Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA
Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas
bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu,
dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat
bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola
dijelaskan dari gambar berikut.
Z

Z

z

z
(r,θ,z)

φ

y
O

(ρ,θ,φ)

ρ

O

y

Y

Y
θ

θ

r

r

x

x

X

X
Koordinat Bola
Koordinat Tabung
Bila dalam koordinat cartesius
maka diperoleh hubungan berikut :
2

2

P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z )

2

x +y =r

x = r cos θ
y = r sin θ
z=z

Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ )
maka didapatkan hubungan berikut :
ρ2 = x 2 + y 2 + z 2
x = ρ sinφ cosθ
y = ρ sinφ sin θ
z = ρ cos φ
Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat
tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

Koordinat Tabung
∂x

∂r
∂y
J (r ,θ, z ) =
∂r
∂z
∂r

∫∫∫

∂x ∂x
∂θ ∂z
cos θ − r sinθ 0
∂y ∂z
= sin θ r cos θ 0 = r
∂θ ∂z
0
0
1
∂z ∂z
∂θ ∂z

f ( x , y , z ) dV =

G

θ2 r2 (θ ) v2 (r ,θ )

∫

∫

∫

θ1 r1 (θ ) v1 (r ,θ )

f (r cosθ, r sinθ, z) r dz dr dθ

Koordinat Bola
∂x ∂x
∂ρ ∂θ

∂y ∂y
J ( ρ,θ,φ) =
∂ρ ∂θ
∂z ∂z
∂ρ ∂θ

∂x
∂φ sinφ cos θ − ρsin φ sinθ ρcos φ cosθ
∂z
= sin φ sinθ ρsin φ cos θ ρ cos φ sin θ = ρ2 sinφ
∂φ
cos φ
0
− ρ sin φ
∂z
∂φ

θ2 ρ2 (θ) v2 ( ρθ
, )

∫∫∫ f ( x, y , z) dV = ∫
G

∫

∫

θ1 ρ1 (θ) v1( ρθ
, )

F (ρ,θ, φ ) ρ2 sin φ dφ dρdθ

Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis )
maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun
ruang G simetri terhadap suatu titik.

Contoh 10
3

Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral ∫

0

9− x 2 2

∫ ∫ x 2 + y 2 dz dy dx

0

0

Jawab :

8− y
Misal G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x 2 , 0 ≤ z ≤
.
4 


π


Maka G = ( r ,θ, z ) 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ z ≤ 2 
2


Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

Jadi,
3

∫

9− x 2 2

∫ ∫

0

0

3
π /2
2
2
r
dz
d
dr
r
θ
=
∫
∫  ∫
 0
0
0

2  
 ∫ dz dθ dr = 9π
 0  

3 π/2 2

x 2 + y 2 dz dy dx = ∫

∫

0

0

0

Contoh 11
2

4− x2

4− x 2 − y 2

0

0

0

Gunakan koordinat bola untuk menghitung ∫

∫

∫z

dz dy dx

Jawab :


Misal G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 , 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y2  .



π
π
Maka G = ( ρ,θ,φ) 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ φ ≤ 
2
2

2

4− x2

4− x 2 − y 2

0

0

0

∫

∫

∫z

2 π/2 π/2

dz dy dx = ∫

∫

2
∫ ρ cos φρ sinφ dφ dθ dρ

0

0

0

2
π / 2  π /2


= ∫ ρ3  ∫  ∫ cosφ sinφ dφ dθ  dρ

 0  0

0
=π

Soal latihan
9 − x2 9 − x2 − y 2

3

1. Hitung

∫

∫

∫

− 3 − 9− x 2

x 2 dz dy dx

0

2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :
2

2

2

2

2

2

b. Bagian atas dan bawah : x + y + z = 9 dan selimut : x + y = 4
2

2

c. z = x + y dan z = 9
3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut:
2

a.

∫

4− x 2

∫

− 2 − 4 − x2

2

25 − x 2 − y 2 , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x + y = 25

a. Bagian atas : z =

4 − x 2 − y2

∫

z 2 x 2 + y 2 + z 2 dz dy dx

0

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

9− x 2

3

b.

∫

9− x2 − z 2

∫

∫

− 3 − 9− x2 − 9 − x 2 − z 2
2

4− x2

4 − x 2 − y2

∫

∫

0

0

0

c. ∫

(

)

3

x 2 + y 2 + z 2 2 dy dz dx

z 4 − x 2 − y 2 dz dy dx
2

2

2

4. Hitung volume bangun ruang G yang dibatasi di atas oleh x + y + z = 16 dan di
bawah oleh : z =

x2 + y2

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung