BAB 6 Trigonometri fixs docx

BAB 6
TRIGONOMETRI
A. PENGUKURAN SUDUT
1. Satuan Derajat
1o = 60’ ( menit)
1’ = 60” (detik)
2. Satuan Radian
Definisi:
1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jarijari lingkaran.
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
1. Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan gambar berikut !

c

a



b

Dari gambar di atas diperoleh beberapa rumus trigonometri :
basic concept :
de a
1
c

 1 sin   
 4  cosec  
mi c
sin  a
sa b
1
b

 2  cos   
 5 sec  
mi c
cos  c
de a
1

b

 3 tan   
 6  tan  
sa b
tan  a
2.

Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

68

Dalam bentuk tabel tersaji sebagai berikut :
Sin
Cos
00
0
1
300
1

1

2
450
600
900
1200
1350
1500
1800
2100
2250

3

1
2
2
1
3

2

2
1
2
2
1
2

Tan
0

1
3
3
1
3

1

0

~

1
3
2
1
2
2
1
2

1

2
1
 2
2
1

 3
2

 3

0

–1

1

2
1
 2
2

1
3
2
1

 2
2


69

–1

1
3
3
0
1
3
3
1



2400

2700
3000
3150
3300



1
3
2

1
2

3

–1

0

~

1
3
2
1
 2
2
1

2

1
2

 3

1
2
2

1
3
2

–1

0

1



3600
C.





1

3
3
0

PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
1. Pembagian Sudut dalam Trigonometri
y
Kuadran II
Kuadran I
90o < x< 180o
0o < x< 90o

x
Kuadran IV
270o < x < 360o

Kuadran III
180o < x < 270o

2.

Sudut-Sudut Berelasi
Kuadran I
sin ( 90o –  )
cos ( 90o –  )
tan ( 90o –  )
Kuadran II
sin (180o –  )
cos (180o –  )
tan (180o –  )
Kuadran III
sin ( 270o –  )
cos ( 270o –  )
tan ( 270o –  )

Kuadran II
sin ( 90o +  )
cos ( 90o +  )
tan ( 90o +  )
Kuadran III

= sin
sin (180o +  )
= - cos 
cos (180o +  )

= - tan
tan (180o +  )
Kuadran IV

= - cos
sin ( 270o +  )
o

= - sin 
70 cos ( 270 + )
o
= cot 
tan ( 270 +  )
Kuadran IV
sin ( 360o –  ) = - sin 
o


= cos 
= sin 
= cot 

= cos 
= - sin 
= - cot 
= - sin 
= - cos 
= tan 
= - cos 
= sin 
= - cot 

D. KOORDINAT KUTUB
Y
y


r


x

2.

E.

X

1.

Koordinat kutub
Jika sebuah titik diketahui P (x,y)
maka:
x2 + y 2
r=

√

y
o
tan  = x , 0o ¿ θ≤360

maka koordinat kutubnya adalah P
(r,  )

Koordinat kartesius
Jika diketahui panjang r dan  , maka:
x
cos   � x  r cos 
r
y
sin   � y  r sin 
r
Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)

IDENTITAS TRIGONOMETRI
Basic concept :
Untuk setiap sudut  tertentu berlaku:
sin 

cos

1.
tan =

F.

2.

sin2   cos 2   1

3.

tan2   1  sec2 

1  cot2   cosec2 
PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin  , cos x = cos  , tan x =
tan 

4.

Basic concept :
Sudut dalam derajat:
1. sin x = sin  maka x =  + k.360o atau x = (180o –  ) + k. 360o
�
2. cos x = cos  maka x =
+ k . 360o
3. tan x = tan  maka x =  +71
k . 180o

G. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA
C
b
R
A

O

R

a
R

c

B

Basic concept :

a
b
c


sinA
sinB
sinC
Pada setiap  ABC berlaku
=2R
Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan R := jari-jari lingkaran
H. ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA
Basic concept :
Pada setiap  ABC berlaku
a2  b2  c2  2b.c cosA
1.
b2  a2  c2  2a.c cosB
2.
c2  a2  b2  2a.b cosC

C
b

a

A

3.

I.

B

c

LUAS SEGITIGA
1. Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut
itu diketahui
Basic concept :
1
1. L = 2 bc sin A
1
2. L = 2 ac sin B

C
b
A

72

a

c

B

3.
2.

1
L = 2 ab sin C

Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di
antara Kedua Sudut Diketahui
Basic concept :
Pada setiap  ABC berlaku:
a2 sinB.sinC
1. L = 2sinA
2.

3.

c2 sinA.sinB
2sinC
3. L =

b2 sinA.sinC
2sinB
L=

Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Basic concept :
Rumus Heron :
Pada setiap  ABC berlaku:
L = S(S  a)(S  b)(S  c)

Dengan L = Luas  ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c
1
 a  b  c
S= 2
adalah setengah keliling  ABC.

J.

JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri yang penting dipelajari
adalah :
 sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
 sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
 cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
 cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
tan A  tan B
tan  A  B  
1  tanA tan B

tan A  tan B
tan  A  B  
1  tanA tan B


73





K.

2 sin A cos B  sin A  B   sin  A  B 
2 cos A sin B  sin  A  B   sin  A  B 
2 cos A cos B  cos  A  B   cos  A  B 



2 cos A cos B  cos  A  B   cos  A  B 



�A  B � �A  B �
sin A  sin B  2 sin �
cos �
�
�
�2 � �2 �



�A  B � �A  B �
sin A  sin B  2 cos �
sin �
�
�
�2 � �2 �



�A  B � �A  B �
cos A  cos B  2 cos �
cos �
�
�
�2 � �2 �



�
�
�A  B � �A  B �
cos A  cos B   �
2 sin �
sin �
�
�
�
�2 � �2 �
�

SUDUT RANGKAP
Ada tiga sudut rangkap trigonometri :
 Sin 2A = 2 sin A cos A
 Cos 2A = 2 cos2 A – 1
= 1 – 2 sin2 A
= cos2 A – sin2 A
2 tan A
tan 2A 
1  tan2 A


PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1.

UN 2010
Himpunan penyelesaian persamaan :
0 �x �2
adalah…
�   �
�, , �
A. �2 3 6
B.

� 5 3 �
�, , �
�6 6 2

74

cos 2x – sin x = 0, untuk

C.

�  7 �
�, , �
�2 3 6

D.

�7 4 11 �
� , ,
�
�6 3 6
�4  11
�
, 2 �
� ,
�3 6

2.

E.
Pembahasan :
Metode supertrik : jadikan 1 fungsi yang sama , yang besar diubah ke
kecil
cos 2x  sin x  0
�
 1  2sin2 x   sinx  0
misal : sinx  p
� 1  2p2  p  0
� 2p2  p  1  0
�  2p  1  p  1   0
1
*2p  1 � p 
2
1
sinx 
2
sinx  sin30
ada 2 :
 1 x  30  k.360
u / k  0 � x  30
u / k  1 � x  390  TM
 2  x   180  30   k.360
u / k  0 � x  150
u / k 1 � x  410  TM
*p  1
sinx  sin270
 1 x  270  k.360
u / k  0 � x  270
 2  x   180  270   k.360
u /k 1 � x  90  360  270
� 5 3 �
HP: 30,150,270  � , , �
�6 6 2
Jawaban:B
UN 2010

75

cos  45  a  cos  45  a 
0

sin  45  a   sin  45  a
0

Hasil dari
 2
A.

0

0

D. 1

B.

–1
1
2
C. 2
Pembahasan :
0
0
cos  45  a  cos  45  a 
sin 45  a   sin  45  a 
0

�

 ...

0

E.

2

?

