Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI
Matematika Dasar
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Pecahan parsial
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : f ( x) =
banyak atau dapat dituliskan menjadi : f ( x) =
P( x)
, P(x) dan Q(x) suku
Q( x )
a0 x n + a1 x n −1 + ... + a n
b0 x m + b1 x m−1 + ... + bm
Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian
h( x )
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk :
∫ f ( x ) dx = ∫ R( x ) + g ( x ) dx
dengan
R(x)
merupakan
hasil
bagi
P(x)
oleh
Q(x)
dan
(
)
hx
adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x).
g( x )
Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral
tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien
real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian
sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real.
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear dan tidak berulang.
2. Faktor linear dan berulang.
3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.
4. Faktor kuadratik dan berulang.
KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang
(
)
Misal Q( x) = a1 x + b1 ( a 2 x + b2 ) ... ( a n x + bn ) .
P ( x)
A1
A2
An
Maka
≡
+
+ ... +
Q ( x) a1 x + b1 a 2 x + b2
an x + bn
dengan A1 , A2 , ... , An konstanta yang akan dicari.
Contoh
1
∫
dx
4 x2 − 9
1
A
B
≡
+
2
4 x − 9 (2 x + 3) (2 x − 3)
⇔ 1 ≡ A ( 2 x − 3) + B (2 x + 3) ⇔ 1 ≡ ( 2 A + 2 B) x + (− 3 A + 3 B)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2 A + 2 B = 0 dan − 3 A + 3B = 1 sehingga diperoleh A = −
1
1
dan B =
6
6
1
− 16
6 dx
dx = ∫
dx + ∫
∫ 2
( 2 x + 3)
( 2 x − 3)
4x − 9
1
KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang
Misal Q( x ) = ( ai x + bi ) p dengan p ∈ B .
+
Maka
Ap −1
P ( x)
A1
A2
≡
+
+
...
+
p −1
2 +
Q( x ) (a x + b ) p
(
a
x
+
b
)
(
a
x
+
b
)
i
i
i
i
i
i
Ap
(ai x + bi )
dengan A1, A2 , ... , Ap −1 , Ap konstanta yang akan dicari.
Contoh
∫
1
( x + 2 )2 ( x − 1)
1
≡
dx
( x + 2) ( x − 1 ) (
2
A
B
C
2 + x +2 + x − 1
x+2
)
(
) (
)
⇔ 1 ≡ A ( x − 1) + B ( x + 2) (x − 1) + C ( x + 2)
1
1
1
diperoleh A = − , B = − dan C =
3
9
9
− 13
− 19
1
dx = ∫
dx + ∫
dx + ∫
∫
(x + 2)
( x + 2 )2 ( x − 1)
( x + 2 )2
2
1
9 dx
( x − 1)
KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang
(
Misal Q( x ) = a1 x 2 + b1 x + c1
Maka
) ( a2 x2 + b2 x + c2 )...( an x2 + bn x + cn )
P ( x)
A1 x + B1
A2 x + B2
An x + Bn
≡
+
+
...
+
Q( x ) a1 x 2 + b1 x + c1 a2 x 2 + b2 x + c2
an x 2 + bn x + cn
dengan A1, A2 , ... , An , dan B1 , B2 , ... , Bn konstanta yang akan dicari.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh
∫
6 x 2 − 3x + 1
(4 x + 1)( x2 + 1)
dx
6 x2 − 3 x + 1
A
( 4 x +1 )( x 2 + 1)
≡
(4 x + 1)
(
+
)
Bx + C
( x2 + 1)
⇔ 6 x 2 − 3x + 1 ≡ A x 2 + 1 +
( Bx + C)( 4 x + 1)
diperoleh A = 2 , B =1 dan C = − 1
∫
6 x2 − 3x + 1
dx = ∫
(4 x +1)( x 2 + 1)
2
(4 x + 1)
dx + ∫
x −1
( x2 + 1)
dx
KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .
(
)
p
Misal Q( x ) = ai x2 + bi x + ci
. Maka :
P ( x)
≡
Q ( x)
A1 x + B1
( ai x2 + bi x + ci )
p +
A2 x + B2
( ai x2 + bi x + ci )
p −1 + ... +
A p −1 x + B p −1
( ai x2 + bi x + ci )
2 +
Ap x + Bp
( ai x2 + bi x + ci )
dengan A1, A2 , ... , Ap −1 , Ap dan B1, B2 , ... , Bp −1 , Bp konstanta yang akan dicari.
