairan (kg/menit)

S

=

panas spesifik cairan (joule/kg-X').

Formulasi di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk:
~Hl =~e/R
Dimana

R

=

l/qs, yang didefinisikan

(III-I 9)
sebagai tahanan

termal dengan

satuan

°C/Joule/menit.
Banyaknya panas yang tersimpan di dalam tanki diformulasikan

sebagai:

60utsrqponmlkjihgfedcbaZ

Dimana M = massa cairan dalam tanki (kg).

= kenaikkan temperatur dalam tanki

d8o/dt

selanjutnya persamaan di atas dapat pula ditulis dalam bentuk:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED

=

I1 H 2

dimana C =

C d~e)

(III-20)

MS, yang didefinisikan

sebagai kapasitansi

termal dengan satuan

Joule/DC.
Jadi persamaan aliran panasnya adalah:
I1 H

=

1 1 H ]+ 1 1 H 2

=

l1 e kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ C d (l1 e ) lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

R

dt

atau
d
RC

(11 e)
dt

(11I-21)

+ l1 e = R (I1 H )

(III-21) di atas menggambarkan

Persamaan

persamaan

dinamika

sistem

termal dimaksud dengan asumsi bahwa temperatur sepanjang aliran cairan terjaga
konstan.

Dalam

praktiknya

fluktuasi (berubah-ubah)
dari

"heater"

akan

temperatur

cairan

(disturbance

signal).

temperatur

aliran cairan

setiap saatnya.

terjadi

aliran

mengalami

Jadi selama ada panas (signal masuk)

pertambahan

sepanjang

ini nyatanya

signal

yang

yang juga

lazim

disebut

merubah
signal

kondisi

pengganggu

Mixer
Liquid in
----+

Heater

Gambar
Misalkan
temperatur
heater

saja perubahan temperatur

ajegnya

berakibat

111.11. Sistem pemanasan termaI.

(steady state).
terjadinya

cairan yang masuk sebesar 118i dari

Penambahan

perubahan

panas

Persamaan panas aliran ini akan berubah menjadi:

temperatur
cairan

yang diterima

yang

terbawa

dari

aliran.

61 lkjihgfedcbaZYXWVUTSR

M l utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ I'1Bi= 1'18 +C ~(1'18)
atau
R
R
dt
RC~(1'18)+ 1'18
dt
Kini lupakan
yang meyakinkan
bertambah

2

Dimana

sebesar

(111-22)

tentang

1'18,

asumsi

dikemukakan

panas

yang

bahwa keandalan

isolasi tanki

di atas bahwa temperatur eairan

mengalir

melalui

dinding

tanki

rambatan panas mediumnya bertambah (naik) sebesar:

=

Ml

sementara

itu. Sebagaimana

(naik)

menyebabkan

= I'1Bi+ R(M l)

1'18

Rt

Rt adalah

tahanan

termal

dari

dinding

tanki.

Dengan

demikian

persamaan (III-22) di atas dapat dimodifikasi menjadi:

M l + I'1Bi= (1'18 + 1'18)+ C~(1'18)
R
R
Rt
dt
atau

RC~(1'18)+ 1'18
dt
.
dimana

=

(R)I'1Bi+ R(M l)
R

R _ RRt
- R+ Rt

(III-23)

tahanan efektif termal berkenaan dengan panas
ram bat pada pipa aliran dan dinding tanki
diperhitungkan

--

seeara paralel yaitu R dan Rt.

Formulasi di atas, pada dasarnya panas yang tersimpan pada dinding tanki
masih

dapat

mempengaruhi

i.

diabaikan.

Dengan

(menyederhanakan)

mengabaikan

asumsi

tersebut

dapat

besarnya kapasitansi termal (C).

Sistem Pneumatik.
Sistem pneumatik

sumber

pneumatik

memasok

sebuah pipa penyalur.
dimungkinkan

sederhana

adanya

ditunjukkan

pada Gambar

udara ke dalam sebuah

bejana

III. 12; dimana
(tabung)

melalui

Selama drop tekanan pada pipa penyalur masih keeil, dapat
semburan

udara

yang

mengalir.

Dengan

dinamika sistem tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan linear.

demikian

62

Source
PikjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ ~Pi 1'""""""'='---,
Gambar III. 12. Sistem pneumatic sederhana

Besar aliran udara yang masuk ke dalam tabung berdasar perhitungan
tekanan diferensial dapat ditentukan, yaitu:

AQ lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
M i-I!!.Po
(31
=
m memit)

o

(III-24)

R
2

' ik an sebazai
yang did
I e fiIllISI
agar ta h anan a I'Iran u d ara yang

diimana R (newtonlm
)'
3
m Im enzt

mengalir melalui pipa penyalur yang juga merupakan konstanta semburan udara
yang rnengalir.
Keterangan:

Pi

=

tekanan udara dalam sumber saat steady state (Newton/rrr')

Po

=

tekanan udara dalam tabung saat steady state (Newton/m ')

~Pi

=

perubahan (keci!) tekanan udara dalam sumber

~Po

=

perubahan (kecil) tekanan udara dalam tabung

Besar volume udara dalam sumber (Pi) yang diterima tersimpan dalam
tabung dan menyebabkan naiknya tekanan didalamnya sebesar ~Po adalah ~ V
~Qdt.

=

Volume terse but berbanding langsung terhadap temperatur tabung untuk

tetap konstan. Dalam hal ini dapat diformulasikan sebagai:
~V=C~Po
I!!.V (

dimana C = --

Mo

m

3
)

2

yang didefinisikan sebagai kapasitansi tabung.

newtonlm

Hasil diferensiasi persamaan ini tiada lain adalah isi udara yang tersimpan dalam
tabung, yaitu:
d(~V)
dt

=

Cd(M o)

(III-25)

dt

Keseimbangan antara udara yang dialirkan dari sumber (Pi) dan yang tersimpan di
dalam tabung (Po) dapat ditulis:

63lkjihgfedcbaZYXWVUT

=

M i-M o

C d(M o)

R

dt

atau

RC

d{M o)

+Mo

dt
Dari pembahasan

.

=ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Ml
(III-26)
mengenai beberapa variabel dan parameter yang terdapat

pada sistem termal, tinggi muka cairan dan sistem pneumatik
dianalogikan

ke dalam sistem listrik sebagaimana

semuanya

dapat

dapat dilihat pada tabel berikut

ini.

Tabel 3. Daftar Analogi Besaran dan Satuannya.
Sistem Muka

Sistem

Cairan

Pneumatik

Aliran panas, joule

Aliran cairan, rrr'

Aliran udara, m '

Besar aliran panas,

Besar aliran

Besar aliran udara,

Sistem Listrik

Sistem Termal

Muatan, coulomb
Arus, ampere

cairan,

jo u le /m e n it

3

3

m /m e n it

m /m e n it

Tinggi
Tegangan, volt

Temperatur, °C

Tekanan,

permukaan, m

Tahanan,
Tahanan, ohm
°C /jo u le /m e n it

farad

Tahanan,

m/rrr'zmenit

N /m 2 1 m Im e n it

Kapasitansi,

joule/iC

2

Tahanan,

Kapasitansi,
Kapasitansi,

N e w to n /m

3

Kapasitansi,

3

m /m

m 3/Newton/m 2

3. Fungsi Alih
Fungsi

alih

sistem

perbandingan

dari

transformasi

transformasi

Laplace

masukan

semua

syarat

awal

adalah

linear

nol,

parameter
Laplace

(fungsi

konstan
keluaran

penggerak),

Sebagai

contoh

didefinisikan
(fungsi

dengan
perhatikan

sebagai

respons)

dan

anggapan

bahwa

bentuk

umum

persamaan diferensial berikut ini.
(n)

(n-I)

(m )

(m -l)

ao y kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ al y +...+an-Iy+any = bo x + bi x + ... + bm=ix + bmx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(III-27)

64

Catatan:

disini n> m
y
Fungsi

= keluaran sistem, x = masukan sistem

alih dari sistem di atas diperoleh

Laplace dari kedua ruas persamaan

dengan

meneari

(111-27), dengan menganggap

transformasi
bahwa semua

syarat awal adalah no!.
Fungsi alih:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O(s)

=

m
m 1
yes) kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= bos
+bls - +
+bm_1s+bm
n1
X(s)
aos" +als - +
+an_ls+an

Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang merelasikan
sistem linear parameter

keluaran dan masukan suatu

konstan dalam bentuk parameter

sistem dan merupakan

sifat dari sistem itu sendiri, tidak tergantung pada fungsi masukan atau penggerak.
Fungsi alih meneakup
dengan keluaran.
mengenai

satuan-satuan

Meskipun

yang diperlukan untuk merelasikan

demikian,

struktur fisik dari sistem.

masukan

fungsi alih tidak memberikan

informasi

Fungsi alih dari beberapa

sistem fisik yang

konsep ini, kita dapat menyatakan

dinamika sistem

berbeda mungkin identik.
Dengan menggunakan
dengan

beberapa

penyebut

persamaan

aljabar

dalam

s.

Pangkat

fungsi alih sarna dengan orde suku turunan

tertinggi

tertinggi

dari spada

dari s tersebut

adalah n, maka sistem tersebut disebut :sistem orde ke-n".

a. Sistem Translasi Mekanik
Dari
menganggap

gambar

III.13

tentang

sistem

pegas-massa-dashpot,

bahwa gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan

sebagai keluaran.

Langkah-Iangkah

kita

dapat

y(t) dari massa

yang harus ditempuh adalah sbb:

(1) Menulis persamaan diferensial dari sistem.
(2) Meneari

.

transformasi

Laplace

cliferensial

sistem

menganggap

bahwa semua syarat awal no!.

(3) Meneari

yang

perbandingan

di

dari persamaan
clapat

dari keluaran

dengan

Y(s) dan

~y

masukan X(s). Rasio perbandingan ini adalah
fungsi alih yang dicari.

Gambar 111.13. Sistem Pegas-Massa-Dashpot.

65

hukum Newton pada sistem tersebut di atas, kita peroleh:lkjihgfedcbaZYXWVUTSR

Dengan menerapkan
2

dy

m -2

dt

Dengan mencari transformasi

L[ m ~:;

2

dy
f--K y+ x
dt

=-

atau

= f[sY(s)-

dy

dt

dt

Laplace tiap suku persamaan (III-28) diperoleh:

] ~ + 'Y(S)-Sy(O )-

L[f ::]

dy

m - 2 kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ f-+ K y
= x
(III-28)

;(0)]

y(O)]

L (ky) = kY(s)
L(x)=X(s).
Jika kita tentukan syarat awalnya sama dengan nol, sedemikian

sehingga y(O)

=

0

dan y(O) = 0, maka transformasi Laplace dari persamaan (III-28) dapat ditulis:

(ms 2

+ fS+k

)Y(s) = X(s)

Dengan mencari perbandingan

yes) dan Xes). Kita peroleh fungsi alih dari sistem

terse but:
2
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Fungsi alihihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
G (s) = yes) =
Xes)
ms + fS+k

(III-29)

b. Sistem Rotasi Mekanik
Dari Gambar

III. 14 tampak

bahwa sistem rotasi mekanik

inersia beban dan peredam gesekan viskos.

Gambar III. 14. Sistem rotasi mekanik.

Keterangan:

momen inersia beban (kg-rrr')

J

=

f

= koefisien gesekan viskos

0)

=

kecepatan sudut (rad/det)

T

=

torsi yang dikenakan pada sistem (N-m)

(N -m /rad/det)

terdiri

dari

66utsrqponmlkjihgfedcbaZ

bahwa:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML

Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan

a = E'I'
dimana:
J = momen inersia beban (kg-rrr')
J lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.

Dengan

=

T

= torsi (N-m)

T

menganggap

kecepatan

= percepatan sudut (rad/der')

hukum Newton pada sistem tersebut diperoleh:kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM

Dengan menerapkan
J tir + fro

a

bahwa

torsi

T yang

dikenakan

adalah

masukan,

dan

sudut putar ro adalah keluaran, maka fungsi alih dari sistem ini didapat

sebagai berikut:

o(s)

1

=

T(s)

Js+

dimana:

f

Q(s)

=

L [ro(t)]

T(s)

=

L [T(t)]

c. Sistem Listrik (Rangkaian L-R-C)
Rangkaian tersebut terdiri dari induktansi L (Henry), tahanan R (Ohm) dan
kapasitansi

C (farad).