 45  a
2 cos

0

  45  a
 45  a    45  a
cos
2
2

0

 45  a
2 sin

0

  45  a
 45  a    45  a 
cos
2
2

0

0

0

0

0

1
cos45 2 2
�

1
sin45 1 2
2
3.

Jawaban:D
UN 2010
1
Diketahui p dan q adalah sudut lancip, dan p – q = 30 . Jika cos p sin q = 6
, maka nilai dari sin p cos q =…
1
4
A. 6
D. 6
0

B.

2
6

5
E. 6

3
6

C.
Pembahasan :
Metode supertrik : ada cos p sin q = berbeda, berarti kita tambahi fungsi
sin di depannya !

76

sin  p  q   sin30
sinp cosq  cosp sinq 

1
2

1 1
sinpcosq  
6 2
1 1 3 1 4
sinpcosq   

2 6
6 6
Jawaban:D
4.

UN 2011
Nilai dari
A.
B.

cos1400  cos 100 0
 ...
sin 1400  sin100 0

1
3
D. 2

 3
1
3
2
1
 3
3


E.

3

C.
Pembahasan :
cos1400  cos 1000
?
sin 1400  sin1000
�140  100 � �140  100 �
 2 sin �
�sin � 2
�
� 2
� �
�
�
�140  100 � �140  100 �
2 cos �
�sin� 2
�
� 2
� �
�
1
3
sin120
2
�

 3
cos120
1
2
5.

Jawaban:A
UN 2011
Diketahui
A. – 1

 A B 


1
3 dan sin A sin B = 4 . Nilai cos ( A – B) =…
3
D. 4

77

B.

6.



1
2

E. 1

1
C. 2
Pembahasan :
Metode supertrik : sin A sin B = sama, berarti kita tambahi fungsi cos di
depannya !

cos  A  B   cos
3
1
1 1
cosA cosB  sinAsinB  � cos AcosB  
2
4 2
2 1 3
� cosAcosB 

4 4
maka:
3 1
cos  A  B   cosA cosB  sinAsin    1
4 4
Jawaban:E
UN 2011
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, untuk
00 �x �180 0 adalah…
A. {450,1200}
B. {450,1200}
C. {600,1350}
D. {600,1200}
E. {600,1800}
Pembahasan :
Metode supertrik : jika pada himpunan penyelesaian hanya terdapat 2
atau 3. Cek saja ke persamaan untuk mempersingkat waktu!

78

cos 2x  cosx  0
cek x  45 ke persamaan:
?

cos 2.45  cos45  0
� cos 90  cos 45
1
� 0  2 �0 (bukan HP)
2
cek x  120 ke persamaan:
?

cos 2.120  cos120  0
� cos240  cos 120
1 1
�   �0  bukan HP 
2 2
cek x 135 ke persamaan:
?

cos 2.135  cos135  0
� cos 270  cos 135
1
� 0  2 �0 (bukan HP)
2
cek x 180 ke persamaan:
?

cos 2.180  cos180  0
� cos 360  cos 180
� 1  1  0  HP 
7.

Jawaban:E
UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2 cos x = – 1, untuk
0  x  2
adalah…
�  3
�
0, , ,2�
�
A. � 2 2
B.

�  2
�
0, , ,2�
�
� 2 3

C.

� 3 �
�, �
�2 2

D.

� 2 �
�, �
�2 3
�  �
0, ,  �
�
� 2

E.
Pembahasan :

79

cos 2x  2 cosx  1
�
2cos2 x  1  2cosx  1  0
misal:cosx p
� 2p2  2p  0
� 2p  p 1   0
� p  0 �p  1
*p  0
cosx  cos90
x  �90  k.360
   u /k  0 � x  90
   u /k 1 � x  270
*p  1
cosx  cos0
x  0  k.360
x  0  TM ,karena selang terbuka 
x  360  TM ,karena selang terbuka 
� 3 �
HP: 90,270  � , �
�2 2
8.

UN 2012
Nilai dari sin 750 – sin 1650 adalah…
1
2
A. 4
B.