Contoh
∫
6 x 2 − 15x + 22
(
)(
)
2
x + 3 x2 + 2
6 x 2 − 15x + 22
dx
≡
A
+
Bx + C
+
Dx + E
( x2 + 2) ( x2 + 2) 2
2
⇔ 6 x 2 − 15x + 22 ≡ A ( x 2 + 2) + ( Bx + C )( x + 3)( x 2 + 2) + ( Dx + E )( x + 3)
( x + 3 )( x 2 + 2)
2
( x + 3)
diperoleh A = 1 , B = − 1 , C = 3, D = − 5 dan E = 0
∫
6 x 2 − 15x + 22
1
x −3
x
dx
=
dx
−
dx
−
5
dx
∫
∫
∫
2
2
2+2
2
x
+
3
2
(
)
x
x +2
( x + 3) x + 2
(
)
(
)
(
)
Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus
Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan
cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
, -π < x < π. Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini
dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.
Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat
diperlihatkan seperti di bawah ini.
Dari : u = tan ( x/2 ). Maka :
1
1
1
x
cos =
=
=
2
x
2 x
1 + u2
sec
1
+
tan
2
2
u
x
x
x
sin = tan cos =
2
2
2
1 + u2
Jadi : sin x =
2u
& cos x =
1+ u2
x
2
= tan−1 u ⇒ dx =
du
2
1 + u2
Contoh
dx
=
1 + sin x
∫
=
1+ u2
1− u2
∫
2
1
2u 1 + u 2 du =
1+
1+ u2
dan
2
−2
∫ (1 + u) 2 du = 1 + u + C
−2
+C
x
1 + tan
2
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
2
1. ∫ 2
dx
x + 2x
5x + 3
2. ∫ 2
dx
x −9
x +1
3. ∫
dx
(x − 3)2
5x + 7
4. ∫ 2
dx
x + 4x + 4
5. ∫
6. ∫
x 2 + 19 x + 10
2 x 4 + 5x 3
dx
2 x 2 − 3 x − 36
(2 x − 1)( x 2 + 9 )
dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
7. ∫
8. ∫
20 x − 11
( 3 x + 2 )( x 2 − 4 x + 5 )
2 x 3 + 5 x 2 + 16 x
x 5 + 8 x 3 + 16 x
1
9. ∫
dx
2 + sin x
dx
10. ∫
x + sin x + cos x
cos x
11. ∫
dx
2 − cos x
dx
12. ∫
4 sinx − 3 cos x
dx
13. ∫
sin x + tan x
dx
dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Pecahan parsial
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : f ( x) =
banyak atau dapat dituliskan menjadi : f ( x) =
P( x)
, P(x) dan Q(x) suku
Q( x )
a0 x n + a1 x n −1 + ... + a n
b0 x m + b1 x m−1 + ... + bm
Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian
h( x )
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk :
∫ f ( x ) dx = ∫ R( x ) + g ( x ) dx
dengan
R(x)
merupakan
hasil
bagi
P(x)
oleh
Q(x)
dan
(
)
hx
adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x).
g( x )
Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral
tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien
real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian
sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real.
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear dan tidak berulang.
2. Faktor linear dan berulang.
3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.
4. Faktor kuadratik dan berulang.
KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang
(
)
Misal Q( x) = a1 x + b1 ( a 2 x + b2 ) ... ( a n x + bn ) .
P ( x)
A1
A2
An
Maka
≡
+
+ ... +
Q ( x) a1 x + b1 a 2 x + b2
an x + bn
dengan A1 , A2 , ... , An konstanta yang akan dicari.
Contoh
1
∫
dx
4 x2 − 9
1
A
B
≡
+
2
4 x − 9 (2 x + 3) (2 x − 3)
⇔ 1 ≡ A ( 2 x − 3) + B (2 x + 3) ⇔ 1 ≡ ( 2 A + 2 B) x + (− 3 A + 3 B)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2 A + 2 B = 0 dan − 3 A + 3B = 1 sehingga diperoleh A = −
1
1
dan B =
6
6
1
− 16
6 dx
dx = ∫
dx + ∫
∫ 2
( 2 x + 3)
( 2 x − 3)
4x − 9
1
KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang
Misal Q( x ) = ( ai x + bi ) p dengan p ∈ B .
+
Maka
Ap −1
P ( x)
A1
A2
≡
+
+
...
+
p −1
2 +
Q( x ) (a x + b ) p
(
a
x
+
b
)
(
a
x
+
b
)
i
i
i
i
i
i
Ap
(ai x + bi )
dengan A1, A2 , ... , Ap −1 , Ap konstanta yang akan dicari.
