MATEMATIKA EKONOMI POINT ok MATEMATIKA EKONOMI POINT ok

MATEMATIKA
EKONOMI
By Riyanti
2010

Referensi
Matematika Terapan untuk Bisnis dan

Ekonomi , by Dummairy
Matematika Ekonomi , by Sakti Silaen
Dasar dasar Matematika Ekonomi, by Alpha
C.Chiang
Matematika Ekonomi, by Syofyan Assauri,SE
MBA
Dll

Ketentuan Penilaian
Absensi
Tugas/PR
UTS
UAS

= 10 %
= 10 %
= 30%
= 50%

SAP
Hubungan Fungsional
 Fungsi Linier& Penerapannya
Keseimbangan Pasar

UTS
Hubungan Non Linier
Deret
Diferensial & Intergral
Matriks
UAS
Konsep Analisa Input Output.

BAB I

Hubungan Fungsional
Pengertian dan unsur- unsur fungsi
Fungsi adalah bentuk hubungan matematik yang
menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan
fungsional ) antara VARIABLE BEBAS dan VARIABLE
TIDAK BEBAS.
Variable merupakan unsur pembentuk fungsi.
Fungsi berbentuk suatu persamaan

Notasi suatu fungsi :
Secara umum : y = f (x)

y=a+bx
Contoh konkrit y = 4 + 0.6 x
variabel tdk bebas konstanta
variable bebas
(dependen variable) (intersep)
(independent

koefisien arah

(slope /
gradient)

variable)

MENENTUKAN
PERSAMAAN GARIS LINIER
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk

melalui beberapa macam cara, antara lain:
(1) metode dua titik dan
 (2) metode satu titik dan satu kemiringan

Jenis jenis fungsi
Fungsi



F. aljabar

f.Irrasional

F. non aljabarf
f.Rasional

f. linier

f.

eksponen
f. non linier
f.hiperbolik

f.logaritma

Fungsi linier ( f. garis
lurus)
Adalah suatu fungsi yang variable bebasnya paling

tinggi berpangkat satu/berbentuk garis lurus yang

memiliki kemiringan + atau Rumus Umum :
Y = f ( x)
Y=a±bx
a
titk potong fungsi dengan sb y
Bila b = (+)
grafik dari kiri bawah ke kanan atas
b = (-)
grafik dari kiri atas ke kanan
bawah

Menggambar f .linier
Menggunakan :
Table/Tracing proces
Titik Istimewa
Gradien/tg α

TABLE
Y = 3 – 2x


X
Y
0
3
1
1
2
-1

Y
3 .
2
1
0

.
1

2 3

X


-1

.

Titik Istimewa
Y = 3 – 2x
Cari:
Titik pot sb x dengan sb y

y = 3 – 2x
-3 = -2x
( 0; 1,5 )

0=3–2x
x = -3/-2 =1,5

y=0

titik A

Titik potong sb y dengan sb x
x=0
Y= 3-2 (0)
y = 3-0 =3
titik B ( 0;3 )

Grafiknya


Y
3
2
A . (0; 1,5)
1
0
-1

1

2

.3
4
B(3;0)

X

MENENTUKAN PERSAMAAN
GARIS LINIER
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk

melalui beberapa macam cara, antara lain:
(1) metode dua titik dan
(2) metode satu titik dan satu
kemiringan

Metode Dua Titik
Apabila diketahui dua titik A dan B dengan

koordinat masing-masing A (x1, y1) dan B(x2,
y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:
Y – Y1 =
Y2-Y1

X –X1
X2-X1

misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5),
maka
persamaan liniernya adalah

Penyelesiannya
Y- 3 = X – 2

5- 3
6 -2
Y- 3 = X – 2
2

4
4(Y-3)= 2(X-2)
4Y-12 = 2X -4
4Y = 2X +8
Y = 2 + 0,5 X

Metode Satu Titik daN
Satu Kemiringan
Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu

kemiringan (b) dapat dibentuk sebuah
persamaan linier dengan rumus sebagai
berikut:


y – y1 = b (x – x1 )

Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan
b=0,5 maka persamaan liniernya adalah:
Y - 3 = 0,5 (x-2)
y= 0,5x +2

y= 0,5x-1+3

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Dua buah garis lurus/fungsi mempunyai

3
macam kemungkinan bentuk hubungan yaitu :
sejajar, berpotongan, tegak lurus
Sejajar ( // )
apabila dua fungsi tersebut mempunyai
koefisien arah yang sama yaitu
a1 =
a2
Contoh ; y=3 x + 6
y=3 x + 3

Berpotongan (

)
apabila 2 fungsi tersebut mempunyai koefisien
arah yang tidak sama yaitu
a1 ‡ a2
contoh ; y = 3 x + 5
y=2x+4

Berpotongan tegak lurus (
)
apabila 2 buah fungsi tersebut mempunyai hasil
kali kedua koefisien arahnya = -1
a1 x
a2= - 1
contoh; y =
2x + 6
2 x
-1/2= -1
y = -1/2x + 3

Latihan:
1.Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y
pada persamaan garis berikut ini;
a) 3x – 2y + 12 = 0
b) 2x – 5y – 10 = 0
c) 4x – 6y = 10
2.Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat
berikut carilah persamaan garis lurusnya:
a. (3,5) dan (10,2)
b. (-6,-4) dan (10,8)

Untuk setiap pasangan titik koordinat dan

kemiringan (a) berikut ini tentukan persamaan
garis lurusnya:
a. (2,6), a = 0,4
b. (5,8), a= -1,6

BAB II
APLIKASI FUNGSI LINIER

A. FUNGSI
PERMINTAAN
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan

antara jumlah produk yang diminta oleh
konsumen dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika

harga naik maka jumlah barang yang
diminta turun, demikian juga sebaliknya
bahwa jika harga turun
maka jumlah barang yang diminta naik,
sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai
slop negatif (miring ke kiri)

Grafik f. permintaan






P
a
( - )
b
Q

Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:

Qx = f (Px)
Qx = a – b Px
Atau;
Px =a/b – 1/b Qx
dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta
Px = Harga produk x
a dan b = parameter

Contoh:

fungsi permintaan P = 15 – Q
P
15

15
Q

FUNGSI PENAWARAN
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan

antara jumlah produk yang ditawarkan
oleh produsen untuk dijual dengan harga
produk.
 Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika

harga naik maka jumlah barang yang
ditawarkan bertambah demikian juga
sebaliknya
jika harga turun maka jumlah
barang yang ditawarkan turun, sehingga
grafik fungsipermintaan mempunyai slope
positif (miring ke kanan)

Grafik fungsi Penawaran
P

a/b
-a

Q

Contoh:

Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q
P

3.
-6

Q

KESEIMBANGAN
PASAR
Pasar suatu macam barang dikatakan berada

dalam keseimbangan (equilibrium) apabila
jumlah barang yang diminta di pasar tersebut
= jumlah barang yang ditawarkan.
Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh
kesamaan
Qd = Qs
atau
kurva
penawaran.

Pd = Ps
yaitu perpotongan
permintaan dengan kurva



P
Qs
E



Pe
Qd
Q
Qe

KESEIMBANGAN PASAR DUA
MACAM PRODUK
Di pasar terkadang permintaan suatu barang
dipengaruhi oleh permintaan barang lainnya.
Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau
lebih yang berhubungan secara substitusi
(produk pengganti) misalnya: beras dengan
gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan
lain-lain atau ,secara komplementer (produk
pelengkap) . misalnya: teh dengan gula, semen
dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam
pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam
produk saja.

Untuk 2 jenis produk, dalam hal ini dijumpai

dua variabel bebas yang mempengaruhi
jumlah jumlah yang diminta dan jumlah
yang ditawarkan adalah (1) harga produk
itu sendiri, dan
(2) harga produk lain yang saling
berhubungan.
Notasi fungsi permintaan menjadi:

dx = ao – a1 Px + a2Py
dy = b0 + b1Px - b2Py

Sedangkan fungsi penawaran menjadi;
dsx = -m1 +m1 Px + m2 Py
dsy = - n1 +n1 Px + n2 Py
Dimana:
Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px = Harga produk X
Py = Harga produk Y
a0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta

Syarat keseimbangan pasar dicapai
jika:
Qsx = Qdx
Qsy = Qdy

dan

Contoh:
 Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran

dari dua macam produk yang mempunyai hubungan
substitusi sebagai berikut: berikut:
Qd x = 5 - 2Px + Py
Qd y = 6 + Px - Py
dan

Qs x = -5 + 4 Px - Py

Qs y = -4 - Px +3 Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar !
(Market Equlibrium)
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar:

Q sx = Q d x

-5 + 4 Px - Py= 5 - 2Px + Py
4 Px - Py + 2Px- Py = 5 +5
6Px -2 Py= 10
)

(1



Qsy = Qdy
-4 - Px +3 Py = 6 + Px - Py
-Px -Px +3 Py + Py= 6 +4
-2 Px + 4Py
= 10

(2)

Dari (1) dan (2) didapat:

6Px - 2 Py= 10
-2Px + 4Py = 10
3

x( 2 )
x( 1 )

12Px-4Py =20
-2Px +4Py=10 +
10Px
=30 Px=

Px= 3

Px= 3
Py= 4
Py

6Px -2Py =10
6(3) -2Py=10

18-2Py=10
-2Py=10-18
Py = -8/-2= 4

Qd x= 5- 2Px+ Py

Qd y=6+ Px-

= 5- 2(3)+4

=6

+3 - 4
= 3
5
Jadi nilai Qx=3; Qy=5;