1
6
4

Jawaban:C

1
3
D. 2
1
2
E. 2

1
6
C. 2
Pembahasan :
sin 75  sin 165    sin165  sin75 
165  75 �
�165  75 � �
�  2cos �
sin �
�
�
2
�
� � 2
�
� 1 �1
�  2cos120sin45   2. �
 �
. 2
� 2 �2
1
 2
2
9.

UN 2012
Diketahui

 A B 


5
3 dan cos A cos B = 8 . Nilai cos ( A – B) =…

80

Jawaban:E

A.

1
4

B.

1
2

D. 1
5
4
E.

3
C. 4
Pembahasan :
Metode supertrik : sin A sin B = sama, berarti kita tambahi fungsi cos di
depannya !
cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B
1 5
  sin A sin B
2 8
1
sin A sin B 
8
cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B
5 1
cos  A  B   
8 8
6 3
cos  A  B   
8 4
Jawaban:C
10. UN 2012
1
3


5


Diketahui nilai sin
cos
=
dan sin (
–
) = 5 untuk
00    1800 dan 0 0   90 0 . Nilai sin      =…
3
1

5
A.
D. 5

B.



2
5



1
5

3
E. 5

C.
Pembahasan :

81

3
5
3
sin  cos  cos  sin
5
1
3
2
 cos  sin �   cos  sin
5
5
5
maka:
sin      sin  cos  cos  sin
1 2
1
  
5 5
5
sin    

Jawaban:C

11. UN 2012
Diketahui
sin (  )
A.

56
65

B.

48
65

sin  

3
12
dan cos  
( dan  sudut lancip).
5
13

Nilai

=...
20
D. 65
16
E. 65

36
65

C.
Pembahasan :
sin (  )  sin  cos   cos  sin 
3 12 4 5
� sin (  )  �  �
5 13 5 13
36 20
� sin (  ) 

65 65
56
� sin (  ) 
65
Jawaban:A
12. UN 2012
  

Diketahui
cos     ...


1
sin  sin  
3 dan
4 ,  dan  sudut lancip. Nilai

82

1
D. 4

A. 1
3
4
B.

1
C. 2
Pembahasan :
Metode supertrik : sin  sin
depannya !

cos      cos
3
1
cos  cos  sin  sin
2
1 1
cos  cos  
4 2
2 1 1
cos  cos 

4
4
maka:

E. 0



= sama, berarti kita tambahi fungsi cos di

cos      cos  cos  sin  sin 

1 1
 0
4 4

Jawaban:E

13. UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1, untuk
00 �x �180 0 adalah…
A. {1200,1500}
B. {1050,1650}
C. {300,1500}
D. {300,1650}
E. {150,1050}
Pembahasan :

83

cos4x  3sin2x  1  0
�
 1  2sin 22x   3 sin2x 1  0
misal:sin2x  p
� 1  2p2  3p  1  0
� 2p2  3p  2  0
�  2p  1   p  2   0
1
p   �p  2  TM, maks 1,min  1 
2
1
*sin2x  
2
sin 2x  sin210
ada 2:
 1 2x  210  k.360
x  105  k.180
u / k  0 � x 105
 2  2x   180  210   k.360
x   15  k.180
u / k  1 � x  165
HP: 105,165
Jawaban:B

PAKET SOAL LATIHAN
1.

Dalam segitiga di bawah ini, panjang AC = …
C 8
A.
B. 5
10 cm
C. 2
D. 5 3
E.
A

5 2

600

B

D
2. Jika panjang BC = 10 cm, maka panjang AB =…

C

A.

10 3  5

B.

15  10 3
450

10 cm B

300

A

84

3.

4.

5.

6.

7.

C.

6 3 3

D.

10 2  5





10 3  1
E.
sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 = …
1
6 2
A. 4
1
6 2
B. 2
1
3 2
C. 4













1
3 2
D. 2
1
8
E. 4






 x 
Jika 2
, dan cosec x = 3 , maka tan x = …
3

2
A. 2 2
D. 4
3
1
2

2
2
B.
E. 4
1
2
C. 4
3
Jika cos A = 5 maka sin 2 A =…
24
24
�
A. 7
D. 7
24
24


7
B.
E. 5
24
5
C.
Cos 350 – cos 750 = …
A. – 2 sin 550 sin 200
D. 2 cos 550 sin 200
0
0
B. 2 sin 55 sin 20
E. – 2 cos 550 cos 200
0
0
C. – 2 sin 55 cos 20
Pada segitiga PQR, sisi p = 4 cm, sisi r = 8 cm, dan sudut Q = 30 0. Luas
segitiga PQR adalah…
A. 32 cm2
D. 16 cm2

85

8.

B. 24 cm2
E. 8 cm2
2
C. 20 cm
Diketahui panjang sisi – sisi suatu segitiga adalah 10 cm, 12 cm, dan 14
cm. Luas segitiga tersebut adalah…
A. 60 cm2
D. 24 6 cm2
B.
C.

9.

E. 42 3 cm2

70 cm2
24 3 cm2

0
0
Pada segitiga ABC, diketahui �A  60 , a = 6 cm dan �C  45 . Panjang b
= …cm
A. 3 2
D. 4 3

B.

2 3

C.

2 6

E. 5

10. Jika a kuadran I dan b kuadran II, dan
4
cos a  cos b 
5 , maka sin (a + b) =…
A.
B.
C.

1
3
2
1
2
2
1
2

sin a  sin b 

3
5

serta

D. 0
E. – 1

1
11. Pada segitiga siku – siku ABC diketahui cos A cos B = 6 , nilai cos (A – B) =
….
1
3
A.
D. 1
B.
C.

1
3
3

E. 2 2

1
2
2

86

cos700  cos500
12. Nilai dari
A.
B.
C.

sin700  sin 500

 ...
D.  3

1

1
2
2
1

3
2


E. – 1

6
13. Diketahui sin A = 10 , dengan A sudut tumpul. Nilai sin 3A =…
768
876

1000
A.
D. 1000
B.
C.



876
1000

896
E. 1000

768
1000

3
14. Diketahui segitiga ABC dengan (A lancip, B tumpul), sin A = 5 , dan sin B =
7
25 . Nilai tan C =…
A.
B.
C.

44
117
34
117
20
117

20
117
D.
44

117
E.


cos A 

4
7
dan tan B 
, untuk 1800  B  2700  A  3600
5
24
.

15. Diketahui
Maka nilai sin (A + B) =…
112

125
A.
B.



44
125
D.
100
E. 125

100
125

87

C.



44
125

1
4
1
1
sin A  dan cos B 
2
5
2
2 . Nilai cos (A + B) – cos (A – B ) = ….
16. Diketahui
14
14

25
A.
D. 25
B.
C.
17. Jika



7
25

14
E. 50

7
25

sin   sin

1
A. 2
1
15
B. 3
C. 15

1
3
dan cos   cos  
2
2 , maka nilai tan      ...
D. 2 5
E. 3 5

18. Himpunan penyelesaian dari 2 cos 2x + 2 sinx = 0, untuk 0 0 ≤ x ≤ 3600
adalah…
A. {300,500}
B. {1500,2100}
C. {900,2100,3300}
D. {2400,3300}
E. {1500,2100,3300}
19. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x 0 + 7 cos 2x0 + 4 = 0, untuk
00  x  3600
adalah…

A. {300,1500,2400,3300}
B. {300,1200,2400,3300}
C. {300,1500,2700,3300}
D. {600,1200,2400,3000}
E. {600,1500,2400,3000}
20. Banyaknya himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 4x 0 =
00 �x �1800
cos x0, untuk
adalah…
A. 1
D. 4
B. 2
E. 5

88

C.

3

89