Dengasn

menerapkan

hukum Kirchhoff

pada sistem ini

didapat persamaan:
L -d i + RO1 + -1 rOd
1 t

C

dt
~ Jidt

= eo

0

0

0

••

= el
0

Dengan mencari transformasi
menganggap
L

0

(III-30)

0

•

0

0

•

0

0

0

0

•

0

••

0

0

0

•••••

0

••

0

••

0

•

•

•

•

•

•

(III-31)

•

Laplace dari persamaan (III-30) dan (III-31) dengan

syarta awal no I, diperoleh:
R

=

+ RI(s) + l.!.l(s)

Lsl(s)

Ei(s)

Cs

1 1

--

][C

:_i

=

1(8)

Cs

Eo(s)

o

Gambar III. 15. Rangkaian listrik L-R-C.
Jika ei dianggap sebagai masukan dan eo sebagai keluaran, maka fungsi alih dari
sistem ini adalah:
1

Eo(s)

•••••••••

Ei(s)

LCs

2

+ RCs + 1

0

•

0

0

••••

0

••

0

••

0

••

0

•

•

••

(lII-32)

67 utsrqponmlkjihgfedcba

d. Impedansi Kompleks
Dari Gambar

III. 16. ZI dan Z2 menyatakan

suatu rangkaian 2 terminal adalah perbandingan

impedansi kompleks Z dari

antara E(s), transformasi

dari tegangan listrik pada terminal tersebut, dengan I(s), transformasi
arus Iistrik yang melalui eIemen tersebut dengan anggapan

Laplace

Laplace dari

bahwa semua syarat

awal adalah nol, sehingga Z(s) = E(s)ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I I(s).

i

i

~

i

(a)

(b)

Gambar

ITI.16. Rangkaian Iistrik impedansi.

Jika eIemen 2 terminal terse but adalah tahanan R, kapasitansi C, dan induktansi L,
maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing
lICs,

dan Ls.

impedansi

Jika impedansi

totalnya

kompleks

diberikan oleh R,

itu dihubungkan

sarna dengan masing-masing

impedansi

secara

seri, maka

kompleks

terse but.

Untuk Gambar III. 16. (b). di atas, fungsi alih rangkaian tersebut adalah:
E o (s)

=

Z 2 (s)

------= ---= ---

(III-33)

Z I(s) + Z 2 (s)

E i(s)

Sedang sistem yang ditentukan Gambar III. 15. di muka adalah:
Z1

=

Ls + R ; Z2

= lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
l/Cs

Oleh karena itu fungsi alih E o (s) dapat ditulis sebagai:
E i(s)
E o (s)
E i(s)

e.

=

I/C s
L s+ R + lIC s

I

=

2

LCs

• • • • • • • • • • • • • • ••

(III-34)

+ R C s+ I

Sistem Analogi Mekanik-Listrik
Dari sistem translasi mekanik sebagaimana

sistem pegas-massa-dashpot

dapat dianalogikan

telah dijelaskan di muka, yaitu
dengan sistem rangkaian

listrik

yang terdiri dari tiga komponen pasif L, R danC. Ketiga komponen pasif terse but
dapat ditinjau dari besaran gaya (torsi) versus tegangan, yaitu L, R dan C dalam

68utsrqponmlkjihgfedcbaZY

seri dan ditinjau dari besaran gaya (torsi) versus arus, yaitu L, R dan C terpasang
parelel.

Untuk

memudahkan

perhatikan Gambar

x

pemahaman

kita

tentang

sistem

analogi

ini

III. 17. berikut ini.kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c[[3=

iL
L

iR
R

ic
e

C

~,

(b)

(a)
Gambar

(c)

III. 17. Sistem mekanik (a), Sistem Iistrik seri (b), dan
Sistem Iistrik parallel (c)

Dari gambar di atas dapat ditulis kembali bentuk persamaan
masing-rnasing
a)

sistem sebagai berikut:lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Sistem translasi mekanik:

2

dq

b) Sistem listrik seri: L dt 2

dimana:

Sistem listrik parallel:

d¢

dt

= e

(¢

d?

d

dt 2

dt

m----.L + ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
f -.Z + Icy = x
(III-35)

dq
1
+ R dt + C q

2

c)

diferensial

=

e

(III-36)

!¢ = i

C d ¢2 + ~ d ¢ +
R dt
L
dt

(III-37)

= fluksi magnet parallel)

Secara khusus komponen

pasif R dan C dapat diekivalensikan

sistem mekanik yang memiliki fungsi alih identik.

dengan

Dalam hal ini adalah analogi

gaya (torsi) versus tegangan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar

III. 18.

69

R

It kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Xi

k >

~
ei

I
Xo(s)
CLolkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

~

Xi(s)

0

Eo(s)
Ei(s)

1

=

Is+ I
k

~~

RCs + 1

f;k

0

Is
k

f~'
R

ei

Xo(s)

eo

0------.x,
Eo(s)
Ei(s)

=

fs+ l
k

k

RCs

RCs + I XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

G am bar

1 1 1 .1 8 . S is t e m a n a lo g i b e s e r t a f u n g s i a lih n y a .

Di dalam menurunkan
terkadang

=

Xi(s)

komponen

fungsi alih sistem fisik ke dalam

satu dengan

lainnya saling membebani.

sistem listrik

Komponen

RC

diumpankan

ke

bertingkat seperti ditunjukkan pada Gambar III. 19.

ei

o
G am bar

Pada sistem
masukan

o
1 1 1 .1 9 . R a n g k a ia n R C b e r t in g k a t .

listrik di atas keluaran

tingkat kedua (R2, C2).

tingkat pertama

(RI,

Cl)

Dengan kata lain, tingkat kedua akan turut

membebani tingkat pertama.
Persamaan untuk sistem tersbut di atas adalah:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
_1

C1

J(i1-iz)dt+ R1i 1

(III-38)

= ei

dan
_1

C1

f(iz -i1)dt

Dengan mengeliminasi

+ R z i z = __ 1

c.

fi2dt

=

=eo

I](s) dan b(s) dari persamaan

didapat fungsi alih antara Eo(s) dan Ei(s), yaitu:

(III-39)
(III-38) dan (III-39), akan

70

Persarnaan

(III-38)

dengan rnenganggap

dan

(III-39),

selanjutnya

dicari

transformasi

Laplacenya

bahwa syarat awal sarna dengan nol, didapat:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
1

E o(s)

=~----~------~-----

(R IC ls kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ lX R 2 C 2 s + 1) + R P 2S

E i(s)

1

. . . . . . . . ..

=------~~~------------~---

R P IR 2C 2S 2

+ (R P I

(III-42)

+ R 2 C 2 + R 1C 2 )S + 1

= R2 = R dan CI = C2 = C, rnaka persarnaan (III-42) dapat pula

Jika Rl

diformulasikan

sebagai:

E o(s)
E i(s)

dirnana •

=

=

.2

1
S 2 + 3. s + 1

(III-43)

RC.

Fungsi alih dari rnasing-rnasing
persarnaan

rangkaian

(III-42) tampak bahwa keseluruhan

RC adalah

1/(1 + rs).

Dari

fungsi alih kedua rangkaian

RC

+ I)] dengan [1/(R2C2s + 1)],

tidak sarna dengan hasil kali antara [1/(RICls

rnelainkan sebagai pengganti yaitu 1/(.2S2 + 3TS + 1).
Alasannya

adalah

sendiri-sendiri

pada

dipenuhi.

fungsi

beban dianggap tak terhingga

keluaran.

dihubungakan
diserapnya.

saat rnenurunkan

alih rangkaian

RC secara

dengan menganggap bahwa pada keluaran tidak dibebani.

kata lain impedansi
daya

bahwa

Namun

demikian,

bila

Dengan

yang berarti tidak menyerap
rnasukan

rangkaian

kedua

dengan keluaran rangkaian pertama, rnaka ada sejumlah daya yang
Oleh sebab itu, anggapan bahwa tidak ada pernbebanan

tidak dapat

Mengingat fungsi alih sistern di atas didapat dengan anggapan tidak ada

pembebanan,

maka fungsi alih tersebut tidak berlaku.

f. XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
S is te m T e r m a l
Apabila
ditetapkan,

fungsi alih dari suatu sistem fisik telah dapat ditentukan

maka

dapat

diilustrasikan

dengan

diagram

blok

sederhana

atau
yang

71

menggambarkan
tersebut.

hubungan

Melalui

an tara masukan

visualisasi

Dengan

subsistem

demikian

menjadi

persamaan-persamaan

hubungan

lebih

sistem yang ditinjau

blok ini akan mempercepat

pengujian danlatau penyelesaian
tadi.

dan keluaran

antar

sederhana

blok

dan

yang dimiliki sistem fisik

fungsi

mudah

dan mempermudah

alih

untuk

suatu

sistem

diselesaikan

atau

dengan

memakai persamaan sistem linear koefisien konstan.
Dari persamaan
sebagaimana

(III-23) yangmenyatakan

pada Gambar III. 11, adalah:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ditunjukkan

~ B (s)

fungsi alih dari sistem termal

R

-~=--- lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
M I(s)
RC, kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 1
Diagram blok fungsi alih terse but dapat ditunjukkan

(III-44)

seperti pada Gambar III. 20.

berikut ini:

I

~H(s)

M(s)

R

"IRes +

1

(a)

L'l8(s)

L'lR(s)

(b)

GambarXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I I I . 20. Diagram blok sistem termal

g. Fungsi Alih Gelombang Sinus
Fungsi

alih respon tunak (steady

state response)

suatu sistem

kendali

dengan masukan sinusoida dapat ditentukan dengan cara mengganti s denganj OJ .
Fungsi alih dari aselerometer

seperti ditunjukkan

pada Gambar III. 5 misalnya,

adalah didapat dari persamaan (III-2), yaitu:
yes)

M S2
= ---:----

M S2+ fs+ K

Xes)

S2

+ f / M .s + K / M

Fungsi alih sinusoidal dari aselerometer mekanik terse but dapat pula ditulis dalam
bentuk lain yaitu:
Y (s)

Xes)

=

(jOJ)2
(jOJ)2 +

f / M(jOJ)

+K /M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(III-45)

72

persamaan

(III-45)

ini menyatakan

karakteristik

yang

dimiliki

mekanik jika digunakan

sebagai piranti pengukur pergeseran

menyerupai

sinus. Bila frekuensi

xu m)

gelombang

aselerometer

yang berubah-ubah

sinyal masukan

sinuslkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK

gelombang

to < ta kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
n = ~(K / M), maka fungsi alih yang

ini sangat rendah, katakanlah

ditulis pada persamaan (III-45) dapat didekati dengan persamaan:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
Y (jO )
- 0)2
~"---:...-~-X (jO J)
K /M

Untuk frekuensi yang sangat rendah (m
keluaran

yang rendah dan munculnya

system tersebut.

Dengan demikian

rendah memakai aselerometer

< m n) akan menyebabkan

sinyal

nois (desah) yang sulit dihilangkan

pengkuran

pergerakan

mekanik

dari

berfrekuensi

tidak lagi reliable. Sebaliknya untuk frekuensi yang

sangat tinggi (m > oi n), fungsi alih sebagaimana

tertulis pada persamaan

(III-45)

dapat didekati dengan formula:
Y (jO J)/ X (jm )

Jadi

pada

mengikuti
sistem

frekuensi

~ 1

yang

perubahan

pergerakan

aselerometer

bergelombang

sangat

dapat

tinggi,

keluaran

masukannya.
digunakan

aselerometer

akan

selalu

Pada rentang frekuensi seperti ini

untuk

mengukur

suatu

gerakan

terutama pada seismografik.

Untuk percepatan
tunak dari aselerometer

yes)

ini dirumuskan sebagai:
1

=

A (s)

suatu masukan berbentuk sinusoidal, fungsi alih respon

2

(jm )

+f

Selama kondlsi to < ca n

/ M (jm ) + K / M
=

~(K / M)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••

(III -46)

dapat bertahan, fungsi alih dari aselerometer

dapat didekati dengan formula:
Y (jm )

M

A (jO J)

K

---'''----''- ~ -

Dari uraian
mengukur percepatan
(percepatan

di atas mudah difahami

aselerometer

cocok

untuk

suatu gerakan berbentuk gelombang sinus dari frekuensi nol

konstan) hingga frekuensi

jenis aselerometer

bahwa

yang digunakan.

(ron )

tertentu, tergantung

pada spesifikasi

73XWVUTSRQPONMLK

h.

M o to r

Servo

Di dalam
dasarnya

pengendalian

sarna dengan

atau pengaturan

motor de, dibedakan

sistem

dalam

Perbedaan dimaksud adalah (l) modus pengendalian
tetap dan (2) pengendalian

1)

servo yang konstruksi

dua modus

pengendalian.

armature dengan arus medan

medan dengan arus armature tetap.

P e n g e n d a lia n A r m a tu r

Dalam

aplikasi

sistem servo, motor de ini umumnya

daerah kurva kemagnetan

diopersikan

pada

yang linear. Oleh sebab itu fluksi pada eelah udara

sebanding dengan arus medanya, dalam hal ini adalah:


=lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
K ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
fi f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
(III-47)

Model pengendalian

motor de dengan

armature

terkendali

ditunjukkan

pada Gambar III. 21 berikut ini.

G a m b a r 1 1 1 .2 1 . M o t o r d e d e n g a n
a r m a tu r te r k e n d a li

Torsi yang dapat dikembangkan

Pada sistem tersebut diketahui :
Ra
= tahanan armature (Ohm)
LakjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH
= induktansi kumparan arm. (H)
ia
= arus armature (A)
= arus kumparan medan (A)
if
e
= tegangan armature (V)
eb
= emf. lawan (V)
Tm = torsi motor (N-m)
o = sudut putar poros (rad)
J
= momen inersia motor dan
beban (kg-m")
= koefisien gesekan viskos
fa
(ekivalen) paras motor dan
beban (N-m)/(rad/see)

oleh motor (Tm) akan sebanding

dengan hasil

kali antara arus armatur dengan fluksi eelah udara, dalam hal ini adalah:
T M = K I Kfifia

• • • • • • • • • • • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••

(III -48)

dimana KJ adalah suatu konstanta.
Pada motor de armatur terkendali, arus medan selalu terjaga konstan, oleh
karena itu persamaan (III-48) dapat ditulis:

T M = Kr ia
dimana Kr adalah konstanta dari torsi motor.

(III-49)

74utsrqponmlkjihgfedcbaZ

Perlu

diingat

pula

emf lawan

pada

motor

selalu

sebanding

dengan

Oleh sebab itu persamaanya dapat ditulis sebagai:ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

kecepatannya.
eb

bahwa

de lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= Kb -

(III-50)

dt

dimana Kb adalah konstanta emf lawan.
Persamaan diferensial dari rangkaian armatumya adalah:

di;
L a-+

R'

(III-51 )

a1a+ eb= e

dt

Persamaan untuk torsinya adalah:

de 2

de

dt

dt

J - 2 kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ fo= TM = Kria .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Dengan mencari tranformasi
menganggap

syarat awal

=

Laplace dari persamaan

(III-51) dan (III-52) dengan

0, didapat:

Eb(S) = KbS8(S)
(Las + Ra) la(s)
(JS2 + fos)
Dari persamaan

(III-52)

(III-53)

= E(s) - Eb(S)

. . . . . . . . ..

e (s) = T M(S)= KTla(s)
(III-53)

hingga

persamaan

(III-54)
(III-55)

(III-55),

fungsi

alih sistem

servo

tersebut dapat ditulis sebagai:
K:
e (s)
G (s) = =
E(s)
s[(Ra + sLJ(Js + fo)+ KrKbJ

Diagram biok dari persamaan
II1.22a, dimana

lingkaran

disebut titik penjumlahan

.. . .. .. .. .. ...

(Ill-58) dapat ditunjukkan

biok menyatakan

aksi perbedaan

(summing point). Untuk persamaan

(III-56)

melalui Gambar
atau selisih

yang

(III-55) ditunjukkan

meIaIui sebuah biok seperti pada Gambar Ill. 22b.
8(5)
(c)

(a)

~
Take

off

point

8(s) XWVUTSRQPONMLKJIH
(d)

G am bar

1 1 1 .2 2 . D ia g r a m

B 1 0 k m o to r d e a r m a tu r e

te r k e n d a li

75

Persamaan

(III-54) dapat dinyatakan dengan diagram blok seperti Gambar

III. 22c, dimana sinyal dimulai dari suatu titik pemberangkatan
dan diumpankan

(a take off point)

ke blok umpan balik. Gambar III. 22.d merupakan

lengkap dari sistem tersebut yang merupakan

diagram blok

gabungan dari Gambar III. 22.a, b

dan c.
Bagian-bagian

dari diagram blok terse but di atas dapat pula digambarkan

secara langsung melalui sistem fisik sesuai Gambar III. 21, yaitu memakai fungsi
alih yang

diturunkan

ke dalam

rangkaian

listrik

sederhana.