=
dan

Px=3

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
PADA KESEIMBANGAN PASAR

Pajak (Tax)
Pajak adalah jenis pungutan yang ditarik

pemerintah
dan wajib pajak, yang
dibedakan atas ;
Pajak langsung , yaitu wajib pajak yang
ditarik langsung dari wajib pajak seperti pajak
pendapatan dan pajak perorangan
Pajak tak langsung ,yaitu pajak yang ditarik
melalui
Wajib pajak,kemudian di stor ke
pemerintah,sepert
pajak
penjualan,cukai

Pajak yang akan dibahas disini adalah pajak

tak langsung,yaitu pajak penjualan.
Pengaruh pajak yang dikenakan pemerintah
atas
penjualan
suatu
barang
akan
menyebabkan produsen menaikkan harga
jual produk.
Kenaikakan harga ini ditanggung oleh
KONSUMEN dan PRODUSEN
Asumsi yang dipakai;

Fungsi” Demand” TETAP dengan adanya
tax

Fungsi “Suplay” bergeser naik/ ke atas

Penyajian Pajak dibedakan
atas;
Pajak Per- unit ( Rp)
t= tax per unit
“D”
tetap/ konstan
“So” fungsi “ S” sebelum tax
(Q)

P=

f
P=

a±bX
“St”
fungsi “S” setelah tax
(Q ) + t
P=(a± bQ) + t

P= f

Grafiknya
P
D
St
P t Et
(Qt;Pt)
A
So
P0

D

E(Qo;P0)
t

E

C

Dari grafik diatas
 ECPtEt ≈

BCAEt
maka AB = PtE = t
Tax Government (TG ) = ECPtEt = EC x Pt E
TG = oQt x t
Tax Konsumen
Tax Produsen (TP)
TK = P0DPtEt = P0D x P0Pt
TP= ECP0D=ECxEP0
TK
= 0Qt x ( Pt -P0 )
TP=0Qt x (t –tk)
tk=tax per unit-konsumen
produsen

tp=tax per unit

contoh
Diket; Fungsi ‘S’

P=1/4Q +4
Fungsi ‘D’ P=-1/4Q +25
Tax/unit =Rp 6
Hitung ; TG, TK, TP .
Penyelesaian;
E0
D=S
S
P=1/2Q+4
1/4Q+25 = 1/4Q + 4
P=1/4(42)+4= 14 1/2
25-4
= 2/4Q
21= 1/2Q Q=42

E0( 42; 14

St

P=
f (Q) + t
P= (1/4Q+4)+6
P=1/4Q + 10
Et
St =D
St
P=1/4Q+25
1/4Q+10=-1/4Q+25
P=1/4(30)+25=171/2
1/2Q=15
Q=30
Et
(30;171/2)
TG=0Qtxt= 30x6=180
TK=0Qt(Pt-P0) =30x(171/2-

TAX (%)
D
S

P= f (q)
P= f(q )
r=%

ao

t-= r . f(q)

q

nya adalah “qt “

St

P=f(q) + t
=f (q) + [ r . f (q) ]= f (q) [ 1+r ]
Jadi fungsi” S” setelah ada pajak %
Sr
 Sr
P=f(q) [1 + r ]
sedangkan
(1+r)

t = r .Pr

Contoh;
D P= - Q + 12
S
P= ½Q + 2
Tentukan TG,TK,TP
Syarat ;
D = S

r=20%=20/100=1/5

-Q+12 = 1/2Q+2

Q=6 2/3
P=-Q+ 12=-6 2/3+12=5

1/3
E0 [ 6 2/3 ; 5 1/3 ]
Sr
P= (1/2Q+2)(1 + 1/5)= (1/2Q+2)(6/5) = 6/10Q+12/5
Sr
P=3/5Q+12/5

Syarat ;


maka
Er( 6 ; 6)

D = Sr
-Q+ 12= 3/5 Q + 12/5
Q=6

P=-Q+12= -6+ 12= 6
t = r . Pt = 1/5(6) = 6/5
=1
( 1+ r) ( 1 + 1/5) 6/5
TG= Qt.t= 6 x 1 = 6
TK=Qt( Pt-Po) =6 ( 6- 5 1/3 )=6 .2/3 = 4
TP =Qt( t –tk ) = 6( 1 -2/3) = 6 . 1/3= 2

SUBSIDI (s )
Apabila

pemerintah memberikan Subsidi
kepada masyarakat , aka curva Supplay
akan bergeser ke bawah
S

D P=f (Q)
 P0
E0
Ss
P= f(Q) - S
Ss
Es
Ps
0 Q0


Qr

D

Contoh;
D
P =—Q+10
subsidi = Rp 2
S
P = 2Q +4
Tentukan Total Subsidi pemerintah itu
Syarat ;
D=S

-Q+10 =2Q+4
Q=2

E(2;8)


P=-Q+10=-2+10=

8
Ss
P= (2Q+4)- 2= 2Q + 2
D= Ss
-Q+10= 2Q+2 , maka Q=2 2/3
Es(2 2/3;7 1/3)