Contoh
∫
1
( x + 2 )2 ( x − 1)
1
≡
dx
( x + 2) ( x − 1 ) (
2
A
B
C
2 + x +2 + x − 1
x+2
)
(
) (
)
⇔ 1 ≡ A ( x − 1) + B ( x + 2) (x − 1) + C ( x + 2)
1
1
1
diperoleh A = − , B = − dan C =
3
9
9
− 13
− 19
1
dx = ∫
dx + ∫
dx + ∫
∫
(x + 2)
( x + 2 )2 ( x − 1)
( x + 2 )2
2
1
9 dx
( x − 1)
KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang
(
Misal Q( x ) = a1 x 2 + b1 x + c1
Maka
) ( a2 x2 + b2 x + c2 )...( an x2 + bn x + cn )
P ( x)
A1 x + B1
A2 x + B2
An x + Bn
≡
+
+
...
+
Q( x ) a1 x 2 + b1 x + c1 a2 x 2 + b2 x + c2
an x 2 + bn x + cn
dengan A1, A2 , ... , An , dan B1 , B2 , ... , Bn konstanta yang akan dicari.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh
∫
6 x 2 − 3x + 1
(4 x + 1)( x2 + 1)
dx
6 x2 − 3 x + 1
A
( 4 x +1 )( x 2 + 1)
≡
(4 x + 1)
(
+
)
Bx + C
( x2 + 1)
⇔ 6 x 2 − 3x + 1 ≡ A x 2 + 1 +
( Bx + C)( 4 x + 1)
diperoleh A = 2 , B =1 dan C = − 1
∫
6 x2 − 3x + 1
dx = ∫
(4 x +1)( x 2 + 1)
2
(4 x + 1)
dx + ∫
x −1
( x2 + 1)
dx
KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .
(
)
p
Misal Q( x ) = ai x2 + bi x + ci
. Maka :
P ( x)
≡
Q ( x)
A1 x + B1
( ai x2 + bi x + ci )
p +
A2 x + B2
( ai x2 + bi x + ci )
p −1 + ... +
A p −1 x + B p −1
( ai x2 + bi x + ci )
2 +
Ap x + Bp
( ai x2 + bi x + ci )
dengan A1, A2 , ... , Ap −1 , Ap dan B1, B2 , ... , Bp −1 , Bp konstanta yang akan dicari.
Contoh
∫
6 x 2 − 15x + 22
(
)(
)
2
x + 3 x2 + 2
6 x 2 − 15x + 22
dx
≡
A
+
Bx + C
+
Dx + E
( x2 + 2) ( x2 + 2) 2
2
⇔ 6 x 2 − 15x + 22 ≡ A ( x 2 + 2) + ( Bx + C )( x + 3)( x 2 + 2) + ( Dx + E )( x + 3)
( x + 3 )( x 2 + 2)
2
( x + 3)
diperoleh A = 1 , B = − 1 , C = 3, D = − 5 dan E = 0
∫
6 x 2 − 15x + 22
1
x −3
x
dx
=
dx
−
dx
−
5
dx
∫
∫
∫
2
2
2+2
2
x
+
3
2
(
)
x
x +2
( x + 3) x + 2
(
)
(
)
(
)
Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus
Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan
cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
, -π < x < π. Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini
dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.
Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat
diperlihatkan seperti di bawah ini.
Dari : u = tan ( x/2 ). Maka :
1
1
1
x
cos =
=
=
2
x
2 x
1 + u2
sec
1
+
tan
2
2
u
x
x
x
sin = tan cos =
2
2
2
1 + u2
Jadi : sin x =
2u
& cos x =
1+ u2
x
2
= tan−1 u ⇒ dx =
du
2
1 + u2
Contoh
dx
=
1 + sin x
∫
=
1+ u2
1− u2
∫
2
1
2u 1 + u 2 du =
1+
1+ u2
dan
2
−2
∫ (1 + u) 2 du = 1 + u + C
−2
+C
x
1 + tan
2
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
2
1. ∫ 2
dx
x + 2x
5x + 3
2. ∫ 2
dx
x −9
x +1
3. ∫
dx
(x − 3)2
5x + 7
4. ∫ 2
dx
x + 4x + 4
5. ∫
6. ∫
x 2 + 19 x + 10
2 x 4 + 5x 3
dx
2 x 2 − 3 x − 36
(2 x − 1)( x 2 + 9 )
dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
7. ∫
8. ∫
20 x − 11
( 3 x + 2 )( x 2 − 4 x + 5 )
2 x 3 + 5 x 2 + 16 x
x 5 + 8 x 3 + 16 x
1
9. ∫
dx
2 + sin x
dx
10. ∫
x + sin x + cos x
cos x
11. ∫
dx
2 − cos x
dx
12. ∫
4 sinx − 3 cos x
dx
13. ∫
sin x + tan x
dx
dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung