BAB III PENE MUAN GEOMETRI NON EUCLIDEAN

BAB III. PENEMUAN GEOMETRI NON-EUCLIDEAN
“Dari ketiadaan saya telah menciptakan alam semesta baru yang aneh” (JOHANN BOLYAI)

28. Pengantar
Awal abad kesembilan belas menemukan teka-teki keras dari Postulat Kelima masih belum
terpecahkan. Tapi seseorang seharusnya tidak mendapat kesan bahwa usaha untuk membuktikan
Postulat, yang dilakukan selama lebih dari dua puluh abad, sama sekali tidak membuahkan hasil.
Perlahan tapi pasti mereka telah memikirkan spekulasi geometri sampai pada titik di mana penemuan
Geometri Npn-EucJidean tidak bisa lama tertunda. Kalau dipikir-pikir lagi, pada mulanya kita bertanyatanya, bahwa persiapan ini seharusnya sudah berlangsung lama, namun pada pemikiran kedua keajaiban
bahwa penemuan penting semacam itu terjadi sejak awal.
Pada saat ide-ide baru itu mengkristal, filsafat Kant (1714-1804) mendominasi situasi ini, dan
filsafat ini memperlakukan ruang angkasa bukan sebagai empiris, tapi juga intuitif. Dari sudut pandang
ini, ruang dianggap sebagai sesuatu yang sudah ada dalam pikiran dan bukan sebagai konsep yang
dihasilkan dari pengalaman eksternal. Pada hari itu diperlukan tidak hanya ketajaman, tapi keberanian,
untuk mengenali bahwa geometri menjadi ilmu eksperimental, setelah diterapkan pada ruang fisik, dan
bahwa dalil dan konsekuensinya hanya perlu diterima jika sesuai dan jika mereka cukup setuju dengan
data eksperimen.
Tapi perubahan sudut pandang berangsur-angsur datang. Penemuan Geometri Non-Euclidean
akhirnya menyebabkan kehancuran total konsepsi ruang Kantian dan akhirnya tidak hanya
mengungkapkan perbedaan sejati antara konsep dan pengalaman tapi, yang lebih penting lagi,
keterkaitannya.

Kami tidak terkejut bahwa, ketika saatnya tiba, penemuan Geometri Non-Euclidean tidak dibuat
oleh satu orang, namun secara independen oleh beberapa orang di berbagai belahan dunia. Hal ini telah
terjadi lebih dari satu kali dalam sejarah matematika dan pasti akan terjadi lagi. Ayah dari Johann Bolyai,
salah satu pendiri Geometri Non Euclidean, meramalkan hal ini ketika, dalam sepucuk surat kepada
putranya yang mendesak agar dia mengumumkan penemuannya tanpa penundaan, dia menulis,
"Sepertinya saya dianjurkan, jika Anda benar-benar berhasil mendapatkan pemecahan masalah, bahwa,
untuk dua kali lipat, terbitannya segera tergesa-gesa: pertama, karena gagasan dengan mudah berpindah
dari satu ke yang lain yang, dalam hal ini, dapat menerbitkannya; kedua, karena tampaknya benar bahwa
banyak hal memiliki, seperti sebuah zaman di mana mereka ditemukan di beberapa tempat secara
bersamaan, sama seperti bunga violet muncul di semua sisi pada musim semi. "
Dan terjadilah bahwa secara independen dan pada saat bersamaan menemukan geometri logis
yang konsisten, di mana Postulat kelima ditolak, dibuat oleh Gauss di Jerman, Bolyai di Hungaria dan
Lobachewsky di Rusia.
29. Gauss

Pada pergantian abad, selama tahun-tahun kritis dalam evolusi geometri, tokoh dominan di
dunia matematika adalah Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Tentu saja dia tidak mengambil bagian kecil
dalam pengembangan gagasan yang menyebabkan ditemukannya sistem geometri baru. Beberapa hasil
dari meditasi dan penelitian selama bertahun-tahun tentang masalah yang terkait dengan Postulat
Kelima diterbitkan atau dipublikasikan selama masa hidupnya. Beberapa surat yang ditulis kepada orang

lain yang tertarik dengan masalah tersebut, dua terbitan terbitan yang diterbitkan mengenai paragraf
tertentu dan beberapa catatan yang ditemukan di antara makalahnya memberi sedikit bukti bahwa dia
mungkin yang pertama memahami dengan jelas kemungkinan geometri logis yang berbeda dari yang
ada di Euclid's . Dialah yang pertama kali menyebut geometri baru Non Euclidean. Korespondensi dan
ulasan2 mengacu pada garis besar yang agak jelas kemajuan yang dia buat dalam studi paralel, dan
menunjukkan bahwa pengakuan terhadap geometri baru tidak datang secara tiba-tiba namun baru
setelah bertahun-tahun berpikir.
Tampak jelas bahwa, bahkan sampai akhir dekade pertama abad baru, Gauss, yang melakukan
perjalanan dengan jejak Saccheri dan Lambert, dengan buku-buku yang mungkin sudah dikenalnya,
masih berusaha membuktikan Postulat Kelima oleh reductto ad absurdum. metode, tapi ia sepenuhnya
mengenali karakter mendalam dari hambatan yang dihadapi. Pada dasawarsa kedua ia memulai
perumusan gagasan tentang geometri baru, untuk mengembangkan teorema dasar dan untuk
menghilangkan keraguannya. Tidak ada kata-kata yang bisa menggambarkan sifat penemuannya,
signifikansi yang melekat padanya, sikapnya terhadap konsep ruang saat ini dan ketakutannya untuk
disalahpahami, setengah begitu baik seperti kata-katanya sendiri dalam sebuah surat yang ditulis di
Gottingen pada 8 November 1814 ke FA Taurinus Berikut ini adalah terjemahan dari dokumen penting
ini. "Saya belum membaca tanpa sepengetahuan surat lamamu bulan Oktober} dengan abstrak
terlampir, terlebih lagi karena sampai sekarang saya sudah terbiasa menemukan sedikit jejak wawasan
geometris yang sebenarnya di antara mayoritas orang yang baru mulai menyelidiki- disebut Teori Paralel.
"Sehubungan dengan usaha Anda, saya tidak memiliki apa-apa (atau tidak banyak) untuk

mengatakan kecuali bahwa hal itu tidak lengkap. Memang benar bahwa demonstrasi Anda tentang bukti
bahwa jumlah dari tiga sudut segitiga pesawat tidak boleh lebih besar dari 180 agak kurang dalam
ketelitian geometris.Tetapi ini dengan sendirinya dapat dengan mudah diatasi, dan tidak diragukan lagi
bahwa kemustahilan dapat dibuktikan paling ketat.Tapi situasinya sangat berbeda pada bagian kedua,
bahwa jumlah sudut tidak boleh kurang dari 180 , ini adalah titik kritis, terumbu di mana semua bangkai
kapal terjadi Saya membayangkan bahwa masalah ini tidak melibatkan Anda sangat lama Saya telah
merenungkannya selama lebih dari tiga puluh tahun, dan saya tidak percaya bahwa setiap orang dapat
memikirkan lebih banyak hal Bagian kedua dari saya, meskipun saya tidak pernah mempublikasikan
apapun tentang hal itu. Asumsi bahwa jumlah dari tiga sudut kurang dari 180 mengarah ke geometri
yang aneh, sangat berbeda dari kita (the Euclidean), namun konsisten sekali, yang saya miliki.
dikembangkan untuk seluruh sati saya sfaksi, sehingga saya bisa menyelesaikan setiap masalah di
dalamnya dengan pengecualian penentuan suatu konstanta, yang tidak bisa ditunjuk secara apriori. Yang
lebih besar mengambil konstanta ini, yang mendekati datang ke Euclidean Geometry, dan bila dipilih
sangat besar, keduanya bertepatan. Teorema geometri ini nampaknya paradoks dan, bagi yang belum
tahu, tidak masuk akal; Tapi refleksi tenang dan mantap menunjukkan bahwa mereka sama sekali tidak

mengandung apa-apa. Misalnya, tiga sudut segitiga menjadi kecil seperti yang diinginkan, jika hanya sisi
yang diambil cukup besar; Namun luas segitiga tidak akan pernah melebihi batas yang pasti, terlepas dari
seberapa besar sisi yang diambil, dan juga tidak pernah bisa mencapai batas itu. Semua usaha saya untuk
menemukan kontradiksi, inkonsistensi, dalam Geometri Non-Euclidean ini tidak ada hasilnya, dan satu

hal di dalamnya yang bertentangan dengan konsepsi kita adalah bahwa, jika memang benar, harus ada
ruang angkasa yang memiliki skala linier. , ditentukan untuk dirinya sendiri (tapi tidak kita ketahui). Tapi
menurut saya, kita tahu, terlepas dari kata-kata bijak-kebijaksanaan para metafisik, terlalu sedikit, atau
hampir tidak ada sama sekali, tentang sifat sebenarnya dari ruang, untuk dianggap sama sekali tidak
mungkin yang tampaknya tidak wajar bagi kita. Jika Geometri Non-Euclidean ini benar, dan adalah
mungkin untuk membandingkan konstanta itu dengan besaran seperti yang kita temukan dalam
pengukuran kita di bumi dan di langit, maka dapat ditentukan sebuah posteriori. Konsekuensinya, dalam
bercanda saya kadang-kadang menyatakan keinginan bahwa Geometri Euclidean tidak benar, karena
sejak itu kita memiliki standar ukuran standar yang apriori.
'Saya tidak takut bahwa setiap orang yang telah menunjukkan bahwa dia memiliki pemikiran
matematika yang bijaksana akan salah memahami apa yang telah dikatakan di atas, namun
bagaimanapun juga, menganggapnya sebagai komunikasi pribadi yang tidak digunakan atau digunakan
publik dengan cara apapun untuk publisitas adalah dengan dibuat. Mungkin saya sendiri, jika saya
memiliki waktu senggang lebih jauh daripada keadaan saya saat ini, jadikan penyelidikan umum untuk
saya. *
Kegagalan Gauss untuk mengumumkan hasilnya membuatnya tak terelakkan bahwa dunia
menahan sebagian dari kehormatan yang mungkin sepenuhnya miliknya. Seperti yang akan kita lihat,
orang lain yang sampai pada kesimpulan yang sama, walaupun mungkin sebentar kemudian, segera
menyampaikan gagasan tersebut dan dengan berani menerbitkannya. Sesuai dengan kemuliaan ini
dalam bentuknya yang paling penuh adalah adil. Tapi seseorang tidak bisa gagal sama sekali untuk

bersimpati dengan Gauss dalam keengganannya untuk membocorkan penemuannya. Pada zamannya
banyak matematikawan terkemuka, yang didominasi oleh filsafat Kant, sampai pada kesimpulan bahwa
misteri Postulat Kelima tidak akan pernah bisa dipecahkan. Masih ada orang-orang yang melanjutkan
penyelidikan mereka, tapi kemungkinan besar dianggap sebagai engkol. Mungkin itu ejekan geometri
sombong dan dangkal yang ditakuti Gauss. Kita juga tidak bisa mengatakan bahwa ia kurang berani
daripada orang-orang yang mengumumkan hasil mereka. Dibanding dia, mereka tidak jelas, tanpa
reputasi yang harus dijunjung tinggi dan tidak banyak yang kalah. Gauss, di sisi lain, telah naik tinggi. Jika
dia terjatuh, dia akan jauh tertinggal.
Dalam sebuah surat 4 kepada Schumacher, tertanggal 17 Mei 1831, dan mengacu pada masalah
kesejajaran, Gauss menulis: "Saya telah mulai menulis beberapa minggu terakhir beberapa meditasi saya
sendiri, yang sebagian tidak pernah saya pakai sebelumnya. secara tertulis, jadi saya sudah harus
memikirkan semuanya baru tiga atau empat kali Tapi saya berharap ini tidak binasa dengan saya. "
Akibatnya, di antara makalahnya, dapat ditemukan penjelasan singkat tentang teori dasar
tentang persamaan geometri baru. Kami telah mencatat bahwa salah satu pengganti yang paling
sederhana untuk Postulat Kelima adalah Aksioma Playfair yang disebut. Dalam menolak Postulat Gauss,

seperti Bolyai dan Lobachewsky, memilih untuk mengasumsikan bahwa melalui suatu titik lebih dari satu
paralel (dalam pengertian Euclid) dapat ditarik ke garis tertentu.
Tidak perlu membuat sketsa melalui rincian sedikit yang ditulisnya; Hal ini pada dasarnya sama
dengan teori dasar yang disajikan dalam beberapa halaman pertama bab berikutnya. Dia tidak pergi jauh

untuk merekam renungannya; Catatannya terhenti tiba-tiba. Untuk pada tanggal 14 Februari 1831 ia
menerima salinan Appendix byjohann Bolyai yang terkenal.
30. Bolyai
Saat belajar di Gottingen, Gauss bernomor di antara teman-temannya seorang Hungaria,
Wolfgang Bolyai 6 (Bolyai Farkas, 1775-1856), seorang pelajar di sana dari tahun 1796 sampai 1799.
Sudah pasti beberapa masalah yang sering dibahas berkaitan dengan teori paralel. Setelah mereka
meninggalkan Universitas, mereka melanjutkan korespondensi mereka. Sebuah surat 6 yang ditulis oleh
Gauss ke Bolyai pada tahun 1799 menunjukkan bahwa keduanya pada saat itu masih berusaha
membuktikan Postulat Kelima. Pada tahun 1804, Bolyai, yakin bahwa dia telah berhasil melakukan ini,
mempresentasikan gagasannya dalam sebuah buku kecil berjudul Theoria Parallelarum? yang dikirimnya
ke Gauss, dilampiri surat. Tapi buktinya salah, dan Gauss, yang menjawab, menunjukkan kesalahannya.
Tanpa gentar, Bolyai terus beralasan di sepanjang garis yang sama dan, empat tahun kemudian, dikirim
ke Gauss sebuah kertas pelengkap. 8 Dia tampaknya berkecil hati saat Gauss tidak menjawab, dan
mengalihkan perhatiannya pada hal-hal lain. Namun, selama dua dekade berikutnya, meski memiliki
beragam minat sebagai profesor, penyair, pemerhati drama, pemusik, penemu dan pemersatu, dia
berhasil mengumpulkan gagasannya tentang matematika dasar dan akhirnya menerbitkannya pada
tahun 1831-33 dalam dua karya volume yang akan kami sebut. sebentar Tentamen * Wolfgang Bolyai
adalah seorang pria berbakat dan cakap, namun klaimnya untuk terkenal pasti didasarkan pada
kenyataan bahwa dia adalah ayah Johann.
Pada tanggal 15 Desember 1801 lahirlah Johann Bolyai (Bolyai Janos, i8o2.-i86o). "Dia, Surga

dipuji," tulis Wolfgang kepada Gauss pada tahun 1803, anak yang sehat dan sangat cantik, dengan
disposisi yang baik, rambut hitam dan alis, dan mata biru yang terbakar, yang kadang berkilau seperti
dua permata. "Dan selama tahun-tahun menjelang penerbitan Tentamen, Johann telah berkembang
menjadi kedewasaan.
Ayahnya memberinya instruksi awal dalam matematika, sehingga tidak seepi tidak wajar bahwa
ia seharusnya menjadi tertarik pada teori kesejajaran. Juga tidak masalah untuk terkejut mengetahui
bahwa, pada saat dia telah menjadi mahasiswa di Royal College for Engineers di Wina pada 1817, dia
telah banyak memikirkan masalah bukti Postulat Kelima, meskipun fakta bahwa ayahnya, mengingat
usahanya yang gagal, merekomendasikan bahwa teka-teki kuno adalah sesuatu yang harus dibiarkan
sepenuhnya sendirian. Tetapi, pada tahun 1810, usahanya untuk membuktikan Postulat oleh substitusi
dari asumsi yang kontradiktif mulai menghasilkan hasil yang berbeda. Perhatiannya secara bertahap
diarahkan pada kemungkinan merumuskan geometri umum, Ilmu Pengetahuan Ruang Mutlak, dengan
Geometri Euclidean sebagai kasus khusus.

Dalam usahanya untuk membuktikan Postulat Kelima dengan menolaknya, Bolyai memilih untuk
menganggap asumsi tersebut dalam bentuk yang telah kita tetapkan sebagai Axiom Playfair, dan yang
menegaskan bahwa satu dan hanya satu garis paralel dapat ditarik melalui suatu titik tertentu ke suatu
garis. Penyangkalan Postulat kemudian menyiratkan bahwa tidak ada garis sejajar yang dapat ditarik
melalui titik atau bahwa lebih dari satu paralel semacam itu dapat ditarik. Namun, sebagai konsekuensi
dari Euclid 1, 2.7 dan 18, asalkan garis lurus dianggap sebagai tak terbatas, bekas dari dua implikasi harus

dibuang. Selanjutnya, jika setidaknya ada dua kesejajaran garis melalui titik, maka harus ada jumlah
paralel yang tak terbatas dalam pengertian Euclid. Jika, misalnya, dua jalur CD dan EF (Gambar 10)
sampai P tidak memotong AB, maka hal yang sama akan berlaku untuk semua jalur melalui P yang
terletak di dalam sudut vertikal EPC dan DPF. Dalam substansi Bolyai, seperti yang dilakukan Gauss

dan Lobachewsky, kemudian berpendapat bahwa jika seseorang memulai dengan PQ tegak lurus
terhadap AB dan memungkinkan PQ untuk memutar tentang P ke arah mana pun, ia akan terus
memotong AB sementara dan berhenti memotongnya. Dengan demikian ia menyebabkan postulat
adanya dua garis melalui P yang memisahkan garis-garis yang memotong AB dari yang tidak. Karena
untuk rotasi PQ di kedua arah tidak ada garis potong terakhir, garis-garis yang didalilkan ini harus
menjadi yang pertama dari garis non-cutting. Ini akan mengembangkan bahwa dua garis sejajar dengan
AB memiliki sifat yang sangat berbeda dari garis lain melalui P yang tidak memotong AB.
Hasil yang diikuti sebagai konsekuensi dari asumsi ini membangkitkan keajaiban terbesar dalam
Bolyai muda. Ketika geometri berkembang dan tidak ada kontradiksi muncul, keajaiban ini tumbuh dan
dia mulai merasakan sesuatu yang penting dari apa yang dia lakukan. Apa yang paling mengesankan
baginya adalah proposisi yang tidak bergantung pada postulat paralel sama sekali, tetapi yang umum

untuk semua geometri terlepas dari asumsi apa yang dibuat tentang kesejajaran. Ini dia anggap sebagai
menyatakan fakta absolut tentang ruang dan membentuk dasar geometri mutlak.
Ide-ide ini tentu saja mulai terbentuk, bagaimanapun, pada tahun 1813 ketika Bolyai baru berusia dua

puluh satu tahun. Ekstrak berikut dari surat 10, yang ditulis untuk ayahnya pada 3 November 1813,
menunjukkan seberapa jauh ia telah pergi dengan penemuannya dan seberapa dalam ia dipengaruhi
oleh mereka.
"Sekarang adalah rencana pasti saya untuk mempublikasikan karya tentang kesejajaran segera
setelah saya dapat menyelesaikan dan mengatur materi dan kesempatan menyajikannya sendiri, pada
saat ini saya masih belum jelas melihat jalan saya, tetapi jalan yang saya ikuti memberikan bukti positif
bahwa tujuan akan tercapai, jika itu mungkin, saya belum cukup mencapai itu, tetapi saya telah
menemukan hal-hal yang luar biasa sehingga saya kagum dan itu akan menjadi bagian takdir abadi yang
kekal jika mereka hilang. Ketika Anda, Bapa tercinta, lihatlah mereka, Anda akan mengerti; saat ini saya
tidak dapat mengatakan apa pun kecuali ini: bahwa dari ketiadaan saya telah menciptakan alam semesta
baru yang aneh. Semua yang telah saya kirimkan sebelumnya seperti sebuah rumah kartu yang
dibandingkan. dengan menara. Saya tidak kurang yakin bahwa penemuan-penemuan ini akan membawa
saya kehormatan, daripada saya akan jika mereka selesai. "
Sebagai jawaban, Bolyai tua menyarankan bahwa karya yang diusulkan diterbitkan sebagai
lampiran ke Tentamen-nya, dan mendesak agar ini dilakukan dengan penundaan sesedikit mungkin. 11
Tetapi formulasi resuit dan perluasan ide muncul secara perlahan. Pada bulan Februari 1815,
bagaimanapun, Johann mengunjungi ayahnya dan membawa garis besar karyanya. Akhirnya pada tahun
1819 ia menyerahkan manuskripnya dan, terlepas dari kenyataan bahwa ayah dan putranya tidak setuju
pada beberapa poin, ada yang diterbitkan pada tahun 1831 pada Apendiks.
Sebelumnya, pada tahun 1831, ingin tahu apa yang akan dikatakan Gauss tentang penemuan

putranya, Wolfgang telah mengiriminya ringkasan Apendiks, tetapi gagal untuk menghubunginya. Pada
bulan Februari, 1831, Gauss menerima salinan muka dari Apendiks. Jawabannya, 13 yang ditulis untuk
Wolfgang pada 6 Maret 1831, memuat pernyataan berikut tentang karya Johann.
"Jika saya mulai dengan pernyataan bahwa saya tidak berani memuji pekerjaan seperti itu, Anda
tentu saja akan terkejut sesaat: tetapi saya tidak dapat melakukan sebaliknya; untuk memuji itu akan
berarti memuji diri sendiri; untuk seluruh isi karya, jalan yang telah diambil putra Anda, hasil yang
dituntunnya, bertepatan hampir persis dengan meditasi saya sendiri yang telah menguasai pikiran saya
selama tiga puluh hingga tiga puluh lima tahun. Pada kisah ini saya menemukan diri saya terkejut secara
ekstrem.
"Niat saya adalah, berkenaan dengan pekerjaan saya sendiri, yang sangat sedikit hingga saat ini
telah diterbitkan, tidak membiarkannya menjadi terkenal selama masa hidup saya. Kebanyakan orang
tidak memiliki wawasan untuk memahami kesimpulan kami dan saya hanya ditemui beberapa yang
menerima dengan minat khusus apa yang saya komunikasikan kepada mereka.Untuk memahami hal-hal
ini, seseorang harus terlebih dahulu memiliki persepsi yang tajam tentang Apa yang dibutuhkan, dan

pada titik ini mayoritas cukup bingung. Di sisi lain itu adalah berencana untuk meletakkan semua di atas
kertas akhirnya, sehingga setidaknya itu akhirnya tidak akan berakhir dengan saya.
"Jadi, saya sangat terkejut untuk terhindar dari upaya ini, dan saya sangat senang bahwa itu
adalah putra dari teman lama saya yang melampaui saya dengan cara yang luar biasa seperti itu."
Ketika Johann menerima salinan surat ini dari ayahnya, dia jauh dari gembira. Alih-alih eulogi

yang telah diantisipasi, itu membawanya, menurutnya, hanya berita bahwa orang lain telah membuat
penemuan yang sama secara independen dan mungkin lebih awal. Dia bahkan melangkah lebih jauh
untuk menduga bahwa, sebelum Appendix selesai, ayahnya telah menceritakan beberapa gagasannya
kepada Gauss, yang pada gilirannya telah menggunakan mereka untuk digunakan sendiri. Kecurigaan ini
akhirnya hilang, tetapi Johann tidak pernah merasa bahwa Gauss telah memberinya kehormatan yang
menjadi haknya.
Johann Bolyai tidak menerbitkan apa pun lagi, meskipun ia melanjutkan penyelidikannya.
Catatan yang ditemukan di antara makalahnya menunjukkan bahwa ia tertarik pada perluasan lebih
lanjut dari ide-idenya ke ruang angkasa tiga dimensi dan juga dalam perbandingan Geometri NonEuclidean dengan Trigonometri Bola. Ini adalah perbandingan terakhir yang membawanya ke keyakinan
bahwa Postulat Kelima tidak dapat dibuktikan. 14 Namun, ia tidak pernah yakin sepenuhnya bahwa
penyelidikan terhadap ruang tiga dimensi mungkin tidak mengarah pada penemuan inkonsistensi dalam
geometri baru.
Pada 1848 Bolyai belajar bahwa kehormatan untuk penemuan Geometri Non-Euclidean harus
dibagi dengan yang lain. Pada tahun itu dia menerima informasi penemuan Lobachewsky dan memeriksa
mereka secara kritis. Ada membangkitkan semangat persaingan, dan dalam upaya untuk mengalahkan
Lobachewsky, dia mulai bersusah payah kembali pada apa yang akan menjadi karya besarnya,
Raumlehre, yang telah direncanakannya ketika dia menerbitkan Appendix. Namun pekerjaan ini tidak
pernah selesai.
31. Lobachewsky.
Meskipun tidak sampai 1848 Bolyai belajar dari karya Nikolai Ivanovich Lobachewsky (17931856), yang terakhir telah menemukan geometri baru dan telah benar-benar menerbitkan
kesimpulannya sedini 1819, dua atau tiga tahun sebelum munculnya di cetak Apendiks. Tetapi ada
banyak bukti bahwa ia membuat penemuannya lebih lambat dari yang dibuat Bolyai.
Lobachewsky 15 mengambil gelar di Universitas Kasan pada 1813. Dia dipertahankan sebagai
instruktur dan kemudian dipromosikan ke jabatan profesor. Sebagai seorang siswa di sana ia pernah
belajar di bawah Johann M. C. Bartcls, yang merupakan salah satu orang pertama yang mengenali genius
Gauss. Meskipun Gauss dan Bartels adalah teman dekat, tidak ada bukti bahwa yang terakhir, ketika dia
pergi ke Kasan pada tahun 1807, membawa bersamanya dan menyampaikan kepada Lobachewsky setiap
pandangan yang maju tentang masalah kesejajaran. Memang, kita tahu bahwa Gauss sendiri pada
tanggal awal itu masih bekerja di jalur konvensional. Penemuan Lobachewsky belakangan tampaknya
merupakan hasil dari inisiatif, wawasan, dan kemampuannya sendiri.

Bagaimanapun, bersama dengan yang lain, ia mencoba untuk membuktikan Postulat Kelima
sedini atau hingga akhir 1815. Salinan catatan kuliah, diambil oleh salah satu muridnya selama tahun itu
dan dua berikutnya, mengungkapkan hanya upaya untuk verifikasi teori Euclidean. Baru setelah tahun
1813 ia mulai mengubah sudut pandangnya, yang pada tanggal itu akan diingat kembali, Johann Bolyai
telah mencapai ide-ide terorganisir dengan sangat baik tentang geometri barunya.
Pada 1813 Lobachewsky telah menyelesaikan manuskrip untuk buku teks tentang geometri
dasar, sebuah teks yang tidak pernah dipublikasikan. Naskah ini masih ada. Di dalamnya ia membuat
pernyataan yang signifikan bahwa tidak ada bukti ketat dari Postulat Paralel yang pernah ditemukan dan
bahwa bukti-bukti yang telah disarankan hanyalah penjelasan dan bukan merupakan bukti matematis
dalam arti yang sebenarnya. Terbukti dia mulai menyadari bahwa kesulitan yang dihadapi dalam upaya
membuktikan Postulat timbul karena sebab-sebab yang sangat berbeda dari yang sebelumnya selalu
dianggap berasal dari mereka.
Tiga tahun berikutnya melihat evolusi teori paralelnya yang baru. Diketahui bahwa pada tahun
1816 ia membaca makalah sebelum bagian fisika dan matematika dari Universitas Kasan dan pada
kesempatan itu menyarankan geometri baru di mana lebih dari satu garis lurus dapat ditarik melalui titik
sejajar dengan garis tertentu dan penjumlahannya. dari sudut-sudut segitiga kurang dari dua sudut sikusiku. Sayangnya kuliah itu tidak pernah dicetak dan manuskripnya belum ditemukan.
Tetapi pada tahun 1819-1930 ia menerbitkan sebuah memoar tentang prinsip-prinsip geometri
dalam Buletin Kasan, mengacu pada ceramah yang disebutkan di atas, dan menjelaskan secara lengkap
doktrin kesejajarannya. Memoar ini, akun pertama Geometri Non Euclidean yang muncul di media cetak,
menarik sedikit perhatian di negaranya sendiri, dan, karena dicetak dalam bahasa Rusia, hampir tidak
ada sama sekali di luar.
Percaya diri akan prestasi penemuannya, Lobachewsky menulis sejumlah makalah, kurang lebih
luas, tentang teori paralel baru, berharap dengan demikian untuk membawanya ke perhatian para
matematikawan di seluruh dunia. Barangkali yang paling penting dari publikasi ini adalah sebuah buku
kecil berjudul Geomctrische Untersuchungen %ur Theorie der Parallellinien,, yang ditulis dalam bahasa
Jerman dengan gagasan bahwa mungkin karena alasan itu lebih banyak dibaca. Setahun sebelum
kematiannya, meskipun ia menjadi buta, ia menulis laporan lengkap dari penelitiannya yang diterbitkan
dalam bahasa Prancis dengan judul: Pangeometric ou precis de geometric fondee sur une theorie
generate et rigoureuse des parallels. Tapi dia tidak hidup untuk melihat karyanya memberikan
pengakuan yang luas.
Begitu lambatnya informasi penemuan-penemuan baru beredar di masa itu bahwa Gauss sendiri
tidak belajar tentang kemajuan yang dibuat oleh Lobachewsky selama beberapa tahun, mungkin tidak
sampai setelah penerbitan Untersuchungen. Bagaimanapun, tampaknya pada tahun 1841 dia tahu
tentang Lobachewsky dan karyanya dan sangat terkesan. Pada tahun 1846 ia menulis kepada
Schumacher sebagai berikut:
"Saya baru-baru ini memiliki kesempatan untuk melihat lagi volume kecil itu oleh Lobatschefski
(Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin 1840, bei B. Funcke, 4 Bogen stark).

Ini berisi unsur-unsur geometri yang harus dipegang, dan dapat dengan konsistensi yang ketat terus, jika
Euclidean tidak benar. Schweikardt 19 tertentu menyebut geometri seperti Astral Geometry,
Lobatschefsky menyebutnya Geometri Imajiner. Anda tahu bahwa selama lima puluh empat tahun
sekarang (sejak 1792.) saya telah memegang keyakinan yang sama (dengan ekstensi tertentu nanti, yang
tidak akan saya sebutkan di sini). Saya telah menemukan dalam karya Lobatschefsky tidak ada sesuatu
pun yang baru bagi saya, tetapi pengembangannya dibuat dengan cara yang berbeda dari yang saya ikuti,
dan tentu saja oleh Lobatschefsky dengan cara yang terampil dan dalam semangat geometris sejati. Saya
merasa bahwa saya harus menarik perhatian Anda pada buku, yang pasti akan memberi Anda
kenikmatan yang paling tajam. "
Pada 1848 Wolfgang Bolyai telah mendengar dalam beberapa cara penyelidikan Lobachewsky.
Pada bulan Januari tahun itu dia menulis kepada Gauss, menanyakan nama buku itu oleh ahli
matematika Rusia. Gauss merekomendasikan "pekerjaan kecil yang mengagumkan," Geometrische
Untersuchungen, karena mengandung eksposisi teori yang memadai dan mudah didapat. Jadi Wolfgang
dan, melalui dia, Johann berkenalan dengan geometri Lobachewsky.
Bahwa Johann menerima informasi ini tentang karya geometer Rusia secara filosofis cukup
dibuktikan oleh pernyataan yang ditemukan dalam catatan yang tidak dipublikasikan berjudul:
Bemerkungen uber Nicolaus Lobatchefsktf's Geometrische Untersuchungen. Dia menulis sebagian:
"Bahkan jika dalam pekerjaan luar biasa ini metode yang berbeda diikuti pada waktu, namun,
semangat dan hasilnya sangat mirip dengan Apendiks ke Tentamen matbeseos yang muncul pada tahun
1831 di Maros-Vasarhely, orang yang tidak dapat mengenalinya tanpa bertanya-tanya. Jika Gauss, seperti
yang dikatakannya, terkejut dengan ekstrim, pertama oleh Lampiran dan kemudian oleh perjanjian
mencolok dari matematikawan Hongaria dan Rusia: benar-benar, tidak ada yang kurang begitu saya.
"Sifat kebenaran sejati tentu saja tidak bisa tetapi menjadi satu dan sama di Maros-Vasarhely
seperti dalam Kamschatka dan di Bulan, atau, singkatnya, di mana saja di dunia; dan apa yang ditemukan
oleh makhluk yang terbatas, yang masuk akal, juga tidak bisa mustahil ditemukan oleh yang lain. "
Tapi, terlepas dari refleksi ini, setidaknya untuk waktu, Bolyai menghibur kecurigaan bahwa
entah bagaimana Lobachewsky telah belajar dari penemuannya sendiri, mungkin melalui Gauss, dan
kemudian, setelah beberapa revisi, menerbitkannya. Namun, sikapnya belakangan menjadi agak lebih
lunak. Faktanya, tampaknya tidak ada bukti bahwa Lobachewsky pernah mendengar tentang Bolyai.
32. Wachter, Schwcikart dan Taurinus.
Tidak ada catatan yang memuaskan, bagaimanapun singkatnya, penemuan Geometri NonEuclidean akan gagal untuk memasukkan nama-nama Wachter, Schweikart dan Taurinus. Kami
memasukkan di sini akun singkat dari kontribusi mereka, sebelum mengalihkan perhatian kami ke
perkembangan lebih lanjut karena Riemann dan lain-lain.
Fricdrich Ludwig Wachtcr (1791-1817), Profesor Matematika di Gimnasium di Dantzig, belajar di
bawah Gauss di Gottingen pada tahun 1809. Usahanya untuk membuktikan Postulat Kelima mengarah ke

publikasi pada tahun 1817 dari makalah 21 di mana ia berusaha untuk membuktikan bahwa melalui
empat titik di angkasa, tidak terbentang dalam satu bidang, bola dapat dibangun. Rencana penyelidikan
ini jelas disarankan oleh fakta bahwa Postulat dapat dibuktikan setelah ditetapkan bahwa suatu lingkaran
dapat ditarik melalui tiga titik non-kolinear. Meskipun argumennya tidak sehat, beberapa deduksi
intuitifnya dalam makalah ini, dan dalam sebuah surat yang ditulis untuk Gauss pada tahun 1816, patut
dikenali. Di antara hal-hal lain, ia mengatakan bahwa, bahkan jika Postulat Euclid ditolak, geometri bulat
akan menjadi Euclidean jika jari-jari bola dibiarkan menjadi tak terbatas, meskipun permukaan pembatas
bukanlah bidang. Ini dikonfirmasi kemudian oleh Bolyai dan Lobachewsky.
Wachter hanya hidup dua puluh lima tahun. Investigasi singkatnya sangat menjanjikan dan
menunjukkan wawasan yang tajam. Seandainya dia hidup beberapa tahun lagi, dia mungkin menjadi
penemu Geometri Non-Euclidean. Karena itu, pengaruhnya mungkin cukup besar. Tepat pada saat dia
dan Gauss sedang mendiskusikan apa yang mereka sebut Geometri Anti-Euclidean, yang terakhir mulai
menunjukkan tanda-tanda perubahan sudut pandang. Pada tahun 1817, menulis kepada HWM Olbers,
rekanannya, dan seorang astronom terkenal, Gauss dituntun untuk berkomentar, setelah menyebutkan
Wachter, dan memuji karyanya terlepas dari ketidaksempurnaannya, 23 "Saya terus mendekati
keyakinan bahwa kebenaran yang diperlukan * dari geometri kita. tidak dapat dibuktikan, setidaknya
oleh kecerdasan manusia untuk intelek manusia. Mungkin dalam kehidupan lain kita akan sampai pada
wawasan lain ke dalam sifat ruang yang saat ini kita tidak dapat mencapai. Sampai kemudian kita harus
menempatkan geometri pada dasar yang sama, tidak dengan aritmatika, yang memiliki dasar apriori
murni, tetapi dengan mekanika. "
Akan diingat kembali bahwa Gauss, dalam sepucuk surat untuk Schumacher, menyebutkan
"Schweikardt tertentu." Yang dimaksud adalah Ferdinand Karl Schwcikart (1780-1859), yang dari 1796
hingga 1798 adalah mahasiswa hukum di Marburg. Karena dia sangat tertarik pada matematika, dia
mengambil keuntungan dari kesempatan ketika di universitas untuk mendengarkan ceramah dari J. K. F.
Hauff, yang agak dari otoritas pada teori kesejajaran. Kepentingan Schweikart dalam teori ini
berkembang sedemikian rupa sehingga pada tahun 1807 di sana muncul karya-karyanya yang diterbitkan
hanya dari alam matematika, Die Theorie der Parallellinien nebst dem Vorschlage ikrer Verbannung aus
der Geometric. 1 ** Terlepas dari judulnya, buku ini tidak menawarkan sesuatu yang sangat baru dan
ditulis dengan garis yang sangat konvensional. Di dalamnya ia menyebutkan baik Saccheri dan Lambert.
Kenalannya dengan pekerjaan orang-orang ini tidak diragukan lagi mempengaruhi karakter
penyelidikannya nanti. Dalam 1 8 ii Schweikart pergi ke Charkow; tahun 1816 menemukannya di Marburg
lagi, di mana dia tinggal sampai 1810 ketika dia menjadi Profesor Fikih di Konigsberg.
Pada 1818 ia menyerahkan kepada temannya, Gerling, mahasiswa Gauss dan Profesor Astronomi
di Marburg, gambaran singkat tentang gagasannya tentang geometri baru di mana Postulat Paralel
ditolak, dan memintanya untuk meneruskannya ke Gauss untuk kritiknya. Dalam memorandum ini ia
menegaskan bahwa ada dua jenis geometri, Euclidean dan Astral, dan yang terakhir jumlah sudut-sudut
segitiga kurang dari dua sudut siku-siku; semakin kecil sudut-jumlah, semakin besar luas segitiga; bahwa
ketinggian segitiga siku-siku meningkat ketika sisi-sisinya bertambah, tetapi tidak pernah bisa menjadi
lebih besar dengan panjang tertentu yang disebut Konstan; bahwa, ketika Konstan ini dianggap sebagai
hasil Geometri yang tak terbatas, Euclidean *. Garis besar ini mungkin adalah deskripsi eksplisit pertama

dari Geometri Non-Euclidean, yang dianggap demikian. Ide-idenya datang ke Schweikart sebelum 1816,
ketika dia masih di Charkow. Pada tanggal awal, baik Bolyai dan Lobachewsky masih melanjutkan
penyelidikan mereka dari sudut pandang tradisional.
Dalam balasannya untuk Gerling, Gauss memuji Schweikart dengan sangat baik. "Nota Profesor
Schweikardt telah membawakan saya kesenangan terbesar / 'tulisnya," dan dalam hal itu tolong
sampaikan kepadanya pujian tulus saya. Itu mungkin hampir telah ditulis oleh saya sendiri. "
Tapi dia memang mendorong putra saudara perempuannya, Franz Adolph Taurinus (1794-1874),
untuk mengambil studi tentang kesejajaran, menyarankan bahwa dia memberikan beberapa pemikiran
ke Astral Geometri yang Gauss telah sangat dipuji. Taurinus, setelah mempelajari yurisprudensi untuk
waktu yang singkat, telah menetap di Koln untuk menghabiskan hidup yang panjang dengan waktu
luang, dengan waktu yang cukup untuk mencurahkan berbagai kepentingan intelektual. Pada tahun
1814, ketika ia pertama kali memulai penyelidikan sistematis terhadap masalah kesejajaran, ia
mendapati dirinya tidak sesuai dengan gagasan pamannya. Bahwa dia berharap, pada titik awal dalam
penelitiannya, untuk dapat membuktikan Postulat Kelima tidak ada yang luar biasa. Fakta yang luar biasa
adalah bahwa, meskipun sebagai konsekuensi dari penyelidikan independennya ia adalah salah satu
orang pertama yang mendapatkan pandangan Geometri Non-Euclidean, namun sepanjang hidupnya ia
terus percaya bahwa Hipotesis Euclidean adalah satu-satunya dari tiga yang akan mengarah ke geometri
yang valid.
Pada tahun 1815, segera setelah dia menerima surat Gauss gratis dan mendorong yang telah
diterjemahkan secara penuh di Bagian 2.9, muncul buku pertamanya, Theoru der Parallellimen.'2 * Di
sini dia menyerang masalah dari sudut pandang Non-Euclidean, menolak Hipotesis Sudut Rupa dan,
dengan menggunakan Hipotesis Sudut Akut, dijumpai Konstan Schweikart. Penyelidikan ini
mengarahkannya pada ide-ide yang tidak sesuai dengan konsep ruangnya dan ia terdorong untuk
menolak hipotesis yang terakhir juga, meskipun ia tampak mengakui konsekuensinya secara logis.
Tidak lama setelah penerbitan buku pertamanya, dia mengetahui bahwa Saccheri dan Lambert
telah mendahuluinya di sepanjang rute yang dia ikuti. Jadi dia menghasilkan buku lain di 182.6,
Gtometriae Prima Elementa * 1 di mana dia memodifikasi metode serangannya. Itu di appendix dari
pekerjaan ini bahwa ia membuat kontribusi yang paling penting. Di sini ia mengembangkan banyak
rumus dasar untuk Trigonometri Non-Euclidean. Dalam rumus-rumus trigonometri bola yang dikenalnya,
ia mengganti radius bola yang sesungguhnya dengan yang imajiner. Rumus yang dimodifikasi, cukup luar
biasa, menggambarkan geometri yang muncul di bawah Hipotesis Sudut Akut. Lambert sebelumnya
telah menyelidiki fungsi trigonometrik dengan argumen-argumen imajiner, dan dalam hubungan itu
telah berkembang sampai taraf tertentu teori fungsi hiperbolik, tetapi tidak ada bukti bahwa ia mencoba
menggunakan ide-ide ini dalam studinya tentang kesejajaran. Akan diingat bahwa ia menduga bahwa
geometri ini dapat diverifikasi pada lingkup radius imajiner. 28 Taurinus tidak menggunakan fungsi
hiperbolik; alih-alih dia memamerkan karakter sebenarnya dari formula-nya melalui medium eksponen
dan logaritma. Konsekuensinya ia menyebut geometri Logarithmisch-Spharischcn Geometric. Dia, seperti
halnya Lambert, mengakui korespondensi antara geometri sferis dan apa yang muncul jika Hipotesis

Angle Obtuse digunakan. Selain itu, ia mencatat bahwa Geometri Logarithmic-Spherical-nya menjadi
Euclidean ketika radius bola dibuat tak terbatas.
Meskipun keengganannya untuk mengenali geometri ini sebagai valid pada pesawat tetap ada,
Taurinus tampaknya sepenuhnya sadar akan pentingnya penemuannya, dari sudut pandang teoritis,
dalam studi paralel. Geometriac Prima Elemcnta-nya menerima sedikit pengakuan. Dalam
kekecewaannya, ia membakar salinan yang tersisa.
33. Riemann.
Baik Bolyai maupun Lobachewsky tidak tinggal untuk melihat karyanya memberikan pengakuan
yang pantas untuknya. Penundaan ini dapat dikaitkan dengan beberapa faktor: lambatnya perjalanan ide
dari satu bagian dunia ke bagian lain, hambatan bahasa, filsafat ruang Kantian, dominasi Euclid dua ribu
tahun, dan ketidakjelasan relatif para penemu. Geometri Non-Euclidean. Geometri baru menarik sedikit
perhatian selama lebih dari tiga puluh lima tahun sampai, pada tahun 1867, Richard Baltzer, dalam edisi
kedua Elcmcntc der Matbematik-nya, memasukkan referensi ke dalamnya dan para penemunya, dan juga
membujuk Houel untuk menerjemahkan tulisan-tulisan mereka ke dalam bahasa Prancis.
Namun sementara itu sosok baru muncul. Dilahirkan pada saat penemuan Geometri NonEuclidean, George Friedrich Bernhard Riemann (1816 1866) tumbuh menjadi dewasa muda dengan
tujuan mempelajari teologi. Tetapi ketika dia memasuki Gottingen untuk tujuan itu, dia menemukan
bahwa matematika adalah keahliannya dan melepaskan teologi. Dia belajar di bawah Gauss dan menjadi
murid yang luar biasa dalam karir mengajar yang panjang dari matematikawan hebat itu. Kemudian dia
pergi ke Berlin untuk belajar dengan Dirichlet, Jacobi, Stcincr dan lain-lain, tetapi kembali ke Gottingen
pada tahun 1850 untuk belajar fisika dan mengambil gelarnya di sana pada tahun berikutnya.
Kami telah mengutip dari kuliah percobaan yang luar biasa, Uber die Hypothesen welche der
Geometric% u Grunde liegen, yang ia sampaikan pada 1854 sebelum Fakultas Filsafat di Gottingen, dan
di mana ia menunjukkan bahwa ruang tidak perlu terbatas, meskipun dianggap sebagai tidak terbatas. .
Jadi dia menyarankan secara tidak langsung geometri di mana tidak ada dua garis yang sejajar dan
jumlah sudut segitiga lebih besar dari dua sudut siku-siku. Ini akan diingat bahwa, dalam penolakan dari
Hipotesis dari "Sudut Obtuse oleh peneliti sebelumnya, ketidakterbatasan garis telah diasumsikan.
Tapi Riemann, dalam disertasi yang tak terlupakan ini, melakukan lebih dari itu; ia meminta
perhatian pada sifat sejati dan signifikansi geometri dan melakukan banyak untuk membebaskan
matematika dari cacat tradisi. Di antara hal-hal lain, dia berkata, "Saya telah di tempat pertama ....
mengatur diri saya sendiri tugas membangun gagasan tentang magnitudo yang diperluas dari pengertian
umum tentang magnitudo. Ini akan mengikuti dari hal ini bahwa magnitudo berlipat ganda mampu dari
hubungan ukuran yang berbeda, dan akibatnya ruang itu hanya merupakan kasus partikular dari besaran
luas yang melintas, tetapi karenanya mengalir sebagai konsekuensi yang diperlukan bahwa proposisi
geometri tidak dapat diturunkan dari pengertian umum tentang magnitudo, tetapi bahwa sifat-sifat yang
membedakan ruang dari besaran-besaran panjang berunding lainnya hanya untuk dideduksi dari
pengalaman, sehingga timbul masalah, untuk menemukan hal-hal sederhana fakta dari mana hubungan
ukuran ruang dapat ditentukan, masalah yang dari sifat kasusnya tidak sepenuhnya ditentukan, karena

mungkin ada beberapa sistem masalah fakta yang cukup untuk menentukan pengukuran ruang sistem
yang paling penting untuk tujuan kita sekarang adalah bahwa e Euclid telah ditetapkan sebagai yayasan.
Hal-hal yang sebenarnya seperti semua hal fakta tidak perlu ^ tetapi hanya kepastian empiris; mereka
adalah hipotesis. Oleh karena itu, kami mungkin menyelidiki probabilitas mereka, yang dalam batasbatas pengamatan tentu saja sangat hebat, dan menanyakan tentang keadilan perpanjangan mereka di
luar batas pengamatan, di sisi kedua yang sangat besar dan tak terhingga kecil. "
Menekankan pentingnya studi tentang sifat-sifat benda dari sudut pandang yang sangat kecil,
lanjutnya, "Pertanyaan-pertanyaan tentang yang tak terhingga besar adalah untuk interpretasi dari
pertanyaan-pertanyaan yang tidak berguna alam. Tapi ini tidak terjadi dengan pertanyaan-pertanyaan
tentang kecil tak terhingga. adalah pada ketepatan yang kita ikuti fenomena menjadi sangat kecil yang
pengetahuan kita tentang hubungan kausal mereka pada dasarnya tergantung.Pengembangan abad
terakhir dalam pengetahuan mekanika hampir sepenuhnya tergantung pada ketepatan konstruksi yang
telah menjadi mungkin melalui penemuan kalkulus yang sangat kecil, dan melalui prinsip-prinsip
sederhana yang ditemukan oleh Archimedes, Galileo dan Newton, dan digunakan oleh fisika modern.
Namun dalam ilmu alam yang masih membutuhkan prinsip-prinsip sederhana untuk konstruksi seperti
itu, kita berusaha untuk menemukan hubungan kausal dengan mengikuti fenomena menjadi sangat
kecil, sejauh memungkinkan mikroskop. Pertanyaan tentang ukuran relati Oleh karena itu, ruang di
dalam yang sangat kecil itu bukan pertanyaan yang berlebihan. "
Maka dimulailah periode kedua dalam pengembangan Geometri Non-Euclidean, suatu periode
yang dicirikan oleh penyelidikan dari sudut pandang geometri diferensial berlawanan dengan metode
sintetis yang sebelumnya digunakan. Riemann's memoar hampir semuanya dengan generalisasi dan
bersifat sugestif. Investigasi rinci sepanjang garis-garis ini dilakukan oleh orang lain, terutama Helmholtz,
Lie dan Beltrami. Kontribusi dari fisikawan, Helmholtz, luar biasa sebagaimana adanya, diperlukan untuk
ketelitian sentuhan akhir seorang matematikawan. Investigasi menyeluruh ini dilakukan oleh Lie,
menggunakan gagasan kelompok transformasi. Untuk Beltrami pergi kredit menawarkan bukti pertama
dari konsistensi Geometri Non-Euclidean. Meskipun Bolyai dan Lobachewsky tidak menemukan
kontradiksi dalam geometri mereka sejauh penyelidikan mereka telah pergi, masih ada kemungkinan
bahwa beberapa ketidakkonsistenan semacam itu mungkin muncul ketika penelitian berlanjut. Beltrami
menunjukkan bagaimana geometri ini dapat direpresentasikan, dengan pembatasan, pada permukaan
Euclidean kelengkungan konstan, dan dengan demikian bagaimana inkonsistensi ditemukan dalam
geometri Bolyai dan Lobachewsky akan mengarah pada yang sesuai dalam Geometri Euclidean.
34. Perkembangan Lebih Lanjut.
Pekerjaan periode kedua ini sangat bagus dan hasilnya jauh mencapai dan signifikan, tetapi tetap
untuk periode ketiga dengan yang busur terkait nama-nama Caylcy, Klein dan Clifford untuk memasok
apa yang masih dibutuhkan di jalan penyatuan dan interpretasi Geometri Non-Euclidean. Penggolongan
yang indah dari geometri-geometri ini dari sudut pandang projectivemetric dan pengakuan dari peranperan yang mereka mainkan dalam pembulatan kategori logis menyebabkan pembenaran yang lengkap
dan dengan demikian membawa ke kemenangan menutup perjuangan panjang dengan Postulat Kelima.

Dalam Memoir Keenamnya yang terkenal, ufon Quantics * Cayley, pada tahun 1859,
menunjukkan bagaimana gagasan tentang jarak dapat dibangun berdasarkan prinsip-prinsip deskriptif
murni. Ide-ide ini dikembangkan dan ditafsirkan dari sudut pandang Geometri Non-Euclidean oleh Felix
Klein dalam dua monograf yang muncul pada tahun 1871 dan 1873. dialah yang menyarankan
pemanggilan geometri Bolyai dan Lobachewsky, Ricmann, dan Euclid, masing-masing, Hiperbolik, Elliptic
dan Parabolik, terminologi yang diterima secara universal dan yang akan kita gunakan mulai dari titik ini.
Nama-nama itu disarankan oleh fakta bahwa garis lurus mengandung dua titik jauh jauh di bawah
Hipotesis Sudut Akut, tidak ada di bawah Hipotesis Sudut Rupa, dan hanya satu di bawah Hipotesis Sudut
Kanan.
Baru-baru ini para peneliti telah membatasi perhatian mereka terutama pada pemeriksaan yang
teliti terhadap dasar-dasar geometri dan pada formulasi set aksioma yang tepat. Mengikuti jejak Pasch,
orang-orang seperti Hilbert, Peano, Pieri, Russell, Whitehead dan Veblen telah pergi jauh dalam
menempatkan geometri, baik Euclidean dan Non-Euclidean, serta matematika secara umum, pada dasar
logis yang kuat.
35. Kesimpulan.
Dalam halaman-halaman berikut ini, kita akan mengambil studi pertama tentang Geometri
Hiperbolik Sintetis. Ini akan diikuti oleh penyelidikan trigonometri dari Pesawat Hiperbolik dan itu, pada
gilirannya, oleh perlakuan singkat dari sudut pandang geometri analitik dan kalkulus.
Pemeriksaan kami terhadap Elliptic Geometry akan kurang luas. Perkembangannya, seperti
kebanyakan pekerjaan di kemudian hari dalam Geometri Non-Euclidean, tergantung pada penggunaan
konsep yang lebih maju daripada yang ingin kita gambarkan di sini.
Secara sepintas, kami berkomentar bahwa ada dua jenis Elliptic Geometry. Yang disarankan di
Bagian 6 mungkin adalah salah satu yang ada dalam pikiran Reimann. Geometri pada Elliptic Plane ini
memiliki analog yang tepat dalam geometri pada bola, lingkaran besar dianggap sebagai garis lurus. Jenis
lainnya, dalam banyak hal yang lebih menarik dan penting, disarankan kemudian oleh Klein. Dalam
geometri ini, dua titik selalu menentukan garis lurus, dan dalam hal lain lebih mirip Geometri Euclidean.