Besar

tegangan

rangkaian armaturnya adalah E(s) dengan emf lawan Eb(S). Tegangan jaringan (EE b) terjadi pad a rangkaian
secara

linear berupa tahanan dan indukator

seri serta mempunyai

armature

fungsi alih

yang terhubung

lI(sLakjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ Ra). Hasilnya berupa arus

sebesar Ia/s). Torsi yang dapat dikembangkan

oleh motor pada arus

medan yang konstan adalah KTIaCs).Torsi ini akan memutar beban pad a kecepatan
j dan gesekan viskos dengan koefisien fo [fungsi
8 (s) melawan momen inersiaihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

alihnya adalah lI(Js + fo). Sinyal emf lawan E,
dengan

cara

ditujukkan

mengintegrasikan

8(s), yaitu

pada Gambar III. 23 yang ekivalen

menukar titik pemberangkatan
Rangkaian
fungsi

kecepatan

induktansi

alih dari motor

disederhanakan

= Kb8(s) diambil dari keepatan
1/s. Hasil

dengan Gambar

keseluruhan

III. 22 dengan

dari 8' (s) ke 8(s).
armature

dengan

La biasanya

armature

terkendali

diabaikan,

oleh karena

(persamaan

III-56)

E(s)

x, /s,

=

2

Js

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••

(III-57)

+ s(fo + Ki K; / Ra)

Faktor (fo + KTKJRa) menyatakan
memperbesar

dapat

menjadi:

B (s) lkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-

itu

bahwa emf lawan motor secara efeektif akan

gesekan vikson dari sistem terse but. Dalam hal ini adalah f

=

fo +

KTKblRa, sehingga persamaan (III-57) akan berubah menjadi:
B (s)

E(s)
Seianjutnya

s, /s, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= --'-----"-

(III-58)

s(Js + f)
fungsi alih yang dinyatakan

dalam bentuk lain, yaitu:

pada persamaan

(III-58) dapat dituiis

76ihgfedcbaZYXWVUTSRQ

8(s)
s(sT m kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ 1)

E (s)

dimana : Km = KT/Raf
Tm

=

J/f

=

konstanta penguatan motor

=

tetapan waktu motor.

Konstanta motor KT dan emf lawan K, keduanya saling berhubungan
hubungan tersebut dapat dideduksikan

(III-59)

erat. Kedua

seperti di bawah ini. Dalam satuan matriks,

Kb dalam V/rad/see dan KT dalam N-m/amper.
~

Daya listrik yang diubah dalam bentuk mekanik:
ebia = Kb'8ia watt

~

Daya pada poros (dalam bentuk mekanik):
T'9 = KTia'8 watt

~

Pada saat keeepatan tunak dieapai, kedua daya besarnya seimbang. Dalam
hal ini adalah:
Kb'8ia = KTia8 atau Ks= KT(dalam saruan MKS)

Hasil tersebut di atas di dalam prakteknya akan banyak memberikan
sebagai missal besar K, dapat diukur Iebih mudah dengan ketelitian

keuntungan,
yang lebih

tinggi bila disbanding KT.

2)XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P e n g e n d a lia n M e d a n
Motor de dengan medan terkendali ditunjukkan pada Gambar III.23.
Pada sistem ini diketahui:
Rf

la (constant)

Rr

= tahanan kumparan medan (Ohm)

Lf

= induktansi kumparan medan (H)

e

=

tegangan medan yang dikendalikan
(V)

if

= arus medan (Am per)

TM

=

torsi yang dikembangkan motor

(N-m)
G a m b a r III. 2 3 . M o to r d e d e n g a n

J
m e d a n te r k e n d a li

=

momen inersia ekivalen motor dan
beban yang dkenakan pad a poros
(kg - m2)

77utsrqponmlkjihgfedcbaZ

= koefisien
gesekan viskos (ekivalen) dari motor dan beban yang dikenakan
fkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

pada porosihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(N -m /rad/sec)
8

=

sudut pu